Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/04/37.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:20 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:24:41 2012 Кодировка: Windows-1251

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

КРУЖОК

37

Упражнение 2. При помощи калькулятора убедитесь, что следующая таблица заполнена правильно:

LMe1 N LMe3 N

n

+ 5 n2 + 5 n2

j j

OP Q OP Q

1 1 2

2 3 5

3 4 7

4 6 10

5 8 13

6 9 15

7 11 18

8 12 20

9 14 23

10 16 26

11 17 28

12 19 31

натуральных чисел m и n должны быть выполнены неравенства m < k < k + 1 < m + 1 ,
13 21 34 14 22 36 15 16 17 18 24 39 25 41 27 44 29 47

n < k < k + 1 <

bg bn + 1g ,

которые мы преобразуем к виду

m k

<

1

<

m +1 n 1 n +1 << , . k +1 k k +1

Доказательство Как же доказать замечательные формулы (1)? И неужели я первый догадался рассмотреть выражения и n ? Нет, в 1877 году в 'Теории звука' лорд Рэлей писал: 'Если x есть некоторое положительное иррациональное число, меньшее единицы, то можно взять два ряда величин n/x и n 1 - x , где n = 1, 2, 3, ...; каждое число, принадлежащее к тому или иному ряду, и только оно одно, будет заключено между двумя последовательными натуральными числами'. Другими словами, последовательности an = n x и bn = n 1 - x заполняют без пропусков и перекрытий весь натуральный ряд, если 0 < x < 1 и x Q . Интересующие нас явные формулы получаются из формул Рэлея при x = 2 1 + 5 , поскольку при этом величина

Складывая, получаем

m+n k

<1<

m+n+2 k +1

,

b

g

b

g

откуда m + n < k и k + 1 < m + n + 2, что невозможно для натуральных чисел. Получили желанное противоречие. Теорема доказана. Хотя мне нравится это доказательство, есть и более короткий способ.2 Левее любого натурального числа N лежат [ N ] членов первой последовательности и [ N ] членов второй. Поскольку иррационально, числа N и N имеют ненулевые дробные части. Далее, сумма
N + N =N

1 x равна как раз 2 3 + 5 (проверьте!). В общем случае, обозначив = 1/x и = 1/(1 x), можно переформулировать утверждение Рэлея следующим образом 1 : Теорема 1. Если и положительные иррациональ1 1 + = 1, то среди ные числа, связанные соотношением чисел вида n и n , где n N , каждое натуральное число встречается ровно один раз. Доказательство. Поскольку > 1, в последовательности [ ], [ 2 ], [ 3 ], ... никакое число не повторяется. Аналогично, вследствие неравенства > 1, строго возрастает и последовательность [ ], [2 ], [3 ], ... Дальше доказательство ведем методом 'от противного'. Предположим сначала, что некоторое натуральное число k вошло в обе последовательности, т. е. k = [ m ] = [ n ], где m, n натуральные числа. Тогда должны быть выполнены неравенства т.е.

e

e

j

j

является целым числом, так что дробные части слагаемых дополняют друг друга, т.е. в сумме дают в точности 1. Значит, сумма целых частей [ N ] + [ N ] равна N 1, т.е. левее числа N лежит в точности N 1 членов этих последовательностей. Как легко понять, просматривая натуральный ряд слева направо (любитель строгости сказал бы: применяя индукцию), это как раз означает, что рассматриваемые последовательности однократно покрывают натуральный ряд.
Упражнения 3. Докажите, что последовательности, заданные формулами an = = n 2 и bn = an + 2 n, заполняют весь натуральный ряд без пропусков и перекрытий. 4. Найдите явные формулы для возрастающих последовательностей an и bn , заполняющих натуральный ряд без пропусков и перекрытий и удовлетворяющих соотношению bn = an + 3n при всех n = 1, 2, 3, ... 5. Докажите утверждение, обратное теореме 1: если , положительные числа и если последовательности an = [ n ] и bn =[ n ] покрывают натуральный ряд без пропусков и перекрытий, 1 1 то + = 1, причем числа и иррациональны. 6. Выведите из трех предыдущих упражнений, что числа 2 и 13 иррациональны.3 7. Пусть a положительное иррациональное число, b = 1/ a. Докажите, что между любыми двумя последовательными натуральными числами содержится одно и только одно из чисел 1 + a, 2(1 + a), 3(1 + a), ... и (1 + b), 2(1 + b), 3(1 + b), ... Замечание. Последнее упражнение имеет номер 38 в книге 'Избранные задачи из журнала 'American Mathematical Monthly' (М., Мир, 1977). Следующее упражнение задача 294 из той же книги. 8. Для натурального числа a > 4 рассмотрим две последовательности f(n) и g(n) натуральных чисел, заданные условиями f(1) = 2 Мне кажется, его чуть сложнее понять или придумать. Впрочем, не будем спорить о вкусах. 3 Только не подумайте, пожалуйста, что я хочу заменить этим способом привычное доказательство из школьного учебника. Нет, это всего лишь шутка. Шутка!

k < m < k + 1 , m k +1 < 1 < m k
,

k < n < k + 1 , n k +1 < 1 < n k
.

Сложим эти неравенства, не забыв использовать условие 1 1 + = 1. Получим m+n m+n <1< , k +1 k откуда k < m + n < k + 1. Но такого для натуральных чисел не бывает! Значит, число k не могло войти в обе рассматриваемые последовательности. Теперь предположим, что натуральное число k не вошло ни в одну из последовательностей. Тогда для некоторых
1 С этого момента, заметьте, числа и не обязательно суть 1 + 5 5 и 3 + 5 2 . 2

e

j

e

j