Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://heritage.sai.msu.ru/ucheb/Zemcov/15.doc Дата изменения: Wed May 2 20:23:21 2007 Дата индексирования: Mon Oct 1 19:48:14 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: циклотронное излучение

Глава 15. Теория Бора-Зоммерфельда
Теория Бора, изложенная в предыдущей главе, отождествляет дискретное
состояние атома с энергетическим уровнем. В действительности атом, как
всякая квантовая система, может находиться в различных состояниях с одним и
тем же значением энергии. С такой ситуацией, называемой вырождением, мы уже
познакомились в девятой главе, рассматривая одномерное движение свободной
частицы. Вырождение заключалось в том, что частица может двигаться с одной
и той же скоростью в двух противоположных направлениях. Правда, там же
показано отсутствие вырождения в случае ограниченного одномерного движения.
Действительно, в задачах о движении частицы в потенциальной яме и её
отражения от потенциального барьера вырождение не имело место. Но вращение
электрона вокруг ядра не является одномерным, и это в корне меняет
ситуацию: состояния атома могут быть вырождены, несмотря на то, что
движение связанного электрона в нём ограничено.

Напомним некоторые определения: число разных состояний, принадлежащих
одному уровню энергии, называется степенью вырождения, или статистическим
весом, а также просто весом уровня. Таким образом, необходимо различать
квантовые состояния и энергетические уровни атомов. В модели круговых орбит
вырождение отсутствует, так как, согласно (13.3.7), момент вращения
электрона однозначно выражается через его энергию.

Интерпретация вырождения в рамках модели Бора была предложена
Зоммерфельдом: он ввёл представление о плоских эллиптических орбитах и о
пространственном квантовании. В классической механике большая полуось
эллипса однозначно связана с энергией движения, в то время как его форма
определяется также и моментом вращения. Следовательно, одной и той же
энергии при движении по эллипсу могут отвечать разные значения момента. В
квантовой теории это свойство классического движения проявляется как
вырождение. Перейдём к количественному изложению теории Бора-Зоммерфельда




15.1. Эллиптические орбиты




Известно, что механическая система с k степенями свободы описывается с
помощью k обобщённых координат [pic] и соответствующих им обобщённых
моментов

[pic].


Правила квантования Бора-Зоммерфельда гласят: реализуются только те
состояния системы, которые удовлетворяют условиям стационарности, при
которых сохраняются адиабатические инварианты:


[pic]


В случае круговой орбиты мы получаем прежнее условие (13.1.1). В самом
деле, при заданном радиусе движение по окружности есть движение с одной
степенью свободы. В качестве единственной обобщённой координаты может быть
взят азимут (, изменяющийся в пределах от нуля до 2(. Кинетическую энергию
выражаем через скорость изменения угла:

[pic].



Обобщённый импульс



[pic]

представляет собой орбитальный момент M. При равномерном вращении по
окружности он сохраняет постоянное значение, отличное от нуля. Условия
(1.1) сводятся к


[pic].

Отсюда следует (13.1.1). Обратим внимание на применение двух обозначений
для одной и той же величины - квантового числа момента вращения. В главе
12, где исследуются квантовые свойства орбитального момента, мы
пользовались буквой l. Но в классической механике момент имеет иные
свойства. Поэтому мы приняли разные обозначения для двух аспектов момента:



[pic]

Перейдём к задаче об эллиптических орбитах. Поместим ядро с зарядом Ze в
одном из фокусов эллипса. На рис.15.1.1 правый фокус находится в точке F. В
качестве обобщённых координат примем расстояние до центра r и азимутальный
угол (. Из аналитической геометрии известно


[pic]

уравнение эллипса с большой полуосью a и эксцентриситетом (:


[pic].

Эксцентриситет равен расстоянию OF от фокуса F до центра эллипса O,
делённому на размер большой полуоси. Перепишем формулу для кинетической
энергии с учётом изменения r:

[pic].

Легко убедиться, что уравнение для обобщённого импульса p( снова сводится
к уравнению (13.1.1). Перепишем его, заменив n на n(:


[pic].

Напомним, что при движении в центрально-симметричном поле сохраняется
орбитальный момент вращения. Поэтому величина M в левой части (1.7)
остаётся постоянной, как и в случае вращения по окружности.

Вычислим обобщённый момент pr, соответствующий радиальной координате:

[pic],

и запишем второе условие стационарности:



[pic].


Целые положительные числа n( и nr называются, соответственно, азимутальным
и радиальным квантовыми числами. Из (1.9) выводится правило квантования
эксцентриситета:



[pic],


где введено обозначение



[pic].


Величина n, равная сумме азимутального и радиального чисел, называется
главным квантовым числом.

Выведем формулу (1.10). Для этого в левой части (1.9) выполним замену
переменной:



[pic].


В записи



[pic]


мы воспользовались зависимостью (1.5) модуля радиус-вектора от
азимутального угла. Отметим, что эта зависимость не является взаимно-
однозначной: в силу симметрии эллипса справедливо равенство



[pic],


то есть, двум значениям угла ? отвечает одно и то же расстояние r. Во время
движения электрона по эллипсу приращение [pic] в точке 2? - ? имеет другой
знак, чем в точке ?:

[pic]


при тех же самых изменениях dt и d(. Вместе с dr становятся отрицательными
обе производные: [pic] и [pic]. Следовательно, подынтегральная функция в
правой части (1.12) сохраняет своё значение при зеркальном отражении [pic].
Это оправдывает сделанную нами замену



[pic]


интеграла по полному промежутку [pic] его удвоенным значением в промежутке
[pic]. В верхней полуплоскости функция [pic] становится взаимно-
однозначной, что облегчает дальнейшие выкладки.

Скорость изменения r выразим через производную d?/dt:



[pic],



которая, согласно (1.4), равна M/(mr2). В результате вычисление второго
адиабатического инварианта сводится к интегрированию по углу:



[pic].


Производную [pic] вычисляем по формуле (1.5) и приходим к окончательному
выражению для левой части (1.9):



[pic],


где

[pic].


Упростим подынтегральную функцию. Сначала понизим степень знаменателя (
путём интегрирования по частям,


[pic],

положив

[pic].

В результате удаётся понизить степень знаменателя:

[pic].

Последний интеграл в скобках вычисляется подстановкой [pic]. Он равен

[pic],

откуда следует

[pic].

Подставляя в (1.13) полученное выражение для [pic], убеждаемся, что из
(1.9) действительно получается (1.10).

Ещё одно алгебраическое уравнение вытекает из условия постоянства полной
энергии E. Чтобы вычислить кинетическую энергию, в (1.6) заменим [pic] на
[pic], а [pic] выразим через момент вращения M:



[pic].


В формулу для потенциальной энергии (13.3.3) подставим r из уравнения
эллипса (1.5):



[pic].


Сложив (1.15) и (1.16), получим выражение для E:



[pic].


Конечно, полная энергия имеет постоянное значение, не зависящее от времени,
а, следовательно, и от угла (. Поэтому множитель в квадратных скобках перед
[pic] должен равняться нулю. Отсюда получается связь между
эксцентриситетом, большой полуосью эллипса и моментом орбитального вращения
электрона:


[pic].

Подставив (1.18) в (1.17), получим окончательное выражение для E:



[pic].


Таким образом, полная энергия, как и в случае классического движения,
зависит только от большой полуоси.

Правило квантования для большой полуоси



[pic]


вытекает из (13.1.1), (1.10) и (1.18). Сопоставляя (1.20) с (13.5.1),
видим, что большие полуоси эллипсов совпадают с радиусами соответствующих
круговых орбит, а вместо единственного при круговом движении квантового
числа n стоит сумма азимутального и радиального квантовых чисел - главное
квантовое число. Малая полуось b зависит от обоих квантовых чисел в
отдельности. В самом деле, принимая во внимание, что


[pic],

и подставляя вместо разности [pic] её значение из (1.10), находим:



[pic].

Выражение для энергии стационарных орбит получаем, подставив в (1.19)
вместо a его значение из (1.20):



[pic]

то есть, ту же самую формулу (13.5.2), что и для энергии стационарных
круговых орбит. Но вместо числа, связанного с орбитальным моментом, стоит
главное квантовое число. Подчеркнём, что их смысл различается коренным
образом, несмотря на то, что они обозначаются одной и той же буквой n.
Основное различие заключается в том, что главное квантовое число в теории
Бора-Зоммерфельда не связано однозначно с моментом вращения: формула
(13.3.7) для него лишена смысла.
Эллиптические орбиты не меняют значений энергии стационарных состояний.
Вместе с тем остаются в силе и все полученные из анализа круговых орбит
выводы, касающиеся спектра водорода и сходных с ним ионов. Только каждому
возможному значению энергии E соответствует не одна, а несколько орбит,
различающихся эксцентриситетом. В случае круговых орбит энергия и момент
определяются одним и тем же квантовым числом. При движении по эллипсу
момент зависит от [pic], а энергия - от n, и между ними нет однозначной
связи. Таким образом, представление об эллиптических орбитах позволяет
объяснить явление вырождения энергетических уровней в атоме.
Нулевому значению азимутального квантового числа соответствует прямая
линия, проходящая через ядро. В классической механике движение по такой
траектории невозможно, поэтому мы приходим к выводу, что n( принимает
только положительные значения. Отсюда в силу (1.11) приходим к выводу, что
при фиксированной величине квантового числа n азимутальное и радиальное
квантовые числа могут принимать следующие ряды значений:

[pic]

Сравнение (1.23) с формулой (12.1) из двенадцатой главы показывает различие
между величинами n( и l, по-разному описывающими одно и то же физическое
явление. В квантовой теории, в отличие от классической механики, момент
электрона на орбите может быть равен нулю. В силу соотношения
неопределённостей Гайзенберга никакого падения электрона на ядро при этом
не происходит.
Итак, при заданной энергии E возможны n орбит разной формы. Чисто
круговое движение имеет место, если n( принимает максимально возможное
значение, равное n, а наиболее вытянутый эллипс получается при n( = 1. На
рис.15.1.2 представлены три орбиты, соответствующие n=3. Цифрами указаны
значения азимутального квантового числа n(.


|n?|n|b/|? |
| |r|a | |
|3 |0|1 |0 |
|2 |1|2/|[pic]|
| | |3 | |
|1 |2|1/|[pic]|
| | |3 | |


[pic]

Численные значения параметров собраны в таблице. Цвет строки таблицы
соответствует цвету кривой на рисунке.
Итак, энергия атома водорода в рассматриваемом приближении не зависит от
орбитального момента. Полученный результат не распространяется на все
остальные атомы, но справедлив только при движении в чисто кулоновском
поле. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, в литературе принято говорить о
кулоновском, или случайном вырождении. Особая роль кулоновского поля, как
мы убедимся в следующей главе, проявляется и в квантовой механике, где
энергия атома также не зависит от момента. Кулоновское вырождение (в
нерелятивистском приближении) выделяет атом водорода и водородоподобные
ионы среди всех других атомных систем. С физической точки зрения это
объясняется более высокой симметрией движения в поле, где потенциал падает
обратно пропорционально расстоянию от центра, по сравнению с общим случаем
центрально-симметричного поля.
Кулоновское вырождение снимается несколькими процессами. Один из них -
рассмотренная в главе 13 зависимость массы электрона от скорости в
многозарядных ионах. В

[pic]

классической задаче Кеплера она приводит к возникновению прецессии:
электрон начинает двигаться по незамкнутой траектории, имеющей вид розетки,
как на рис.15.1.3. Такая траектория возникает при медленном вращении
эллипса вокруг фокуса с постоянной угловой скоростью.
Но существует вырождение, которое имеет место у всех атомов, -
вырождение по проекции момента на произвольную ось. В самом деле, если атом
не помещён во внешнее поле, то его энергия не должна зависеть от ориентации
в пространстве и, следовательно, от проекции любого вектора, в том числе,
вектора орбитального момента. В полуклассической теории Зоммерфельда
вырождение по проекции момента объясняется в рамках модели
пространственного квантования.

15.2.Пространственное квантование

Под влиянием внешнего поля - магнитного или электрического, - орбита
электрона перестаёт быть плоской. Движение электрона становится трёхмерным
и стационарные орбиты должны удовлетворять уже не двум, а трём квантовым
условиям. Для удобства сопоставления с формулами первой главы, описывающими
магнитные свойства атомов, в этом разделе считаем ядро бесконечно тяжёлым
и, таким образом, не делаем различия между массой электрона me и
приведённой массой m.

Рассмотрим случай, когда внешнее поле можно считать малым по сравнению с
полем ядра, а следовательно, невелико и изменение орбиты. Тогда орбита
представляет собой прежний эллипс, а положение плоскости эллипса в
пространстве определяется величиной и направлением внешнего поля. На рис.
15.2.1 введём сферические координаты r, (, (.



[pic]

Пусть ON - направление внешнего поля; OM - нормаль к электронной орбите AB,
составляющая угол ( с прямой ON. Кроме того, введём азимут (, отсчитанный в
плоскости орбиты. Полагая возмущение слабым, согласно сделанному
предположению, будем считать справедливым правило квантования момента
(1.7), выведенное нами для плоской орбиты. С другой стороны, в сферических
координатах должны выполняться квантовые условия:


[pic]

Здесь [pic] - момент, соответствующий азимуту (, отсчитанному в
экваториальной плоскости. Из рисунка ясно, что [pic] есть проекция вектора
орбитального момента M на направление внешнего поля ON:


[pic].

Как и момент, его проекция сохраняется во время движения, поэтому последнее
из правил квантования (2.1) даёт:


[pic].

Сравнивая (1.7), (2.2) и (2.3), находим:


[pic].

Угол ( и проекция момента [pic] выражаются через [pic] следующим образом:


[pic]

Так как |cos(|<1, то [pic] при заданном [pic]может принимать следующий ряд
значений:


[pic]

Таким образом, момент вращения может располагаться ровно [pic] различными
способами по отношению к некоторому выделенному направлению, например, к
вектору индукции магнитного поля. При отсутствии внешнего поля состояние с
известной величиной момента является вырожденным с весом [pic]. Полученный
результат не зависит от формы потенциала и, в отличие от кулоновского
вырождения, имеет место у каждого изолированного атома.

Сравним формулу (2.5), полученную полуклассическим путём, с результатом
(12.3.5b) квантовой теории. Легко убедиться, что первая получается из
второй простой заменой [pic] на l и [pic] на магнитное квантовое число m. В
этом пункте результаты классического и квантового подходов почти совпадают.
Различие заключается в следующем: классическая теория описывает малые
возмущения плоской орбиты, а в квантовой механике связь (13.3.5)
орбитального момента с его проекцией справедлива всегда.

15.3. Эффект Зеемана.

Снятие вырождения по проекции момента приводит к эффекту Зеемана -
расщеплению спектральных линий во внешнем магнитном поле. Из (1.3.3), (2.4)
и (2.7) следует правило квантования потенциальной энергии при
взаимодействии атома с магнитным полем:

[pic].

Изложим классический аспект эффекта Зеемана. Для этого сначала покажем, что
внешнее магнитное поле вызывает ларморовскую прецессию - вращение
электронной орбиты вокруг направления поля с постоянной угловой скоростью

[pic].

Наглядное представление о прецессии орбиты даёт рис.15.3.1.
[pic]

На электрон, движущийся в магнитном поле со скоростью v, действует сила
Лоренца

[pic].

Будем считать, что величина ?H значительно меньше частоты обращения
электрона на орбите. Перейдём в систему координат, вращающуюся вокруг H с
угловой скоростью ?H. В неинерциальной системе на электрон действуют
центробежная сила [pic] и сила Кориолиса

[pic].

Подставив сюда (3.2), получим

[pic],

то есть сила Кориолиса уравновешивает силу Лоренца. Сделанное выше
предположение о малости ?H позволяет пренебречь центробежной силой,
пропорциональной квадрату малой величины. Итак, во вращающейся системе
координат орбита электрона останется прежним эллипсом, а относительно
неподвижной - эллипсом, прецессирующим с частотой ?H.
Разделив энергию взаимодействия (3.1) на постоянную Планка, приходим к
выводу, что спектральная линия в магнитном поле расщепляется на несколько
компонент. Смещение частот между компонентами (( равно целому числу (H. Для
[pic] величина [pic] равна

[pic].

Смещение линий в оптическом диапазоне принято выражать в шкале длин волн.
Из формулы (3.3) с учётом [pic] следует:

[pic].

Величина (( в условиях звёздных атмосфер и межзвёздной среды значительно
меньше длины волны. Например, в среднем по солнечной фотосфере можно
принять оценку H=1000 Гс. Для линий с длиной волны около 5000е расщепление
составит (((0.01е.
Количество наблюдаемых компонент определяется весом нижнего и верхнего
уровней перехода, а также правилом отбора. Самыми яркими являются переходы,
удовлетворяющие правилам отбора для дипольного излучения. Сведения о них
приведены в табл.15.3.1:

Таблица 15.3.1. Правила отбора для магнитного квантового числа.
|(m |Обозначение |Поляризация |
|0 |( |Линейная вдоль вектора магнитного поля |
|+1 |( | |( |
| | |Круговая в плоскости, перпендикулярной| |
| | |H | |
|-1 |( | |( |

Такие переходы называются «разрешёнными». Интенсивность компонент с другими
комбинациями магнитных чисел значительно ниже - на несколько порядков
величины. На рис.(15.3.2) приведён случай, когда азимутальное квантовое
число нижнего уровня равно двум, а верхнего - трём. При наблюдении в
направлении, перпендикулярном к магнитному полю

[pic]

(случай а), круговые колебания проектируются в виде линейных, так что
спектральная линия расщепляется на три линейно поляризованных составляющих
- среднюю, с электрическим вектором волны вдоль поля, и крайние, с
колебаниями поперёк поля. При наблюдении вдоль поля ( случай б) средняя
составляющая пропадает, а две оставшиеся поляризованы по кругу: смещённая в
красную сторону спектра - против часовой стрелки и смещённая в фиолетовую -
по часовой стрелке.
Характер поляризации компонент в классической механике объясняется в
модели пространственного осциллятора - механической системы, совершающей
гармонические колебания по трём координатам: x, y и z. Для определённости
будем иметь в виду электрон в поле упругих сил. Вектор r отклонения частицы
от положения равновесия удовлетворяет дифференциальным уравнениям:

[pic],

где (0 - собственная частота осциллятора. Поместим осциллятор во внешнее
магнитное поле, которое мы будем полагать однородным и постоянным. Ось z
направим вдоль поля. Уравнения вынужденных колебаний осциллятора имеют вид:

[pic]

Здесь мы ввели циклотронную частоту (H, равную

[pic].

Первые два уравнения (3.5) не содержат z, а в третьем отсутствуют x и y.
Отсюда следует, что колебания вдоль поля остаются неизменными. Рассмотрим
движение в плоскости xy. Введём комплексную переменную

[pic].

Умножая второе уравнение на мнимую единицу, и складывая его с первым,
получаем

[pic].

Последнее уравнение сводится к алгебраическому подстановкой

[pic],

описывающей вращение с частотой (>0 против часовой стрелки. Для искомого
параметра ( получается квадратное уравнение

[pic],

положительное решение которого равно

[pic].

Отрицательный корень отвечает вращению по часовой стрелке. Этому
направлению отвечает другая комплексная переменная:

[pic].

Проводя аналогичные вычисления, получаем положительное решение

[pic].

Если (H значительно меньше собственной частоты осциллятора, то

[pic].

Мы повторили результат (3.3), но с другой точки зрения, попутно объяснив
поляризацию компонент линии.
Расщепление линий в магнитном поле было предсказано Лоренцом задолго до
появления квантовой теории и экспериментально проверено Зееманом. Схема
опыта Зеемана приведена на рис.15.3.3.

[pic]

Здесь J - источник света, помещённый между полюсами электромагнита, Sp -
щель спектрографа. На рисунке наблюдения ведутся в направлении,
перпендикулярном полю. В этом случае наблюдаются линейно поляризованные (-
и (-составляющие. Если же наблюдать излучение вдоль линии Ja, то видны две
циркулярно поляризованные (-компоненты.