Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://hbar.phys.msu.ru/fat/easter.html
Дата изменения: Unknown
Дата индексирования: Mon Oct 1 19:58:24 2012
Кодировка: Windows-1251

Поисковые слова: метонов цикл
СОЛНЦЕ, ЛУНА, ДРЕВНИЕ ПРАЗДНИКИ И НОВОМОДНЫЕ ТЕОРИИ

СОЛНЦЕ, ЛУНА, ДРЕВНИЕ ПРАЗДНИКИ И НОВОМОДНЫЕ ТЕОРИИ.

(с) Красильников 1999

Когда будет пасха в 2000 году?

Спросите кого-нибудь - когда в будущем году будет рождество? Ваш собеседник сильно удивится - конечно, 7-го января, как и в этом, и в прошлом году. А теперь поинтересуйтесь - а когда будет пасха? Большинство людей этот вопрос поставит в тупик. Действительно, ряд церковных праздников (в том числе и главный христианский праздник - пасха) - переходящие, т.е. в разные годы они приходятся на разные даты календаря.

Тем не менее ответить на этот вопрос не так уж и сложно. Сперва надо найти остаток от деления номера года на 19 - обозначим его через c. Затем на основании этого остатка нужно определить "опорную дату" из таблицы 1. Даты в этой таблице даны по старому стилю (юлианскому календарю), и для перехода к григорианскому календарю надо к полученной дате прибавить 13 дней (для годов в XX и XXI веке). Пасха будет в ближайшее воскресенье строго после найденной нами даты. (Слова "строго после" означают, что если наша дата пришлась на воскресенье, то пасха будет через неделю после нее - в следующее воскресенье).

Таблица 1. Опорные даты для определения даты пасхи. c - остаток от деления номера года на 19, d - количество дней от 21 марта до опорной даты.

cОпорная дата d
05 апреля 15
125 марта 4
213 апреля23
32 апреля 12
422 марта 1
510 апреля20
630 марта 9
718 апреля28
87 апреля 17
927 марта 6
1015 апреля25
114 апреля 14
1224 марта 2
1312 апреля22
141 апреля 11
1521 марта 0
169 апреля 19
1729 марта 8
1817 апреля27

Для примера определим даты пасхи в 1999 и 2000 году. Разделим 1999 на 19 и получим в остатке 4. Опорная дата из таблицы - 22 марта. Прибавим 13 дней: 22+13=35. Так как в марте всего 31 день, вычтем 31 из полученного результата: 35-31=4, т.е. 4-е апреля по новому стилю. Поскольку 4-е апреля в этом году пришлось на воскресенье, то пасха праздновалась неделю спустя - 11 апреля.

При делении 2000 на 19 получаем остаток 5 и опорную дату 10 апреля по старому и 23 - по новому стилю. 23 апреля в 2000 году тоже приходится на воскресенье, поэтому пасха будет праздноваться неделю спустя - 30 апреля.

Таким образом, вопрос "когда была (будет) пасха в N-ом году?" не столь труден, как может показаться: для ответа на него нужно всего лишь уметь находить остаток от деления N на 19 и иметь две таблицы, одна из которых приведена выше, а вторая - табель-календарь на интересующий нас год.

А как обойтись без таблиц?

Если нас интересует не текущий год, то, как правило, табель-календаря у нас под рукой не окажется. Хотелось бы уметь при расчетах даты пасхи обходиться без вспомогательных таблиц. Оказывается, это тоже не очень сложно. Для начала заметим, что таблица 1 имеет достаточно регулярное строение: при переходе к следующему году дата сдвигается либо на 11 дней раньше, либо - если при сдвиге получается дата до 21 марта - на 19 дней позже. Вследствие этого числа d из последнего столбца таблицы 1 (количество дней, прошедших от 21 марта до опорной даты) описываются простым выражением d=(19*с+15)%30 (знак процента используется здесь и далее для обозначения остатка от деления). Поэтому без приведенной выше таблицы обойтись очень легко. Можно также обходиться и без табель-календаря: единственное, для чего он нам нужен - это узнать, на какой день недели приходится полученная нами опорная дата, чтобы найти следующее за ней воскресенье. Но это можно определить и непосредственно по номеру года. Не вдаваясь в дальнейшие подробности, приведем полный алгоритм для определения даты пасхи для произвольного года, заимствованный из [2].

Зададим целое число year - номер интересующего нас года. Затем последовательно вычислим

a = year % 4;
b = year % 7;
c = year % 19;
d = ( 19 * c + 15 ) % 30;
e = ( 2 * a + 4 * b - d + 34 ) % 7;
f = 3 + (d + e + 21) / 31;
g = ( d + e + 21 ) % 31;
month = f;
day = g + 1;

В результате переменные month и day получат значения месяца и дня пасхи для интересующего нас года.

Все операции деления в этом алгоритме - целочисленные, т.е. дающие в результате целую часть частного. Знак процента обозначает операцию нахождения остатка от деления.

(Некоторые комментарии. Переменная d - это сдвиг опорной даты от 21 марта, переменная е - календарная поправка, значение которой равно 0, если опорная дата приходится на субботу, 1 - на пятницу, 2 - на четверг, :, 6 - на воскресенье, т.е. уменьшенное на единицу число дней между опорной датой и следующим за ней воскресеньем).

Следует иметь в виду, что данный алгоритм выдает дату по старому стилю (юлианскому календарю), т.е. ее нужно перевести в новый стиль. Для XX и XXI веков этот перевод состоит в прибавлении 13 дней к полученной дате.

Заметим, что в приведенном алгоритме вначале находятся остатки от деления номера года на 4, 7 и 19, а в дальнейших вычислениях используются только эти остатки. Из этого следует, что результаты вычислений будут повторяться с периодом, равным произведению трех делителей (т.к. эти делители взаимно просты). Произведение 4*7*19 равно 532. Поэтому спустя 532 года пасха происходит в ту же самую дату (разумеется, по юлианскому календарю). Этот период в 532 года в теории пасхальных вычислений называется великим индиктионом. Отметим также, что увеличенное на единицу значение c из таблицы 1 (т.е. для ее первой строки - 1, для второй - 2 и т.д.) называется золотым числом.

Следует сказать, что в действительности пасхальные вычисления были существенно более сложными. В них использовались такие специфические понятия, как "эпакты", "вруцелетные буквы" и т.п. и составлялся ряд вспомогательных таблиц. Изложенное выше - это до предела упрощенная их суть. Мы не будем вдаваться в подробности исходной методики расчета пасхальных дат - это чрезмерно увеличило бы объем данной статьи. Интересующийся читатель может самостоятельно найти эти подробности в литературе, например, в работе И.А.Климишина [1].

А при чем тут Луна?

Теперь мы умеем вычислять даты пасхи, но смысл этих вычислений остается малопонятным. Чтобы понять его, следует вспомнить, что пасхальное воскресенье - это первое воскресенье после так называемого пасхального полнолуния, т.е. первого полнолуния, которое происходит в день весеннего равноденствия или после него. Теперь нам ясно, что описанные ранее вычисления предполагают, что весеннее равноденствие происходит 21 марта (т.к. самая ранняя из дат в таблице 1 - 21 марта), а загадочная "опорная дата" - это дата пасхального полнолуния в этом году.

Проверим нашу догадку. Мы уже вычислили, что в 1999 году расчетная дата пасхального полнолуния - 4 апреля по новому стилю. Определим с помощью какого-нибудь календаря, где указаны фазы Луны, когда было полнолуние в начале апреля. Оказывается, ближайшее к найденной нами дате полнолуние произошло вечером 31 марта. Концы с концами у нас не сошлись - налицо расхождение в четверо суток. Отчего это произошло?

Посмотрим еще раз на методику вычисления даты пасхального полнолуния. Она очень проста - составлено "расписание дат полнолуний" (см. таблицу 1), которое повторяется через 19 лет, т.е. предполагается, что через 19 лет полнолуние придется на ту же самую дату юлианского календаря. Этот факт известен астрономам уже свыше двух тысяч лет и носит название "Метонова цикла". Он основан на том, что 19 лет почти точно равны 235 лунным месяцам. Действительно, средняя продолжительность года в юлианском календаре - 365.25 дней, а продолжительность лунного (синодического) месяца - 29.530588 дней. 365.25*19=6939,75 дней, а 29.530588*235=6939,68818 дней. Эти два числа действительно очень близки: их разность равна 0,06182 суток, или 1.48 часа. Итак, 235 лунных месяцев короче девятнадцати лет юлианского календаря всего лишь на полтора часа. Следовательно, если в неком году полнолуние произошло, например, 25 марта в 20 часов, то через 19 лет оно произойдет тоже 25 марта, но на полтора часа раньше, т.е. в 18 часов 30 минут.

Следует заметить, что утверждение "через 19 лет полнолуние произойдет в ту же самую дату, но на полтора часа раньше" верно лишь в среднем - по двум причинам. Во-первых, 19 лет юлианского календаря могут содержать лишь целое число суток - 6939 или 6940 в зависимости от того, содержат ли эти 19 лет 4 или 5 високосных. С другой стороны, 235 лунных месяцев всегда содержат примерно 6939,688 суток, поэтому через 19 лет момент полнолуния будет либо на 0.688 суток позже, либо на 0.312 суток раньше - в зависимости от количества високосных лет в конкретном 19-летнем интервале.

Во-вторых, приведенная выше продолжительность синодического месяца - 29.530588 суток - это опять-таки средняя продолжительность, моменты же истинных полнолуний из-за неравномерного движения Луны по орбите могут опережать моменты средних полнолуний (условных полнолуний, происходящих ровно через указанный интервал времени, как если бы движение Луны по орбите было строго равномерным) или отставать от них.

На рисунке 1 показано расхождение моментов средних и истинных полнолуний в 1980-2000 гг. Как ясно из графика, максимальное расхождение составляет несколько более полусуток.

Рисунок 1. Разность моментов истинных и средних полнолуний в 1980-2000 гг.

Однако в среднем на протяжении больших интервалов времени эта закономерность - сдвиг моментов полнолуний на полтора часа за 19 лет - выполняется достаточно точно.

На первый взгляд кажется, что полтора часа за 19 лет - достаточно малая величина. Однако это не так. Действительно, если за 19 лет набегает разница в 0.062 суток, то расхождение на целые сутки накопится за 1/0.062=16.13 19-летних циклов, или примерно за 306 лет.

Для 1999 года мы имеем расхождение между расчетным и истинным пасхальным полнолунием около 4 суток. На основании этого можно сделать оценку эпохи (очень грубую!), в которую было составлено расписание пасхальных полнолуний. Так как расхождение за сутки накапливается за 300 с небольшим лет, то эпоха, когда расчетное и астрономическое полнолуния совпадали, была более тысячи лет назад.

Когда это было?

Попытаемся провести более тщательное исследование вопроса о времени составления правил определения даты пасхи. Вообще говоря, в этих правилах имеются целых две возможности для их датировки. Во-первых, как мы видели, в методике расчета предполагается, что весеннее равноденствие приходится на 21 марта по старому стилю. Хорошо известно, что из-за расхождения между длиной тропического года (365.2422 суток) и средней длиной года в юлианском календаре (365.25 суток) дата весеннего равноденствия смещается на сутки за 128 лет.

Рисунок 2. Моменты весенних равноденствий в 200-600 гг. н.э.

На рисунке 2 показаны моменты весеннего равноденствия в 200-600 гг. н.э. Даты даны по старому стилю, время - мировое (гринвичское). (Строгости ради надо заметить, что в Константинополе - центре восточного христианства в древности - местное время опережает мировое почти на два часа, но мы пренебрежем этой разницей).

Моменты равноденствий, как и большинство расчетов в данной статье, были выполнены по формулам, приведенным в книге Ж.Мееса "Астрономические формулы для калькуляторов" [2].

Из рисунка ясно, что весеннее равноденствие происходило 21 марта в начале III века н.э - за век до Никейского собора, на котором были выработаны правила празднования пасхи (325 г.).

На врезке в правом верхнем углу рисунка 2 показан крупным планом участок графика для 300-340 гг. На нем четко видно, как "работает" юлианский календарь. Так как тропический год (интервал между равноденствиями) почти на четверть суток больше длины простого года в 365 суток, то момент весеннего равноденствия в простом году наступает почти на 6 часов позже, чем в предыдущем. На протяжении трех простых лет момент равноденствия смещается почти на 18 часов. Каждый четвертый год в календаре - високосный (с добавленным дополнительным днем), и в нем момент равноденствия наступает ранее, чем в предыдущем, чуть более чем на 18 часов. Таким образом, високосный год компенсирует ошибку, накопившуюся за три простых года. Но компенсация эта - с небольшим избытком, примерно в 45 минут, и моменты равноденствий плавно смещаются на все более ранние даты календаря. За 32 четырехлетних цикла (т.е. за 128 лет) накапливается ошибка в сутки.

Попутно обсудим вопрос о методике, с которой могли определять момент равноденствия в древности, и ее точности. В известном труде Птолемея "Альмагест" описан простой и остроумный прибор, применявшийся для этой цели предшественниками Птолемея и им самим - экваториальное кольцо. Это - металлическое кольцо, установленное так, что его плоскость совпадает с плоскостью небесного экватора. Иными словами, южная часть плоскости кольца должна быть отклонена от вертикали на угол, равный широте места наблюдений. В момент равноденствия Солнце находится на небесном экваторе, и тень от верхней части кольца падает точно на нижнюю, при этом освещаются одновременно верхний и нижний края затененной части. Таким образом, момент равноденствия наблюдается непосредственно.

Рисунок 3. Экваториальное кольцо и принцип его действия (справа). Сверху вниз: Солнце севернее небесного экватора, освещен верхний край кольца; Солнце точно на экваторе, тень падает точно на кольцо; Солнце южнее экватора, освещен нижний край кольца.

Экваториальное кольцо позволяет достаточно точно определить момент равноденствия. Согласно приведенным в труде Птолемея "Альмагест" [3] данным, с помощью этого прибора Гиппарх во II веке до н.э. провел такие определения на протяжении ряда лет. Современные расчеты показывают, что для большинства наблюдений ошибка составляла примерно четверть суток и не превышала 10 часов в самом худшем случае. У самого Птолемея ошибка определения момента весеннего равноденствия была существенно больше - около 20 часов.

Если предположить, что ошибка в определении моментов весеннего равноденствия у составителей правил расчета даты пасхи была вдвое больше соответствующей ошибки у Птолемея (т.е. около двух суток), то мы получим, что эти правила были составлены во II-V веках н.э.

Второй метод определения времени составления методики расчета даты пасхи - это определение той эпохи, когда получаемые на основе этой методики расчетные даты полнолуний совпадают с фактическими.

Задача эта не так проста, как может показаться на первый взгляд. Сначала выясним, как в древности определялась дата полнолуния. Свет на это проливает встречающееся в церковных документах название полнолуния - "14-я Луна". "Первой Луной" считалась так называемая неомения. Это греческое слово означает "новолуние", но имеет несколько иной смысл. Сейчас под новолунием подразумевается момент соединения Луны и Солнца. Неомения же - это первое появление лунного серпа на вечернем небе (после новолуния в современном смысле). День неомении считался первым днем, а под полнолунием понимался 14-й - т.е. 13 суток спустя.

Как утверждается в книге И.А.Климишина "Календарь и хронология" [1], на широте 32.5 градусов (это широта древнего Вавилона) Луну весной на закате нельзя наблюдать ранее чем через 16 часов 30 минут после новолуния, а на широте 38 градусов (широта Афин, южной Италии и Малой Азии) - ранее чем через 23 часа. Следовательно, дата неомении существенно зависит от места наблюдения - если, допустим, возраст Луны (время от момента новолуния) на закате составляет 20 часов, то в северной Африке Луна на закате будет видна, а в Италии - нет; там неомению будут наблюдать лишь сутки спустя. По причинам, которые станут ясны ниже, мы будем проводить расчеты, предполагая, что наблюдения неомении происходили в Александрии. Широта Александрии - 31 градус 13 минут, а местное время опережает мировое на 2 часа. Будем считать, что неомения наблюдается, если возраст Луны на закате составляет от 0.7 до 1.7 суток. 13 суток спустя возраст Луны составит от 13.7 до 14.7 суток.

Проведем расчет истинного возраста Луны (т.е. промежутка времени от истинного новолуния) на 18 часов всемирного (гринвичского) времени расчетного пасхального полнолуния, даваемого правилами расчета пасхи. Результаты расчета представлены на рисунке 4. Как ясно из вышеизложенного, если возраст Луны вечером расчетного пасхального полнолуния находится в пределах от 13.7 до 14.7 суток (это равносильно тому, что в день неомении возраст Луны находится в пределах от 0.7 до 1.7 суток), то расчетное полнолуние совпадает с установленным из прямых наблюдений "днем 14-й Луны". Здесь нам надо учесть разность мирового времени и местного времени Александрии. Когда в Александрии 18 часов (закат вблизи равноденствия), то по мировому времени в этот момент всего 16 часов - т.е. на 2/24 суток менее. Наши же расчеты возраста Луны выполнены на 18 часов мирового времени - следовательно, диапазон возраста надо уменьшить примерно на 0.1 суток - т.е. интервал возраста Луны на 18 часов мирового времени должен составлять примерно от 13.6 до 14.6 суток. Среднее значение возраста Луны составляет, очевидно, 14.1 суток. Итак, если возраст Луны превышает 14.6 суток, например, находится в пределах от 14.6 до 15.6 суток, то неомения должна была наблюдаться сутками ранее и расчетное полнолуние на сутки запаздывает относительно истинного, и т.д. Если наблюдения неомении проводятся в другом месте, то указанный интервал допустимого возраста Луны изменяется. Так, для Рима минимальный интервал между новолунием и неоменией - примерно сутки (Рим несколько севернее широты 38 градусов, для которой, согласно Климишину, он составляет 23 часа). Местное время там запаздывает относительно мирового менее чем на час. Если пренебречь этим запаздыванием (менее 0.05 суток), то для Рима интервал допустимого возраста Луны составляет от 14 до 15 часов. Таким образом, зависимость даты неомении от географического положения наблюдателя довольно ощутима. Разность допустимого возраста Луны для Александрии и Рима составляет 0.4 суток - это значит, что в 40% случаев наблюдатель в Риме будет фиксировать неомению на сутки позже наблюдателя в Александрии.

Рисунок 4. Истинный возраст Луны на 18 часов в расчетное пасхальное полнолуние (по мировому времени) в 200-900 гг.н.э.

Прежде всего отметим, что использованный для расчета дат полнолуний метонов цикл не слишком-то точен. На графике постоянно встречаются выбросы вверх и вниз от среднего значения (желтая линия) величиной до полутора суток. Это означает, что описанная выше методика принципиально не может быть точной - даваемые ей даты полнолуний в значительной части случаев неизбежно будут опережать устанавливаемые по наблюдениям даты "четырнадцатой Луны" на сутки или отставать от них на сутки. Далее заметим, что средний возраст Луны монотонно возрастает на сутки за 300 с небольшим лет. Среднее значение в 14.1 суток достигается в первой половине V века.

Эти же даные представлены в таблице 2. Для каждого 19-летнего промежутка, используемого при расчете пасхальных дат, в интервале 323-701 гг., дано количество лет, для которых устанавливаемая из наблюдений дата "14-й Луны" совпадает с расчетной датой пасхального полнолуния, опережает ее или запаздывает. Будем считать, что если возраст Луны на 18 часов всемирного времени лежит в пределах 13.6 - 14.6 суток, то расчетное полнолуние (для наблюдателя в Александрии) совпадает с "днем 14-й Луны", если же он находится в пределах 12.6 - 13.6 суток, то расчетное полнолуние опережает наблюдаемое на сутки, для интервала 14.6 - 15.6 суток имеет место запаздывание на сутки и т.д.

Таблица 2. Совпадение наблюдаемых дат "14-й Луны" и расчетных дат пасхальных полнолуний в 209-911 гг.

Интервал летРанее на двое суток Ранее на сутки Совпадает Позже на сутки Позже на двое суток Позже на трое суток
209-227 012 7 0 0 0
228-246 111 6 1 0 0
247-265 1 9 9 0 0 0
266-284 2 611 0 0 0
285-303 011 8 0 0 0
304-322 0 811 0 0 0
323-341 1 511 2 0 0
342-360 0 810 1 0 0
361-379 0 7 9 3 0 0
380-398 0 611 2 0 0
399-417 0 413 2 0 0
418-436 0 511 3 0 0
437-455 0 215 2 0 0
456-474 0 212 5 0 0
475-493 0 311 5 0 0
494-512 0 111 7 0 0
513-531 0 210 7 0 0
532-550 0 012 7 0 0
551-569 0 1 9 9 0 0
570-588 0 012 6 1 0
589-607 0 0 910 0 0
608-626 0 1 611 1 0
627-645 0 0 811 0 0
646-664 0 1 512 1 0
665-683 0 0 712 0 0
684-702 0 0 415 0 0
703-721 0 0 510 4 0
722-740 0 0 610 3 0
741-759 0 0 313 3 0
760-778 0 0 412 3 0
779-797 0 0 213 4 0
798-816 0 0 311 5 0
817-835 0 0 114 4 0
836-854 0 0 110 8 0
855-873 0 0 111 6 1
874-892 0 0 1 9 8 1
893-911 0 0 2 611 0

Из таблицы также видно, что наилучшее совпадение между наблюдаемыми и расчетными пасхальными полнолуниями имело место в первой половине V века - в это время расчетная дата полнолуния совпадала с наблюдаемым "днем 14-й Луны" в подавляющем большинстве случаев, а число опережений и запаздываний было примерно одинаковым.

Поставим вопрос - с какой точностью мы можем датировать составление "расписания полнолуний", используемого при расчете дат пасхи? Вспомним, как составлена таблица 1 - для каждого следующего года дата полнолуния сдвигается на 11 дней ранее или на 19 дней позже. Это - обычный способ составления таблиц фаз Луны в средние века. (Кстати, для последнего года в таблице дана дата 17 апреля. Если попытаться "замкнуть цикл" и перейти от последней строки таблицы к первой, вычтя 11 дней, то мы получим 6 апреля, а в первой строке таблицы дана дата 5 апреля - т.е. цикл не замыкается. Это обстоятельство было предметом недоумений в средние века и называлось "скачком Луны": "Луна совершает скачок в 1 день каждые 19 лет").

Именно такая регулярная структура таблицы 1 позволяет описать ее простым выражением d=(19*с+15)%30.

Очевидно, что минимальный интервал времени, на который мы можем передвинуть расписание полнолуний для его лучшего соответствия с реальными "днями 14-й Луны" - это одни сутки. Из этого следует, что если расписание составлялось, например, в 304-322 гг., (из таблицы 2 видно, что для этого времени в 8 случаях наблюдалось опережение расчетного полнолуния на сутки, а в 11 случаях - совпадение), то у его составителей был бы выбор из двух возможностей. Первая возможность - принять рассмотренное выше расписание. Вторая - сдвинуть расписание полнолуний на сутки вперед, тогда наблюдалось бы совпадение дат в 8 случаях и запаздывание расчетного полнолуния на сутки - в 11 случаях). И та и