Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://hbar.phys.msu.ru/hbar/optmicro/lec04.pdf Дата изменения: Fri Mar 13 00:00:00 2009 Дата индексирования: Mon Oct 1 20:43:36 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: мода колебаний

Спецкурс Оптические микрорезонаторы. Лекция 4. Моды шнпчущей галереи в цилиндрических координатах

М.Л.Городецкий

13 марта 2009 г.


2

Мы переходим к рассмотрению диэлектрических микрорезонаторов с модами типа шепчущей галереи. Такие резонаторы являются телами вращения сферами, дисками, тороидами, сфероидами и т.д. Высокодобротные диэлектрические резонаторы в форме колец и дисков с МШГ стали применяться в СВЧ диапазоне с начала 60-ых годов, и получили широкое распространение в различных устройствах [ ]. При гелиевых температурах добротность таких резонаторов из лейкосапфира (кристаллический сверхчистый оксид аллюминия Al2 O3 ) для миллиметрового диапазона волн может превышать казался естественным и вполне реализуемым методами интегральной оптики и такие предложения появились достаточно рано [2]. Однако в оптическом диапазоне здесь пришлось столкнуться с резким ростом влияния поверхностных неоднородностей и как следствие с малой добротностью получающихся устройств. И лишь относительно недавно развитие технологии и появление чистых материалов позволило получить действительно высокие добротности в дисковых и кольцевых оптических резонаторах [3,

?

IH

9

[1]. Перенос успешной формы в область световых волн

?, ?

].

0.1

Волны в цилиндрических координатах

Определение основных операторов в цилиндрической системе координат

@

; z ;

врезке.

A

, связанными с параметрами Ламэ

h



a hz a I

,

h



a



, показаны на


0.1.

Волны в цилиндрических координатах

3

Векторные операторы в цилиндрических координатах
ru a @ @ I r?Ua r?Ua
u i C I @u i C @u i ; @ @z z @ @U A I @ U @ Uz C @ C @z ; @ I @ Uz @ U i C @ U @ Uz i @ @z @z @ I @ @U A @ U iz ; @ @ I @ @u C I @2u C @2u ; @ @ 2 @ 2 @ z 2 ! @ 2 U I @ 2 U @ 2 Uz I @ 2 @U A C 2 @ 2 @ @ z 2 @ @ i @2z 2 @ I @ @U A U I I@ C @@ z2 @@ @@U @ @ @ 2 I @ @ Uz C I @ Uz I @ @ U I @ @ 2 @ 2 @ @z ! 2 @ I @ @U A @ Uz I C @ @ z C @@ @@U i C @ @ ! 2 2 2 I @ @U A C I @ Uz C I @ U i C 2 @ @ @ z @ 2 @ 2 2 I @ @U A C @ 2 Uz C I @ 2 U ! iz ; @ @ z @ z 2 @ @ z I @ @ U C @ 2 U C I @ 2U P @ U @ @ @ 2 z 2 @ 2 2 @ I @ @ U C @ 2 U C I @ 2U C P @ U @ @ @ z 2 2 @ 2 2 @ I @ @ Uz C @ 2 Uz C I @ 2Uz ! iz : @ @ @ z 2 2 @ 2
(1)

C
r2 u a r?r?U a r@r ? UA a

Uz z@ @ 2 U @z@
2

!

!

i

i

z

;

r Ua
2



I

C C



I

2

U U

!

!


i



2

i


4

Воспользовавшись выражением для векторного оператора Лапласа, выпишем волновое уравнение для векторов сводится к системе из трех частично связанных уравнений:

E

в изотропной среде, которое

r2 E C k2 I2 E P2 r2 E C k2 I2 E C P2 r2 Ez C k2 Ez a H:
ля





@ E @ @ E @

a H; a H;
(2)

Аналогичная система уравнений получается для компонент магнитного по-

H

.

Если ввести новые переменные [4]:

EЃ


I a pP @E Ѓ
I a H;
2

iE A;

(3)

то система разделяется на три независимых уравнения:

r EЃ C k r2 Ez C k2 Ez r ? E a H:
2 2



EЃ

Pi E Ѓ 2 @@ Ѓ a H;
(4)

Такая система уравнений интересна тем, что хотя поле раскладывается по цилиндрическим компонентам, решать уравнение для каждой компоненты можно в произвольной аксиально-симметричной системе

; ;

(сфери-

ческой, сфероидальной, параболической, тороидальной и т.д.), удобной для соответствующей геометрии задачи. Аналогичным образом в любой системе координат возможно разделение векторного уравнения Гельмгольца по декартовым компонентам. При этом каждая декартова компонента должна удовлетворять скалярному уравнению в этой, в общем случае недекартовой, системе координат. При выбранной угловой зависимости в виде

e

im

, где

m

целое число,

полученные три уравнения сводятся к трем уравнениям одного вида:

r EЃ C k
2

2

2 r2 Ez C k2 2m; A Ez a H: @

m @ @Ѓ; IAA !
2

2

!

EЃ

a H;
(5)

Справедливость полученных уравнений следует из того, что в любой аксиальной системе координат возможна замена
2 r2 a r2 C hI2 @@2 ;

h



a @; A

:

(6)


0.1.

Волны в цилиндрических координатах

5

Если известно общее решение скалярного уравнения Гельмгольца

lm

@

; ;


Aa
z
)

r2 C k2 a H;
lm

@; Ae
;

im

;

(7)

Решение уравнений (5) может быть сразу выписано в виде ряда:

E E

z

a a

e e

im im



I p

l

a( l

lm

@; A

E

i a eim pP a(Ѓ) ; a(z l l
)

P

h

l l h l

a

(+)

lm+1

C

a( ) l

lm
)

i
1

;
i

a(+) l

lm+1

a( l

lm 1

:

(8)

Связь коэффициентов условиям.

определяется из условия

ние задачи сводится к удовлетворению системы уравнений (8) граничным О том, что этот подход заслуживает внимания, свидетельствует хотя бы то, что таким образом можно достаточно просто получить полное решение векторного уравнения Гельмгольца без использования специальных потенциалов не только в цилиндрических, но и в сферических координатах. При этом в суммах (8) достаточно взять только одно слагаемое. Вернемся к системе уравнений (2). В изотропной среде поле зависимости решения от угла

r ? E a H,

и реше-

E

является

соленоидальным (его дивергенция равна нулю). При выбранной угловой

I E r ? E a im E C @@Ez C @ @@ A a H: z
E @ E @ E @ Ez @z @ Ez I im @ z im



в виде

e

im

получаем: (9)

Таким образом, компонента поля

и ее производные явным образом вы-

ражаются через две другие компоненты

a

a C C

@ @E A ; @ @ @E A ; @

(10)

и, следовательно, система трех уравнений (2) после исключение компоненты

E



принимает вид:

@ 2 E @ 2 @ 2 Ez @ 2

Q C CI

@ E @ @ Ez @

@ 2 E @z2 @ 2 Ez @z2

! 2 P m I E C @@Ez a H; 2 z ! 2 2 C k0 m2 Ez a H:

C

k

2 0

(11)

Аналогичным уравнениям удовлетворяют компоненты магнитного поля. Таким образом нам удалось свести трехмерную задачу к двухмерной только для двух компонент поля. Эта более простая новая система уравнений


6

удобна для численного решения уравнений, например, методом конечных элементов в системе Comsol Multiphysics и вследствие уменьшения размерности позволяет добиться лучшей точности решения. Дисковые оптические микрорезонаторы могут изготавливаться из кристаллических материалов [5, 6, 7]. Полезно поэтому вывести уравнения и для анизотропного одноосного кристалла. Уравнение колебаний в этом случае запишется в виде:
2 r ? r ? E k0 D a H; r ? D a H:

(12)

В анизотропной одноосной осесимметричной среде (

@ =@

aH

), в которой

D a E H


a

d

;

HH H H H H z


I e

:

(13)

получается при выбранном номере удобная для численных решений:

m

следующая система из двух уравнений

@ 2 Ez @ 2 @ 2 E @ 2

C

2 @ Ez z @ 2 Ez 2 C @ z2 C k0 z m2 Ez a H @ 2 2 @ E @ E z @ Ez z P @ Ez C @ 2z C @ @ z C @ z @ m2 I 2 k0 2 E a H:

I C CQ





(14)

Вообще говоря, векторное уравнение в произвольной аксиальной системе координат всегда можно свести к системе двух скалярных уравнений относительно

E

и

H

связанных азимутальных потенциалов (CAP

- Coupled Azimuthal Potentials) [8], либо, соответственно, к одному уравнению для компоненты введенного ранее комплексного вектора РиманаЗильберштейна решения:

F



. Однако получающиеся уравнения весьма неудобны для



@ h h @ @h F A C @@ @ h @ 2 k @ @h F A @ h2 k2 h2 m2 @ @ 2 k @ @h F A @ h2 k2 h2 m2 @ @





h h @ @h F A h @ 2 k h h C im @@h h @ h2 k h h im @ h



3 3

C

h h @k2 h

2



m2 AF



aH

(15)


0.2.

Скалярное уравнение Гельмгольца

7

0.2

Скалярное уравнение Гельмгольца

В основе многих методов решения векторного уравнения Гельмгольца в цилиндрических координатах лежит скалярное уравнение Гельмгольца, которому удовлетворяет, в частности компонента

Ez
2

и другие вводимые для

удобства скалярные потенциалы. Решение скалярного уравнения

@ @ @ @

I





C

@2 @z

2

C I
2

2

@2 @ 2

C

k

aH
.
2 2

(16)

легко находится разделением переменных

Z
и

I @A

@ @Z @ @



@; @A C I @ @zA C I @z A @ z Е@A

2

; z
2

A a Z @AЕ@A @zA @ Е@A Ck aH @
2

(17)

Последовательно вводя независимые от координат константы разделения

m



и отщепляя слагаемые, получаем:

@ 2 @z A C  2 @zA a @z2 @ 2 Е@A C m2 Е@A @ 2 I @ @ C k @ @ @
лении

H aH
2 2

(18)

(19)

 2 m2 Z @A a H
Cz e iz ;



(20)

Общим решением первого уравнения являются функции вида

Aa

+ Cz e

i z

C

(21)

определяющие волны, бегущие в положительном и отрицательном направ-

z

. Константы

вий. Константа ствительных



Ѓ Cz

определяются из каких-то дополнительных усло-

является постоянной распространения вдоль оси

z

и, во-

обще говоря, может быть как действительной, так и комплексной. При дей-



общее решение можно записать также в виде стоячих четных

и нечетных по

z

волн:

@
зависимости по

A a Cze os  z C Czo sin
+ C e

z;

(22)

Общее решение для угловых функций имеет тот же вид, что и в случае

z

.

Е@ A a
или

imz

C

C e im

(23)

Е@ A a Е@ C PA

C

e

o os@mA C C sin

m;

(24)

однако условие замыкания по угловой циклической координате приводит к тому, что константа

m

должна быть целой. Во всех

Е@A a


8

телах вращения частоты мод вырождены по четности или направлению относительно угла

.

То есть моды, бегущие в противоположных направле-

ниях вокруг оси, а также четные и нечетны стоячие волны, распределенные по косинусу и синусу при одном и том же индексе

m

имеют одинаковые ча-

стоты и основные свойства. Поэтому там, где характер распределения по не принципиален будем для простоты писать зависимость в виде Заменой Бесселя.

x

a @k  A
2 2

p

e

im



.

, радиальное уравнение сводится к уравнению

Итак, частное решение скалярного уравнения Гельмгольца в цилиндрических координатах. имеет вид:

a
0.3

Zm

@

p

k

2

 2 Ae

im+i z

;

(25)

Функции Бесселя

Функция

Zm @xA

удовлетворяет уравнению:

HH Zm

I Cx

H Zm

C I



m2 Z x2 m x.



a H:

(26)

Штрихом после функций здесь и далее мы обозначаем производную по ее полному аргументу, в данном случае по Хотя это уравнение и функции носят имя Фридриха Вильгельма Бесселя, но, как утверждает Большая Советская Энциклопедия, введены они были в 1766 году, почти на 50 лет раньше работ Бесселя Леонардом Эйлером при изучении колебаний мембраны в 1766 году, функция нулевого порядка встречается ещ? раньше, в 1738 году, в работе Даниила Бернулли, посвященной колебанию тяж?лой цепи, а функция порядка 1/3 с которой связаны также использкемые далее функции Эйри описана в письме 1703 года Якоба Бернулли к Готфриду Лейбницу. Иногда, например в задачах аппроксимации удобна запись, не содержащая первой производной:

@

x

1=2

Zm AHH

C I



m2

I=R @x1=2 Z A a H: m x2

(27)

Общим решением этого уравнения является линейная комбинация двух цилиндрических функций, каждая из которых, естественно, также подчиняется уравнению (26):

Zm @xA Jm T
Здесь
=0

a

CJ Jm @xA C CY Ym @xA: J

(28)

@HA a H

J

m

цилиндрическая функция Бесселя, конечная в нуле ( 0 ),

Ym @xA

цилиндрическая функция Бесселя второго рода или

@HA a I

,


0.3.

Функции Бесселя

9

функция Неймана (другое встречающееся обозначение приближении к нулю по стремится к

Jm @xA Ym

Pm Pm P ex @xA $ pPm Pm
Z HH C Z

$pI

I


. При больших значениях

Nm @xA),

которая при

ex

m

m

; :
(29)



m

Вдали от нуля это осциллирующие, хотя и не точно периодические ограниченные функции, во многом похожие на косинус и синус. Такая аналогия с базовыми тригонометрическими функциями становится понятной, поскольку уравнение для них

x

3I

. Выбор констант

C

J;Y

при функциях Бесселя и Неймана произво-

aH

формально получается из (26), при

дится исходя из граничных условий и требуемого поведения в нуле и на бесконечности. Так, если рассматриваемая область пространства включает окрестность нуля,

C

Y

аналогично гармоническим функциями естественно для решения использовать другую линейную комбинацию и ввести новую пару функций:
(1) Zm @xA a CH 1 Hm @xA C CH 2 H (1) Hm @xA a Jm @z A C iYm @xA (2) Hm @xA a Jm @z A iYm @xA

aH

. Для описания бегущих волн на бесконечности

m

(2)

@xA

(30)

(31)

Функции

H

m

(1;2)

называются функциями Ханкеля первого и второго рода. . На бесконечности при

Такой переход аналогичен переходу к комплексным экспонентам асимптотические выражения [9, 10]:

os@xA Ѓ i sin@xA

x

3I

eЃ

ix

справедливы следующие

a

Jm @xA Ym @xA
(1) Hm @xA (2) Hm @xA

% % % %

r

r r r

P os x m x PR P sin x m x PR P ei x m= = ;
x x
( 2 4)



; ;

P

e i(x

m=2 =4)

(32)

Для больших значений аргумента и номера можно пользоваться квазиклассическими аппроксимациями Дебая, смысл которых будет прояснен в дальнейшем. Эти аппроксимации тесно связаны с приближениями геометрической оптики. При

Jm @xA Ym

I s a pPs exp s m rtnh m I C O@m A; r s @xA a Ps exp s C m rtnh m I C O@m A p sa m x :

1 1 2 2

x
:

;
(33)


10

При

x>m

:

Jm @xA Ym @xA s

a a a

r r p

x2 m2 :

P os s m rtn s I C O@m A; s mR P sin s m rtn s I C O@m A; s mR
1 1

(34)

Последние приближения переходят в (32) при ляется при значениях аргумента близких к

x

3 I.

Первый нуль функций Бесселя и Неймана с большим номером появ-

m

(см приведенные на рисун-

ках графики функций разного порядка). В этой области хорошо работают приближения, использующие функции Эйри, получающиеся линеаризацией множителя в скобках в (26) вблизи в нуль:

x

a

m,

когда это выражение обращается

Jm @m C m1=3 Ym @m C m1=3 A

AaP a P
f HH

1=3

1=3

Пара независимых функций Эйри

ei fi @xA xf @xA a H
и

m 1=3 ei@ P1=3 A C O@m 1 A; m 1=3 fi@ P1=3 A C O@m 1 A: :

(35)

является решением уравнения (36)

Отсюда решения более общего уравнения

f HH @xA C @a C bxAf @xA a H; f a ei; fi b1=3 @x C a=bA
при рассмотрении квазиклассического приближения имеют вид:

(37)

Ассимптотики функций Эйри при больших значениях аргумента, полезные

I e 2 x3=2 I 3 p P px ei@ xA a p Ip sin P x Q x 2 fi@xA a p Ip e 3 x3=2 I C x fi@ xA a p Ip os P x Q x ei@xA a

C O@x = ;
4 3)

3=2

O

C R I C O@x = A @x = ;
43 4 3)





;

3=2

C I C O@ R



x 4

=3

A

:
(38)

Первые три нуля функции Бесселя аппроксимируются выражениями [9]:

T T T

m1 m2 m3

9 m C I:VSSUSUm1=3 C I:HQQISm 1=3 H:HHRHQm 1 C O@m 5=3 A; 9 m C Q:PRRUm1=3 C Q:ISVRm 1=3 C O@m 1 A; 9 m C R:QVIUm1=3 C S:USWVm 1=3 C O@m 1 A: (39)


0.3.

Функции Бесселя

11

Рис. 1: Функции Бесселя с малым номером

m

a H; I

Рис. 2: Функции Бесселя с большим номером

m

a IH; SH


12

Рис. 3: Функции Неймана с малым номером

m

a H; I

Рис. 4: Функции Неймана с большим номером

m

a IH; SH


0.4.

Цилиндрические векторные гармоники

13

Во врезке приводятся основные свойства цилиндрических функций, часто используемые при аналитических преобразованиях [9, 10]:

m m Z Zm+1 a Zm C Zm 1 ; xm x Pm Zm ; Zm 1 C Zm+1 a x Z m @xA a @ IAm Zm @xA; x2 2 2 Zm @xA Zm 1 @xAZm xZm @xAdx a
H Zm

a

P I x Z H @xA C @x m AZ @xA? ; aP m m 2 3 m I Z @xAdx a I I C Z @xA C Z @xA P Z @xA ; m k xm Pm k 2 3 m I I C Z @xA P Z @xA ; Zm @xAZm @xAdx a k P k bxZm @axAZm @bxA axZm @axAZm @bxA xZm @axAZm @bxAdx a a b
+1 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 =0 2 +1 2 0 =0 2 1 1 2

@xA

?

(40)

:

Вронскиан:

W @Jm ; Ym

H H A a Jm@xAYm @xA Jm @xAYm @xA a Px

:

Род цилиндрической функции (Бесселя, Неймана, Ханкеля двух видов) выбирается в различных областях пространства исходя из требований на поведение поля вблизи оси (



3 H)

или на бесконечности (



3 I).

0.4

Цилиндрические векторные гармоники

Как мы видели ранее, уравнения для компонент

Ez

и

Hz

не зависят от

других компонент и подчиняются скалярному волновому уравнению. Это наводит на мысль использовать их в качестве базовых потенциалов. Эквивалентный более общий подход был представлен в Главе 2, где отмечалось, что произвольное решение векторного волнового уравнения можно выразить через решения скалярного уравнения Гельмгольца бая) следующим образом: (потенциалы Де-

E; H a CT E M C CT M N; M a r ? @iz A; I N a k r ? r ? @iz A:

(41)

(42)


14

При этом, если поле

ется только через вектор

E

в бегущей или стоячей волне в резонаторе выража-

ортогонален этому вектору) и называется поперечно электрическим полем TE-типа, если же оно выражается только через вектор называется поперечно магнитным - полем TM-типа.

M,

то оно не имеет компоненты

E

z

(ротор вектора

N,

то

H

z

aH

и

Стоит заметить, что названия "поперечно электрические"и "поперечно магнитные", были введены изначально для плоских волн и волн, распространяющихся в волноводах [11]. В этом случае соответствующие поля действительно перпендикулярны направлению распространения вдоль

z

.В

случае же мод типа шепчущей галереи в цилиндрических координатах это название является обманчивым, поскольку такие моды распространяются по кругу в плоскости, перпендикулярной

z

. Более того, как мы увидим

далее, возникает противоречие между аналогичными названиями в сферических координатах, поскольку там базовым является вектор тельно перпендикулярный

к модам шепчущей галереи в произвольных телах следует с оговорками. Если собственное решение для поля в системе имеет все компоненты, а значит не может быть выражено только через один из векторов то такая мода называется гибридной. В большинстве случаев моды типа шепчущей галереи в аксиально-симметричных телах являются гибридными, однако один из интегралов энергии, заключенной в поненте
1 2

i

z

. В связи с этим применять термины

ir

, приблизи-

TE и TM
или

N

M,



2 0 Ez dv

,

1 2



2 0 Hz dv

E

z

или

H

z

ком-

существенно преобладает над другим. В

этом случае можно говорить о близости моды к TE или TM типу. Используя определения (41) и (25) выпишем в явном виде выражения для полей TE и TM типа в бесконечном цилиндре (в системе СИ):

ET B

E

a
?

CT E e

im+i z

TE

a C

ET B
Здесь

M

a C
?

eim+iz k0 c @ Z @ k A m i m i Z @k @ m
TE TM

i

im Z @k m

Ai

@ Zm @k @

Ai

!


;
!

(43)

TM

a
k
2

eim+iz k0 ! @ Z @k A m 2 Zm @k Ai C k Zm @k Aiz ; i m i @ ! i im @ Z @k A CT M eim+iz Zm @k Ai m i : c @
постоянная распространения вдоль оси

I

Ai C

k Zm @k
2

Aiz

;

k

может быть не только положительной и отрицательной для волн, распространяющихся, соответственно, в сторону убывания или возрастания

a

p

2, 

z

, которая

z

, но

и мнимой, для волн открытых резонаторов, затухающих на бесконечности;

m

, чтобы удовлетворять условию непрерывности по

числом;

C

,

должно быть целым

T E =T M

нормировочные константы. При выводе выражений для


0.5.

Двумерные моды бесконечного диэлектрического цилиндра

15

сопряженных полей учтено уравнение (16). Для записи мы использовали вектор магнитной индукции системе СИ коэффициентов

0 ; 0

Ba

чается при этом формальной

H, чтобы заменой B 3 B=c

0

избавиться от неудобных в .

. Запись для полей в системе СГС полу-

Найденное решение справедливо и для описания полей в градиентных круглых световодах. Однако ключевую роль в оптических волокнах играют моды, у которых азимутальный номер ния



$ k0

m

мал, а постоянная распростране-

Бесселя становится мнимым

. В этом случае во внешней среде ( p p

k

2 0

лей используются модифицированные функции Бесселя мнимого аргумента, быстро затухающие на бесконечности (функции Макдональда). Нас же будут интересовать совсем другие моды, те у которых, напротив, ко, а составляющая волнового вектора вдоль оси снаружи используются функции Ханкеля.

2  2 a i  2 k0 ,



aI

) аргумент функций и для описания по-

z

m

вели-

мала. В этом случае

аргумент остается действительным во всех областях и для описаний поля

0.5

Двумерные моды бесконечного диэлектрического цилиндра

Для понимания мод типа шепчущей галереи особый интерес представляют собственные моды бесконечного цилиндра, которые не имеют зависимости от

z ( n

ницаемость

aH



). Пусть радиус цилиндра равен

положить, что диэлектрическая проницаемость в окружающем пространстве равна 1. Если требуется решение для мод цилиндра из материала с

a

n

2

, а магнитная везде



aI

a,

его диэлектрическая про-

. Без потери общности можно



i

в решении для вакуума получаем

a

2

i

в среде с



o

a

n

2

o

n

, оно может быть получено формальной заменой

3 ni =no и k0 3 no k


0 . Используя (43)-(44) мы

E

TE

a

CT

BT E a ET M a BT M a

im @ Z @k A Zm @kAi m i eim @ CT E ik0 Zm @kAeim iz c CT M k0 Zm @kAeim iz i im @ Zm @kA CT M Z @kAi i eim cm @
E



(44)

В этом случае поле каждого типа выглядит достаточно просто и включает только три компоненты. Для описания полей внутри цилиндра раем функцию Бесселя снаружи

E; He

одну из функций Ханкеля.

Jm @nk0
0

A

, конечную в нуле, а для описания полей

E; H

i

выби-

При выбранной зависимости поля от времени функцию Ханкеля

H

m

(1)

щуюся цилиндрическую волну

@k A

, которая описывает на бесконечности расходяи удовлетворяет, таким

G e i(!t k) =pk

e

i!t

следует взять первую


16

образом, условию излучения Зоммерфельда. Если бы мы выбрали зависимость от времени в виде виде

ничных условий требуется, чтобы были непрерывны тангенциальные компоненты

Hm @k0
(2)

A

e

i!t

, решение вне цилиндра нужно было бы взять в

. Для выполнения на поверхности цилиндра радиусом

a

гра-

E



E

2) нормальные

i;z

ничных условий диктуется соображениями удобства и достаточности. Так, например, в данном случае из-за того, что в случае TE-мод отсутствует компонента

a

Ee;z

,

H и (что не является независимым условием, см. Главу Dn и Bn . То есть, с учетом того, что a I: Ei; a Ee; , n2 Ei; a Ee; , Bi; a Be; , Bi;z a Be;z , Bi; a Be; . Выбор граи

Ez

, а в случае TM-мод компонента

Bz

, учет только нормаль-

ных граничных условий дает неполную систему уравнений для определения частот и коэффициентов. В данном случае достаточно учесть только :
(1) @ @ Jm @nk0 aA a CT E;e @ Hm@ ak0 aA ; E ;i @a (1) CT E ;i n2 Jm @nk0 aA a CT E ;e Hm @k0 aA; @ J @nk aA @ H (1) @k aA CT M;i m 0 a CT M;e m 0 ; @a @a (1) CT M;i Jm @nk0 aA a CT M;e Hm @k0 aA:

CT

(45)

Разделив в каждой паре первое равенство на второе получаем характеристические уравнения:

H~ Jm @ y A P nJm @yA ~
где

a

y ~

менту функции. Иногда подобные уравнения немного короче записывают через логарифмические производные, поскольку правда, редко помогает при анализе.

a

P a I для TE nk0 a, x a k0 a. ~

мод и

P

Штрих означает дифференцирование по полному аргу-

aI

(1) ~; Hm H @xA (1) ~ Hm @xA

(46)

=n2

для TM мод и введены обозначения:

lnH f @xA

a f H@xA=f @xA

, что,

0.6

Моды закрытого цилиндра

Рассмотрим теперь моды закрытого цилиндрического резонатора с проводящими стенками радиусом средой с проницаемостями

aи ; .

длиной

L

(

От бегущих по

L=P < z < L=P
z


), заполненного

перейдем к стоячим волнам по выбираем функции Бесселя.

z

волн в выражениях (43)

, а в качестве цилиндрических функций

ET B

E

a

C


TE E

TE

a CT

@ J @ k A im z J @k Ai m i cos(z)) eim sin( m @ ! i @ Jm @k A  i C i m Jm @k Ae sin(z)z cos( k0 c @

(47)
)


0.7.

Моды конечного диэлектрического цилиндра

17

C
ET B
M

a C a

TM

k CT M k  @ Jm @ A i C i m Jm @k Ae cos(z)z sin( @ 0 2 k Jm @k A sin(z)) iz eim cos( z i im @ J @k A Jm @k Ae m e sin(z)) eim CT M cos( z c @

2 k Jm @k A

I

iz



cos( z ) sin( z )



e

im

!

)

Легко видеть, что равенство нулю тангенциальных компонент поля нормальных поля условий: ются при выполнении

H

на образующей и на плоских границах удовлетворя-

E

и

@ Jm J p q
m

@

q

2 kT

E ;mpq

p
где - целое, a цендентного уравнения.

@ a

q

2 kT M p ; L

@a

;mpq

aH p aA a H
2

2 p aA

(48)

- натуральное число, обозначающее номер корня транс-

0.7

Моды конечного диэлектрического цилиндра

Точное решение электродинамической задачи о собственных колебаниях конечного диэлектрического цилиндра в виде конечного ряда невозможно. Наибольшая сложность связана с полями вблизи углов. Между тем, эта задача имеет большое практическое значение, поскольку такие резонаторы широко применяются в СВЧ технике. Для оптического диапазона такой резонатор в планарном исполнении впервые, видимо, предложил в 1969 году Маркатили (Рис.1) [2]. В настоящее время добротность диэлектрических цилиндрических резонаторов в оптическом диапазоне, изготавливаемых методами интегральной технологии из кремния достигает Рассмотрим, какие подходы возможны к решению задачи о собственных колебаниях в изотропном диэлектрическом цилиндрическом резонаторе. На следующей диаграмме показана последовательность приближений, которые возможны для того, чтобы получить ответ. Эта последовательность приложима, естественно, не только к цилиндрическим резонаторам, но и к любым другим. Для решения похожей задачи о нахождении полей в прямоугольном диэлектрическом волноводе Маркатили предложил использовать метод частичных областей. В конечном диэлектрическом цилиндре, когда

S ? IH

5

[3].



Ta H


18

Рис. 5: Фильтр на основе резонатора в форме таблетки, предложенный Маркатили

Рис. 6: Схема подходов к рассмотрнию собственных мод в диэлектрическом резонаторе

Рис. 7: Метод частичных областей


0.7.

Моды конечного диэлектрического цилиндра

19

моды уже не могут быть чистыми полями TE или TM типа и являются гибридными.


20

ET

Попробуем представить поле как сумму полей обоих типов

M

. Сошьем бегущие волны на границе областей 1 и 2. Запишем все

E a ET E C

граничные условия (система получается избыточной), соответственно, для

E ; E ; Ez ; B ; B ; Bz : m  @ Jm @k1 A CT E ;1 Jm @k1 A C CT M;1 k0 @ (1)  (1) a CT E;2 m Hm @k2 A C CT M;2 k @ H @@k2 A 0 m @ Jm @ki A C CT M;1 k Jm @k1 A CT E ;1 @ 0 (1) (1) a CT E;2 @ Hm@@k2 A C CT M;2 m Hm @k2 A k0 I2 2 (1) CT M;1 k1 Jm @k1 A a CT M;2 k2 Hm @k2 A m @ J @ k A CT E ;1 Jm @k1 A C CT M;1 m 1 k0 @ (1) (1) a CT E;2 m Hm @k2 A C CT M;2 @ H @@k2 A k0  @ Jm @k1 A C CT M;1 m Jm @k1 A CT E ;1 k0 @ (1)  (1) a CT E;2 k @ Hm@@k2 A C CT M;2 m Hm @k2A 0 2 2 (1) CT E ;1 k1 Jm @k1 A a CT E ;2 k2 Hm @k2 A
Из третьего и последнего равенства получаем:

(49)

C C C

T M;

2

a a

CT CT

M;

1

T E ;2

E ;1

2 k1 Jm @k1 aA 2 (1) k2 Hm @k2 aA 2 k1 Jm @k1 aA 2 (1) k2 Hm @k2 aA

I

(50)

T E ;1

mk Jm @k1 aA ak
2

2

(1) 2 k1 Jm @k1 aA @ Hm @k2 aA a CT M ; 1 2 (1) k2 Hm @k2 aA @a 2 3 (1) 2 @ Jm @k1 aA k1 Jm @k1 aA @ Hm @k2 aA CT E ;1 k2 (1) @a @a 2 Hm @k2 aA 2 3 2 m a CT M;1Jm @k1aA k a k1 I 2 k2 0

 @ Jm @k1 aA k0 @a

2 1 2 2



3 3

I

(51)


0.7.

Моды конечного диэлектрического цилиндра

21

Приравнивая определитель матрицы этой системы, или просто избавляясь от коэффициентов

CT

E ;T M

, деля первое равенство на второе, получаем ха-

рактеристическое уравнение:

4

@ Jm @k1 a @a
4

?

a
4

m2 k2 Jm @k1 aA 2 1 2 a k2
2

(1) 2 k1 Jm @k1 aA @ Hm @k2 aA 2 (1) k2 Hm @k2 aA @a (1) 2 @ Jm @k1 aA I k1 Jm @k1 aA @ Hm @k2 aA k2 (1) @a @a 2 Hm @k2 aA

A

5

5

2

I

32

2 k1 2 k2



3

(52)

H Jm @y Jm @y

A A

(1) y Hm H @xA (1) x Hm @xA

54

a
где введены обозначения рование по аргументу.

H J m @y J m @y 2 m y2 y2 x2

A A I

(1) y Hm H @xA (1) x Hm @xA 2 y ; x2

5

(53)

y

a

k1 a, x

a


k2 a.

Штрих означает дифференци-

Моды шепчущей галереи, описываются функциями Бесселя с большими номерами, у которых первый максимум появляется при значениях аргумента, близких к номеру (

y

9 m).

Если

(k

, то последняя скобка в правой

части (53) и, соответственно, вся правая часть оказывается близка к нулю (другие множители в правой части будут порядка единицы). При этом уравнение (53) приблизительно распадается на два, соответствующих равенству нулю квадратных скобок. Эти решения соответствуют модам, близким к и

TM

TE

, полученным ранее для бесконечного цилиндра.

Попробуем найти собственные значения для волнового числа

k

0 (резо-

нансные частоты), решив характеристическое уравнение, используя простые приближения. Сначала решим однородное уравнение (53) с нулевой правой частью, а потом найдем поправки возникающие вследствие ненулевой правой части. Будем искать решения вблизи нулей функции Бесселя (

y

(1)

Jm @y(0) 9 tmq J
m

a tmq A a H ?T E;T M @yA 9 Jm@tmq A ?T
).

, где

t

mq



q

-й корень этого уравнения, в виде

E ;T M Jm tmq

H

@ A a ?T @
(1) Hm @xA

E ;T M Jm tmq

H

@A
iYm @xAA

(54)

Приближения для функций Ханкеля

дем, используя следующие соображения. Для мод типа шепчущей галереи в прилегающем пространстве аргумент функций меньше их номера. Это значит, что функция Бесселя очень мала, а функция Неймана, напротив, велика. Поэтому пока временно отбросим функцию Бесселя (она нам понадобится, когда будем искать мнимую часть

a

Jm @xA

C

мы най-

k0

). Используя асимптотики,


22

приведенные в предыдущей лекции, получим для

@ Ym @xA @x
квази-TM мод:

2 2 9 m x x Ym @xA

p

x

) I:
(55)

Позднее мы увидим, что получившееся выражение имеет простой смысл в рамках геометрической оптики. Таким образом, получаем для квази-TE и

?T

(1)

E ;T M

9

y x

(0)

(0)2

a a @k a a aI
y

q

Py

(0)

x p

(0)2 2

(0)2 k0  2 a 2 2

(0)2 0

a  Aa a
a

m

x(0)2
tmq t2 mq

I

y

(1)

(0)

r

(1) k0

?(0) ;T M TE (1)2  2 @ IA y
2

 2 a2 @ t2 mq

IA

!

(56)

где, как и ранее,

P

TE

и

P

TM

Добавим теперь правую часть:

a I=n

2

.

4


Полагая, что щего порядка:

(1)

I I I I a ? ?E ? ?T M T y my a y x I x a
(2) (1) (2) (1) 2 2 2 2 2 2 (2)

54

5



(1) 2 IA2 k0 a4 

m 2  2 @

2

y2 x4

(57)

?

T E ;T M

?(1) TE 9
2

;T M

( ?(1) TE Ѓ

;T M

, получаем приближение следу-

?T
Задание
членов порядка

(2)

I A

E ;T M

?T


(1)

I

E ;T M

I=?T E I=?T
(1)



(1) (1)

(58)

M

Полагая, что

@

=tmq

( k0

, выписать ассимптотику

.

?

(1)

вплоть до

Для практических применений чаще всего достаточны более простые приближения:

?T

E ;T M

9

Py

(0)

x p

(0)2 2

m

x

(0)2

9

P

p

I @ IA a

Pn n

pI

2

I

(59)

Таким образом, в первом приближении можно считать, что поля в диэлектрическом резонаторе и его собственные частоты эквивалентны тем, которые получаются в закрытом резонаторе радиусом, увеличенным на величину

?

T E ;T M

=@k0 n

A

с простейшими граничными условиями

H

n

a

En

aH

. Эти


0.7.

Моды конечного диэлектрического цилиндра

23

условия отличаются от граничных условий в резонаторе с металлическими стенками и соответствует резонатору, окруженному средой с

; 

3 I.

Мы пока еще не полностью нашли решение для собственных частот в конечном цилиндре, поскольку неизвестной осталась величина сти диска, при ей Бесселя . Выпишем условия на границе между частичными областями 1 и 3 на верхней плоскозахватывают ноль, распределение по радиусу описывается в них функци-

k

1

следует, что

a

k3

J

m



, то есть

I @ J @k A im 2) J @k A cos(h=2) C CT M;1  m cos(h=h=2) m sin(h=2) k0 @ sin( k a CT E;3 im Jm@k Ae h=2 CT M;3 k @ Jm@@ A e h=2 0 @ Jm @k A cos(h=2) im 2) CT E;1 @ sin(h=2) C CT M;1 k Jm @k A cos(h=h=2) a sin( 0 im @ Jm @k A h=2 CT M;3 k Jm @k Ae h=2 CT E;3 @ e 0 CT M;1 sin(h=2) a CT M;3 e h=2 cos( h=2) i @ Jm @k A sin(h=2) CT E ;1 C CT M;1 m Jm @k A sin(h=2) cos( h=2) cos( h=2) k0 c @ c k a CT E;3 ki c @ Jm@@ A e h=2 C CT M;3 m Jm @k Ae h=2 c 0 m i @ Jm @k A sin(h=2) sin(h=2) C CT E;1 k c  Jm @k A cos(h=2) T M ;3 c @ cos(h=2) 0 m i k a CT E;3 k c Jm @k Ae h=2 CT M;3 c @ Jm@@ A e h=2 0  h=2) CT E ;1 cos(h=2) a CT E ;3 e h=2 sin(
C
T E ;1
(60) После подстановок получаем:
cos( 2)  sin(h=h=2)  cos( h=2)  sin(h=2)

3

a h=P @k A k a i
z
2 0

, где

h

толщина диска. Поскольку обе эти области

, чтобы поля были непрерывны следует положить, что



2

- величина мнимая.

a

2 k0

2 3

, откуда в предположении



(k

0

C

 sin( cos(  sin(
cos(

T M;

sin( 1 cos(



C

T E ;1

a a  h=  h= a  h= a h=  h= a h=  h=  h= a
2) 2) 2) 2) 2) 2) cos( sin( 2) 2)



sin( h=2) cos( h=2)

sin( h=2) cos( h=2)

CT

M ;3 e cos( h=2) sin( h=2) cos( h=2) sin( h=2) T E ;3



h=

2

C

e

h=

2

(61)


24

Из первого второго и четвертого пятого уравнений видно, что одновременно удовлетворить всем уравнениям не удается, поскольку получается, что

=

=

tn @
2

волн система распадается на две, соответственно, включающие первые или последние три равенства, которые дают следующие характеристические выражения:

 h=PA

a I

. Однако в приближении близости мод к

TM

и

TE

типам

a tan(T M h=2) 2 k @ IA T M ctg(T M h=2) T E p a ctg(T E h=2) 2 2 k0 @ IA T E tan(T E h=2)
p
M
2 0

T

(62) Это уравнения для волн в направляющем диэлектрическом слое, хорошо известные в теории оптических волноводов. Решить эти уравнения можно в приближении малости

Задание



что

казать, что в первом приближении можно считать, что диэлектрический слой эквивалентен закрытому слою толщины, увеличенной с обеих сторон на граничными условиями на цилиндрической поверхности).

 (0) h=P
M ;T E

a

Полагая, что

m=P



по сравнению с

(k

k

0.

0 , выписать ассимптотику

(как в резонаторе с металлическими стенками). По-

 (1) h=P

, считая,

?T

=@PnA

(индексы

TE

и

TM

меняются местами по сравнению с

0.8

Излучательная добротность диэлектрического цилиндра

Характеристические уравнения открытых резонаторов являются комплексными, следовательно и их решения собственные значения для волновых чисел тора

окружающее пространство. При этом излучательная добротность

k0 , а значит H HH k0 a k0 C ik0

и частот

!

являются комплексными. Мнимая часть век-

описывает потери открытого резонатора на излучение в

Qr
H Jm @ y Jm @ y

ad

a Pkk



0

H HH 0



(63)

Рассмотрим однородное характеристическое уравнение

Aa A

(1) P y Hm H @xA (1) x Hm @xA

(64)

и найдем мнимые поправки к его действительному решению. Небольшими поправками на мнимую часть, вызванными гибридным характером мод пренебрежем. Найдем поправки к каждому из входящих в уравнение членов. Используем прежнее приближение в виде

H Jm @y J m @y

A A9

H Jm @yH Jm @yH

A IC A

H HH H HH @ y Jm @y ik0 H @ k0 Jm @yH



H A Jm @yHA 9 A Jm @yHA

y

9 tmq ?T

!

E ;T M

H Jm @yH Jm @yH

A? A


0.8.

Излучательная добротность диэлектрического цилиндра

25

(1) H P y Hm H @xH A P yH Ym @xH A 9 xH Y @xH A ? (1) x Hm @xH A m HH H I @ yH @ xH I Ym @xH A HH @ x ? I C ik0 @ k yH @ k = @ k xH C Y H @xH A 0 0 0 m H @xH AYm @xH A Jm @xH AYm @xH A ! H Jm i H Ym @xH AYm @xH A H HHH 2 P H2 HH H 9 Pxy Ym @xH A I C ik0 k0 a H x2 xH x H Ym @x A H xy

2 I H2 2 HH H ? I C ik0 k0 aH yH y yH2m Jm @y H y Jm @y

H H

H A J m @y H A A J m @y H A H Ym @ Ym @

!

xH xH

A A



(65)

C

i

H xH Ym @xH AYm @xH

P

!

H m2 Ym @xH A Ym H2 Ym @xH A Ym H x

@xHA @xHA



A
(66)

Окончательно получаем:

Q

k a PkkHH 9 xP ya PxyH RH H H @I P A Pxy Ym @xH A PP H
0 22 0 0 2

H

H



H m2 H 2 2 I xH mH2 I Ym @xH xH2 yy ! I H yH H2 H2 Ym @xH AYm @xH A x y

A
(67)

Второе слагаемое в квадратных скобках обращается в нуль для мод TM. Последнее слагаемое мало и для азимутальных мод бесконечного цилиндра (



aH

,

yH2

Используя аппроксимации для функции Неймана и ее производной в

a

xH2

) обращается в нуль.

тех же приближениях, что и ранее, получаем более простую формулу для добротности:
2 H2 2 H 9 P @m Rx AYm @x A 4 2p 3 p p P m2 xH2 m2 x2 9 exp m erth m2 x2 P m

Qr

ad

5
(68)

Обсуждение точности подобных приближений будет дано при обсуждении аналогичных расчетов излучательной добротности в сфере.


26


Литература
[1] V. S. Ilchenko V.B. Braginsky and Kh. S. Bagdassarov. crystals. Phys. Lett. A, 120:300, 1987. [2] E.A.J.Marcatili. 48:2103, 1969. [3] M. Borselli, K. Srinivasan, P. E. Barclay, and O. Painter. Rayleigh scattering, mo de coupling, and optical loss in silicon micro disks. Appl. Phys.
Lett., 85:36933695, 2004.

Exp erimental

observation of fundamental microwave absorption in high-quality dielectric

Bends in optical dielectric guides.

Bel l Syst. Tech. J.,

[4] J. U. No eckel.

Mo de structure and ray dynamics of a parab olic dome

micro cavity. Phys. Rev. E, 62(6):86778699, 2000. [5] A. B. Matsko A. A. Savchenkov, V. S. Ilchenko and L. Maleki. Kilohertz optical resonances in dielectric crystal cavities. Phys. Rev. A, 70:051804, 2004. [6] V.S. Ilchenko, A.A. Savchenkov, A.B. Matsko, and L. Maleki. Nonlinear optics and crystalline whisp ering gallery mo de cavities. Phys. Rev. Lett., 92:043903, 2004. [7] V. S. Ilchenko A. A. Savchenkov, A. B. Matsko and L. Maleki. Optical

resonators with ten million nesse. Opt. Express, 15:67686773, 2007. [8] M.A.Morgan. Generalized coupled azimuthal p otentials for electromag-

netic eldsin inhomogeneous media. IEEE Transactions on Antennas and
Propagation, 36(12):17351743, 1988.

[9] Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Л?ш. Специальные функции. Формулы, графики,
таблицы. Наука, Москва, 1964.

[10] М. Абрамовиц и И. Стиган. Москва, 1979.

Справочник по специальным функциям

с формулами, графиками и математическими таблицами.

Наука,

[11] S.A.Schelkuno. Transmission theory of plane electromagnetic waves. Pros.
Inst. Radio Engineers, 25(11):14571492, 1937.

27