Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/05/35.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:24:47 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:12:47 2012 Кодировка: Windows-1251

ШКОЛА

В

'КВАНТЕ'

35
вылета, и коэффициент сопротивления дробинок:

и верен вывод из экспериментов Галилея, бросавшего пушечные ядра и мушкетные пули с башни: 'скорость падающих тел одинакова, независимо от их веса'. Но мы здесь как раз и хотим использовать 'сортирующее свойство' силы сопротивления воздуха. Поэтому подробнее исследуем уравнение (2). Модуль скорости связан с горизонтальной и вертикальной составляющи2 ми соотношением v = v 2 + v y . И тут x сделаем первое упрощающее предположение. Интуитивно ясно, что вначале скорость вертикального падения дробинки много меньше скорости горизонтального движения (если не очень удаляться от ружья), а уж их квадраты и подавно сильно отличаются друг от друга. Значит, можно приближенно считать, что v ? v x . Теперь сделаем второе упрощающее предположение. Будем считать, что сила сопротивления воздуха при вертикальном перемещении дробинки мала по сравнению с силой тяжести (в начальный момент времени она вообще равна нулю). Можно короче сформулировать это предположение так: будем считать, что дробинка перемещается в горизонтальном направлении с большой скоростью и заметно тормозится при этом (ведь сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости), а в вертикальном направлении она перемещается как свободно падающее (без сопротивления) тело по тому же закону (1):

уравнение: изменение искомой величины (в данном случае горизонтальной составляющей скорости) пропорционально самой величине. И решение этого уравнения известно это экспонента. Но чтобы не пугать себя словами, посмотрим на рисунок 2 и заметим, что на начальном участке изменение величины v x очень похоже на прямую

v0 = l

g 2y1 1-

1 r1 1 r2 - y1 y2 - y1 y2 r1

e

1-

y1 y2 y1 y2 r1

,

j

=

vx, v

vx = v

l



2 r2

F GG H

1- 1

I JJ K

.

vx vx vx
Рис. 2

ср

0

x

Можно ограничиться этим приближением, а можно пойти дальше. Подставив первое приближение (6) в правую часть уравнения (5), найдем второе приближение для скорости, и так далее. Все эти приближения сойдутся (как говорят математики) к точному решению для баллистической кривой:
y= 2 v 0
g

y=

gt 2

2

=

g

2v

F GG H

x
x cp

I JJ K

2

,

(3)

в который, однако, входит ризонтальная скорость v x cp 0х. В этих предположениях (2) для горизонтального и ного движений примет вид

средняя гона отрезке уравнение вертикаль(4)

(пунктир). Попробуем оценить изменение горизонтальной скорости, не решая уравнение (5) точно. Когда физики не могут (или не хотят) решать точно, они применяют метод последовательных приближений. Он 'работает' так. Если пренебречь сопротивлением воздуха, то решение известно: v x = v0 горизонтальная составляющая скорости не изменяется. Подставим это так называемое нулевое приближение в уравнение (5): vx - v0 x r и получим уравнение для первого приближения. Видно, что в этом приближении скорость линейно уменьшается со временем: vx = v0 1 - x . (6) r

FG x IJ FG H KH
2

r e 2x

2x r

-

1 x,

IJ K

FG H

IJ K

ax = -

r

2 vx , a y = g .

Решение второго уравнения уже найдено: это равноускоренное падение (3). Рассмотрим первое уравнение. Ускорение равно отношению изменения скорости v x ко времени t , которое, в свою очередь, можно выразить через скорость vx , а именно: t = x vx . Итак, v x vx = vx ax = , t x и тогда первое уравнение можно сократить на v x и получить (5) v x . rx Это так называемое релаксационное

Это и есть пунктирная прямая на рисунке 2. Средняя скорость на участке 0х в этом приближении равна (штрихпунктир на рисунке) vx cp = v0 1 - x. 2r

где первый сомножитель есть y0 x (см. (1)). И тут пора начать сомневаться. Ведь даже если эти две дробинки выталкиваются одним пыжом все равно они могут приобрести какие-то начальные вертикальные скорости. А если взять не две дробинки, а много дробинок двух сортов (с теми же радиусами r1 и r2 ), то они в процессе движения могут сталкиваться друг с другом или взаимодействовать через те возмущения, которые они производят в воздухе. И сами дробинки могут быть не строго шаровыми, что приведет к появлению 'подъемной' силы (вверх или вниз) или боковых сил, или к вращению дробинок, или... И тогда мы получим на листе бумаги разброс точек, качественно показанный на рисунке 3, в

bg

Лист

FG H

IJ K

y y





Подставив это значение в (3), найдем уравнение баллистической кривой в первом приближении:
y= gx 2v
2 2 0

y
Рис. 3

v x = -



2r Предположим, что из ружья вылетели две дробинки радиусами r1 и r2 , которые пробили вертикальный лист бумаги, расположенный на расстоянии x = l, в точках y1 и y2 . Тогда из последнего соотношения получим два уравнения с двумя неизвестными, из которых найдем и начальную скорость

1-

1

.
x

котором y1 и y2 это 'центры тяжести' точек попадания частиц двух сортов. И, значит, траектория дробинки приобретет вероятностный смысл, а в обработке эксперимента придется использовать теорию ошибок. И тогда ... Но это уже предмет будущих исследований наших читателей.