Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://heritage.sai.msu.ru/ucheb/Zemcov/Part_3_Hydrogen/Chapter_19/chapter_19.htm
Дата изменения: Fri May 11 04:34:31 2007
Дата индексирования: Mon Oct 1 20:49:20 2012
Кодировка: Windows-1251

Поисковые слова: релятивистское движение
Ю.К.Земцов, К.В.Бычков - Курс лекций по атомной физике. Глава 19.
Вернуться к оглавлению
Вернуться к предыдущей главе Перейти к следующей главе


ГЛАВА 19.    ИЗЛУЧЕНИЕ ПРИ ПЕРЕХОДАХ МЕЖДУ ДИСКРЕТНЫМИ УРОВНЯМИ

Основные характеристики поля излучения в квантовой механике можно получить. исходя из аналогии с классической электродинамикой. Величина электрического и магнитного векторов волны пропорциональна экспоненте

(1) exp[i (kr - ωt )],

в аргументе которой угловая частота ω и модуль волнового вектора k связаны соотношением

ω = kс.

Возможно излучение электрического и магнитного типов, каждый их которых имеет дипольную и квадрупольную составляющие. Существуют также октупольная и более высокие типы симметрии, но первых двух в теории излучения обычно достаточно. Важную роль играет малая величина постоянной тонкой структуры a. Она обеспечивает относительно долгое время жизни возбужденного атома по сравнению с периодом обращения электрона по классической орбите, а также доминирующий вклад излучения электрического дипольного типа.

19.1 Электрическое дипольное излучение

Рассмотрим электрический диполь, совершающий гармонические колебания. Его момент равен произведению заряда на вектор r - смещение от положения равновесия. Формулу для дипольного момента запишем сразу применительно к электронам:

 

 

так как именно они, в силу малой массы, светят ярче других частиц. Далее всюду мы будем рассматривать случай монохроматических колебаний, когда смещение определяется гармонической функцией времени:

 

 

Мощность излучения классического диполя равна

 

.

Учитывая формулы (1.1) и (1.2), получаем:

 

.

 

В применении к атому частота ω = ωmn определяется через энергию перехода между двумя уровнями:

.

 

В квантовой механике наряду с мощностью W принято пользоваться вероятностью перехода:

.

 

Она равна числу излучаемых за секунду квантов. Формулой (1.5) можно пользоваться только для приближенных оценок: как мы знаем, радиус орбиты r0 в квантовой механике не имеет определенного значения. Но она вполне пригодна для определения зависимости вероятности перехода от параметров системы, таких как частота перехода и заряд ядра. Ниже, в третьем разделе мы приведем точную формулу, а здесь выполним качественные оценки для атома водорода и водородоподобных ионов:

 

 

В множителе kr0 радиус орбиты r0 примем равным a0 - размеру иона или атома в теории Бора, а частоту ω выражаем через энергию перехода:

 

.

 

Таким образом

 

 

Для переходов оптического диапазона величина ωmn составляет около 1015 c-1, следовательно, Amn ~ 10с-1.

Выясним зависимость Amn от заряда Z ядра водородоподобного иона. Как следует из формул (13.5.1), в случае водородоподобных ионов справедливы соотношения


(1.6)     ω ~ Z2,   a0 ~ 1/Z.

Согласно (1.5) вероятность переходов пропорциональна кубу частоты обращения электрона и квадрату радиуса атома:

.

 

Подставляя сюда (1.6), получим:

 

.

 

Таким образом, вероятность спонтанного излучения быстро растет при переходе к многозарядным ионам.

19.2 Типы излучения при переходах между дискретными уровнями

Электрическое дипольное излучение, обозначаемое Е1, имеет место при выполнении определенных условий, Они называются правилами отбора и будут выведены ниже. В случае переходов, не удовлетворяющих правилам отбора по каналу Е1, необходимо учитывать другие, менее вероятные процессы. В астрофизических приложениях наиболее часто встречаются дипольные переходы магнитного типа М1 и электрическое квадрупольное излучение Е2.

Размеры атомов значительно меньше длины волны, то есть, величина kr значительно меньше единицы. Это позволяет разложить в ряд пространственную часть экспоненты (1)

 

 

Единица в правой части отвечает дипольному приближению. Следующие два слагаемых описывают излучение по каналам М1 и Е2. Мощность электрического квадрупольного излучения выражается через квадрупольный момент Q:

 

,

 

представляющий собой матрицу второго порядка:

(2.2)       .

Индексы a и β пробегают значения 1, 2, 3, соответствующие проекциям радиус-вектора r на оси координат.

Мощность дипольного излучения магнитного типа определяется аналогично (1.3), но через вектор μ магнитного момента:

 

 

Второе равенство справа справедливо для монохроматического излучения μ ~ exp(-iωt).

Сравним вероятности электрических квадрупольных и дипольных переходов. Поскольку


d ~ er, Q ~ er2, r ~ eiωt,


то их мощности (2.1) и (1.4) относятся как

(2.4)      

Следовательно, при одной и той же энергии кванта переход по каналу Е2 по крайней мере на четыре порядка величины менее вероятен, чем Е1:

 

Отметим, что малая величина произведения kr ~ a соответствует малому размеру атома r ~ a0 по сравнению с длиной волны излучаемого им света:

a0 : λ ~ a.

Теперь мы можем расширить ряд (1.3.3) пропорций, связывающих масштабы длины re, DC, и a0:

(2.5) re : D