Итак, мы убедились, что излучение в некоторых условиях проявляет корпускулярные свойства. С другой стороны, дифракционная картина, наблюдаемая при рассеянии на кристаллах различных частиц - электронов, нейтронов и целых атомов - свидетельствует в пользу их волновой природы. Как совместить волновые и корпускулярные свойства объектов микромира? Ведь частица локализована в пространстве, а волна представляет собой протяженное образование. Например, монохроматическая волна заполняет собой все пространство и вопрос о ее местонахождении лишен смысла. Тем не менее, волновой процесс можно локализовать. Для этого надо создать волновой пакет - сумму многих колебаний с разными частотами и длинами волн.

6.1 Фазовая скорость

Запишем уравнение монохроматической волны, распространяющейся в положительном направлении оси x:

Y(x,t) = A cos(kx-w t),

где Y - любая физическая величина, описывающая волновое движение. Аргумент гармонической функции (в данном случае - косинуса) называется фазой:

j = kx - w t.

Выразим координату через фазу и время:

Если мы зафиксируем фазу, то координата становится линейной функцией времени. Такая зависимость называется характеристикой. На рисунке 6.1.1 показаны три характеристики,

 

отвечающие различным значениям фазы. Множитель перед t называется фазовой скоростью волны:

Физический смысл фазовой скорости заключается в следующем. Для наблюдателя, который движется со скоростью V_ф в направлении распространения волны, величина Y становится постоянной и волна как бы застывает. Однако, во многих случаях оказывается, что фазовая скорость волны больше скорости света. Здесь нет никаких противоречий, так как темп переноса энергии описывается совсем другой характеристикой волнового пакета.

6.2 Групповая скорость

Понятие групповой скорости связано с интерференцией колебаний, имеющих разные частоты и длины волн. Рассмотрим две волны с одинаковыми амплитудами и различающимися, но близкими частотами и длинами волн:

причем

Сложим эти колебания:

В аргументе первого косинуса правой части мы пренебрегли слагаемыми Δω и Dk по сравнению с 2w и 2k. На рис.6.2.1 приведен график функции Y(x) в некоторый момент времени. Результирующее

 

колебание представляет собой волну практически с прежними значениями частоты и волнового числа, но с модулированной амплитудой. Мы можем добиться того, чтобы для нас стала неподвижной картина модуляции амплитуды. Для этого надо двигаться со скоростью

До сих пор мы рассматривали одномерный случай. На рис.6.2.2 представлена имитация сложения волн, распространяющихся в разных направлениях на плоскости. Из равноотстоящих точек под разными углами проведено по пять линий. Хорошо видно, как они образуют периодические

сгущения и разрежения по обоим направлениям.

Если сложить большое число волн, то получится более сложная картина биений с большей степенью локализации колебаний, но элементы периодической структуру будут многократно повторяться. Этот результат пока еще отличается от наших представлений о частице, находящейся в определенной области пространства. Локализацию волнового пакета можно получить только при непрерывном распределении частот и волновых чисел. Тогда частоту можно представить как непрерывную функцию волнового вектора:

(2.2) w = w (k).

Зависимость (2.2) называется дисперсионным уравнением. Именно для такой функции вводится понятие групповой скорости как предела (2.1):

Групповая скорость есть скорость передачи любого сигнала, а также скорость переноса энергии, массы и аналогичных величин. Она никогда не превосходит скорости света в вакууме.

6.3 Сложение колебаний с непрерывной зависимостью w(k)

При непрерывной зависимости (2.1) волновой пакет должен быть представлен не в виде суммы, а как интеграл от непрерывного распределения монохроматических колебаний:

 

причем

Dk = k₀.

Здесь для удобства дальнейших вычислений мы перешли к экспоненциальному представлению колебаний и добавили 'нормировочный' множитель 1/(2 Dk). Амплитуда A, вообще говоря, может зависеть от волнового числа k, но мы для простоты будем полагать ее постоянной и вынесем за знак интеграла.

Рассмотрим модуляцию колебаний в пакете волн с непрерывным распределением частот, ограничиваясь линейным разложением по малому параметру Dk = k - k₀:

 

где

Подставив (3.2-3) в (3.1) и выполняя интегрирование, получим:

Мы снова пришли к уравнению для плоской волны с частотой w₀ и волновым числом k₀, но с модулированной амплитудой. На этот раз модуляция осуществляется функцией

 

график которой приведен на рис.6.3.1. Нам важны следующие ее свойства. Во-первых, функция f(x)

 

принимает наибольшее значение в центре волнового пакета:

 

f(0) = 1.

 

Далее, вместе с sinx она имеет бесконечное число корней:

 

f(x) = 0 при x = + p n n = 1, 2,¼

 

Наконец, в промежутках между нулями, в точках

 

x = p/2 + p n n = 1, 2,:

 

модуль функции имеет локальные максимумы, высота которых падает обратно пропорционально x. Модулированный пакет (3.4) изображен на рис.6.3.2: он практически полностью локализован в

первом максимуме. Черная кривая изображает колебания на основной частоте w₀. Им соответствует фазовая скорость

V_ф ' w₀/k_{0 .}

(Напомним, что мы полагаем |Dk| и |Dw| малыми по сравнению с k и w, соответственно). К