Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://hep.phys.msu.ru/4studs/quantum/2012/EXAMS12.ps Дата изменения: Mon Dec 24 01:43:41 2012 Дата индексирования: Sat Feb 2 22:28:18 2013 Кодировка: IBM-866 Поисковые слова: релятивистское движение

Квантовая механика. 1-ой поток. 2012 г.
Редакция от 21.12.12
С помощью  отмечены вопросы,
которые можно исключить по согласованию с преподавателем
http://hep.phys.msu.ru
Теоретические вопросы
1. Динамическая схема квантовой механики. Представления Гейзенберга и Шредингера.
Переход от одного представления к другому. Оператор эволюции U(t 2 ; t 1 ), его общий
вид и основные свойства.
2. Эволюция квантовомеханического состояния во времени. Стационарные состояния,
их основные свойства. Характерные особенности и различия в эволюции во времени
нормированных суперпозиций состояний из дискретной и непрерывной частей энерге-
тического спектра.
3. Квантование гармонического осциллятора методом операторов рождения-уничтоже-
ния. Когерентные состояния, их основные свойства.
4. Общие свойства уравнения Шредингера для нерелятивистской частицы в потенциаль-
ном поле. Уравнение непрерывности, его физический смысл. Вариационный принцип
для стационарного ур. Шредингера.
5. Стационарная теория возмущений для невырожденного дискретного уровня (первый
и второй порядки).
6. Теория возмущений для вырожденного дискретного уровня. Близкие уровни под вли-
янием возмущения.
7. Принцип неразличимости одинаковых по своим физическим характеристикам частиц.
Бозоны и фермионы. Волновые функции системы N тождественных частиц. Эффек-
тивное спин-спиновое (обменное) взаимодействие как результат расщепления энерге-
тических уровней под влиянием возмущения в системе двух тождественных частиц со
спином 1/2.
8. Многоэлектронный атом в приближении центрального поля. Оболочки и термы. Пе-
риодическая система элементов.
9. Правила Хунда для термов внешней оболочки многоэлектронного атома, их обоснова-
ние. Тонкая структура термов, LS- и JJ- типы связи.
10. Вариационные методы (Ритца, Хартри-Фока и Хартри) определения электронных ВФ
и уровней энергии многоэлектронного атома (на примере пара- и ортогелия).
11. Диаграммы Юнга для валентной оболочки. Определение явного вида волновых функ-
ций термов через старшие вектора и детерминант Слэтера.
12. Модель Томаса-Ферми для многоэлектронного атома. Поправка Амальди. Зависи-
мость между атомным номером Z и орбитальным моментом электронов l валентной
оболочки в модели ТФ, ее проявление в периодической системе элементов.
13. Основы молекулярной связи (адиабатическое приближение). Ион и молекула водорода,
их электронные волновые функции в первом приближении. Роль обменных эффектов.
14. Типы химической связи. Спаренные и валентные электроны. Химическая валент-
ность, ее пространственная направленность. Гибридизация связей (на примере s- и
p-оболочек). - и -связи.
15. Общая постановка задачи о квантовых переходах. Нестационарная теория возмущений
Дирака. Переходы под воздействием мгновенного изменения потенциала и в адиаба-
тическом случае.
16. Переходы под воздействием гармонического возмущения. Золотое правило (Ферми)
для скорости перехода в первом порядке ТВ, область его применимости.
1

17. Теория возмущений для переходов в непрерывном спектре для независящего явно от
времени взаимодействия. Прямые и последовательные переходы. T -оператор (матрица
реакций). Уравнение Липпмана-Швингера для T -оператора. Борновский ряд.
18. S-матричная формулировка задачи о переходах. Взаимосвязь между матричными эле-
ментами S- и T-операторов. Скорость перехода и оптическая теорема в общем случае.
19. Обращение времени в квантовой механике. Теорема взаимности и принцип детального
равновесия для обращенных во времени переходов. Теорема Крамерса.
20. Эволюция метастабильного состояния. Закон распада, его скорость и форма линии,
временной интервал. Связь между полушириной линии и временем жизни.
21. Потенциальное упругое рассеяние. Амплитуда и дифференциальное сечение. Оптиче-
ская теорема для упругого рассеяния.
22. Уравнение Липпмана-Швингера для упругого потенциального рассеяния. Борновский
ряд для амплитуды рассеяния. Первое борновское приближение, область его приме-
нимости.
23. Парциальное разложение амплитуды упругого рассеяния. Поведение парциальных ам-
плитуд и сечения рассеяния при низких энергиях.
24. Резонансы в упругом рассеянии при низких энергиях при наличии неглубокого дис-
кретного уровня, ф. Бете-Пайерлса.
25. Амплитуда рассеяния как функция комплексного волнового числа (энергии). Связь
между дискретными, виртуальными и метастабильными уровнями и резонансами. Ре-
зонансное рассеяние на метастабильном уровне, ф. Брейта-Вигнера.
26. Упругое рассеяние при высоких энергиях. Приближение эйконала.
27. Переходы в системе 2 тождественных частиц, амплитуда упругого рассеяния 2 тожде-
ственных частиц (для с.ц.м.).
28. Квантование свободного электромагнитного поля излучения в кулоновской калибров-
ке. Фотоны, их энергия-импульс, спин и спиральность. Когерентные состояния и
классические э-м поля.
29. Излучение и поглощение фотонов атомом в первом порядке теории возмущений. Спон-
танное излучение и вынужденное излучение и поглощение. Коэффициенты Эйнштей-
на.
30. Правила отбора, диаграмма направленности и поляризация излучения для однофото-
нных дипольных переходов в атоме, оценка их полной интенсивности.
31. Уравнение Дирака. Уравнение непрерывности, его ковариантная форма. Спин части-
цы Дирака.
32. Уравнение Дирака во внешнем электромагнитном поле. Нерелятивистское приближе-
ние, уравнение Паули. Спиновый магнитный момент дираковской частицы.
33. Решения ур. Дирака для свободной частицы с определенным импульсом и спирально-
стью. Интерпретация состояний с отрицательной энергией. Позитроны как дырки в
море Дирака.
34. Свободное движение волнового пакета дираковской частицы. Групповая скорость па-
кета для состояний с энергией определенного знака. Дрожание Шредингера для пакета
общего вида, его интерпретация.
35. Квазирелятивистское разложение уравнения Дирака для электрона в центральном по-
ле. Спин-орбитальное взаимодействие и другие релятивистские поправки, их физиче-
ский смысл.
36. Релятивистский атом водорода. Точное решение для энергетического спектра, выро-
ждение уровней. Зависимость от заряда и размеров ядра, sparking vacuum.
2

Задачи
1. Найти зависимость разности энергий основного и первого возбужденного уровней мо-
лекулы аммиака NH 3 от внешнего электрического поля.
2. В первом неисчезающем приближении найти коэффициент электрической поляризуе-
мости атома водорода в основном состоянии.
3. В первом неисчезающем порядке теории возмущений найти энергию взаимодействия
двух атомов водорода на больших расстояниях (силы Ван-дер-Ваальса) и ее зависи-
мость от обменных эффектов.
4. Найти расщепление уровней энергии атома водорода в слабом по величине напряжен-
ности однородном магнитном поле ~
H, когда eh
2mc
H  j
E jj 0 j (нормальный эффект
Зеемана).
5. Рассчитать расщепление уровней атома водорода в среднем по величине напряженно-
сти однородном магнитном поле ~
H, когда eh
2mc
H ' j
E jj 0 j (эффект Пашена-Бака).
6. Рассчитать расщепление уровней атома водорода в сильном по величине напряжен-
ности однородном магнитном поле ~
H, когда eh
2mc H  j
E jj 0 j (аномальный эффект
Зеемана).
7. Рассчитать расщепление уровня атома водорода с n = 2 в слабом по величине на-
пряженности однородном электрическом поле (эффект Штарка мал по сравнению с
j
E jj 0 j).
8. Рассчитать расщепление уровня атома водорода с n = 2 в среднем по величине напря-
женности однородном электрическом поле (эффект Штарка одного порядка с j
E jj 0 j).
9. Рассчитать расщепление уровня атома водорода с n = 2 в перпендикулярных одно-
родных электрическом и магнитном полях с учетом спинового магнитного момента
электрона. Тонкой структурой пренебречь.
10. Найти расщепление уровня атома водорода с n = 2 в параллельных однородных элек-
трическом и магнитном полях с учетом спинового магнитного момента электрона.
Тонкой структурой пренебречь.
11. Найти вариационным методом Ритца энергию связи и волновую функцию основного
состояния гелиеподобного атома с двумя электронами. Пробную функцию выбрать в
виде произведения 1s-одноэлектронных кулоновских функций с эффективным зарядом
 = Z , играющим роль вариационного параметра.
12. Оценить энергию ионизации возбужденного электрона для пара- и орто-гелия. Воз-
бужденный электрон находится в состоянии nl, второй электрон в состоянии 1s и
полностью экранирует одну единицу заряда ядра.
13. Найти среднюю энергию электронов и давление вырожденного электронного газа (T =
0).
14. Найти парамагнитную восприимчивость вырожденного электронного газа (T = 0).
15. Найти зависимость тока холодной эмиссии электронов с поверхности металла от при-
ложенного электрического поля (без учета наведения зеркального заряда).
16. Найти зависимость энергии магнона от волнового числа в одномерной спиновой це-
почке с гамильтонианом H = 
P
n ~s n~ s n+1 
P
n ~s n~ s n+2 2 0
~
H
P
n ~s n .
17. Разложить электронную конфигурацию (np) 3 на термы.
18. Разложить электронную конфигурацию (nd) 2 на термы.
19. Найти явный вид волновых функций термов в конфигурации (np) 3 .
20. Найти явный вид волновых функций термов в конфигурации (np) 4 .
21. Найти характеристики терма основного состояния (S, L, J) валентной электронной
конфигурации k электронов с орбитальным моментом l.
3

22. Показать, что оператор
Z
P
i=1
g(r i )( ~ l i
~s i ) спин-орбитального взаимодействия приводит
к расщеплению каждого терма с квантовыми числами L, S на 2L + 1 или на 2S + 1
подуровней.
23. Найти расщепление уровней энергии многоэлектронного атома в сильном однородном
магнитном поле ~
H, когда eh
2mc H  j
E JJ 0 j (аномальный эффект Зеемана).
24. Найти расщепление уровней энергии многоэлектронного атома в слабом однородном
магнитном поле ~
H, когда eh
2mc
H  j
E JJ 0 j (нормальный эффект Зеемана).
25. Найти расщепление уровней энергии многоэлектронного атома в слабом однородном
электрическом поле (эффект Штарка мал по сравнению с j
E JJ 0 j ).
26. Вариационным методом оценить энергию диссоциации иона H +
2 .
27. Двухуровневая система с состояниями j1i, j2i, энергии которых есть h! 1 , h! 2 , подвер-
гается действию не зависящего от времени возмущения W . Вычислить вероятность
обнаружить то или иное состояние в момент времени t, если в момент времени t = 0
система находилась в основном состоянии.
28. Двухуровневая система с состояниями j1i, j2i, энергии которых есть h! 1 , h! 2 , подвер-
гается действию периодического возмущения, которое описывается эрмитовым опера-
тором W  cos(!t). Вычислить вероятность обнаружения в том или ином состоянии
в момент времени t, если в момент времени t = 0 система находилась в основном
состоянии, и расстройка частот
! = ! 2 ! 1 ! мала.
29. Найти зависимость интенсивности сигнала в идеальном ЭПР-эксперименте от угла
 между векторами поляризующего (постоянного) и возбуждающего (переменного)
магнитными полями ~
H 0 и ~
H 1 .
30. При t = 0 нейтральная частица со спином s=1/2 и магнитным моментом ~ =  0 ~s нахо-
дится в состоянии с проекцией спина +1/2 на некоторое направление ~n. Рассмотреть
прецессию магнитного момента в поле, направленном под углом  к этому направле-
нию и имеющем напряженность H. Найти направление, вдоль которого ориентирован
спин в момент времени t.
31. Нейтральная частица со спином 1=2 и магнитным моментом ~ =  0 ~s находит-
ся в однородном магнитном поле, изменяющемся во времени по закону ~
H = H
fsin  cos !t; sin  sin !t; cos g. В момент времени t = 0 проекция спина на направле-
ние поля была равна +1=2. Определить вероятность перехода частицы к моменту
времени t в состояние, в котором проекция спина на направление магнитного поля
равна 1=2.
32. Найти вероятность перехода атома трития H 3 из 1s состояния в 1s и 2s состояния
иона He 3+ при -распаде одного из нейтронов ядра.
33. Найти дифференциальное и полное сечение неупругого рассеяния частицы на непо-
движном сферическом гармоническом осцилляторе с переходом последнего из основно-
го в первое возбужденное состояние при контактном взаимодействии между частицей
и осциллятором V (~r 1 ; ~r 2 ) = V 0 Ї(~r 1 ~r 2 ).
34. В борновском приближениивычислить дифференциальное и полное сечение неупругого
рассеяния мюона на неподвижном атоме водорода с возбуждением атомного электрона
из 1s в 2s.
35. В борновском приближениивычислить дифференциальное и полное сечение неупругого
рассеяния электрона на неподвижном атоме водорода с возбуждением атома из 1s в 2s
с учетом обменных эффектов.
36. В приближении эйконала найти парциальные фазы рассеяния на потенциале A=r 2 для
4

l  1. Сравнить с точным ответом.
37. Найти точную амплитуду для упругого кулоновского рассеяния частицы на неподвиж-
ном точечном кулоновском источнике.
38. В борновском приближении вычислить дифференциальное и полное сечение упругого
рассеяния на потенциале Юкавы V (r) = g exp( ar)=r.
39. Без учета обменных эффектов вычислить дифференциальное и полное сечение упру-
гого рассеяния быстрых электронов на атоме водорода, находящемся в основном со-
стоянии.
40. В борновском приближении выразить амплитуду упругого рассеяния заряженной бес-
спиновой частицы на локализованном сферическом распределении заряда через его
плотность (r).
41. В борновском приближении найти формфактор, дифференциальное и полное сечение
упругого рассеяния заряженной бесспиновой частицы на равномерно заряженном шаре
радиуса R.
42. Вычислить амплитуду и сечение упругого рассеяния медленной частицы на потенци-
альной яме V (r) = V 0 ; r < a, V (r) = 0; r > a. Обьяснить резонансный характер
такого рассеяния.
43. Вычислить амплитуду и сечение упругого резонансного рассеяния медленной частицы
для s-волны на потенциале V (r) = V 0 Ї(r a) ; V 0 > 0, энергию и время жизни
метастабильных состояний, соответствующих этим резонансам.
44. Найти характеристики резонансного рассеяния медленной частицы для s-волны на
потенциале V (r) = V 0 Ї(r a) ; V 0 > 0. Установить, для каких значений V 0 резонанс
будет обусловлен наличием дискретного или виртуального уровней.
45. В приближении эйконала найти амплитуду и полное сечение рассеяния частиц высокой
энергии на сферически-симметричном потенциале V (r) = V 0 ; r < a, V (r) = 0; r > a,
если де-бройлевская длина волны частиц   a, а их энергия E  V 0 .
46. Определить полное сечение упругого рассеяния непроницаемой сферой радиуса a для
быстрых частиц, де-бройлевская длина волны которых   a.
47. Определить полное сечение упругого рассеяния непроницаемой сферой радиуса a для
медленных частиц, де-бройлевская длина волны которых   a.
48. Найти вероятность того, что рассеянный на протоне медленный нейтрон изменит ори-
ентацию своего спина, если до столкновения спин нейтрона был направлен по оси z,
а спин протона | в противоположном направлении. Амплитуда рассеяния системы
протон-нейтрон в синглетном состоянии | f 0 , в триплетном | f 1 .
49. Найти дифференциальное сечение упругого кулоновского рассеяния двух -частиц с
учетом интерференции фаз (в системе центра масс).
50. Найти дифференциальное сечение упругого кулоновского рассеяния электрона на элек-
троне для синглетного и триплетного состояний по полному спину с учетом интерфе-
ренции фаз (в системе центра масс).
51. Найти дифференциальное сечение упругого кулоновского рассеяния электрона на элек-
троне для неполяризованных пучков с учетом интерференции фаз (в системе центра
масс). Отдельно рассмотреть случаи быстрых e 2  hv и медленных e 2  hv частиц.
52. Найти средние значения и дисперсию электрической и магнитной напряженностей
квантованного электромагнитного поля излучения в одномодовом когерентном состо-
янии ji.
53. Найти средние значения и дисперсию векторного потенциала квантованного элек-
тромагнитного поля излучения в двухмодовых когерентных состояниях j 1
i
j 2 i
и [j 1 i + j 2 i]=[2(1 + h 1 j 2 i)] 1=2 . Указать, в чем основное различие между этими
состояниями.
5

54. Рассчитать угловое распределение фотоэлектронов при фотоэффекте на основном со-
стоянии водородоподобного иона, индуцированном поляризованной плоской э-м волной,
считая конечное состояние электрона свободной частицей. Спиновый магнитный мо-
мент электрона не учитывать.
55. Рассчитать угловое распределение фотоэлектронов при фотоэффекте с переворотом
спина электрона на основном состоянии атома водорода, индуцированном поляризо-
ванной плоской э-м волной, считая конечное состояние электрона свободной частицей.
56. Показать, что однофотонные переходы S ! S запрещены во всех порядках мульти-
польности.
57. Установить, между какими уровнями заряженного сферического гармонического ос-
циллятора возможны электромагнитные переходы в дипольном приближении. Вычи-
слить время жизни первого возбужденного состояния осциллятора в этом приближе-
нии.
58. Установить закон, по которому меняется интенсивность и поляризация линий в три-
плете, соответствующем зеемановскому расщеплению при переходе 3D ! 2P , в зави-
симости от угла между направлением вылета фотонов и магнитным полем.
59. В дипольном приближении вычислить время жизни уровней 2P 1=2 и 2P 3=2 атома водо-
рода (c учетом тонкой структуры).
60. Нейтральная частица со спином s = 1=2 и магнитным моментом ~s находится в одно-
родном магнитном поле напряженности H. Найти время жизни возбужденного состо-
яния и угловое распределение излучения при его распаде.
61. Показать, что три p-орбитали образуют валентные связи под прямым углом друг к
другу. В чем сходство и различие молекул NH 3 и РH 3 ?
62. Найти угол между тетраэдрическими связями четырехвалентного углерода, струк-
туру - и -орбиталей в молекуле этилена (исходя из того, что молекула плоская и
-связи образуют углы 2=3), и ацетилена (исходя из того, что молекула линейная).
63. Найти явный вид волновой функции свободной дираковской частицы с определенными
импульсом и спиральностью, ток переноса для свободного движения волнового пакета
с энергией фиксированного знака.
64. Найти явный вид волновой функции электрона и кратность вырождения соответству-
ющего энергетического уровня в релятивистском атоме водорода для 1S 1=2 ; 2S 1=2 ; 2P 1=2 .
Обьяснить различие в кратности вырождения.
65. Найти спиновое гиромагнитное отношение (g D-фактор Брейта) для 1S 1=2 состояния
дираковского электрона в водородоподобном ионе с зарядом ядра Z.
66. Найти спиновое гиромагнитное отношение (g D-фактор Брейта) для дираковского элек-
трона, находящегося в водородоподобном ионе с зарядом ядра Z в связанном состоянии
с квантовыми числами nlj.
6