Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/04/57.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:24:43 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:17:03 2012 Кодировка: Windows-1251

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

57

разное количество рабочих дней в зависимости от числа дней в месяце. Если в месяце 30 дней, то в третьей декаде 8 рабочих дней. 8 рабочих дней будет и в случае 31 дня в месяце. Но есть еще февраль, в котором 28 или 29 дней. При 28 днях в третьей декаде будет 6 рабочих дней, а при 29 днях, т.е. в високосный год, 7 рабочих дней, именно то, что требуется. Несложно определить, что первое февраля високосного года было четвергом в 1996 году, и ранее через 28 лет: 1968, 1940, 1912 и т.д. Но в 1968 и 1940 годах не было Городских Дум, а были Советы, а в 1912 и ранее не было в городах троллейбусов. Таким образом, правильный ответ февраль 1996 года.

дуге, поэтому длина большей дуги равна 25 + 35 = 60 км (убедитесь в этом сами!). Следовательно, длина дороги 100 км. Теперь ясно, что бензоколонки В и А диаметрально противоположны. Значит, расстояние от В до С равно 50 40 = = 10 км. 6. а) Да, 5/7 12/17 = 1/119 < 0,01. б) Нет. Приводя разность дробей к общему знаменателю, получим в числителе целое число, не равное нулю, а в знаменателе 119. Поэтому дроби отличаются не меньше чем на 1/119 > 0,005. 7. См. рис.5. 7 КЛАСС 2. 40%. 4. Нет, не может. Ясно, что если два человека сделали одно и то же утверждение, то они либо оба лжецы, либо оба рыцари. Поскольку на острове есть хотя бы один лжец и хотя бы один рыцарь, либо все рыцари сделали первое утверждение, а все лжецы второе, либо наоборот. В первом случае и рыцарей, и лжецов четное число, а во втором и тех, и других нечетное число. Значит, число людей на острове обязательно четно. 5. 6 фартингов. Нетрудно построить пример, когда покупка стоит 6 фартингов: Незнайка заплатил две монеты 1 фартинг и 50 фартингов, а сдачу получил тремя монетами по 15 фартингов. Докажем, что покупка не могла стоить меньше 6 фартингов. Остаток от деления на 7 достоинства каждой из монет равен 1. Пусть Незнайка отдал k монет, тогда остаток от деления этой суммы на 7 равен остатку от деления k на 7. Остаток от деления на 7 сдачи равен остатку от деления k + 1 на 7. Из

КАТУШКИ ИНДУКТИВНОСТИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
1. Q = 2. IR = 3. 1) E
s 2 E2 L + CR2 1 2

d i. 2b R + R g Er Rbr + r g + r r = E ; 2) Rbg t
2 21 2 1

= 025 A ; ток течет справа налево. , = R0 R0E0t 1+ LE-E

12

4. 1) Um1 = I0

2) Um2 = I0 L1 + L2

b

L1 + L2 ; C

b

0

g

.

g Cb

1 . чL1 + L2

g

LXI МОСКОВСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА
Городская олимпиада
6 КЛАСС 1. 432 части. 2. Да, сможет. 3. Числа нужно расположить по кругу, например, в следующем порядке: 1, 4, 5, 8, 9, 2, 3, 6, 7, 10.

Рис. 6

Рис. 3

этого следует, что остаток от деления на 7 стоимости покупки равен 6. Но 6 наименьшее из натуральных чисел с таким свойством. 6. См. рис.6. 8 КЛАСС 1. Да, найдутся. Например, х = 1 (февраль), у = 4 (апрель, июнь, сентябрь, ноябрь), z = 7 (остальные месяцы года). Или х = 2, у = 1, z = 9. 2. Да, можно. Пусть p1 , p2 , ..., p8 различные простые чис2 2 2 ла. Тогда числа p1 p2 K p8 ; p1 p2 K p8 ; ...; p1 p2 K p8 являются искомыми. 3. Обозначим через Р и Q середины сторон АВ и CD соответственно. Средняя линия PQ проходит через точку О, и, если точка М не лежит на отрезке АР, то MPO = MAD = = AMO . Поэтому треугольник МРО равнобедренный, и МО = РО. Но РО = ОQ, следовательно, в треугольнике PMQ медиана МО равна половине стороны PQ. Значит, треугольник PMQ прямоугольный, причем сторона MQ перпендикулярна стороне РМ. Но сторона РМ параллельна CD. Поэтому MQ является серединным перпендикуляром для отрезка CD. Следовательно, МС = MD. Случай M AP разбирается аналогично. 4. Предположим, что среди чисел a1 , a2 , ..., a100 содержится k синих и, соответственно, 100 k красных. Тогда эти k си-

4. См. рис.3. 5. Расстояние от В до С равно 10 км (рис.4). Бензоколонки А и С разбивают кольцевую дорогу на две дуги. Если бы бензоколонка D находилась на меньшей дуге, то сумма расстояний от А до D и от D до С была бы равна расстоянию от А до С. Но это не так. Значит, бензоколонка D A расположена на большей

!# "

D #
Рис. 4

B



C
Рис. 5