Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/04/35.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:20 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:12:58 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 2

ФИЗИЧЕСКИЙ

ФАКУЛЬТАТИВ

35
l R


следующим образом: 2 2 2 mv0 mv Mu = + 0 = Mu + mv , . 8 2 2 Отсюда m v0 . u=- M m+M 2

имеем

Lv0 2

2

=

lv 2
L

2

,

r L

или

b

g

Знак 'минус' выбран в соответствии с законом сохранения импульса, из кото рого следует, что скорости u и v направлены в противоположные стороны. Возвращаясь в систему отсчета, связанную со столом, находим искомую скорость трубки:

. l (Между прочим, отсюда видно, что при уменьшении l до нуля скорость v неограниченно растет.) Таким образом, получаем связь
0

v=v

Рис. 4

u1 = u +

v

0

2

=

v

0

2

F GG H

1-

M m+M

b

m

I J g JK

. 12 dt l Знак 'минус' обусловлен уменьшением длины с течением времени. Запишем связь иначе:
l dl = - v0 L dt
12 12

v=-

dl

=

v0 L

12

к нулю. Однако это получается при бесконечно тонком однородном кнуте, что нереалистично. Рассмотрим теперь более реальный вариант: кнут с линейно уменьшающимся, от кнутовища к концу, радиусом кругового сечения. Из подобия треугольников на рисунке 4 следует r = = R0 l L . Повторяя предыдущую схему рассуждений, запишем закон сохранения энергии: , 2 3 2 32 откуда, с учетом связи r = R0 l L , получаем
v=v
0

.

Задача о кнуте. Пусть вначале, двигая кнутовище со скоростью v0 влево, такую же скорость сообщают всему кнуту по всей длине L, а потом, резко сдвинув кнутовище вправо, удерживают его неподвижно, прикладывая некоторую силу. Тогда длина l движущейся части кнута будет уменьшаться, а скорость v увеличиваться. При каком значении l скорость v достигнет величины скорости звука vзв (рис.3)?

и проинтегрируем левую и правую части по интервалу времени t, за который длина движущейся части кнута меняется от L до l:

m0v

2 0

=

R0 L v

2

2 0

=

r l v

2

2

z
l L

l dl =

12

l

32

l =l

32

=
l= L

Тогда

F LI GH l JK

32

.

3 Отсюда получаем

=

2

e

l

32

-L

32

j

= - v0 L t .

12

l = L 1-

F GH

5 v0t 2L

I JK

25

,v =

l L v = Кнутовище
Рис. 3

v

v

, 2L или, с учетом соотношения v = 12 12 = v0 L l ,
v = v0 1 -

l = L 1-

F GH

3 v0t

I JK

23

Сначала для упрощения рассмотрим однородный кнут с массой М и длиной L, т.е. с линейной плотностью = = M/L. Из закона сохранения энергии

F GH

3 v0t 2L

Формально при t = 2 L скорость 0 v стремится к бесконечности, а длина l

I. JK c 3v h
-1 3

2L Оценим, при какой длине l скорость v достигает значения скорости звука vзв 330 м/с. Положив L = 5 м, v0 = = 1 м/с, получим 5м 5м L = 01 м. , l= 23 23 330 50 vv

F GH

v 1-

0

5 v0t

I JK

35

.

c

зв

0

h

bg

Таким образом, при длине порядка 10 см от конца кнута происходит щелчок переход звукового барьера.

Несколько задач для 11-классников
(Начало см. на с. 29)
y которых удовлетворяют уравнению x+y arctg x + arctg y = 2 arctg . 2 в) Вычислите бесконечную сумму 1 arctg 1 + arctg + K 3 1 +K ... + arctg 2 n + n +1 4. а) Найдите наибольший объем треугольной пирамиды, четыре ребра

которой имеют длину 1, а два оставшихся равны друг другу. б) Найдите наибольший объем треугольной пирамиды, четыре ребра которой имеют длину 1. в) Сколько различных (т.е. различимых по внешнему виду) каркасов треугольных пирамид можно составить из зеленых стержней длиной по 33 см каждый и красных стержней длиной по 20 см?
Разные задачи

б) Найдите все натуральные решения уравнения x + y + z = 1998 . 2. а) Найдите все треугольники, длины сторон и величины углов которых образуют арифметические прогрессии. б) Верно ли, что для всякой арифметической прогрессии из четырех положительных чисел существует выпуклый четырехугольник, длинами сторон которого являются эти числа? в) Найдите все четырехугольники, длины сторон и углы которых (взятые в циклических порядках) образуют арифметические прогрессии.

1. а) Найдите все целые решения уравнения

x+

y = 1998 .