Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://hep.phys.msu.ru/4studs/electrod/met2007.ps Дата изменения: Sat Jun 16 10:47:29 2007 Дата индексирования: Mon Oct 1 19:44:16 2012 Кодировка: IBM-866 Поисковые слова: релятивистское движение

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА
ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
Кафедра квантовой теории
и физики высоких энергий.
З А Д А Н И Я
по курсу "ЭЛЕКТРОДИНАМИКА" для студентов 3-его курса
физического факультета МГУ, 2007-2008 учебный год
Авторы-составители:
В.И.ГРИГОРЬЕВ
В.И.ДЕНИСОВ
В.С.РОСТОВСКИЙ
МОСКВА- 2007

2
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРАММА-МИНИМУМ К ЗАЧЕТУ
Часть 1. "Электродинамика полей и зарядов в вакууме.
Специальная теория относительности."
1. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Сила Лоренца.
2. Уравнения Максвелла в интегральной форме.
3. Закон сохранения заряда и закон сохранения энергии в электроди-
намике ( в дифференциальной форме).
4. Связь полей и потенциалов. Калибровка Лоренца и уравнения для
потенциалов в этой калибровке.
5. Решение уравнений для потенциалов в виде запаздывающих потен-
циалов.
6. Электрический дипольный момент. Потенциал и напряженность
поля электрического диполя в электростатике. Энергия диполя во
внешнем поле.
7. Магнитный дипольный момент. Векторный потенциал и напря-
женность поля магнитного диполя в статике.
8. Свойства плоских электромагнитных волн. Связь векторов поля ~
H
и ~
E, волнового вектора ~ k и частоты !.
9. Потенциалы, напряженности полей, интенсивность и угловое рас-
пределение электрического дипольного излучения.
10. Сила радиационного трения в нерелятивистском приближении.
11. Преобразования Лоренца для координат-времени в 3-мерном виде.
12. Релятивистский закон сложения скоростей.
13. Преобразования Лоренца для четырехмерных векторов; примеры
четырехмерных векторов (радиус-вектор, скорость, плотность то-
ка, потенциалы, волновой вектор, импульс и их инварианты).
14. Законы преобразования напряженностей электромагнитного поля.
Тензор электромагнитного поля и его инварианты.
15. Связь энергии, импульса, массы и скорости релятивистской части-
цы.
16. Уравнения движения релятивистской заряженной частицы во внеш-
нем электромагнитном поле.
17. Выражения для плотности энергии , плотности импульса и потока
энергии электромагнитного поля.
18. Функция Лагранжа релятивистской заряженной частицы во внеш-
нем электромагнитном поле . Уравнения движения в форме Ла-
гранжа.
19. Лапласиан от скалярной функции в декартовых прямоугольных,
цилиндрических и сферических координатах.
ПРИМЕЧАНИЯ:
1. Минимальным требованием для зачета является знание всех со-
ответствующих формул без вывода.
2. Знание перечисленных вопросов является необходимым , но не
достаточным для зачета. Достаточным является умение применить дан-
ные формулы к решению задач.

3
Задание 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ. ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ.
1.1. Используя векторный оператор "набла" ~
r = ~ i
@
@x + ~ j
@
@y + ~ k
@
@z ,
вычислить grad ('
), div (' ~
A), rot (' ~
A), div [ ~
E  ~
H ], rot [ ~
А  ~
В],
grad ( ~
А
~
В);
('
); где '; { скалярные, ~
А; ~
В; ~
E; ~
H - векторные функ-
ции координат.
1.2.Вычислить grad '(r), div (~r
'(r)), rot (~r
'(r)), grad ( ~
Е
~r),
( ~
E ~
r)~r, div [ ~
H~r] , rot [ ~
H~r] , grad f(t r=c)=r, где ~r { радиус-вектор,
~
Е и ~
H { постоянные векторы, ' и f { заданные функции скалярного
аргумента.
1.3*. Записать grad ', div ~
А , rot ~
А в цилиндрической и сфериче-
ской системах координат, пользуясь выражениями для операторов grad,
div, rot в произвольных ортогональных координатах (q 1 ; q 2 ; q 3 )
grad ' = ~e 1
1
h1
@'
@q1 + ~e 2
1
h2
@'
@q2 + ~e 3
1
h3
@'
@q3 ,
div ~
B = 1
h1h2h3
f @
@q1
(h 2 h 3 B 1 ) + @
@q2
(h 3 h 1 B 2 ) + @
@q3
(h 1 h 2 B 3 )g ,
rot A =
     
~e 1
h2h3
~e 2
h3h1
~e 3
h1h2
@
@q1
@
@q2
@
@q3
h 1 A 1 h 2 A 2 h 3 A 3
      = 1
h1h2h3
     
h 1 ~e 1 h 2 ~e 2 h 3 ~e 3
@
@q1
@
@q2
@
@q3
h 1 A 1 h 2 A 2 h 3 A 3
      ;
где ~е 1 ;~е 2 ;~е 3 { базисные единичные векторы в точках q 1 ; q 2 ; q 3 ;
h 1 ; h 2 ; h 3 { коэффициенты Ламе.
1.4. Записать уравнение Лапласа
' = 0 в произвольных ортого-
нальных, в декартовых, цилиндрических и в сферических координатах.
1.5. Вычислить
R 1
1 F (х)
Ї((х))
dх ; нули (х) предполагаются
известными.
1.6. Вычислить
R 1
1 х 2
Ї(4х 2 1)
dх.
1.7. Вычислить
R 10
1
x
Ї(sin x
3
)
dх.
1.8. Разложить Ї(X х 0 ) в интеграл Фурье.
1.9. Написать выражение для плотности точечного заряда в декар-
товых и сферических координатах.
1.10. Заряд q равномерно распределен по поверхности шара ради-
уса R. Записать выражение для поверхностной и объемной плотности
заряда.
1.10a. Заряд q равномерно распределен по тонкому кольцу радиуса
R. Записать выражение для линейной и объемной плотности заряда.
1.11. Пусть ~n(#; ') = fx=r; y=r; z=rg = fsin #
cos '; sin #
sin '; cos #g
{ вектор единичной длины, все направления которого в пространстве
равновероятны. Найти усредненные значения произведений n i n j и
n i n j n k n l , где n i - проекция вектора ~n на ось i.

4
Задание 2. ЭЛЕКТРОСТАТИКА, МАГНИТОСТАТИКА.
2.1. Решить уравнение
' = 4%(~r) разложением в интеграл
Фурье.
2.2. Найти распределение заряда и полный заряд системы, потен-
циал которой равен '(r) = (A=r)
exp( r=b).
2.3. Найти потенциал '(r) сферически симметрического распреде-
ления зарядов (r).
2.4. В атоме водорода в основном состоянии заряд электрона ("элек-
тронное облако") распределен с плотностью %(r) = e=(
a 3 )
exp( 2r=a).
Найти потенциал '(r) электрического поля атома (ядро + электронная
оболочка) , энергию взаимодействия электронного облака с ядром и энер-
гию электронного облака . Ядро считать точечным зарядом.
2.5. Найти потенциал системы зарядов, изображенный на рисунке,
на больших расстояниях r  a  b от системы.
- X
6 Y
 : r
r
+q
b
r
-3q +2q
r
a a
2.6. То же для системы
- X
6 Y
r+q
a r
-2q
a
r
-2q +3q r
b
2.7. Найти потенциал плоского диска радиуса R , заряженного с
поверхностной плотностью  S = q
sin()=R 2 , на больших расстояниях
r  R.
2.8. Найти потенциал системы зарядов, изображенной на рисунке,
на больших расстояниях r  a от системы.
- Z
r
+q
a r
-2q
a r
+q
2.9. Два коаксиальных равномерно заряженных кольца из тонкой
проволоки расположены в одной плоскости. Их радиусы a и b; заряды
+q и q. Найти скалярный потенциал ' на больших расстояниях
r  b > a от такой системы зарядов.
2.10*. Поверхность атомного ядра описывается выражением

5
R() = R 0
(1 + 
Р 2 (cos )), где Р 2 (х) = (3x 2 1)=2 { полином
Лежандра второго порядка. Параметр деформации  мал. Вычислить с
точностью до линейных по  членов квадрупольный момент ядра.
2.11. Скалярный потенциал, создаваемый некоторым распределе-
нием электрического заряда, на пространственной бесконечности убывает
как 1=r 2 : Означает ли это, что электрический дипольный момент данного
распределения зарядов отличен от нуля?
2.12. Найти энергию взаимодействия диполя ~ p и точечного заряда
q . Найти силу и момент сил, действующие на диполь.
2.13. Найти энергию взаимодействия двух точечных диполей ~ p 1 и
~
p 2 , расположенных на большом расстоянии друг от друга.
2.14. Найти энергию взаимодействия точечного заряда q и квадру-
поля D  , расположенных на большом расстоянии друг от друга.
2.15. Найти векторный потенциал и магнитное поле шара радиуса
R, равномерно заряженного по объему зарядом q и вращающегося с по-
стоянной угловой скоростью ! вокруг оси, проходящей через центр, на
больших расстояниях r; r  R.
Задание 3. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ. ПОТЕНЦИАЛЫ ЛИЕНАРА-
ВИХЕРТА. БЛИЖНЯЯ И ВОЛНОВАЯ ЗОНЫ.
3.1. Плоская монохроматическая электромагнитная волна распро-
страняется в вакууме вдоль оси z. Записать выражения для ~
Е(z; t); ~
Н(z; t)
если волна: а) линейно поляризована, б) поляризована по кругу.
3.2. Найти плотность энергии и плотность потока энергии для
плоской монохроматической электромагнитной волны, имеющей эллипти-
ческую поляризацию; волновой вектор ~к направлен по оси Z.
3.3. Радиус-вектор ~r точечного заряда q изменяется по заданному
закону ~r = ~r 0 (t) . Используя формулы для запаздывающих потенциалов,
найти скалярный ' и векторный ~
A потенциалы заряда (называемые
потенциалами Лиенара-Вихерта).
3.4. Используя формулы для потенциалов Лиенара-Вихерта, найти
скалярный и векторный потенциалы равномерно движущегося заряда q.
3.5*. Разлагая в ряд по полному запаздыванию, записать выра-
жения для '; ~
A; ~
E; ~
H произвольно движущегося заряда, с точностью до
(v=c) 3 включительно.
3.6*. Разложить скалярный и векторный потенциалы в ряд по ло-
кальному запаздыванию в дипольном приближении. Оценить вклад в
потенциалы и поля от различных слагаемых в предельных случаях ! = 0
(статика), a  r  c=! (ближняя зона) и a  c=!  r (волновая зона).

6
Задание 4. ИЗЛУЧЕНИЕ НЕРЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ,
ДВИЖУЩИХСЯ ПО ЗАДАННОМУ ЗАКОНУ.
4.1. Заряд e совершает гармонические колебания вдоль оси Z с
амплитудой a и частотой ! , ( a  c=! ). Найти полную интенсивность
и угловое распределение излучения. Исследовать поляризацию.
4.2. Заряд е движется с постоянной угловой скоростью ! по
окружности радиуса R . Найти угловое распределение и полную интен-
сивность излучения. Исследовать поляризацию излучения.
4.3. Круговой контур радиуса a с постоянным током J вращается с
постоянной угловой скоростью ! вокруг оси, которая образует угол  с
нормалью к плоскости контура. Найти угловое распределение и полную
интенсивность излучения. Указать тип поляризации.
4.4. Найти полную интенсивность и угловое распределение Е2
(электрического квадрупольного) излучения линейного гармонического
осциллятора (заряд е , частота ! , амплитуда a , a  c=!). Какова
частота Е2 излучения? Сравнить с полной интенсивностью и частотой
Е1 (электрического дипольного) излучения.
4.5. Найти полную интенсивность, угловое распределение и ча-
стоту излучения системы из двух одинаковых зарядов, вращающихся с
угловой скоростью ! по окружности радиуса R и сдвинутых на угол
 =  (т.е. в противофазе).
4.6. Оценить при каком угле ' =   интенсивности Е1 и Е2
излучений в задаче 4.5. будут одинаковыми.
4.7. Электрический диполь ~ p гармонически колеблется вдоль своей
оси (оставаясь параллельным самому себе) с амплитудой а и частотой
! . Найти частоту излучения и энергию, излучаемую за период.
Задание 5. ИЗЛУЧЕНИЕ ЧАСТИЦ ПРИ СТОЛКНОВЕНИИ.
5.1. Частица с зарядом е и массой m налетает из бесконечности
на неподвижный кулоновский центр с зарядом q того же знака. Столк-
новение лобовое, скорость частицы на бесконечности равна v 0 . Найти
полную энергию, излученную частицей за все время соударения.
5.2. Нерелятивистская частица с зарядом е , массой m рассе-
ивается в кулоновском поле бесконечно тяжелого силового центра (заряд
Q) с прицельным расстоянием a , обеспечивающим малость отклонения,
mv 2
0  eQ=a (т.наз. периферическое рассеяние). Найти полную энергию,
излученную во время соударения, если скорость частицы на бесконечно-
сти равна v 0 .

7
5.3. Нерелятивистская частица с зарядом е , массой m движется
в однородном постоянном магнитном поле ~
Н . Найти время, в течение
которого энергия частицы уменьшается в 10 раз вследствие излучения.
5.4. Оценить число оборотов и время жизни атома в модели Резер-
форда, считая v  c , если начальный радиус орбиты a = 0; 5
10 8 см,
m = 0; 9
10 27 г, e = 4; 8
10 10 абс.ед.
5.5*. Оценить по порядку величины энергию, излученную при пе-
риферическом рассеянии протона с зарядом е и массой m и нейтрона с
магнитным моментом  . Прицельное расстояние b:
Задание 6. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА.
Задание 7. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН. СИЛА
ЛУЧИСТОГО ТРЕНИЯ.
7.1. Линейно поляризованная плоская электромагнитная волна ча-
стоты ! падает на изотропный гармонический осциллятор с собственной
частотой ! 0 . Найти дифференциальное и полное сечение рассеяния в за-
висимости от частоты с учетом силы радиационного трения.
7.2. Изотропный гармонический осциллятор с зарядом е , мас-
сой m и собственной частотой ! 0 помещен в однородное магнитное
поле ~
H . Определить движение осциллятора. Исследовать частоты и
поляризацию излучения в зависимости от направления. Магнитное поле
считать слабым, eH=(mc)  ! 0 :
7.3. Учитывая силу радиационного трения, найти силу давления
света на нерелятивистский электрон.
7.4*. Исследовать рассеяние света частоты ! на двух независимых
осцилляторах с собственной частотой ! 0 в зависимости от расстояния
R между осцилляторами. Вектор ~
E падающей волны направлен вдоль
линии, соединяющей осцилляторы. Амплитуда колебаний осциллятора
мала по сравнению с длиной волны. Найти дифференциальное сечение
рассеяния.
7.5. Найти момент количества движения, который уносится за еди-
ницу времени излучением от точечного заряда e, вращающегося с посто-
янной угловой скоростью ! по окружности радиуса R.
Задание 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА.
8.1. Получить формулы для преобразования радиуса-вектора ~r и
времени t при переходе из одной инерциальной системы в другую, имею-
щую относительно первой произвольно направленную скорость ~
V .

8
8.2. Используя инвариантность фазы и преобразования Лоренца,
найти закон преобразования частоты и волнового вектора.
8.3. На базе релятивистской теории дать объяснение явлению
астрономической аберрации.
8.4. На базе релятивистской теории дать объяснение результатам
опытов Физо.
8.5. Покоящийся атом испускает фотон частоты ! . В каких пре-
делах изменяется частота излучения этого атома, если он движется со
скоростью V ?
8.5a. Поскольку Земля движется вокруг Солнца, частоты излуче-
ния всех внеземных источников испытывают периодические изменения.
Оценить масштабы этих изменений Ї!=! , а также вклад в эти измене-
ния собственного суточного вращения Земли.
8.6. Найти зависимость между углом падения и углом отражения,
а также закон преобразования частоты при отражении света от зеркала,
движущегося с постоянной скоростью V .
8.7. Найти закон преобразования длины волны при переходе в си-
стему координат, движущуюся под углом  к направлению волнового
вектора.
8.8. Найти потенциалы '; ~
A и напряженности полей ~
E; ~
H точеч-
ного заряда e , движущегося равномерно со скоростью ~
V .
8.9. Найти потенциалы точечного диполя ~
d; движущегося поступа-
тельно с постоянной скоростью ~
V :
Задание 9. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА. ТЕНЗОР ЭЛЕКТРОМАГ-
НИТНОГО ПОЛЯ.
Краткое введение.
Изучение уравнений электродинамики показало, что пространство
и время представляют собой единое целое { четырехмерное пространство-
время. В этом 4-мерном пространстве мы можем ввести четыре взаимно
ортогональные оси: х 0 = ct; х 1 = х; х 2 = у; х 3 = z . Тогда радиус-
вектор некоторой точки этого пространства будет иметь четыре компо-
ненты и его можно записать в виде: х i  fх 0 ; х 1 ; х 2 ; х 3 g  fct; ~rg .
При такой записи обычно считают, что любой индекс, обозначенный
латинской буквой (i, j, k и т.д.) может принимать четыре значения:
i = 0; 1; 2; 3 . Совершенно аналогично и любой другой 4-х вектор А i
можно спроектировать на координатные оси и определить его проекции
A i = fА 0 ; A 1 ; A 2 ; A 3 g . По аналогии с 4-х вектором х i компоненту
А 0 называют временной компонентой, а компоненты А 1 ; А 2 ; А 3 { про-

9
странственными компонентами. В декартовых координатах компонентам
А 1 ; A 2 ; A 3 соответствуют компоненты А x ; А y ; А z .
Следующим по сложности (после 4-вектора) объектом является
тензор второго ранга, имеющий два индекса: T ik . Так как индексы i и
к у этого тензора могут принимать независимо друг от друга значения
0; 1; 2; 3 , то данный тензор можно представить в виде матрицы, строки
которой нумеруются индексом i (первый индекс), а столбцы - индексом
к (второй индекс). При этом следует учесть, что в отличие от обычной
матрицы здесь нумерация начинается не с единицы, а с нуля: сначала
идет нулевая строка, за ней первая и т.д.
Одним из наиболее важных тензоров второго ранга является кон-
травариантный метрический тензор g ik . Предполагается, что опреде-
литель матрицы g ik всегда отличен от нуля, и поэтому по данной матрице
мы всегда можем построить ей обратную. Тензор g ik соответствует ма-
трице, обратной к g ik ; его называют метрическим тензором с ковариант-
ными индексами (или, просто, ковариантным метрическим тензором). В
декартовых координатах инерциальной системы отсчета псевдоевклидова
пространства-времени (пространства специальной теории относительно-
сти) матрицы, соответствующие тензорам g ik и g ik , совпадают:
g ik =
0
B @
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1
C A = g ik :
Так как матрицы g ik и g ik взаимно обратны, то выполняется соотношение
3
X
m=0
g im
g mk = Ї k
i =
n = 0 при i 6= k;
= 1 при i = k:
В тензорном анализе обычно принимают правило суммирования Эйн-
штейна: по индексам, обозначенным одной и той же буквой и стоящим
один вверху (контравариантный индекс), а другой внизу (ковариантный
индекс) предполагается суммирование по всей совокупности принимае-
мых данными индексами значений. В силу этого правила, записывая вы-
ражение g im
А mk , мы подразумеваем, что по индексу m происходит
суммирование от 0 до 3:
g im
А mk 
3
X
m=0
g im
А mk :

10
Это правило позволяет в ряде случаев значительно упрощать запись
сложных тензорных выражений.
Используя метрический тензор, мы можем поднимать и опускать
индексы и у других тензоров, и, тем самым, находить связь между контра-
и ковариантными компонентами одного и того же тензора. По определе-
нию имеем:
A i = g im
A m ; T k
i = g im
T mk ; T ik = g im
g kn
T mn ;
A i = g im
Am ; T i
k = g im
Tmk ; T ik = g im
g kn
Tmn :
С помощью метрического тензора можно получить обобщение понятия
расстояния между двумя точками на случай 4-х мерного пространства-
времени. Соответствующее "расстояние" в этом случае называется ин-
тервалом ds ; по определению квадрат интервала равен:
ds 2  g ik dx i dx k  dx k
dx k :
В декартовых координатах инерциальной системы отсчета псевдо-
евклидова пространства-времени квадрат интервала имеет вид: ds 2 =
c 2 dt 2 (d~r) 2 , отсюда уже видно, что в 4-мерном пространстве-времени
"квадрат" интервала ds 2 не является знакоопределенным: в зависимости
от величин dt и d~r он может быть меньше, равен или больше нуля.
При преобразовании координат 4-мерного пространства-времени
х 0 i = х 0 i (х m ) (переход от нештрихованных координат x m к штри-
хованным координатам x 0
i ) ковариантные четырехвекторы и тензоры
2-го ранга преобразуются по закону:
@
@x 0 i
= @x m
@x 0 i
@
@x m ; A 0
i = @x m
@x 0 i
Am ; T 0
ik = @x m
@x 0 i
@x n
@x 0 k
Tmn :
Для контравариантных компонент имеем:
dx 0 i = @x 0 i
@x k dx k ; A 0 i = @x 0 i
@x k A k ; T 0 ik = @x 0 i
@x m

@x 0 k
@x n
T mn :
9.1.* На плоскости введена декартова косоугольная система коор-
динат, угол между осями которой равен !. Записать метрический тензор
и формулы для опускания и поднятия индексов (т.е. для перехода от кон-
травариантных компонент к ковариантным и обратно).
9.2. Записать компоненты ко- и контравариантного метрического
тензора в сферических координатах.

11
9.3. Дан антисимметричный тензор электромагнитного поля
F ik = F ki ; ковариантные компоненты которого в декартовых коор-
динатах инерциальной системы отсчета можно представить в виде
F ik  @A k
@x i
@A i
@x k
=
0
B @
0 E x E y E z
E x 0 H z H y
Ey H z 0 H x
E z H y H x 0
1
C A ;
где Е x ; Е y ; Е z и Н x ; Н y ; Н z - декартовы проекции векторов напряженно-
стей электрического ~
E и магнитного ~
H полей. Найти тензор F ik .
9.4. Учитывая преобразования Лоренца и используя закон преобра-
зования тензора второго ранга, найти формулы преобразования компо-
нент ~
E и ~
H при переходе от одной инерциальной системы отсчета к дру-
гой, движущейся относительно первой вдоль оси х со скоростью V .
9.5. Обобщить закон преобразования векторов ~
E и ~
H при преобра-
зовании Лоренца на случай произвольного направления вектора относи-
тельной скорости ~
V .
9.6. В лабораторной системе координат угол между напряженно-
стями полей ~
E и ~
H равен '. Найти систему координат, в которой они
параллельны. Всегда ли задача имеет решение? Единственно ли оно?
9.7. Электрон обладает спиновым моментом количества движения
s; (s = h=2) и связанным с ним магнитным моментом  = es=(mc). Оце-
нить энергию взаимодействия магнитного момента электрона в атоме во-
дорода с кулоновским полем ядра.
9.8. Используя результаты задачи 9.3 , найти выражения для
F ik F ik и сравнить их с выражением для F 0 ik F 0
ik ; выразить результат
через напряженности полей.
9.9*. То же для e iklm F ik F lm . Учесть, что в инерциальных системах
отсчета абсолютно антисимметричный тензор Леви-Чивиты имеет вид:
e iklm =
n 0; если хотя бы два индекса одинаковы,
1; если все индексы разные;
причем e 0123 = +1:
9.10. Найти закон преобразования амплитуд векторов ~
E и ~
H элек-
тромагнитной волны при преобразованиях Лоренца.
Задание 10. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ.
10.1. При какой энергии частицы, имеющей массу покоя m , время
ее распада в N раз больше, чем в собственной системе отсчета?

12
10.2. Частица с массой m 1 и скоростью v 1 поглощается частицей
массы m 2 , первоначально покоившейся. Найти массу M и скорость
V образовавшейся частицы.
10.3. Покоящееся возбужденное ядро с энергией возбуждения
E = h! 0 испускает гамма-квант. Найти частоту гамма-кванта с учетом
отдачи ядра. Масса покоя невозбужденного ядра M; Mc 2  h! 0 .
10.4. Квант света с частотой ! 0 рассеивается на покоящемся
свободном электроне. Найти зависимость частоты ! рассеянного фотона
от угла рассеяния .
10.5*. То же для случая, когда электрон ультрарелятивистский,
его импульс j ~
P j  mc и составляет угол  0 с направлением движения
первичного -кванта.
10.6. Частица с массой m 1 налетает на покоящуюся частицу с
массой m 2 . Происходит реакция, в которой рождаются частицы с общей
массой M > m 1 + m 2 . Найти энергетический порог реакции Т ,
т.е. минимальное значение кинетической энергии налетающей частицы,
начиная с которого реакция становится энергетически возможной.
10.7. Найти пороговую энергию фоторождения  0 -мезона на ну-
клоне: n + ! n +  0 . Массы покоя нуклона M и  0 -мезона m
известны.
10.8. Частица из ускорителя, имевшая массу покоя m и полную
энергию E 1 , движется к покоящейся частице-мишени той же массы. Най-
ти суммарную кинетическую энергию T двух частиц в системе центра
инерции.
10.9. Опираясь на законы сохранения энергии и импульса, пока-
зать, что невозможны ни испускание, ни поглощение фотона свободным
электроном.
10.9a. Опираясь на законы сохранения энергии и импульса, пока-
зать, что невозможны ни превращение свободно движущегося  0 -мезона
в один гамма-квант, ни обратная реакция.
10.10. -мезон с массой покоя m , двигавшийся со скоростью v ,
распадается на два гамма-кванта. Найти энергетический спектр гамма-
квантов в лабораторной системе координат.
10.11. Найти массу системы, состоящей из двух фотонов одинако-
вой частоты !; если угол между их волновыми векторами равен .
10.12*. Определить возможные пределы энергии антинейтрино,
образующегося при бета-распаде нейтрона, n ! p + + e + ~  e .

13
Задание 11. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА.
Задание 12. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ПОЛЯХ.
ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ФОРМЕ
ЛАГРАНЖА.
12.1. Релятивистская частица с зарядом e и массой m движется
в однородном электрическом поле ~
Е . При t = 0 частица находилась
в начале координат и имела импульс ~ p 0 ? ~
E . Найти закон движения
частицы - явную зависимость ~r(t) и ~v(t) .
12.2. Релятивистская частица с зарядом e и массой m движется
в однородном магнитном поле ~
H . При t = 0 частица находилась в
начале координат и имела начальную скорость v 0 . Найти закон движения
частицы. Указать все интегралы движения в данном случае.
12.3. Записать уравнения движения заряженной частицы во внеш-
нем электромагнитном поле, используя функцию Лагранжа этой частицы
L = mc 2

p 1 v 2 =c 2 e'(~r; t) + e(~v
~
A(~r; t))=c .
12.4. Заряженная частица (заряд e , масса m ) движется в поле
силового центра - точечного заряда q. Выписать все интегралы движения.
Задание 13. ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА. ИЗЛУЧЕНИЕ БЫ-
СТРО ДВИЖУЩИХСЯ ЗАРЯДОВ.
13.1. Найти полную интенсивность излучения релятивистской за-
ряженной частицы, переходя из сопутствующей системы координат в ла-
бораторную. Выразить интенсивность излучения: a) через скорость и
ускорение; б) через внешние поля.
13.2. Релятивистская частица с зарядом e и массой m движется по
круговой орбите постоянного радиуса R . Найти зависимость мощности
излучения от энергии частицы.
13.3*. Релятивистская заряженная частица движется по окружно-
сти. В сопутствующей системе угловое распределение излучения впе-
ред и назад одинаково. Переходя в лабораторную систему координат и
используя формулу для аберрации света, объяснить мгновенное угловое
распределение излучения. В частности, оценить створ углов, в который
будет излучаться половина энергии; каким углам в лабораторной системе
соответствуют передняя и задняя полусферы сопутствующей системы ?
ЗАЧЕТ

14
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРАММА-МИНИМУМ
Часть 2. "Электродинамика сплошных сред".
1. Уравнения Максвелла в веществе в дифференциальной и инте-
гральной формах.
2. Уравнения для потенциалов в однородной изотропной среде.
3. Граничные условия для полей в кусочно-однородной среде.
4. Закон сохранения энергии в дифференциальной форме. Физический
смысл каждого из слагаемых.
5. Постановка задачи (уравнения и граничные условия) для потенци-
алов в электростатике.
6. Квазистационарное приближение. Условия применимости. Урав-
нения второго порядка для полей.
7. Глубина проникновения полей в проводниках. Толщина скин-слоя.
8. Основные уравнения магнитной гидродинамики.
9. Записать уравнения для полей и материальные уравнения для дви-
жущихся проводников и диэлектриков. Обобщенный закон Фара-
дея.
10. Комплексная диэлектрическая проницаемость, физический смысл
ее действительной и мнимой частей.
11. Диэлектрическая проницаемость разреженного нейтрального газа.
12. Плоские электромагнитные волны в слабопроводящем веществе.
13. Фазовая и групповая скорости.
14. Отражение и преломление электромагнитных волн на плоской гра-
нице раздела прозрачных сред.
Задание 15. ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ. МЕТОД ИЗО-
БРАЖЕНИЙ.
15.1. Точечный заряд q расположен на расстоянии a от поверхно-
сти бесконечно протяженной проводящей пластины толщины h. Найти
скалярный потенциал '. Решение искать методом изображений. Про-
верить, что решение удовлетворяет уравнению и граничным условиям.
Вычислить плотность поверхностных зарядов  S , энергию и силу взаи-
модействия заряда с пластиной. Найти полный индуцированный заряд.
15.2. Точечный заряд q расположен внутри прямого угла, образо-
ванного двумя бесконечными полуплоскостями, разграничивающими про-
водник и вакуум. Найти потенциал и плотность поверхностных зарядов.

15
15.2а.Проанализировать возможность решения, если заряд нахо-
дится вне прямого угла.
15.3. Точечный диполь ~ p расположен в вакууме на расстоянии a от
бесконечной плоской границы проводника. Найти потенциал, плотность
поверхностных зарядов, энергию, силу и момент силы, действующие на
диполь.
15.4. Точечный заряд q находится на расстоянии a от центра за-
земленного проводящего шара радиуса R. Найти потенциал, плотность
поверхностных зарядов и полный заряд, индуцированный на шаре, энер-
гию и силу взаимодействия.
15.5. Точечный заряд q расположен на расстоянии a от центра
изолированного проводящего шара радиуса R , на который нанесен заряд
e. Найти потенциал, плотность поверхностных зарядов, энергию и силу
взаимодействия.
Задание 16. ПОТЕНЦИАЛЫ И ЕМКОСТИ.
16.1. Найти зависимость емкости системы двух проводящих шаров
с радиусами R 1 и R 2 от расстояния L между ними, L  R 1  R 2 .
16.1а. То же при R 1 = R 2 = R с точностью до (R=L) 3 .
16.2. Равномерно заряженная тонкая нить (линейная плотность за-
ряда  ) расположена на расстоянии a от оси проводящего незаряженного
цилиндра радиуса R; a > R. Найти потенциал результирующего элек-
трического поля. Найти плотность поверхностных зарядов на цилиндре,
а также энергию и силу взаимодействия нити с цилиндром, приходящиеся
на единицу длины.
16.3*. Определить емкость единицы длины двух параллельных бес-
конечных цилиндрических проводников. Радиусы проводников равны R 1
и R 2 , расстояние между осями L > R 1 +R 2 .
16.4. Доказать теорему взаимности.
16.4а.Точечный заряд q расположен между бесконечными парал-
лельными проводящими плоскостями. Расстояния от заряда до плоско-
стей равны a и, соответственно, b. Используя теорему взаимности, найти
заряды, индуцированные на каждой из плоскостей.
Задание 17. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ.
17.1. Незаряженный проводящий шар радиуса R вносится в элек-
трическое поле, которое в отсутствии шара было однородным и равным
~
Е 0 . Определить результирующее поле ~
Е и плотность поверхностных за-
рядов на шаре.

16
17.2. Проводящий шар радиуса R разрезан на два полушария, со-
единенные между собой, и помещен во внешнее однородное поле ~
Е 0 , на-
правленное перпендикулярно плоскости разреза. Найти силу, действую-
щую на каждое из полушарий.
17.2а. То же, но поле ~
Е 0 параллельно плоскости разреза.
17.3. Проводящий цилиндр радиуса R помещен во внешнее одно-
родное электрическое поле ~
E 0 , перпендикулярное оси цилиндра. Найти
потенциал результирующего поля.
17.4*. Проводящий шар радиуса R 0 имеет заряд q.Найти плотность
поверхностного заряда  S и потенциал, если шар испытал малую ква-
друпольную деформацию: R() = R 0
(1 + 
Р 2 (cos)) с точностью до
линейных по  членов.
Задание 18. ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ.
18.1. Найти емкость единицы длины коаксиального кабеля с вну-
тренним радиусом a и внешним радиусом b.
18.2. Решить задачу 18.1, проводя минимизацию энергии прямым
вариационным методом. В качестве пробной функции для потенциала
выбрать параболу. Сравнить с точным решением при b=а = 1,01; 1,1; 2;
10.
18.3. Заряд q расположен на расстоянии a от плоской границы
раздела двух полупространств с диэлектрическими проницаемостями  1
и  2 . Найти потенциал и силу действующую на заряд.
18.4. Шар радиуса R с диэлектрической проницаемостью  помещен
в однородное внешнее электрическое поле ~
Е 0 . Найти потенциал.
18.5. Найти силу и потенциальную энергию взаимодействия неза-
ряженного диэлектрического шара радиуса R и удаленного от его центра
на расстояние r точечного заряда e (r  R).
18.6. В бесконечном диэлектрике с проницаемостью  имеется ша-
ровая полость радиуса R, в центре которой помещен точечный диполь ~ p.
Найти потенциал '.
18.7. В шаре радиуса R с диэлектрической проницаемостью  сво-
бодные заряды распределены по закону:  = r cos : Найти потенциал.
Задание 19. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ДИЭЛЕКТРИК ВО
ВНЕШНЕМ ПОЛЕ.
19.1*. Диэлектрический шар радиуса R с проницаемостью  , на-
ходящийся во внешнем однородном поле ~
Е 0 , разрезан на две половины
плоскостью, перпендикулярной полю. Определить силы, действующие на
полушария.

17
19.2. Диэлектрический цилиндр длины L и радиуса R; (R  L), с
проницаемостью  помещен во внешнее поле ~
Е 0 , направленное под углом
 к оси. Найти момент силы, действующей на цилиндр.
19.3. Найти высоту поднятия жидкости с плотностью массы m
и диэлектрической проницаемостью  между пластинами плоского кон-
денсатора, опущенными в жидкость, если между ними поддерживается
постоянная разность потенциалов V , а расстояние между пластинами
равно d.
Задание 20. СТАЦИОНАРНЫЕ ТОКИ В ПРОВОДНИКАХ.
20.1. Найти закон преломления линий тока на границе раздела двух
сред. Найти плотность поверхностных зарядов.
20.2. Найти плотность объемных зарядов в неоднородном провод-
нике с током.
20.3. В плохо проводящую среду (например, электролит) опущены
хорошо проводящие стержни. Известны потенциал каждого стержня и
полный стекающий с него ток. Найти джоулево тепло, выделяющееся за
единицу времени.
20.4. Найти сопротивление заземления между шарами с радиусами
a и b , расположенными на большом расстоянии L; (L  a  b) , и
помещенными в плохо проводящую среду с проводимостью .
20.5. Найти векторный потенциал и магнитное поле бесконечно
длинного прямого провода с током J, равномерно распределенным по се-
чению проводника (цилиндр радиуса R ). Найти также скалярный потен-
циал магнитного поля вне проводника.
Задание 21. ИНДУКТИВНОСТЬ. СИЛЫ И ЭНЕРГИЯ ВЗАИМО-
ДЕЙСТВИЯ.
21.1. Вычислить коэффициент самоиндукции единицы длины коак-
сиального кабеля.
21.2. Вычислить энергию взаимодействия прямого провода с током
J 1 ; параллельного оси x; и квадратной рамки с током J 2 . Провод паралле-
лен оси рамки, но лежит вне плоскости рамки. Длина стороны рамки 2а;
ее центр масс имеет координаты f0; y 0 ; z 0 g: Найти взаимную индукцию
L 12 , силу и момент силы.
21.3. Вычислить индуктивность тороидального соленоида прямо-
угольного сечения; кругового сечения при a  R.
21.4. Найти давление на поверхность и силу (на единицу длины),
растягивающую обмотки тороидального соленоида с прямоугольным се-

18
чением, если по нему течет ток J , а полное число витков N .
21.5. Найти взаимную индукцию тонких коаксиальных колец с ра-
диусaми a и b , лежащих в параллельных плоскостях. Расстояние между
плоскостями h. Рассмотреть случай h  а  b  r , где r - толщина
провода.
Задание 22. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА.
Задание 23. СКИН-ЭФФЕКТ.
23.1. Проводящий шар (радиуса R , проводимостью  ) помещен
во внешнее однородное магнитное поле ~
Н 0 cos(!t). Найти магнитный мо-
мент шара  и интенсивность излучения I , если Ї  R  c=! , где Ї {
толщина скин-слоя.
23.2  : В задаче 23.1 найти тепло, выделяющееся за единицу време-
ни.
23.3 Решить задачу 23.1 для случая R  Ї  c=!.
23.3a. Проводящий шар (радиуса R , проводимостью  ) помещен
во внешнее однородное магнитное поле, постоянное по модулю и враща-
ющееся с частотой !, ~! ? ~
H : Найти момент сил, действующих на шар,
если R  Ї  c=!.
23.4. Сравнить сопротивление и индуктивность единицы длины
цилиндрического провода радиуса a в случаях слабого и сильного скин-
эффекта.
Задание 24. КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ.
24.1. Тонкий провод с током J 0 cos(!t) расположен параллельно
плоской поверхности идеального проводника на расстоянии a от нее. Най-
ти поле и распределение токов на поверхности проводника при Ї  a.
24.2. Внутри проводника имеется цилиндрическая полость радиуса
R, в которой по тонкому прямому проводу параллельно оси на расстоянии
d от нее протекает переменный ток J 0 cos(!t). В приближении идеального
(Ї  d < R) проводника найти плотность тока на поверхности полости.
24.3  : На большом расстоянии а от плоской поверхности идеального
проводника расположен круговой контур радиуса r , по которому протека-
ет переменный ток J 0 cos(!t). Найти распределение токов на поверхности
проводника.
Задание 25. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД.
25.1. Диэлектрический шар (радиус R;  = 1;  6= 1) движется в
однородном постоянном электрическом поле ~
E 0 cо скоростью ~v , v  c.

19
Найти создаваемое им магнитное поле.
25.2. Проводящий цилиндр радиуса R , высоты h вращается вокруг
своей оси с угловой скоростью ! в однородном постоянном магнитном поле
~
В ? ~!. Оценить момент сил (при h  R; Ї  R) , необходимых для
поддержания равномерного вращения.
25.3. Нейтральный проводящий цилиндр радиуса R вращается с
угловой скоростью ! в постоянном магнитном поле ~
B k ~!: Определить
разность потенциалов между точкой на оси цилиндра и точкой на его
боковой поверхности. Найти распределение зарядов в цилиндре.
25.4. Идеально проводящая жидкость помещена между двумя плос-
костями z = 0 и z = a и находится в постоянном магнитном поле ~
B 0 ,
параллельном оси Z. Предполагается, что в начальный момент времени
поле внутри жидкости совпадает с внешним полем, а начальная скорость
направлена по оси X и равна v 0 sin(z=a) . Определить дальнейший закон
движения жидкости.
Задание 26. КОМПЛЕКСНАЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦА-
ЕМОСТЬ.
26.1. Пользуясь соотношениями Крамерса-Кронига, найти дей-
ствительную часть  0 (!) диэлектрической проницаемости по ее мнимой
части
 00 (!) = ( 0 1)
!
! 2 +  2
;
где  0 и  { постоянные параметры.
26.2. Связь между ~
D и ~
Е в материальной среде, состоящей из твер-
дых диполей, может быть записана в виде
~
D(t) = ~
E(t) + 4



Z t
1
exp( t t 0

)
~
E(t 0 )
dt 0 ;
где  и  { константы. Найти (!) для такой среды.
26.3. Получить выражение для тензора диэлектрической проница-
емости разреженного газа из нейтральных одноэлектронных атомов, по-
мещенного во внешнее однородное постоянное магнитное поле ~
B 0 . Вос-
пользоваться осцилляторной моделью.
Задание 27. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА.

20
Задание 28. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В СРЕДАХ И ИХ ОТ-
РАЖЕНИЕ ОТ ПЛОСКИХ ГРАНИЦ.
28.1. Пользуясь осцилляторной моделью, выяснить, при каких
условиях в полностью ионизированном разреженном газе возможно рас-
пространение продольных электромагнитных колебаний. Принять  = 1;
диссипациями пренебречь.
28.2. Плоская монохроматическая волна распространяется вдоль
оси z в веществе, для которого ненулевые компоненты комплексного тен-
зора диэлектрической проницаемости имеют вид: " 11 = " 22 = " 1 ; " 33 =
" 2 ; " 12 = " 21 = i" 3 : Найти фазовую скорость этой волны.
28.3. То же для волны, распространяющейся перпендикулярно к
оси z:
28.4. Белый свет отражается от поверхности вещества, для кото-
рого в рассматриваемой области частот "(!) = 0 ,
 0 (!) = 1 + f
(! 2
0 ! 2 ) 2 + 2 ! 2
;
где f  ! 4
0
. Найти спектральный состав отраженного света для случаев
нормального и наклонного падения.
28.5. Плоская волна частоты ! 0 падает из вакуума по нормали на
границу диэлектрика, движущегося с постоянной скоростью V перпенди-
кулярно границе. Найти коэффициент отражения и частоту отраженной
волны.
ЭКЗАМЕН