Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/04/39.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:20 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:27:19 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: южная атлантическая аномалия

РЕЦЕНЗИИ

39
K+ 1 11 1 -+- = n -1 n n n +1
= 1- а тождество

журнала 'Квант' и устроителей олимпиад, да и весь опыт наших математических школ и кружков созвучны идеям Грэхема, Кнута и Паташника. Если бы языковой барьер не затруднял американцам знакомство с русскоязычными источниками, то 'Конкретная математика' включала бы, я уверен, многие из наших олимпиадных задач.1 Правда, у нас олимпиады проводились в основном для школьников, а не для студентов. Поэтому очень интересно познакомиться с американским опытом, к тому же увлекательно изложенным. Авторы сообщают, что 'с удовольствием объединили свои усилия для работы над этой книгой, поскольку ее предмет начал зарождаться и обретать свою собственную жизнь на наших глазах; кажется, что книга написана сама собой. Более того, отчасти разнородные подходы, которые выбирал каждый из нас, оказались после многолетней совместной работы настолько подогнанными друг к другу, что мы не могли удержаться от ощущения: эта книга своего рода манифест единодушно избранного нами пути занятий математикой'. Основные темы книги индукция и исчисление сумм, рекуррентность, целочисленные функции и последовательности, элементы арифметики, биномиальные коэффициенты, производящие функции, вероятности и асимптотики. Обучение общим темам ведется на многочисленных примерах: в книге более 500 упражнений, причем все они снабжены указаниями, а большинство подробными решениями. 2 Неформальный стиль изложения, многочисленные пометки и комментарии на полях, в том числе шутки студентов, позволяют осваивать весьма серьезные темы весело и непринужденно. Начинается книга с индукции важнейшего метода математического исследования. Подробнейшим образом обсуждена задача о ханойской башне 3 ,
Впрочем, авторы с уважением относятся к нашей стране. Д.Кнут даже владеет русским языком, а когда он разрабатывал TEX , то сделал так, чтобы эту издательскую систему можно было легко адаптировать к любому неиероглифическому языку, в том числе к русскому. 2 Удивительная добросовестность авторов проявилась и в огромном списке литературы (на каждый из 401 источников есть ссылка в тексте!), и в исторических изысканиях: для каждого упражнения они пытались найти первоисточник! 3 Между прочим, о ханойской башне можно прочитать в одной из первых и лучших наших 'олимпиадных' книг: Д.О.Шклярский, Н.Н.Ченцов и И.М.Яглом 'Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра' (М., 1965). Там она хотя и не первая по номеру, но третья!

которую придумал француз Эдуард Люка в 1883 году. (Башня представляет собой несколько колец, нанизанных в порядке уменьшения размеров на один из трех колышков. Задача состоит в том, чтобы переместить всю башню на один из других колышков, перенося каждый раз только один диск и никогда не помещая больший диск на меньший.) Затем рассмотрена придуманная швейцарцем Якобом Штейнером в 1826 году задача о разрезании пиццы (т.е. о том, на какое наибольшее число областей могут разделить плоскость n прямых). После этого задача Иосифа Флавия, от решения которой две тысячи лет назад в буквальном смысле зависела жизнь человека. ('Есть легенда, что Иосиф выжил и стал известным благодаря математической одаренности. В ходе Иудейской войны он в составе отряда из 41 воина был загнан римлянами в пещеру. Предпочитая самоубийство плену, воины решили выстроиться в круг и последовательно убивать каждого третьего... Однако Иосиф вместе со своим единомышленником... вычислил спасительные места в порочном круге, на которые поставил себя и своего товарища.') Далее идет 'Исчисление сумм'. Семью способами найдена сумма квадра2 2 2 тов 1 + 2 + ... + n .4 После этого по индукции доказаны равенства n n +1 1 + 2 + 3 + K+ n - 1 + n = , 2

1 n +1

=

n n +1

,

k k +1 k +2 k -1 k k +1 =

>

C>

C>

C>

C

= 3k k + 1 позволяет аналогично найти сумму

>

C

k>
k =1

n

k +1 =

C 1 >1
3

2 3 -0 1 2 +

+ 2 3 4 - 1 2 3 + 3 4 5 - 2 3 4 +K+
+K+ n - 1 n n + 1 - n - 2 n - 1 n + +n

3 все равно вопрос о величине

> C > C > C> C >n + 1C>n + 2C - >n - 1Cn>n + 1CD = 1 = n> n + 1C> n + 2 C

,

k>
k =1

n

1

k +1 k +1

C>

C C

или

k>
k =1

n

k +1 k +2 k + 3

C>

C>

>

C

>

C

1 2 + 2 3 + 3 4 +K

...+ n - 1 n + n n + 1 =

>

C

>

C n> >

n +1 n + 2 3

C>

C

,

1 12

+

1 23

+

1 34 1

+K

...+

>

n -1 n

C

+

1

n n +1

C

=

n n +1

.

Вряд ли многие задумывались об аналогии между ними. И даже если вы задумывались и знаете, что если в последнем равенстве каждое слагаемое 1 k k + 1 представить в виде разности дробей 1 k и 1 k + 1 , то получится как раз

?>

CD

>

C

не кажется простым. Между тем все это есть часть единого целого теории конечных разностей. Дальнейшей пересказ книги не имеет смысла: каждому интересующемуся наукой старшекласснику (тем более студенту или преподавателю) я советую ее прочитать. Авторы гарантируют: '...все, что Вам потребуется, это ясная голова, большой лист бумаги и сносный почерк для вычисления ужасных сумм, решения запутанных рекуррентных соотношений и выявления коварных закономерностей в данных. Вы овладеете алгебраической техникой в такой степени, что зачастую будет проще получить точные результаты, нежели удовлетвориться приближенными ответами, справедливыми лишь в пределе'. Б.Спиров

k>
k =1

n

1

k +1

C

=1-

11111 + + +... 22334

4 Не верите, что такое возможно? Читайте книгу! Там указан еще и нулевой способ посмотреть ответ в справочнике, причем объяснено, в каких именно справочниках и как следует искать интересующие сведения.