Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://hep.phys.msu.ru/4studs/quantum/2007/qm07p1.ps Дата изменения: Tue Dec 18 08:29:45 2007 Дата индексирования: Mon Oct 1 19:50:38 2012 Кодировка: IBM-866 Поисковые слова: дисперсия скоростей

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
физический факультет
Квантовая теория (I поток) январь 2008 г.
http://hep.itpm.msu.su; http://hepqt.itpm.msu.su
Теоретические вопросы
1. Кинематический постулат Гайзенберга. Уравнения Гайзенберга. Изменение величин во вре-
мени как унитарное преобразование матриц. Законы сохранения.
2. Средние значения динамических переменных. Матрица плотности. Смешанные и чистые
состояния.
3. Чистые состояния. Вектор чистого состояния. Формула для средних значений в чистом со-
стоянии.
4. Координатное и импульсное пространства. Соотношение неопределенностей Гайзенберга.
5. Уровни энергии и соответствующие собственные векторы гармонического осциллятора.
6. Гармонический осциллятор в координатном и импульсном представлениях.
7. Гармонический осциллятор с тремя степенями свободы. Симметрия и кратность вырождения
уровней изотропного осциллятора.
8. Момент количества движения. Определение операторов и их спектр. Полный набор наблюда-
емых.
9. Матричные элементы операторов момента количества движения. Определение скалярного
оператора. Матричный элемент скаляра.
10. Критерий вырождения уровней энергии. Вырождение уровней энергии и свойства симметрии
гамильтониана.
11. Уровни энергии в кулоновом поле. Кратность уровней энергии. Состояния атома водорода с
определенной энергией.
12. Вектор Лапласа-Рунге-Ленца. Группа инвариантности гамильтониана атома водорода.
13. Сложение моментов количества движения. Явные формулы в случае произвольного j 1 и j 2 = 1
2 .
14. Описание эволюции физических систем. Представления Гайзенберга, Шредингера, Дирака.
15. Тонкая структура уровней энергии водорода.
16. Теория возмущений.
17. Атом Томаса-Ферми.
18. Уравнения самосогласованного поля
19. Принцип неразличимости и структура атома.
20. Приближение центрального поля. Конфигурации, термы. Правила Хунда. Тонкая структура
уровней в схеме LS связи.
21. Квантование электромагнитного поля. Операторы векторного потенциала, электрической и
магнитной напряженностей.
22. Операторы энергии и импульса электромагнитного поля. Состояния с определенным числом
частиц, определенной энергией и определенным импульсом.
23. Скорости переходов.
24. Взаимодействие атомов с электромагнитным полем. Вероятность излучения и поглощения
фотона. Формула Планка.
25. Дипольное приближение.
26. Скорость перехода при рассеянии. Борновское приближение.
27. Потенциальное рассеяние. Сечение рассеяния.
1

28. Борновское приближение в потенциальном рассеянии. Форм-фактор.
29. Резонансное рассеяние.
30. Вторичное квантование.
31. Гамильтониан системы частиц с парным взаимодействием в представлении вторичного кван-
тования.
Задачи
1. Найти явный вид матрицы exp(i '
2 ~
m~):
2. Спин 1
2
с достоверностью направлен вдоль оси ~n. Какова вероятность найти его направленным
вдoль оси ~
m.
3. Сумма ~
S = ~s 1 + ~s 2 спинов s 1 = s 2 = 1
2 равна нулю. Найти вероятность того, что угол между
спинами равен #.
4. Сумма ~
S = ~s 1 +~s 2 спинов s 1 = s 2 = 1
2
равна нулю. Найти вероятность того, что первый спин
направлен вдоль оси ~n 1 , если направление второго спина не фиксируется.
5. Найти средние значения и дисперсии импульса и координаты гармонического осциллятора в
состоянии с определенной энергией.
6. Гармонический осциллятор находится в когерентном состоянии со средней энергией Е. Найти
средние значения и дисперсии импульса и координаты.
7. Гармонический осциллятор находится в тепловом равновесии с термостатом при температуре
Т. Найти средние значения и дисперсии импульса и координаты.
8. Найти плотность распределения импульсов в основном состоянии гармонического осциллято-
ра.
9. Получить уравнение Шредингера для гармонического осциллятора в импульсном простран-
стве.
10. Найти уровни энергии в потенциальной яме
V (x) = 1; x < 0; V (x) = 1
2 ! 2 x 2 ; x > 0:
11. Частица находится в потенциальной яме
V (x) = 1; x < 0; x > a; V (x) = 0; 0 < x < a:
Найти среднее значение и дисперсию энергии в состоянии
(x) = Cx(a x):
12. Частица помещена в потенциальную яму
V (x) = 1; x < 0; x > a; V (x) = 0; 0 < x < a:
Найти давление на стенку, если частица находится в основном состоянии.
13. Частица находится в потенциальной яме
V (x) = 1; x < 0; x > a; V (x) = 0; 0 < x < a:
Найти плотность распределения импульса и координаты в состоянии с определенной энергией.
Найти слабый предел этих величин при n !1.
2

14. Частица помещена в потенциальную яму
V (x) = 0; x < a; x > a; V (x) = V 0 ; 0 < x < a; V 0 > 0:
Какова вероятность найти частицу вне ямы, если она находится в основном состоянии.
15. Найти уровни энергии, плотность распределения координат и импульсов в основном состоянии
в потенциале
V (x) = GЇ(x); ; G > 0:
16. Найти коэффициенты прохождения и отражения на потенциале
V (x) = 0; x < a; x > a; V (x) = V 0 ; a < x < a; V 0 > 0:
17. В квазиклассическом приближении найти коэффициенты прохождения и отражения на потен-
циале
V (x) = V 0
ch 2 (ax)
при E < V 0 .
18. В квазиклассическом приближении найти уровни энергии для потенциалов
V (x) = 1; x < 0; V (x) = Gx; G > 0; 0 < x:
и
V (x) = Gjxj; G > 0:
19. Приближая потенциал симметричной двойной ямы выражением
V (x) = 1
2 ! 2 (jxj x 0 ) 2 ;
выразить в квазиклассическом приближении энергию расщепления в терминах энергии основ-
ного состояния в простой яме и значения потенциала в середине ямы:
ЇE = 4E
r
V (0)
E
exp(
V (0)
E
):
20. Найти коммутатор [~r~p; F (~r)].
21. Найти коммутатор [~r~p; F (~p)].
22. Найти коммутатор [l  ; F (~r)].
23. Найти коммутатор [l  ; F (~p)].
24. Найти составляющие вектора плотности потока в сферическом базисе.
25. Получить явный вид сферических гармоник для l = 0 и l = 1.
26. Найти неопределенность радиуса электрона в атоме водорода, если он находится в состоянии
с определенными n и l.
27. Найти средний радиус атома водорода в состоянии с n = 2.
28. Найти средние < 1=r >; < 1=r 2 >; < 1=r 3 > в состояниях атома водорода с определенными
n и l.
29. Найти плотность распределения импульсов в основном состянии атома водорода. Найти сред-
нее значение квадрата скорости электрона в основном состоянии атома водорода.
3

30. Найти среднее значение электрического потенциала атома водорода, находящегося в основном
состоянии.
31. Найти плотность рапределения координат и импульсов в основном состоянии изоторопого
гармонического осциллятора.
32. Получить уравнение Шредингера для частицы в кулоновом поле в импульсном пространстве.
33. Пользуясь формулами теории возмущений найти сдвиг уровней заряженного гармонического
осциллятора под действием однородного электрического поля. Полученый результат сравнить
с точным.
34. Найти сдвиг уровня энергии основного состояния водородоподобного атома, обусловленный
неточечноcтью ядра. Ядро считать однородно заряженной сферой радиуса R. Рассмотреть
случаи, когда заряженная частица является электроном или -мезоном.
35. Найти уровни энергии ангармонического осциллятора с гамильтонианом
^
H = ^
H 0 + ^
H 1 ;
в котором поправка к гамильтониану гармонического осциллятора равна
^
H 1 = x 3 + x 4 :
36. Частица со спином 1
2
находится в состоянии с определенным полным моментом количества
движения J , моментом импульса l. Найти направление спина, если радиус-вектор частицы
направлен вдоль вектора ~n.
37. Решить уравнения Гайзеберга для свободной точечной чатицы.
38. Решить уравнения Гайзенберга для гармонического осциллятора.
39. Найти изменение во времени средних значений и дисперсий импульса и координаты гармони-
ческого осциллятора в когерентном состоянии.
40. Показать, что спин 1
2
, помещенный в однородное магнитное поле прецессирует вокруг напра-
вления поля.
41. Решить уравнения Гайзенберга для спина 1
2
в однородном магнитном поле.
42. Найти составляющие тонкой структуры уровня 1s 1=2 атома водорода.
43. Найти составляющие тонкой структуры уровня 2s 1=2 атома водорода.
44. Найти составляющие тонкой структуры уровня 2p 1=2 атома водорода.
45. Найти сверхтонкую структуру уровня 1s атома водорода. Магнитный момент протона равен
 p = 2:79 N .
46. Найти число возможных состояний, терм с наименьшей энергией и значение полного момента
количества движения основного состояния в конфигурации np 2 .
47. Найти число возможных состояний, терм с наименьшей энергией и значение полного момента
количества движения основного состояния в конфигурации np 3 .
48. Какова четность и символ a K b основного состояния атома 6 C?
49. Какова четность и символ a K b основного состояния атома 7 N?
50. Какова четность и символ a K b основного состояния атома 10 Ne?
51. Описать расщепление основного уровня атома 5 B в слабом магнитном поле.
52. Описать расщепление основного уровня атома 11 Na в слабом магнитном поле.
53. Найти парамагнитную восприимчивость натрия (Z = 11; A = 23;  = 1g=cm 3 ) в рамках модели
Томаса-Ферми.
54. В рамках модели Томаса-Ферми найти соотношение между кинетической и потенциальной
энергиями атома.
4

55. В рамках модели Томаса-Ферми оценить зависимость от атомного номера среднего расстояния
электрона от ядра, средней скорости электрона, среднего момента импульса электрона.
56. В рамках модели Томаса-Ферми оценить зависимость от атомного номера средней кинетиче-
ской энергии атома, полной энергии атома.
57. В рамках модели Томаса-Ферми получить формулу для числа электронов, находящихся в
s состоянии.
58. В рамках модели Томаса-Ферми получить формулу, определяющие значения Z, при которых
в атоме впервые появляются электроны с заданным значением l.
59. В борновском приближении найти дифференциальное и полное сечения рассеяния на потенци-
але V (r) = g 1
r exp( r).
60. В борновском приближении найти дифференциальное и полное сечения рассеяния на потенци-
але V (r) = g exp( r 2
2a 2
).
61. В борновском приближении найти дифференциальное и полное сечения рассеяния на потенци-
але V (r) = g(r 0 r).
62. В борновском приближении найти дифференциальное сечение рассеяния на кулоновом потен-
циале
63. В борновском приближении найти дифференциальное и полное сечения рассеяния электрона
на атоме водорода.
64. Найти в дипольном приближении время жизни (в секундах и атомных единицах времени)
2p уровня атома водорода.
65. Найти энергию атома гелия с помощью вариационного принципа.
66. В первом неисчезающем порядке теории возмущений найти энергию взаимодействия двух ато-
мов водорода на больших расстояниях (силы Ван-дер-Ваальса) и ее зависимость от обменных
эффектов.
67. Найти расщепление уровней энергии атома водорода в слабом по величине напряженности
однородном магнитном поле ~
H, когда eh
2mc
H  j
E jj 0 j (нормальный эффект Зеемана).
68. Рассчитать расщепление уровня атома водорода с n = 2 в среднем по величине напряженности
однородном магнитном поле ~
H, когда eh
2mc
H ' j
E jj 0 j.
69. Рассчитать расщепление уровня атома водорода с n = 2 в сильном по величине напряженности
однородном магнитном поле ~
H, когда eh
2mc H  j
E jj 0 j.
70. Рассчитать расщепление уровня атома водорода с n = 2 в сильном по величине напряженности
однородном электрическом поле (эффект Штарка велик по сравнению с тонкой структурой).
71. Рассчитать расщепление уровня атома водорода с n = 2 в слабом по величине напряженности
однородном электрическом поле (эффект Штарка мал по сравнению с тонкой структурой).
72. Рассчитать расщепление уровня атома водорода с n = 2 в среднем по величине напряженности
однородном электрическом поле (эффект Штарка одного порядка с тонкой структурой).
73. Оценить энергию ионизации возбужденного электрона для пара- и орто-гелия. Возбужденный
электрон находится в состоянии nl, второй электрон в состоянии 1s и полностью экранирует
одну единицу заряда ядра.
74. Нейтральная частица со спином 1=2 находится в однородном магнитном поле, изменяющемся
во времени по закону ~
H = H(sin  cos !t, sin  sin !t, cos ). В момент времени t = 0 проекция
спина на направление поля была равна +1=2. Определить вероятность перехода частицы к
моменту времени t в состояние, в котором проекция спина на направление магнитного поля
равна 1=2.
75. Найти вероятность перехода атома трития H 3 из 1s состояния в 1s состояние иона He 3+ при
-распаде одного из нейтронов ядра.
5

76. Двухуровневая система с состояниями j1i, j2i, энергии которых есть h! 1 , h! 2 , подвергается
действию не зависящего от времени возмущения W . Вычислить вероятность обнаружить то
или иное состояние в момент времени t, если в момент времени t = 0 система находилась в
основном состоянии.
77. Гамильтониан резонансного взаимодействия одномодового излучения (фотонов данного волно-
вого числа и поляризации) с двухуровневой системой имеет вид:
H = h!a + a + (h!=2) 3 + h (a + + a +  )
где  = ( 1  i 2 )=2 ,  i { матрицы Паули. Найти вероятность обнаружить систему в
момент времени t на нижнем уровне с m фотонами, если в момент времени t = 0 система
находилась на верхнем уровне с n фотонами.
78. В борновском приближении вычислить дифференциальное и полное сечение неупругого рас-
сеяния электрона на неподвижном атоме водорода с возбуждением атома из 1s в 2s.
79. Вычислить дифференциальное сечение упругого рассеяния быстрых электронов на атоме во-
дорода, находящемся в основном состоянии.
80. В борновском приближении найти амплитуду и дифференциальное сечение упругого рассеяния
заряженной бесспиновой частицы на локализованном распределении заряда (~r).
81. В борновском приближении найти дифференциальное и полное сечение упругого рассеяния
заряженной бесспиновой частицы на равномерно заряженном шаре радиуса R.
82. Вычислить амплитуду и сечение упругого рассеяния медленной частицы на потенциальной
яме V (r) = V 0 ; r < a, V (r) = 0; r > a. Обьяснить резонансный характер такого рассеяния.
83. Определить полное сечение упругого рассеяния непроницаемой сферой радиуса a для медлен-
ных частиц, де-бройлевская длина волны которых   a.
84. Найти дифференциальное сечение упругого рассеяния -частицы на -частице (в системе цен-
тра масс).
85. Найти средние значения и дисперсию электрической и магнитной напряженностей квантован-
ного электромагнитного поля излучения в одномодовом когерентном состоянии ji.
86. Доказать, что однофотонные переходы S ! S запрещены во всех порядках мультипольности.
87. Установить правила отбора, диаграмму направленности и поляризацию излучения для ди-
польного излучения.
88. Оценить интенсивность излучения и поглощения фотона атомом в дипольном приближении.
89. В дипольном приближении вычислить время жизни уровней 2P 1=2 и 2P 3=2 атома водорода (c
учетом тонкой структуры).
90. Нейтральная частица со спином s = 1=2 и магнитным моментом ~s находится в однородном
магнитном поле напряженности H. Найти время жизни возбужденного состояния и угловое
распределение излучения при его распаде.
6