Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/03/05.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:24:32 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:10:17 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: arp 220

АЭРОДИНАМИЧЕСКИЙ

ПАРАДОКС

СПУТНИКА

5

в разреженной атмосфере в каждой точке орбиты касательная к траектории полета спутника образует с местной горизонталью малый, но отличный от нуля угол
arctg 2 Fсопр 4 Fсопр R = . mg 2 R mg

Угол этот не постоянный, а зависит от силы сопротивления среды и, следовательно, от высоты полета спутника. Чем сильнее тормозится тело, тем больше этот угол. Формально спутник двигается как тело, соскальзывающее с наклонной плоскости, причем составляющая силы тяжести вдоль наклонной плоскости равна mg sin J 2 Fсопр , т.е. удвоенной силе сопротивления среды. Если векторно сложить эту силу с силой сопротивления среды, направленной против движения спутника, то результирующая сила окажется равной по величине Fсопр и ускоряющей спутник в направлении вперед. Вот вам и объяснение аэродинамического парадокса. Внимательный читатель, наверное, уже заметил, что аэродинамический парадокс, в том виде, как он был сформулирован, обязан замечательной особенности, которая есть у гравитационного (и кулоновского) поля, где полная энергия тела равна кинетической, взятой со знаком 'минус'. К примеру, если бы сила притяжения спутника к Земле зависела от R как 1 R3 , то в разреженной атмосфере тангенциальное ускорение спутника равнялось бы Fсопр 3m . (Движение спутника в общем случае степенной зависимости силы притяжения от радиуса в разреженной атмосфере рассматривается в упражнении 4.) Расчеты ускорения спутника были выполнены на основе баланса энергии спутника в гравитационном поле с учетом работы внешней силы сопротивления. Этот же результат можно получить другим путем, не прибегая к закону сохранения энергии, а используя уравнение для скорости изменения момента импульса L = mvR спутника на круговой орбите:

>C

ре и спуске с высокой орбиты на низкую. Пусть L изменение момента импульса спутника за один виток орбиты. Как и раньше, считаем, что плотность газа на орбите столь мала, что сила Fсопр приводит к малому возмущению орбиты на одном витке. Имеем: L = mvR + + mRv , откуда из уравнения (7) и выражения v = -vR 2R , справедливого в случае ньютоновского поля тяготения, сразу же получаются те же самые результаты для v , R и aт . Уравнение моментов (7) позволяет упростить решение многих задач о движении спутника в гравитационном поле с центральной симметрией, потому что в этом случае не надо учитывать момент силы тяжести вектор этой силы проходит через центры масс спутника и Земли и ее момент равен нулю. Аэродинамический парадокс спутника и связанные с этим явлением вопросы имеют важное прикладное значение. Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Плотность атмосферы на больших высотах. Наблюдения за торможением спутников позволяют определить профиль плотности атмосферы на таких высотах, куда не могут подняться самолеты и воздушные шары-зонды. Действительно, если единственная сила, изменяющая момент импульса спутника, это сила сопротивления Fсопр = Cxv2 Sx 2 , где = R неизвестная функция радиуса орбиты R или высоты полета h = R R0 , то из уравнения моментов (путем несложных математических преобразований, с которыми вы сможете справиться самостоятельно) получаются уравнения для определения функции R по наблюдениям за скоростью уменьшения радиуса орбиты dR/dt или периода обращения спутника dT/dt на разных высотах:

>C

>C

>C

R =- R =-

>C >C

1 dR , 2CvR dt 1 dT , 6CR dt

(8)

круговых орбит на больших высотах, когда взаимодействие спутника с молекулами газа лишь слегка возмущает орбиту. До запуска искусственных спутников Земли сведения об атмосфере на больших высотах добывались только на основе астрономических и (какоето время) с помощью радиолокационных наблюдений за движением метеоритов и метеоракет. Навигационные возможности спутников, и прежде всего наличие на спутнике радиопередатчика и автономных навигационных приборов, а также использование наземных ЭВМ качественно изменили задачу слежения за параметрами орбиты тела в окрестностях Земли. Благодаря многочисленным наблюдениям за полетами искусственных спутников на разных высотах, вхождением аппаратов в плотные слои атмосферы, сейчас имеется обширная информация о плотности газа верхней атмосферы, ее зависимости от времени года, суток, широты, солнечной активности и т.д. Очевидно, что эксперименты по определению плотности газа атмосферного 'хвоста' планеты удобнее проводить на спутниках шарообразной формы, когда площадь сечения Sx , и следовательно, баллистический коэффициент С, не зависит от ориентации спутника. Именно такую форму имели американские спутникизонды серии 'Эксплорер'. К тому же, они были сделаны специально пустотелыми, что увеличивало эффективность их торможения в разреженном газе при зондировании земной атмосферы, которое проводилось в широком диапазоне высот вплоть до 1000 км, где плотность газа меньше 10-13 10 -15 кг м 3 . Пример 2. Последний виток. Оценим, на какую высоту h = R снижается спутник в разреженной атмосфере за один виток полета. Пусть спутник имеет массу 103 кг и площадь миделевого сечения 1 м2 , а на высоте 200 км плотность воздуха в среднем составляет 4 10 -10 кг м 3 . Из формулы (6) получаем
R = 4 v2 Sx R J 2 км . mg

(9)

L = M, t

(7)

где М = - Fсопр R момент внешней силы (силы сопротивления среды), уменьшающий момент импульса спутника при его торможении в атмосфе2 Квант ? 3

где С = Cx Sx 2m постоянный множитель, который называют баллистическим коэффициентом спутника (он имеет размерность м2 кг-1 ). Формулы (8) и (9) справедливы для

>C

На первый взгляд, R вроде бы малая величина, и вектор скорости спутника в каждой точке траектории полета на этой высоте отклоняется от местной горизонтали на ничтожно