Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/~asmish/Lichnaja-2010/Version2010-11-20/SciSchool/Article.ps Дата изменения: Tue Nov 2 23:59:24 2004 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:30:56 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: служебный модуль

УДК 513.8
Разработка методов функционального анализа в
топологии и некоммутативной геометрии. 
А.С.Мищенко
1. Введение. Развитие некоммутативной геометрии в Московской школе.
Во второй половине прошлого столетия в топологии усиленно развивались направления,
которые сейчас принято называть "некоммутативной геометрией". По сути дела, это название
группирует круг задач и методов их решения, которые изначально базировались на доволь-
но простой идее переформулирования топологических свойств пространств и отображений в
терминах соответствующих алгебр непрерывных функций. Хотя эта идея очень старая (восхо-
дит к ключевой теореме ГельфандаНаймарка о взаимно однозначном соответствиии между
категорией компактных топологических пространств и категорией коммутативных C  -алгебр)
и разрабатывалась различными авторами как в коммутативном (например, в Московской то-
пологической школе А.М.Виноградовым и его учениками), так и в некоммутативном случае, в
более или менее явной форме она была провозглашена в виде программы действия А.Коном в
его книге "Некоммутативная геометрия"[1].
Несмотря на ее самоочевидность, идея рассматривать наряду с коммутативными C  -алгеб-
рами (которые можно интерпретировать как алгебры функций на топологических простран-
ствах их максимальных идеалов), и некоммутативные алгебры как функции на несуществу-
ющем "некоммутативном"пространстве оказалась настолько плодотворной, что позволила со-
брать воедино разноообразные представления и методы из таких разделов, как топология,
дифференциальная геометрия, функциональный анализ, теория представлений, асимптотиче-
ские методы в анализе, и взаимно обогатить их новыми теоремами и свойствами.
Источником задач, инициировавших в 60-е годы некоммутативную геометрию,явилась диффе-
ренциальная топологиия, которая занималась по существу одной задачей  описанием топологи-
ческих и гомотопических инвариантов гладких и кусочно-линейных многообразий. Типичными
инвариантами гладких и кусочно-линейных многообразий служили так называемые характе-
риcтические классы, которых к тому времени было известно три типа  классы Штиффеля-
Уитни, классы Чженя и классы Понтрягина. Каждый из них обслуживал наряду с многооб-
разиями свой тип векторных расслоений. Поэтому задача формулировалась следующим есте-
ственным образом: в какой степени те или иные характеристические классы зависят от гладкой
структуры многообразия, посредством которой они определяются?
Методы, применявшиеся в 50-е годы и ранее, были чисто алгебраическими, и с их помощью
было установлено, что характеристические классы Штиффеля-Уитни являются гомотопиче-
скими инвариантами. Теми же методами, но более совершенными, было также доказано, что
рациональные классы Понтрягина являются топологическими инвариантами. (см. обзор на эту
тему в [2]).
Принципиально новым подходом к исследованию классических задач диффернциальной
тополгии явилось направление, в котором основным методов исследования в Московской школе
по некоммутативной геометрии послужили функциональные методы и открытые специальные
 Статья приготовлена в качестве отчета по гранту Президента РФ поддержки ведущих научных школ
НШ.619.2003.1
1

классы бесконечно-мерных представлений дискретных групп, так называемые фредгольмовы
представления.
В Московской школе по некоммтативной геометрии исследования интенсивно проводились
преимущественно в следующих направлениях:
 Гомотопические инварианты неодносвязных многообразий.
 Алгебраические комплексы Пуанкаре.
 Двойственность Пуанкаре и формула Хирцебруха;
 Теория индекса и псевдодифференциальные операторы;
 Теория C*-алгебр и гильбертовых модулей;
 Неклассические представления дискретных групп;
 Циклические и диэдральные гомологии;
 Характеристические классы в некоммутативной геометрии.
Многие результаты, полученные в школе, носят принципиальный концептуальный характер,
которые определеили направление развития некоммутативной геометрии. Наиболее значимые
понятия, введенные и разработанные в Московской школе достаточно подробно отражены в
книге А.Кона [1]. Во-первых это так называемые алгебраические комплексы Пуанкаре и сим-
метрическая сигнатура неодносвязных многообразий, строящаяся на их базе.
А.Кон в своей книге по этому поводу пишет [1][стр. 9]: "В 1970 году Мищенко построил эк-
вивариантную сигнатуру неодносвязных многообразий как элемент группы Уолла группового
кольца. . . .
Следуя этой (Люстига) линии и при помощи ключевого использования C  алгебр, Мищен-
ко удалось доказать гомотопическую инвариантность высших сигнатур в предположении, что
классифицирующее пространство B фунндаментальной группы является компактным мно-
гообразием с римановой метрикой неположительной кривизны. Причина, почему C  алгебры
здесь играют ключевую роль, заключается в следующем. Группы Уолла инволютивной алгебры
(такие, как групповые кольца) классифицируют эрмитовы квадратичные формы над такими
алгебрами, и их вычисление более трудное по сравнению с K группами конечных проективных
модулей. Однако, как было показано Гельфандом и Мищенко, эти группы совпадают, когда ин-
волютивная алгебра является C  алгеброй. Это равенство не имеет места для пролизвольных
банаховых инволютивных алгебр. Но поскольку групповое кольцо дискретной группы может
быть канонически пополнено до C  алгебры, то можно получить эквивариантную сигнатуру
неодносвзного многообразия как элемент K группы этой C  алгебры".
Во-вторых, это открытие фредгольмовых представлений. Спустя пол века было понято, что
класс фредгольмовых представлений является частным случаем представлений групп и, более
общим образом, алгебр в некоторые C  алгебры. Но специфика фредгольмовых представле-
ний до настоящего времени сохраняется и состоит в том, что эти представления обладают
естестевенными числовыми инвариантами, аналогичными инвариантам конечномерных пред-
ставлений компактных групп. А.Кон ([1][стр. 10]) пишет: "Мищенко пошел дальше и исполь-
зовал двойственную теорю (именно, Kгомологии) в образе фредгольмовых представлений
фундаментальной группы, чтобы получить числовые инварианты при помощи спаривания с
K теорией.
Таким образом Kтеория крайне некоммутативной C  алгебры фундаментальной группы
играет ключевую роль в решении классических задач в теории неодносвязных многообразий.
Kтоерия C  алгебр. теория раширения Брауна, Дугласа и Филмора, Lтеория Атья и
фредгольмовф представления Мищенко  все они являются частными случаями биинвариант-
ной KKтеории Каспарова . . . "И далее (стр. 84): "Имеется одно ключевое свойство Kтоерии
2

C  алгебр, которое существенно отличается от случая общих банаховых алгебр. Это отличие
было открыто Мищенко ([19][1979])
Далее, ключевую роль в геометрических конструкциях играет линейное универсальное рас-
слоение для произволной дискретной группы. У Кона написано (стр. 97): "Наиболее простое
описание отображения  : K  (B) ! K  (C  ()) основано на существование для каждого ком-
пакта K в B канонического "линейного расслоления Мищенко",
lK 2 K 0
(C(K)
C  ());
которое описывается в виде конечного проективного C  модуля над алгеброй
C(K)
C  (). . . "
Наконец, определяющим развитие некоммутативной геометрии оказалось построение те-
ории эллиптических операторов над произвольной C  алгеброй. Важность этих результатов
наглядно подтверждается и тем, что они зачастую беззастенчиво приписываются на западе
другим авторам, чтобы обеспечить недобросовестную конкурецию за счет снижения индек-
са цитирования (см. на пример, книгу Веге-Ольсена, в которой целая глава посвящена одной
теореме, разработанной в Московской школе по некоммутативной геометрии).
В настоящей работе излагается краткий обзор результатов, методов и идей, которые раз-
рабатывались в Московской топологической школе и послужили одним из источников возник-
новения и развития некоммутативной геометрии. В заключение приводятся новые результаты,
основанные на применении функциональных методов при отыскании гомотопических инвари-
антов неодносвязных многообразий.
2. От двойственности Пуанкаре до формулы Хирцебруха. Характеристические клас-
сы Понтрягина не являясь гомотопическими инвариантами, тесно связаны с задачей описания
гладких структур данного гомотопического типа. Поэтому задача отыскания всех гомотопиче-
ски инвариантных характеристических классов Понтрягина рассматривалась как актуальная
задача. В действительности более естественной оказалась другая задача. Характеристические
классы Понтрягина, разумеется, являются инвариантами гладкой структуры на многообразии.
С точки зрения классификации гладких структур и ее методов наиболее подходящим отношени-
ем эквивалентности между многообразиями является не гладкая структура, а так называемые
внутренние гомологии многообразий, или в современных терминах бордизмы многообразий.
Еще Л.С.Понтрягин предположил [3], что внутренние гомологии описываются некоторыми
алгебраическими выражениями от характеристических классов Понтрягина  чисел Понтря-
гина, и, установил, что по крайней мере характеристические числа Понтрягина являются
инвариантами внутренних гомологий [4, теорема 3] . С помощью теории перестроек гладких
многообразий (В.Браудер, С.П.Новиков) было доказано, что единственным гомотопическим ин-
вариантом является характеристическое число Понтрягина, совпадающее с сигнатурой ориен-
тированного компактного многообразия, построенной по двойственности Пуанкаре.
Формула, которая осуществляет совпадение сигнатуры многообразия с определенным харак-
теристическим числом Понтрягина, известна сейчас как формула Хирцебруха [5], хотя некото-
рый ее частный случай был получен еще В.А.Рохлиным [6] годом ранее. Изучение двойствен-
ности Пуанкаре и формулы Хирцебруха, отражающей ее свойства, имеет длинную историю,
которая отчасти связана со становлением некоммутативной геометрии и работами Московской
топологической школы второй половины 20-го столетия.
Начало этой истории было положено еще в знаметитой работе А.Пуанкаре 1895 г. [7], где, в
частности, впервые сформулирована теорема, известная теперь как двойственность Пуанкаре
для замкнутых ориентированных многообразий. И хотя завершенная формулировка и полное
доказательство двойственности Пуанкаре были представлены намного позднее, вне всякого
сомнения можно считать, что Пуанкаре был родоначальником разветвленной теории, в которой
двойственность Пуанкаре играет ключевую роль.
Конечно, под двойственностью Пуанкаре понимал более упрощенное утверждение. Он гово-
рил о совпадении чисел Бетти, "равноотстоящих от концов" [7, с. 490], однако под числами
Бетти P k понимал (см. там же, ?6, с. 470-471) число линейно независимых подмногообразий
3

размерности k. Если понимать слова Пуанкаре буквально, то независимость подмногообра-
зий v 1 ; v 2 ; : : : ; v p предполагает, что эти подмногообразия попарно не пересекаются. Более то-
го, по-видимому, они должны иметь нормальное расслоение с нулевым эйлеровым классом,
по крайней мере в том случае, когда целочисленный коэффициент в линейной комбинации
k 1 v 1 + k 2 v 2 +


+ k p v p отличается от 1, поскольку Пуанкаре требует, чтобы каждое под-
многообразие v j мало отличалось от k j компонент полной границы другого подмногообразия
на единицу большей размерности. В любом случае понятие чисел Бетти требовало уточнения,
которое и сделал сам Пуанкаре в своих последующих дополнениях [8].
В том же томе приведена речь П.С.Александрова, произнесенная им на торжественном вы-
ездном заседании Международного математического конгресса, посвященном столетию со дня
рождения Пуанкаре (Амстердам, 1954). П.С.Александров исключительно точно охарактери-
зовал роль Пуанкаре в создании теории гомологий, так что не остается ничего другого, как
просто привести его слова: "Вернемся к введенному Пуанкаре понятию гомологии. Как уже
было упомянуто, это понятие было введено в первом топологическом мемуаре Пуанкаре - в
знаменитом "Analysis situs"интуитивным образом. Однако в данном случае этот недостаточ-
но строгий подход имел, так сказать, и фактические последствия, послужившие поводом к
обоснованной критике норвежского математика Хегора (Heegard). Дело в том, что в своем пер-
вом мемуаре Пуанкаре не обратил должного внимания на феномен кручения, ограничившись
в основном числами Бетти. Но он блестяще восполнил допущенный пробел в своих последую-
щих публикациях по топологии (в "Дополнениях к Analysis situs"). При этом Пуанкаре стал
на комбинаторную точку зрения, введя понятие симплициального разбиения (триангуляции)
многообразия, т. е. понятие симплициального комплекса, и создал таким образом основной
метод комбинаторной топологии"[9, с. 813].
Конечно, в дальнейшем потребовалось открыть группы гомологий (Э.Нетер, 1925), группы
когомологий (Дж.Александер, А.Н.Колмогоров, 1934), двойственность между ними (Л.С.Понт-
рягин). Но, пожалуй, самым значительным событием в изучении топологических инвариантов
многообразий явилось открытие характеристических классов (Штиффель, Уитни (1935); Понт-
рягин (1947); Черн (1948)). Все было подготовлено, таким образом, к тому, чтобы связать
воедино инварианты, выражающие двойственность Пуанкаре, и интегральные инварианты ха-
рактеристических классов.
Эта связь известна сейчас как формула Хирцебруха. Формула Хирцебруха дает прекрасный
пример применения категорного метода  одного из основных инструментов в алгебраической
и дифференциальной топологии. В самом деле, Пуанкаре, кажется, уже сказал все, доказав
совпадение чисел Бетти многообразия, равноотстоящих от концов. После того, как было вве-
дено понятие групп гомологий, двойственность Пуанкаре стала звучать как совпадение рангов
соответствующих групп гомологий. При этом для чисел Бетти не имело значения, какие группы
гомологий рассматривались  целочисленные или рациональные, поскольку ранг целочислен-
ных групп гомологий совпадает с размерностью групп гомологий над полем рациональных
чисел. Однако понятие групп гомологий позволило обогатить двойственность Пуанкаре и рас-
смотрением групп гомологий с коэффициентами в конечных полях. По существу это уже знал
и сам Пуанкаре, который исследовал кручения в гомологиях многообразия.
Таким образом, совпадение чисел Бетти можно интерпертировать как изоморфность групп
гомологий с рациональными коеффициентами. Учет кручений тоже должен был дать изомор-
фность некоторых групп. Но это не группы гомологий, поскольку кручения совпадают, но не в
тех размерностях, что числа Бетти. Это кажущееся несоответствие было понято только после
того, как были открыты группы когомологий и их дуальность к группам гомологий. Таким
образом, окончательно двойственность Пуанкаре стала звучать как изоморфность между груп-
пами гомологий и группами когомологий дополнительной размерности
H k (M ; Z) = H n k (M ; Z): (1)
Ключевым соображением в этом изоморфизме является то, что это не просто абстракт-
4

ный изоморфизм групп, а изоморфизм, порождаемый естественными операциями в категории
многообразий, точнее, в категории топологических пространств. Например, в одном частном
случае, когда рассматриваются гомологии в средней размерности четномерного многообразия
(dim M = n = 2m) с рациональными коэффициентами, условие (1) становится тривиальным,
поскольку
H m (M ; Q) = Hom(Hm (M ; Q); Q)  Hm (M ; Q): (2)
Однако в равенстве (2) изоморфизм между группами гомологий и группами когомологий
выбирается не однозначно. Двойственность же Пуанкаре гласит, что существует вполне опреде-
ленный гомоморфизм, так называемый гомоморфизм персечения с циклом [M ]
\ [M ] : H n k (M ; Q) !H k (M ; Q);
который и задает изоморфизм двойственности Пуанкаре. Это значит, что с многообразием M
можно связать невырожденную квадратичную форму, обладающую дополнительным инвариан-
том  сигнатурой квадратичной формы, которая играет во многих проблемах дифферен-
циальной топологии ключевую роль.
Именно с исследованием сигнатуры многообразий и формулы Хирцебруха, описывающей
ее в терминах характеристических классов Понтрагина, связано большое научное направле-
ние, которое развивалось в Московской топологической школе во второй половине прошлого
столетия и которое послужило одним из источником развития некоммутативной геометрии.
В основном в рамках этого направления развивались исследования, посвященные описанию
гомотопических инвариантов неодносвязных многообразий на основе изучения формулы Хир-
цебруха и ее естественных обобщений.
3. Высшие сигнатуры и фредгольмовы представления. Гладкая структура на много-
образии естественным образом порождает на нем систему так называемых характеристических
классов, принимающих значения в группах когомологий многообразия с различными система-
ми коэффициентов и определяемых исключительно в терминах гладкой структуры. Теория
характеристических классов гладких многообразий, бесспорно, является наиболее важным ме-
тодом изучения различных геометрических и топологических свойств гладких многообразий в
силу естественности их описания и представления в дифференциально-геометрических терми-
нах, а ввиду того, что поведение характеристических классов позволяет описывать и класси-
фицировать строение гладких многообразий практически исчерпывающим образом по модулю
конечного числа возможностей.
Однако система характеристических классов является в некотором смысле переопределен-
ной системой данных. Более строго, это означает, что для некоторых характеристических клас-
сов их зависимость от выбора гладкой структуры на многообразии несущественна. Поэтому
одна из классических проблем в дифференциальной топологии заключалась в том, чтобы вы-
яснить степень инвариантности того или иного характеристического класса, т.е. зависимость
характеристических классов от выбора гладкой структуры в том или ином типе отношения
эквивалентности многообразий.
В случае гомотопической инвариантности характеристических классов Понтрягина эта проб-
лема далека от разрешения даже в настоящее время и служит хорошим примером задачи, на
которой проверяются возиожности каждого нового метода в топологии. Для односвязных мно-
гообразий еще Новиковым и Браудером на основании формулы Хирцебруха было доказано,
что классическая сигнатура многообразия является гомотопическим инвариантом, что есть
следствие гомотопической инвариантности групп гомологий вместе с операциями пересечения.
Более того, в односвязном случае на основании классификационных теорем, доказанных Но-
виковым и Браудером методом перестроек Морса, устанавливается, что гомотопически инва-
риантным рациональным характеристическим классом является только классическая сигра-
тура многообразия. Таким образом, в случае рациональных характеристических классов для
односвязных многообразий задача о нахождении всех гомотопически инвариантных характе-
ристических классах была полностью решена в классических работах 60 - х годов.
5

Для неодносвязных многообразий задача описания гомотопически инвариантных рацио-
нальных классов Понтрягина, отвечающих за препятствия к перестройке нормальных отображе-
ний до гомотопической эквивалентности, оказалась намного труднее, поскольку существенную
роль здесь играет структура фундаментальной группы многообразия. Это обстоятельство на-
ряду с тем, что описание и распознавание фундаментальной группы в конечных терминах, как
известно, невозможо, в отличие от других топологических проблем вызывает дополнительный
интерес к этой проблеме.
Для некоторых простых случаев, когда фундаментальная группа является свободной абеле-
вой, задачу можно было решить чисто дифференциально-геометрическими методами, исполь-
зуя технику так называемых внутренних перестроек. Такое решение было представлено также
в Московской топологической школе Г.Г.Каспаровым [10].
В общем же случае оказалось, что задача описания гомотопически инвариантных рациональ-
ных классов Понтрягина может быть сведена к проверке того, что так называемые высшие
сигнатуры являются гомотопически инвариантными. Точная формулировка этой проблемы из-
вестна под названием гипотезы Новикова. Ее положительное решение позволило бы по крайней
мере частично обойти алгоритмические трудности описания и распознавания фундаменталь-
ных групп в задаче классификации гладких структур на многообразии.
Гипотеза Новикова заключается в том, что всякое характеристическое число вида sign x (M) =
hL(M)f  (x); [M ]i , где L(M) обозначает полный класс Хирцебруха, x 2 H  (B; Q)  произволь-
ный рациональный класс когомологий классифицирующего пространства фундаментальной
группы  =  1 (M) многообразия M , а f : M !B отображение, индуцирующее изоморфизм
фундаментальных групп, является гомотопическим инвариантом неодносвязного многообра-
зия M . Числа sign x (M) называются высшими сигнатурами многообразия M в знак того, что
при x = 1 число sign 1 (M) совпадает с классической сигнатурой многообразия M .
Ситуация с неодносвязными многообразиями оказывается совершенно отличной от случая
односвязных многообразий, несмотря на то, что Уолл [11] построил неодносвязный аналог
теории перестроек Морса. Однако препятствия к таким перестройкам не имеют достаточно
эффективного описания. Один из способов обойти эту трудность заключается в том, чтобы
выяснить, какие из рациональных характеристических классов неодносвязных многообразий
являются гомотопическими инвариантами.
В 1970 г. автор установил, что единственными кандидатами на гомотопически инвари-
антные характеристические классы являются высшие сигнатуры. Более того, им был найден
[12] универсальный гомотопический инвариант со значениями в группе Уолла фундаменталь-
ной группы с рациональными коэффициентами  так называемая симметрическая сигнатура
(M) 2 L  (Q) многообразия M , которая является неодносвязным аналогом классической
сигнатуры. Симметрическая сигнатура вычисляется вполне алгоритмическим способом по ко-
эффициентам инцидентности произвольного симплициального разбиения неодносвязного мно-
гообразия и обладает всеми существенными свойствами, присущими классической сигнатуре.
Для построения симметрической сигнатуры автором была развита теория так называемых
алгебраических комплексов Пуанкаре. В частности, показано, что рациональное препятствие к
перестройке нормального отображения до (простой) гомотопической эквивалентности описыва-
ется в виде разности симметрических сигнатур пары многообразий. Это значит, что рациональ-
ное препятствие может быть описано исключительно в терминах характеристических классов
одного многообразия и соответствующего нормальному отображению норамального векторного
расслоения в когомологиях многообразия с локальной системой коэффициентов, порожденной
регулярным представлением фундаментальной группы  в групповом кольце Q.
Проблема описания гомотопически инвариантных характеристических классов является од-
ной из наиболее интересных проблем в дифференциальой топологии на протяжении последних
30 лет. Попытки решения этой проблемы инициировали многочисленные исследования, кото-
рые привели к глубоким результатам как в самой топологии, так и в смежных математических
дисциплинах: теории представлений, K-теории, теории банаховых алгебр и модулей, теории
6

эллиптических операторов, а также к созданию самостоятельного направления под названием
некоммутативная геометрия.
Чтобы эффективно описывать симметрические сигнатуры, применяется естественный спо-
соб теории представлений, когда элементы групповой алгебры фундаментальной группы заме-
няются на числовые матрицы, а симметрическая сигнатура  на обычную сигнатуру числовой
эрмитовой матрицы. Однако в наиболее интересных примерах фундаментальных групп обыч-
ных конечномерных представлений не хватает. Использование теории представлений в конеч-
номерном случае приводит к формулам типа Хирцебруха для сигнатур многообразия в когомо-
логиях с локальной системой коэффициентов в конечномерном венкторном пространстве. Но
запас характеристических классов, которые можно получать с помощью конечномерных пред-
ставлений, слишком беден и для многих фундаментальных групп исчерпывается классической
сигнатурой.
Решающим шагом было обнаружение бесконечномерного аналога представлений, который,
с одной стороны, расширил запас представлений, а с другой  сохранял естественные свойства
конечномерных представлений. Такие представления по существу сводятся к представлениям
в C  -алгебрах произвольного типа или к так называемым относительным представлениям.
Первым примером такого относительного бесконечномерного представления был явилось
фредгольмово представление в виде пары унитарных бесконечномерных представлений (T 1 ; T 2 )
фундаментальной группы  в гильбертовом пространстве H и фредгольмова оператора F , спле-
тающего два представления T 1 и T 2 с точностью до компактных операторов в гильбертовом
пространстве. Тройка  = (T 1 ; F; T 2 ) называется фредгольмовым представлением группы . С
категорной точки зрения фредгольмово представление является относительным представлени-
ем групповой C  -алгебры C  [] в паре банаховых алгебр (B(H); K(H)), где B(H) есть алге-
бра всех ограниченных операторов гильбертова пространства H , а K(H) есть факторалгебра
K(H) = B(H)=Comp(H) по идеалу компактных операторов.
Существенным шагом было построение канонического векторного расслоения над классифи-
цирующим пространством B с помощью фредгольмова представления группы . Для примене-
ния фредгольмовых представлений к формулам Хирцебруха автору [13] потребовалось устано-
вить возможность перехода от семейства фредгольмовых представлений к единичному пред-
ставлению с тем же самым характером Чженя. Теория фредгольмовых представлений по-
зволила доказывать гипотезу Новикова не только для указанного класса фундаментальных
групп. Ученик автора Ю.П.Соловьев применил разработанную технику фредгольмовых пред-
ставлений для дискретных подгрупп алгебраических групп с помощью комплексов БрюаТитса
[14].
Теория фредгольмовых представлений в 1995 г. была распространена автором [15] на случай
непрерывных семейств, контролируемых на бесконечности, что дало возможность применить
аналогичную технику и для фундаментальных групп, классифицирующие пространства кото-
рых не обязательно компактны. Более того, им [16] была предложена общая схема метриче-
ского подхода к построению фредгольмовых представлений фундаментальной группы, которая
сводит задачу к построению специального пополнения классифицируещего пространства и ре-
шению уже чисто гомотопической задачи на последнем.
Теория фредгольмовых представлений, построенная в работах автором, была в дальнейшем
распространена на случай произвольных C  -алгебр в виде некоторого варианта топологической
K-теории и доведена до обобщенных формул Хирцебруха. Автор совместно с Ю.П.Соловьевым
[17] разработал чисто гомотопический метод доказательства обобщенных формул Хирцебруха,
основанный на категорном истолковании двойственности Пуанкаре в виде пучка алгебраиче-
ских комплексов Пуанкаре. Таким образом, с помощью гомотопической техники была установ-
лена обобщенная формула Хирцебруха не только для гладких многообразий, но и для кусочно
линейных многообразий, где техника эллиптических операторов не действует.
4. Метрический подход к построению фредгольмовых представлений. Чтобы макси-
мально расширить класс фредгольмовых представлений, автор рассмотрел так называемый
7

метрический подход к построению фредгольмовых представлений, который излагается ниже.
Пусть T  конечная сумма экземпляров регулярного представления группы , а   блочно
диагональный оператор, задаваемый в виде матричнозначной функции F (g); F (g) : V !V g 2
. Пусть H =
L
g2 V g ; V g  V ,T h : H !H; V g !V hg . Условие фредгольмовости оператора 
означает, что
kF (g)k  C; kF 1 (g)k  C (3)
для всех g 2  за исключением конечного числа. Условие коммутирования оператора  с
действием группы с точностью до компактных операторов означает , что
lim
jgj!1
kF (g) F (hg)k = 0: (4)
Таким образом, если пара
 = (T ; ) (5)
удовлетворяет условиям (3), (4), то  есть фредгольмово представление группы . Рассмо-
трим универсальное накрытие f
B классифицирующего пространства B с левым действи-
ем группы . Согласно конструкции [18], расслоение на пространстве B представляется в
виде эквивариантного непрерывного семейства фредгольмовых операторов на пространстве
E = f
B. Эквивариантность имеется в виду по отношению к диагональному действию на
декартовом произведении
T h : E H !E H; (x; ) !(hx; T h ()):
Именно пусть пространство B снабжено структурой симлицильного пространства и простран-
ство E = f
B снабжено структурой симплициального пространства, порожденного накрытием
E = f
B !B. Пусть fx i g  семейство вершин пространства E = f
B  по одной из каж-
дой орбиты действия группы . Тогда каждый симплекс  пространства E = f
B полностью
определяется своими вершинами  = (h 0 x i 0
; : : : ; hnx i n ); h 0 ; : : : ; hn 2 , а любая точка x 2 
однозначно задается в виде выпуклой линейной комбинации вершин: x =
P n
k=0  k h k x i k
. Тогда
эквивариантное непрерывное семейство фредгольмовых операторов, соответствующее фред-
гольмову представлению (5) задается по следующей формуле:
 x =
n
X
k=0
 k  hkx i k
=
n
X
k=0
 k T hk  x i k
T 1
hk =
n
X
k=0
 k T hk T 1
hk : (6)
Следовательно
( x ) g =
n
X
k=0
 k F h 1
k
g : (7)
Очевидно, семейство (6) эквивариантно. В самом деле, hx =
P n
k=0  k hh k x i k
. Значит,
 hx =
n
X
k=0
 k T hhk T 1
hhk = T h
n
X
k=0
 k T hk T 1
hk
!
T 1
h = T h  x T 1
h :
Очевидно также, что операторы (6) фредгольмовы в силу условий (3) , (4) и (7). С другой
стороны, операторы F (g) порождают непрерывное семейство
F x : V !V; x 2 E
по формуле F x =
P n
k=0  k F (h 1
k ), которое можно рассматривать как линейное отображения
тривиального расслоения
F x : E  V !E  V: (8)
8

Рассмотрим универсальное накрытие p : E !B. Обозначим K i (E) = lim K i
c (p 1 (X)),
где обратный предел берется по направленному множеству всех компактных подмножеств X 
B.
Теорема 1 . При помощи отображения (8) однозначно определяется элемент F () 2
K 0 (E):
Рассмотрим прямой образ расслоения (8) над базой B: A !B, в котором слоем является
прямая сумма слоев расслоения (8) над каждой орбитой действия группы  в пространстве
E. Тотальное пространство A определяется как A = f(u; ) : u 2 B;  2
L
x2u (x V )g: Пусть
~
A !E есть обратный образ расслоения A. Тотальное пространство ~
A определяется как
~
A = f(x; ) : x 2 E;  2
M
y2[x]
(y  V )g = f(x; ); x 2 E;  2
M
g2
(gx  V )g:
На тотальном пространстве ~
A зададим действие группы  по формуле f h (x; ) = (hx; ),
 =  g 2
L
g2 (gx  V ),  =  g 2
L
g2 (ghx  V ),  g =  gh . Очевидно, что A = ~
A=. С
другой стороны, имеется изоморфизм между расслоениями:
' : E 
M
g2
V g ! ~
A; '(x;  g ) = (x;  g 1 ); (9)
который является эквивариантным. Далее, отображение (8) переходит в отображение прямого
образа в виде отображения
~
F : ~
A ! ~
A; ~
F (x;  g ) = (x; F gx ( g )) =

x; 
n
X
k=0
 k F h 1
k g 1 ( g )
!
: (10)
Ясно, что отображение (10) при изоморфизме (9) переходит в отображение (6). Таким образом,
доказана следующая
Теорема 2 Рассмотрим фредгольмово представление группы  вида (5) и пусть   2
K(B)  элемент, задаваемый отображением (6) . Тогда p ! (F ()) =   2 K 0
(B), где p ! :
K 0 (E) !K 0
(B) есть прямой образ в K-теории.
Зададим на декартовом произведении EV действие группы  как левое действие по пер-
вой координате и тождественное по второй. Рассмотрим такую максимальную компактифика-
цию B пространства f
B, что для любой непрерывной на B функции f выполняется условие
jf(xg) f(yg)j!0; jgj!1:
Тогда всякое непрерывное отображение пары
f : (B; Bn f
B) !(B(V ); U(V )) (11)
определяет фредгольмово представление . Отображение (11) определяет также элемент [f ] 2
K 0 (B; Bn f
B). Прямой образ элемента [f ] совпадает с каноническим элементом ^
( A ) 2
K 0 (B), порожденным представлением . Таким образом, задача о построении достаточно-
го запаса фредгольмовых предствлениий сводится к изучению гомотопического типа пары
(B; Bn f
B). Например, если пространство B является компактным многообразием, а про-
странство f
B компактифицируется до диска с продолжением действия группы , получаем
новое доказательство гипотезы Новикова в случае, рассмотренном в [20]. Результат обобщает-
ся на случай некомпактного многообразия B , если пространство B допускает меньшую, чем
B, компактификацию до диска с продолжением действия группы .
Работа частично поддержана РФФИ (грант No 02-01-00574) и фондом "Российские универси-
теты"(проект УР.04.03.009).
9

Список литературы
[1] Connes A. Noncommutative Geometry. N.Y., Academic Press, Inc. 1994.
[2] Мищенко А. С. Проблема инвариантности характеристических классов гладких многооб-
разий// Вестн. Моск. ун-та. сер. 1, Матем., Механ. 1979.No. 6. 1823.
[3] Понтрягин Л. С. Классификация некоторых косых произведений // Докл. АН СССР.
1945. 47, No. 5. 327330.
[4] Понтрягин Л. С. Характеристические циклы дифференцируемых многообразий // Ма-
тем. сб. 1947. 21, No. 2. 233284.
[5] Hirzebruch F. On Steenrod's reduced powers, the index of interia, and the Todd genus //
Proc.Nat,Acad.Sci. U.S.A. 39. 1953. 951956.
[6] Рохлин В. А. Новые результаты в теории 4х мерных многообразий // Докл. АН СССР.
84. 1952. 221224.
[7] Пуанкаре А. Analysis situs. Перевод в книге: Избранные труды в трех томах, М., "Наука"
II. 1972. 457548.
[8] Пуанкаре А. Дополнение к "Analysis situs". Перевод в книге: Избранные труды в трех
томах, М., "Наука" II. 1972. 549593.
[9] Александров П. С. Пуанкаре и топология. В книге: Пуанкаре А. Избранные труды в трех
томах. М., "Наука" II. 1972. 807816.
[10] Каспаров Г. Г. О гомотопической инвариантности рациональных чисел Понтрягина//
Докл. АН СССР. 1970. 190,No. 5. 1022-1025.
[11] Wall C. T. C. Surgery on Compsct Manifolds London Math. Soc. Monographs, vol 1, Academic
Press, L.; N. Y. 1970.
[12] Мищенко А. С. Гомотопические инварианиты неодносвязных многообразий. 1. Рациональ-
ные инварианты // Изв. АН CCCР, Cер.матем. 1970. 34, No. 3. 501514.
[13] Мищенко А. С. О фредгольмовых представлениях дискретных групп // Функц. анализ и
его приложения. 1975. 9, No. 2. 3641.
[14] .Соловьев Ю. П Дискретные подгруппы, комплексы Брюа-Титса и высшие сигнатуры //
Успехи матем. наук. 1976. 31, No. 1. 261262.
[15] Mishchenko A. S. Controlled Fredholm representations // Novikov Conjectures, Index
Theorems and Ridgidity. London Math. Soc, Lect. Notes Ser., v. 226. 1995. 1. 174200.
[16] Мищенко А. С. Метрический подход к построению фредгольмовых представлений// Меж-
дународная конференция, посвященная 100летию со дня рождения П.С.Александрова.
М., 1996.) 2.
[17] Мищенко А. С., Соловьев Ю. П. Представления банаховых алгебр и формулы типа Хир-
цебруха// Матем. сб., Новая серия. 1980. 111, No. 2. 209226.
[18] Мищенко А. С. Бесконечномерные представления дискретных групп и высшие сигнату-
ры// Изв. АН СССР, сер. матем. 1974. 38, No. 1. 81106.
[19] Mishchenko, A.S, C  algebras and K-theory, Algebraic topology (Aarhus, 1978),Lecture Notes
in Mathematics, (1979), 763, pp. 262274, MR 81d:58049",
10

[20] Farrell F. T., Hsiang W. C. On Novikov's conjecture for nonpositively curved msnifolds, I
// Annals of Mathematics 1981. 113. 199209.
Поступила в редакцию
20.12.02
11

Адрес:
Мищенко Александр Сергеевич
Механико-математический факультет
Московский Государственный университет
Ленинские Горы
119992 ГСП-2 Москва
домашний телефон: 434-5643
служебный телефон: 939-3798
12

УДК 513.8
Развитие некоммутативной геометрии в Московском университете/ Мищенко А. С.// Вестн.
Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2003. ? 3. С.
В работе излагается краткий обзор результатов, методов и идей, которые разрабатывались
в Московской топологической школе и послужили одним из источников возникновения и раз-
вития некоммутативной геометрии. В заключение излагаются новые результаты, основанныне
на применении функциональных методов при отыскании гомотопических инвариантов неодно-
связных многообразий.
Библиогр. 19.
13

Development of non commutative geometry at Moscow University
Mishchenko A. S.
14