Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/04/kv0499solovyev.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:21 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:36:28 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: arp 220

Гипотеза Таниямы и последняя теорема Ферма
ГИПОТЕЗА ТАНИЯМЫ И ПОСЛЕДНЯЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА

3

Ю.СОЛОВЬЕВ

ческой проблемы, которая была бы столь популярна, как знаменитая последняя теорема Ферма [1]. Ее автор, Пьер Ферма (16011665), еще при жизни был признан одним из величайших математиков Европы. Сегодня имя Ферма неотделимо от теории чисел, однако его теоретико-числовые работы были настолько революционны и так
Статья перепечатывается из 'Соросовского образовательного журнала' (?2, 1998).

Н

ЕТ НИ ОДНОЙ МАТЕМАТИ-

опережали свое время, что их значение не было понято современниками и слава Ферма основывалась главным образом на его достижениях в других областях математики: ему принадлежат важные труды по аналитической геометрии (наряду с Декартом Ферма был одним из создателей этой науки), по теории максимумов и минимумов функций, впоследствии развившейся в математический анализ, и по геометрической оптике. Свои научные результаты Ферма не публиковал. Будучи по профессии

юристом, он посвящал математике лишь свободное время и не рассматривал ее как главное дело своей жизни. О сделанных им открытиях известно из его переписки с другими учеными, а также из бумаг, оставшихся после его смерти. В частности, на полях своего экземпляра 'Арифметики' Диофанта, великого классического произведения древнегреческой математики, в 1621 году переведенного на латинский язык, Ферма оставил 48 замечаний, содержащих открытые им факты о свойствах чисел.

Иллюстрация П.Чернуского
1*


4
Доказательства Ферма до нас не дошли, однако в тех случаях, когда он утверждал, что доказал ту или иную теорему, впоследствии эту теорему удавалось доказать. Единственным исключением является следующее утверждение: 'Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet' ('Невозможно разложить куб на два куба, или биквадрат на два биквадрата, или вообще степень, большую двух, на две степени с тем же самым показателем; я нашел этому поистине чудесное доказательство, однако поля слишком узки, чтобы оно здесь вместилось'). Этот текст, сопровождаемый указанием: 'Наблюдение господина Пьера де Ферма', содержится в издании трудов Диофанта, которое было выпущено Ферма-сыном в 1670 году, через 5 лет после смерти отца. Это подлинное замечание, внесенное Ферма в его собственный экземпляр трудов Диофанта, в настоящее время утраченный. Каждому, кто держал в руках 'Арифметику' Диофанта издания 1621 года, бросаются в глаза необычайно широкие поля возможно, именно по этой причине Пьер Ферма записывал на них свои замечания. Таким образом, в переводе на современный математический язык, Ферма утверждал, что уравнение
a + b = c , n > 2,
n n n

КВАНT 1999/?4

не имеет целочисленных решений с abc 0. Это утверждение называется последней (или великой) теоремой Ферма. В настоящее время все специалисты твердо уверены в том, что Ферма не обладал доказательством этой теоремы и, сверх того, что элементарными методами ее нельзя доказать. Более трехсот лет теорема Ферма привлекала внимание многих поколений математиков и служила беспрецедентным стимулом для развития математики. Для показателей n = 3 и n = 4 неразрешимость уравn нения an + bn = c была доказана Эйлером (опубликовано в 1770 году). Честь доказательства великой теоремы Ферма для n = 5 разделили в 1825 году два выдающихся мате-

матика: немец Дирихле, который только что достиг двадцати лет и как раз начинал свою блестящую научную карьеру, и француз Лежандр всемирно известный специалист в теории чисел и анализе. В 1832 году, через семь лет после того, как был доказан случай n = 5, Дирихле опубликовал доказательство случая n = 14. Разумеется, это слабее случая n = 7, поскольку любая 14-я степень является 7-й степенью, но не наоборот, и это доказательство было своего рода признанием неудачи со случаем n = 7. Прошло еще семь лет, прежде чем в 1839 году французский математик Ламе опубликовал доказательство для n = 7. Все эти доказательства технически очень сложны, однако их методы, по существу, элементарны. В 1847 году немецкий математик Куммер создал теорию 'идеального разложения', позволившую одним приемом доказать теорему Ферма для всех простых показателей, меньших 100, кроме n = 37, 59 и 67. Начиная с этого времени основные усилия математиков были направлены на нахождение все более мощных достаточных условий, при которых выполняется теорема Ферма. Были разработаны разнообразные средства, приведшие к созданию обширного раздела математики теории алгебраических чисел. С помощью сложнейшей теоретико-числовой техники теорема Ферма была проверена для всех n 4 000 000, но до конца 1994 года в общем случае оставалась недоказанной. Получить ее полное доказательство удалось лишь с помощью теории эллиптических кривых. Поэтому мы начнем с краткого экскурса в эту теорию [2].

y y =x
!



x

Рис.1

y

x +x y =

!





x

Рис.2

y
Рис 3

xy x +y =



x

которых многочлен f x, y представляется в виде
1 2

Эллиптические кривые
Рассмотрим плоскую кривую, заданную уравнением третьей степени

f x, y = 30 x + 21 x y + K +
... + 1 x + 2 y + 0 = 0 . (1) Все такие кривые естественным образом разбиваются на два класса. К первому классу относятся те кривые, у которых имеются точки заострения (типа точки (0; 0) у кривой 3 2 y = x , рис.1), самопересечения 3 2 (как точка (0; 0) у кривой y = x + 2 + x , рис.2), а также кривые, для

>C

3

2

где f1 2 меньших степеней (пример приведен на рисунке 3). Кривые этого класса называются вырожденными кривыми третьей степени. Второй класс кривых образуют невырожденные кривые; мы будем называть их эллиптическими. Если коэффициенты многочлена (1) рациональные числа, то эллиптическая кривая может быть преобразована к так называемой канонической форме
y = x + ax + b .
2 3

>C f > x, yC = f > x, yC f > x, yC , > x, yC , f > x, yC многочлены

(2)

Типичный вид такой кривой изображен на рисунках 4 и 5. С каждой эллиптической кривой можно связать важную числовую характеристику ее дискриминант.


ГИПОТЕЗА

ТАНИЯМЫ

И

ПОСЛЕДНЯЯ

ТЕОРЕМА

ФЕРМА

5

O



N

Рис.4

p, делящих дискриминант кривой, реализуется первая из двух указанных возможностей, то эллиптическая кривая называется полустабильной. Простые числа, делящие дискриминант, можно объединить в так называемый кондуктор эллиптической кривой. Если E полустабильная кривая, то ее кондуктор N задается формулой

В частности,

dim S2 2 = 0 .

bg

(6)

O

N=


p|

p,

p

(4)

Отметим, что эта нехитрая формула сыграет важную роль в доказательстве теоремы Ферма. Из условия (5) следует, что f(z + + 1) = f(z ) для каждой формы f S2 N . Стало быть, f является периодической функцией. Такую функцию можно представить в виде

bg



N

где для всех простых чисел p 5, делящих , показатель p равен 1. Показатели 2 и 3 вычисляются с помощью специального алгоритма.

fz=

bg
n =1



n an q , q = e

2 iz

.

(7)

Рис.5

Модулярные формы и модулярные эллиптические кривые
Обозначим через H верхнюю комплексную полуплоскость. Пусть N натуральное и k целое числа. Модулярной параболической формой веса k уровня N называется аналитическая функция f(z), заданная в верхней полуплоскости и удовлетворяющая соотношению

Назовем модулярную параболическую форму f(z) S2 N собственной, если ее коэффициенты целые числа, удовлетворяющие соотношениям

bg

Для кривой, заданной в канонической форме (2), дискриминант определяется формулой

a1 = 1 ;

a r ap = a
p

p

r +1

pc

p

r -1

для простого p,

= - 4 a + 27b .
Пусть E некоторая эллиптическая кривая, заданная уравнением
2 3 y = x + ax + b ,

e

3

2

j

не делящего число N; (8)

a

p

r

=a
a

ej
p

r

для простого p, делящего число N;

в котором a и b целые числа. Для простого числа p рассмотрим сравнение

f

F GH

az + b cz + d

I =b JK b

cz + d f z

g bg
k

(5)

mn

= am an , если (m, n) = 1.

y x + a x + b mod p ,

2

3

b

g

(3)

где a и b остатки от деления целых чисел a и b на p, и обозначим через np число решений этого сравнения. Числа np очень полезны при исследовании вопроса о разрешимости уравнений вида (2) в целых числах: если какое-то np равно нулю, то уравнение (2) не имеет целочисленных решений. Однако вычислить числа np удается лишь в редчайших случаях. В то же время известно, что p - np 2 p (теорема Хассе). Рассмотрим те простые числа p, которые делят дискриминант эллиптической кривой (2). Можно доказать, что для таких p многочлен 3 x + a x + b можно записать одним из двух способов:

для любых целых чисел a, b, c, d таких, что ad bc = 1 и c делится на N. Кроме того, предполагается, что
t +0

lim f r + it = 0 ,

g

Сформулируем теперь определение, играющее ключевую роль в доказательстве теоремы Ферма. Эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами и кондуктором N называется модулярной, если найдется такая собственная форма
fz=

где r рациональное число, и что

lim f it = 0 .
t

bg

bg
n =1



an q S2 N ,

n

bg

(9)

Пространство модулярных параболических форм веса k уровня N обозначается через Sk N . Можно показать, что оно имеет конечную размерность. В дальнейшем нас будут особо интересовать модулярные параболические формы веса 2. Для малых

bg

что a p = p np для почти всех простых чисел p. Здесь np число решений сравнения (3).

Гипотеза Таниямы
Определение модулярной эллиптической кривой является настолько жестким, что на первый взгляд кажется невероятным существование хотя бы одной такой кривой. Трудно представить, что функция f(z), удовлетворяющая перечисленным выше весьма ограничительным условиям (5) и (8), разлагается в ряд (7), коэффициенты которого связаны с практически невычислимыми числами np . Однако эмпирический материал, полученный в первой по-

x + ax + b x +
или
3

3

b

ge
2

x + mod p

jb

g

N размерность dim S2 N пространства S2 N представлена в таблице:

bg

bg
1 20 1

N < 10
0

11 1 17 1

12 0 18 0

13 0 19 1

14

15 1 21 1

16 0 22 2

x + ax + b x +

где , , некоторые остатки от деления на p. Если для всех простых
2 Квант ? 4

b

gb
3

mod p ,

g


6
ловине нашего века, позволил японскому математику Ю. Танияме (19271958) сформулировать в 1955 году удивительную гипотезу. Гипотеза Таниямы. Всякая эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами является модулярной. В течение почти двадцати лет эта гипотеза не привлекала к себе внимания и стала популярной лишь в середине 70-х годов благодаря работам Г. Шимуры и А. Вейля. В 1985 году немецкий математик Герхард Фрей предположил, что если теорема Ферма неверна, т. е. если найдется такая тройка целых чисел a, b, c, что a n + b n = c n (n 3), то эллиптическая кривая

КВАНT 1999/?4

Вывод теоремы Ферма из гипотезы Таниямы
Доказательство теоремы Ферма начнем со следующего замечания. Ясно, что если эта теорема доказана для некоторого показателя n, то тем самым она доказана и для всех показателей, кратных n. Так как всякое целое число n > 2 делится или на 4, или на нечетное простое число, то можно поэтому ограничиться случаем, когда показатель равен либо четырем, либо нечетному простому числу. Для n = 4 элементарное доказательство теоремы Ферма было получено Эйлером. Таким образом, достаточно изучить уравнение

кривых следует последняя теорема Ферма. Доказательство. Предположим, что теорема Ферма неверна, и пусть

a +b = c

l

l

l

есть соответствующий контрпример (как и выше, здесь l нечетное простое число). Применим теорему 1 к эллиптической кривой

y = x x-a

2

e

l

je

x-c .

l

j

Несложные вычисления показывают, что кондуктор этой кривой задается формулой

a +b = c ,

l

l

l

(11)

N=


p | abc

p.

(13)

y = x x-a

2

e

n

je

x-c

n

j

(10)

не может быть модулярной, что противоречит гипотезе Таниямы. Самому Фрею не удалось доказать это утверждение, однако вскоре доказательство было получено американским математиком Кеннетом Рибетом. Другими словами, Рибет показал, что последняя теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы. 23 июня 1993 года математик из Принстона Эндрю Уайлс, выступая на конференции по теории чисел в Кембридже (Великобритания), анонсировал доказательство гипотезы Таниямы для полустабильных эллиптический кривых, к которым относятся кривые вида (10). Тем самым он заявил, что доказал последнюю теорему Ферма. Дальнейшие события развивались довольно драматически. В начале декабря 1993 года, за несколько дней до того, как рукопись работы Уайлса должна была пойти в печать, в его доказательстве были обнаружены пробелы. Исправление их заняло свыше года. Текст с доказательством гипотезы Таниямы, написанный Уайлсом в сотрудничестве с Тейлором, вышел в свет летом 1995 года (см. [3, 4]). В рамках этой статьи нет возможности сколько-нибудь подробно обсудить гипотезу Таниямы и привести ее доказательство (занимающее в оригинале около 150 страниц). Поэтому ограничимся тем, что покажем, как из этой гипотезы вытекает последняя теорема Ферма.

в котором показатель l есть нечетное простое число. Воспользуемся теперь следующей теоремой. Теорема 1 (Рибет). Пусть E эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами, имеющая дискриминант

Сравнивая формулы (12) и (13), мы видим, что N1 = 2. Следовательно, по теореме 1 найдется параболическая форма
f1 z =

bg
n =1



dn q ,

n

=
и кондуктор
N=


p|

p

p


p|

p

p

.

Предположим, что E является модулярной, и пусть
f z =q+

bg


n =2

an q S2 N

n

bg

лежащая в пространстве S2 2 . Но в силу соотношения (6) это пространство нулевое. Поэтому dn = 0 для всех n. В то же время a1 = 1. Стало быть, разность a1 d1 = 1 не делится на l, и мы приходим к противоречию. Таким образом, теорема доказана. Заметим в заключение, что значение гипотезы Таниямы не ограничивается связью с теоремой Ферма. С доказательством этой гипотезы открываются новые горизонты в алгебраической геометрии и теории чисел.
Литература 1. Постников М.М. Теорема Ферма. М.: Наука, 1972. 2. Прасолов В.В., Соловьев Ю.П. Эллиптические кривые и алгебраические уравнения. М.: Факториал, 1997. 3. Wiles A. Modular Elliptic Curves and Fermats Last Theorem // Ann. Math. 1995. Vol. 141. P. 443. 4. Taylor R.L., Wiles A. Ring-Theoretic Properties of Certain Hecke Algebras // Ibid. P. 553.

bg

есть соответствующая собственная форма уровня N. Фиксируем простое число l, и пусть

N1 =

p: p =1; l | p



N

p

.

(12)

Тогда существует такая параболическая форма

f1 z =

bg
n =1



dnq n S2 N1

bg

с целыми коэффициентами, что разности an dn делятся на l для всех 1 n < . Теперь теорему Ферма можно получить простыми вычислениями. Теорема 2. Из гипотезы Таниямы для полустабильных эллиптических