Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/05/47.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:27 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:14:09 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 2

ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА
3

47
Дефект масс ядра гелия-3 ( 2 He ) равен M3 = 2 m p + mn - M3 , где m p масса протона, mn масса нейтрона, а M 3 масса ядра гелия-3. Аналогично запишем дефект масс ядра дейтерия с массой M2 :
M 2 = m p + m n - M 2 .

До сих пор мы пользовались чисто классическими представлениями. Теперь воспользуемся правилом квантования момента импульса для нашего иона: суммарный момент импульса системы электронядро кратен постоянной Планка D , т.е.

meve re + M я v я rя = nD ,
где n = 1, 2, 3 Поскольку импульс иона равен нулю, meve = M я vя и, следовательно,

meve re + rя = nD .

c

h

(4)

Исключая скорость электрона ve из уравнений (2) и (4), найдем возможные значения радиусов орбит электрона:
ren = 4 0 D Ze m
2 2

n,

2

(5)

e

а из уравнений (1) и (5) найдем возможные радиусы орбит ядра:
rяn = 4 0 D Ze M
2 2

Заметим, что боровский радиус и потенциал ионизации атома водорода являются характерными масштабами длины и энергии в атомных системах. Задача 3. Позитроний представляет собой связанную систему из электрона и позитрона, вращающихся вокруг их центра масс. (Позитроний образуется при столкновении медленных нейтронов с атомами вещества и захвате позитроном атомного электрона.) Найдите уровни энергии, энергию ионизации и минимальное расстояние между электроном и позитроном для позитрония. Будем рассматривать позитроний как водородоподобный атом и воспользуемся результатами, полученными в предыдущей задаче. Для позитрония Z = 1, а приведенная масса ч = me 2 (масса позитрона равна массе электрона), поэтому выражение для энергетических уровней позитрония примет вид
En = - 4 4

Из этих уравнений получим
M 3 - M 2 = M = m p + M 2 - M 3 .

Теперь рассмотрим данные термоядерные реакции. Так как число нуклонов в обеих реакциях не изменяется, энерговыделение в реакциях обусловлено изменением дефектов масс участвующих в реакции ядер. Закон сохранения энергии запишем в виде
2 2 M2 c + M3 c = M 4 c + m p c + Q1 , 2 2 M 3 c + M 3 c = M 4 c + 2m p c + Q2 , 2 2 2 2

n.
я

2

Если говорить об орбитах электрона в системе координат, связанной с ядром, то

Отсюда для энергии ионизации позитрония (при n ) получим
Ei = 4 4

c

mee
0

4

h

2

D

2



1 n
2

.

где M 4 масса ядра гелия-4. Вычитая уравнения одно из другого, найдем искомую энергию:
Q2 = Q1 - m p c + M 2 c - M 3 c
2

rn = ren + rяn =
=
4 0 D me M 2
2

n=
я я

2

4 0 D
2

2

Ze

me + M me M
я

Ze ч

n , (6)

2

Минимальное расстояние между электроном и позитроном найдем из выражения (6) для радиусов боровских орбит (при n = 1):
rmin = 8 0 D me e
2 2

c

me e
0

4

e

2

2

2

h

2

D

2

6,77 эВ .
14

= Q1 - Mc 12,8 МэВ .
4

j

=

me + M я приведенная масса. Подставляя полученное выражение (6) в формулу (3), получим дискретные значения полной энергии стационарных состояний иона:

где ч =

так называемая

10 10 ,

-10

м.

. 2 2 4 0 D n Потенциалом ионизации атома называют минимальную энергию, необходимую для перевода атома из нормального состояния (n = 1) в несвязанное состояние ( n ). Для атома водороme m p да Z = 1, ч = , где m p масса me + m p протона, поэтому потенциал ионизации атома водорода равен

En = -

c

чZ e

24

h

2

2



1

Ei =

2 4

c

me m pe
0

4

he
2

me + m p D

j

2

13,55 эВ ,

а радиус первой боровской орбиты (боровский радиус)

r1 =

4 0 D me + m e me m
2 p

2

e

p

j

0,53 10

-10

м.

He + 2 1 p , если дефект масс 1 ядра He на M = 0,006 а.е.м. больше, 2 чем у ядра 1 H ? Масса покоя любого ядра всегда меньше суммы масс покоя входящих в его состав нуклонов (протонов и нейтронов). Для количественной характеристики этого эффекта вводится специальная величина, называемая дефектом масс, разность между суммой масс нуклонов, входящих в состав ядра, и массой самого ядра. В ядерной физике массы частиц принято измерять в энергетических единицах. Заданная в условии задачи величина M = 0,006 а.е.м. соответствует энер2 гии Mc = 5,589 МэВ.

Задача 4. Термоядерная реакция 1 3 4 H + 2 He 2 He + 1 p идет с выделением энергии Q1 = 18,4 МэВ (кинетическая энергия образовавшихся частиц на величину Q1 больше кинетической энергии исходных). Какая энер3 гия Q2 выделится в реакции 2 He +
2 1

+ 2 He
3 2

3

4 2

Задача 5. Ядерная реакция He + 17 O + p может идти, если + N налетающие на неподвижные ядра азота -частицы имеют энергию, превышающую пороговую энергию Eп = = 1,45 МэВ. На сколько энергия частиц должна быть больше пороговой, чтобы кинетическая энергия образующихся протонов могла быть равной нулю? Рассмотрите нерелятивистский случай. Поскольку данная реакция может идти только при энергиях, превышающих пороговую, это означает, что реакция идет с поглощением энергии (такие реакции называются эндотермическими). Очевидно, что в этом случае энергия покоя продуктов реакции больше энергии покоя исходных частиц. Обозначим эту разность через Q и назовем энергией реакции. Рассмотрим случай, когда налетающая -частица обладает кинетической энергией, равной пороговой энергии 2 Eп , т.е. когда p 2m = Eп , где p импульс -частицы, а m ее масса. В этом случае продукты реакции будут двигаться как единое целое, т.е. с одной и той же скоростью, которую обозначим через u. Запишем закон сохранения энергии:

ch

Eп =

MO u 2

2

+

m pu 2

2

+Q