Мне кажется, о Сир², что истинные философы поступили очень хорошо, отделив теоретическую часть философии от практической. Действительно, если даже ранее практическая часть соединялась с теоретической³, то тем не менее между ними можно обнаружить большое различие. Во-первых, хотя некоторые моральные добродетели могут оказаться присущими многим людям, не получившим образования, но исследование Вселенной невозможно без предварительного обучения. Во-вторых, у первых наибольший выигрыш получается за счет непрерывной практической деятельности, а у других — в продвижении теоретических исследований. Поэтому мы считаем необходимым, с одной стороны, держать наши действия в строгой мере под управлением наших умственных представлений, чтобы во всех жизненных ситуациях сохранять прекрасный и хорошо устроенный идеал, а с другой — употребить все силы главным образом для изучения многих и прекрасных теорий и прежде всего принадлежащих к той области знания, которую называют математикой в узком смысле этого слова.

        Теоретическую часть философии Аристотель очень удачно делит на три основных вида: физику, математику и теологию⁴. Действительно, все существующее имеет свое бытие в материи, форме и движении. Каждое из этих начал мы не можем созерцать само по себе — отдельно и независимо от других. Их можно только мыслить. Если выделить в простейшей форме первопричину первого движения Вселенной, то это был бы незримый и неизменный Бог. Исследующий его раздел [теоретической философии] — теология — занимается силой, расположенной в высочайших частях этого мира, и ее мы можем постигнуть только умом как совершенно отделенную от всего, могущего быть воспринятым чувствами. Раздел [теоретической философии], исследующий материальную и вечно изменяющуюся качественность в виде белизны, теплоты, сладости, мягкости и тому подобного, называется физикой, и предмет ее имеет свое бытие главным образом в том, что подвержено тлению и находится ниже лунной сферы. Наконец, вид знания, выясняющий формы и движения качественности, а именно фигуры, количества, размеры, а также место, время и тому подобное, что нам надлежит исследовать, можно определить как математический. К нему относится то, что имеет бытие, он занимает, так сказать, среднее положение между двумя приведенными выше, во-первых, потому что его объекты можно мыслить и при помощи чувственных восприятий, и вне их, во-вторых, также и потому, что это вообще свойственно всем существам — как смертным, так и бессмертным. У непрерывно изменяющихся существ оно
 
 

1.1. Введение

6

        Рассуждая таким образом, можно сказать, что два другие раздела теоретической философии скорее можно назвать как бы гаданием, а не научным познанием; теологическую — потому что она трактует о вещах невидимых и не могущих быть воспринятыми, физическую же — вследствие неустойчивости и неясности материальных форм; вследствие этого нельзя даже надеяться, что относительно этих предметов можно будет добиться согласия между философами. Одна только математическая часть, если подходить серьезно к ее исследованию, доставляет занимающимся ею прочное и надежное знание, ибо она дает доказательства, идя двумя путями, с которых невозможно сбиться: арифметическим и геометрическим. Поэтому мы предпочли заниматься по возможности этим разделом теоретической философии и, главным образом, той ее частью, которая рассуждает о божественных и небесных предметах. Ибо только она одна занимается исследованием речных и неизменных предметов. По этой причине, являясь по существу вполне ясной и упорядоченной (а в этом заключается основной признак науки), она может и сама вечно оставаться такой же самой. Кроме того, не менее, чем два других раздела [теоретической] философии, она может быть полезна для понимания других предметов. Действительно, математика может лучше всего подготовить путь для понимания богословских предметов, так как только она одна в состоянии успешно судить о неподвижной и обособленной от материи движущей силе вследствие своей близости к вещам, которые хотя и чувственны, движимы и движущи, но вместе с тем — вечные неизменные субстанции в отношении течения и упорядоченности движений. Точно так же она может дать весьма многое для изучения физики, ибо почти всем материальным субстанциям свойственно выражать свои особенности при помощи движений, сопровождающихся изменениями места. Тленным соответствуют прямолинейные, а нетленным — круговые движения, тяжелому же и легкому, пассивному и активному соответствуют движения к центру или от центра. Она более, чем все другие [разделы философии], может сделать нас способными к восприятию добродетельных поступков и нравственного совершенства, так как, созерцая в божественном одинаковость, упорядоченность, соразмерность и простоту, она заставляет всех своих последователей любить божественную красоту, приучая и как бы развивая в них подобное состояние души.

        Так и мы пытаемся увеличить любовь к науке о вечном и неизменном, преподав то из этой науки, что уже было передано предшествующими нам выдающимися исследователями, но также и со своей стороны внеся в нее добавления, которые были получены за время, прошедшее от них до нашей эпохи. Поэтому мы попытаемся все то, что в настоящее время считаем нужным сообщить, изложить с возможно большей краткостью и так, чтобы немного продвинувшиеся в этой науке могли следовать далее. Чтобы это сочинение было вполне законченным, все нужное для науки о небе мы изложим в свойственном ей порядке. А чтобы не делать это сочинение очень длинным, все то, что было достаточно точно разъяснено древними, мы только приведем, то же, что или совсем не было понято, или же понято недостаточно, мы постараемся в меру наших сил изложить подробнее.
 
 

1.2. О последовательности изложения

7

        Предлагаемое нами сочинение начинается с рассмотрения положения Земли в целом по отношению ко всему небу. При переходе к последовательному изложению отдельных частей нам следует [вначале] повести речь о положении наклонного круга⁶ , а также отдельных мест обитаемой нами Вселенной, затем о получающихся для каждого места различиях в положении горизонта вследствие наклона [сферы]. Предварительное рассмотрение всего этого облегчит нам изучение остального. На втором месте нам следует рассмотреть движение Солнца и Луны и все соответствующие им явления; без их предварительного усвоения невозможно исчерпывающим образом рассмотреть все относящееся к светилам. Наконец, говоря согласно намеченному плану о светилах, нам, конечно, следует начать с рассмотрения сферы так называемых неподвижных звезд, а после этого перейти к пяти так называемым блуждающим звездам, или планетам. Каждый из этих предметов мы попытаемся разъяснить, пользуясь в качестве начал и оснований при их исследовании очевидными и не вызывающими сомнений наблюдениями как древних астрономов, так и нашими собственными, выводя затем из них следствия путем доказательств при помощи геометрических чертежей.

        Теперь в качестве общего положения мы должны принять, что небо имеет сферическую форму и движется подобно сфере, затем, что Земля имеет также вид сферы, если ее рассматривать по всей совокупности ее частей. По своему положению она расположена в середине неба, являясь как бы его центром. По величине же и расстоянию относительно сферы неподвижных звезд она является как бы точкой и не имеет никакого движения, изменяющего место⁷. Чтобы освежить это в памяти, сделаем краткие указания относительно каждого из этих предметов.

        Первое представление об этих предметах, несомненно, получилось у древних в результате соответствующих наблюдений. Они видели, что Солнце, Луна и остальные светила движутся с востока на запад и всегда по кругам, параллельным друг другу. Они начинают подниматься снизу как будто из самой Земли; поднявшись же немного в высоту, они опять совершенно так же движутся по кругу и опускаются вниз, пока, наконец, не исчезнут, как бы уйдя в Землю. После этого они, оставаясь некоторое время невидимыми, опять восходят и заходят, как бы получив новое бытие, причем в соответствующие моменты этих движений и в соответствующих местах восходов и заходов. Они соблюдают совершенно правильный и всегда один и тот же порядок.

        Представлению о сферичности их движения больше всего способствовало наблюдение кругового движения незаходящих звезд, совершающегося всегда вокруг одного и того же центра. Эта точка необходимо стала полюсом всей небесной сферы. При этом более близкие к ней звезды описывают меньшие круги, а более удаленные — большие пропорционально удалению от нее, пока это расстояние не дойдет до границы заходящих звезд. Те из заходящих звезд, которые наблюдаются вблизи незаходящих, остаются невидимыми короткое время. Те же, которые находятся на больших расстояниях, будут невидимы в течение соответственно большего времени. При помощи только
 

1.3. О том, что небо имеет сферическое движение

8

        Действительно, если предположить, что движение светил совершается по прямым линиям в бесконечность, как думали некоторые⁸, то какой можно было бы выдумать способ, который позволил бы наблюдать каждое из этих светил ежедневно движущимся из одной и той же начальной точки? Каким образом смогли бы возвращаться назад устремляющиеся в бесконечность светила? И каким образом мы могли бы не заметить их возвращения? И как они могли бы исчезать, не уменьшая понемножку своей величины? В действительности мы видим противоположное: что они при исчезновении загораживаются, как бы обрезаемые поверхностью Земли.

        Точно так же совсем нелепо было бы думать, что светила зажигаются, выходя из Земли, а затем гаснут, погружаясь в нее⁹. Разве можно допустить, чтобы стройный порядок в величинах и количествах светил, в их расстояниях, положениях и временах движения соблюдался совершенно случайно и что такая-то часть Земли имеет зажигательную природу, а такая-то гасительную? Более того, чтобы одно и то же светило для одних зажигалось, а для других гасилось или что одни и те же светила для одних уже оказываются зажженными или погаснувшими, а для других еще нет? Наконец, говорю я, если бы кто-нибудь и согласился со всем этим, каким бы смешным оно ни казалось, то что мы должны были бы сказать о вечно видимых светилах, которые не восходят и не заходят? И по какой причине зажигающиеся и гаснущие светила везде и всегда восходят и заходят, а не претерпевающие этого везде и всегда находятся над Землей? Ведь не могут же одни и те же светила для одних людей всегда зажигаться и гаснуть, а для других никогда не испытывать ничего подобного, поскольку совершенно очевидно установлено, что одни и те же светила для одних восходят и заходят, а для других не совершают ни того, ни другого.

        Одним словом, если предположить для небесного движения какую-нибудь другую форму, отличную от сферической, то необходимо оказалось бы, что расстояния от Земли до светил в различных частях видимого неба были бы неравными, где бы и в каком положении она ни предполагалась [находящейся]. В таком случае необходимо ожидать, что величины и взаимные расстояния светил окажутся неравными для одних и тех же наблюдателей во время каждого обращения, и то же самое расстояние иногда становилось бы большим или меньшим, чего в действительности не наблюдается. В самом деле, если у горизонта светила кажутся нам имеющими несколько большую величину, то это происходит не вследствие уменьшения расстояния, но вследствие того, что между нашим глазом и светилом становятся испарения от окружающей Землю влаги, так же, как кажутся нам большими помещенные в воду предметы, и притом тем больше, чем ниже они погружены¹⁰.

        К представлению о сферичности приводит нас и то, что ни при каком другом предположении, кроме одного только этого, не могли бы соответствовать друг другу устроенные для измерения времени приборы. Точно так же, поскольку движение небесных тел не встречает никаких препятствий и происходит легче всех других движений, ему должна быть свойственна и наиболее удобоподвижная форма; для плоских фигур это круговое
 

1.4. О том, что Земля в целом имеет вид сферы

9

        Небо же больше всех других тел. Кроме этого к принятию указанного предположения побуждают и некоторые физические соображения. Из всех веществ тончайшим и однороднейшим¹² является эфир, а у однородных тел должны быть однородными также граничные поверхности; для плоских фигур однородными будут только круговые границы, а для телесных — сферические. Поскольку же эфир представляет собой не плоскую фигуру, но тело, то ему только и остается быть сферическим. Равным образом все расположенные на Земле и преходящие тела природа сформировала из фигур, имеющих круглую форму, но состоящих из неоднородных частей, а все эфирные и божественные — из однородных и сферических. Так что если бы светила были плоскими и дисковидными, то в различных местах Земли в одно и то же время они не казались бы всем наблюдателям имеющими круговую фигуру. Вследствие этого вполне разумно считать, что окружающий их эфир, имеющий подобную же природу, тоже сферичен и вследствие однородности своих частей совершает круговое и равномерное движение.

        Что и Земля, взятая в целом¹³ , имеет вид сферы, лучше всего можно понять из следующего. Солнце, Луна и остальные светила не будут восходящими или заходящими в одно и то же время для всех находящихся на поверхности Земли. Они всегда восходят сначала для живущих на востоке, а потом для живущих на западе. Действительно, совершающиеся в одно и то же время затмения, по большей части лунные, как мы находим из всех записей, бывают не в одни и те же часы, т.е. не на одинаковых расстояниях от полудня, но всегда наблюдатели, находящиеся восточнее, фиксируют часы, более ранние, чем наблюдатели, находящиеся западнее. И так как разница в часах оказывается пропорциональной расстоянию между соответствующими местами наблюдений, то совершенно естественно предположить сферичность поверхности Земли, так как вследствие выпуклости Земли в целом, которую мы во всех частях считаем одинаковой, передние будут всегда двигаться впереди задних пропорционально [разнице во] времени. Этого не могло бы случиться, если бы форма Земли была иной, что можно видеть также из следующего¹⁴.

        Действительно, если бы поверхность Земли была вогнутой, то восход светила казался бы происходящим раньше для более западных наблюдателей. Если бы она была плоской, то светило восходило бы и заходило в одно и то же время сразу для всех находящихся на поверхности Земли. Если бы она была треугольной или четырехугольной или в виде какого-нибудь другого многоугольника, то опять одно и то же происходило бы также в одно и то же время для всех обитающих на той же самой прямой, чего, однако, никоим образом не происходит. А то, что она не имеет формы цилиндра, кривая поверхность которого обращена к востоку и западу, а плоские основания — к полюсам мира, как это считали более вероятным некоторые¹⁵, ясно из следующего: никакая звезда не представлялась бы вечно видимой
 

1.5. О том, что Земля находится в середине неба

10

        Если бы после рассмотрения предыдущего мы поставили вопрос о положении Земля во Вселенной, то получилось бы, что удовлетворительно объяснить все происходящие вокруг нее явления можно только при одномпредположении: Земля находится в середине неба, как бы в центре его сферы. Действительно, если бы было не так, то мы должны были бы предположить или что ось [Вселенной] находится вне Земли, а Земля — на одинаковом расстоянии от каждого из полюсов, или что Земля, находясь на оси, располагается ближе к одному из полюсов, или, наконец, что Земля находится и не на оси, и не на одинаковом расстоянии от каждого из полюсов.

        Первому из этих предположений противоречит то, что если бы мы представили Землю в различных местах сдвинутой вверх или вниз, то тогда в предположении прямой сферы никогда не могло бы быть равноденствий, так как небесная сфера всегда разделялась бы горизонтом на две неравные части над и под Землей. В предположении же наклонной сферы¹⁶ или равноденствий вообще никогда бы не было, или они происходили бы не посередине перехода от летнего тропика к зимнему, так как соответствующие расстояния необходимо оказались бы неравными, ибо равноденственный круг¹⁷ и наибольший круг из параллелей, описываемых при вращении вокруг полюсов, не делился бы горизонтом пополам. Это могло бы произойти лишь с одним из кругов, ему параллельных, лежащим или севернее, или южнее. Однако все вполне согласны, что упомянутые расстояния оказываются всегда равными, поскольку увеличения [продолжительности] дня от равноденствия до наибольшего дня в летнем солнцестоянии будут равны ее уменьшениям до наименьшего дня в зимнем солнцестоянии. Если бы мы предположили, что смещение будет к востоку или западу, то тогда величины и расстояния звезд не казались бы равными и такими же для восточного и западного горизонтов, и время от восхода светил до прохождения через меридиан не было бы равным времени от прохождения через меридиан до захода, а это, очевидно, противоречит всем явлениям.

        Что касается второго предположения, а именно, что Земля, находящаяся на оси, сдвинута к одному из полюсов, то на это можно возразить следующее. Если бы действительно было так, то на каждой широте плоскость горизонта всегда делала бы неравными находящиеся над Землей и под
 

1.6. О том, что по сравнению с небесами Земля является точкой

11

        И вообще, если бы Земля не была расположена в самой плоскости равноденственного круга, но отклонялась от нее к северу или к югу в направлении одного из полюсов, то во время равноденствий на плоскостях, параллельных горизонту, тень гномона при восходе не оказывалась бы даже приблизительно на одной прямой с тенью гномона¹⁹ при заходе, в то время как в действительности всегда бывает противоположное. Отсюда ясно, что нельзя выдвинуть также и третье предположение, так как для него справедливы все возражения против двух первых гипотез.

        Суммируя, можно сказать: если не предположить, что Земля находится в середине, то уничтожится полностью весь порядок, усматриваемый нами в увеличениях и уменьшениях дней и ночей. Кроме того, и лунные затмения не могли бы иметь места во всех частях неба при диаметрально противоположных положениях [Луны и] Солнца, поскольку Земля часто оказывалась бы между ними не только во время их диаметральных прохождений, но и при расстояниях, меньших полуокружности²⁰.

        Существенное доказательство для чувственного восприятия того, что Земля является точкой по отношению к расстоянию до сферы так называемых неподвижных звезд²¹, состоит в том, что для всех ее мест величины и расстояния светил в одно и то же время кажутся во всех отношениях равными и подобными. Произведенные на различных широтах наблюдения одного и того же [явления] не обнаруживают ни малейших разногласий. Равным образом следует принять, что помещенные в различных частях Земли гномоны и центры армиллярных сфер²² будут поистине равнозначными с центром Земли и воспроизводят наблюдения и круговые движения теней так, согласно со сделанными предположениями относительно небесных явлений, как если бы они были помещены в центральной точке Земли.

        Наконец, очевидным признаком того, что в действительности дело так и обстоит, будет то, что проходящие через глаз плоскости, которые мы называем горизонтальными, везде делят небесную сферу пополам, чего никак не могло бы произойти, если бы величина Земли была заметной по
 

1.7. Земля не совершает никакого поступательного движения

12

        Соображения, подобные предыдущим, могут показать, что Земля не может ни совершать никакого движения вбок, как было упомянуто выше, ни вообще когда-нибудь выйти из центрального места. Действительно, тогда получилось бы то же, как если бы Земля занимала любое положение, отличное от центрального. Таким образом, мне кажется бесполезным отыскивать причины движений к центру, так как на основе наблюдаемых явлений раз навсегда установлено, что Земля занимает центральное положение в мире и что все тяжелые тела движутся к ней. Для понимания этого достаточно, пожалуй, будет показать, что если, как мы сказали, доказаны шаровидность Земли и ее нахождение в центре Вселенной, то во всех ее частях стремления²⁴ и движения тел, обладающих тяжестью (я говорю, конечно, о [естественных] движениях²⁵), всегда и везде происходят под прямыми углами к не имеющей никакого наклона касательной плоскости, проведенной в точке падения. Действительно, из всего этого очевидно, что, если бы не препятствовала земная поверхность, все тела встретились бы в центре Земли, так как проведенная к центру прямая линия всегда образует прямые углы с касательной к шару плоскостью, проведенной через точку пересечения с прямой в месте касания.

        Кто полагает странным, что Земля, обладающая такой громадной тяжестью, ни на что не опирается и не движется, как мне кажется, совершает ошибку, делая вывод из того, что он замечает в отношении себя, и не обращая внимания на то, что свойственно миру, взятому в целом. Я полагаю, что все это не показалось бы удивительным, если бы они подумали, что вся Земля по отношению ко всей окружающей ее телесной среде является точкой. Действительно, тогда оказалось бы, что Земля, являясь наименьшей по отношению к окружающему миру, была бы совершенно «осилена« громаднейшей и однородной средой и со всех сторон встретила бы равные и одинаково направленные противодействия. Ведь в мире, взятом по отношению к самому себе, нет ни верха ни низа; также ведь и на шаре нельзя вообразить чего-нибудь подобного. Что же касается находящихся в мире материальных тел и, в частности, присущих им естественных движений, то легкие и состоящие из тончайших частиц [тела], устремляясь вверх к окружности, кажутся нам движущимися вверх, так как для всех нас называется верхом то, что находится над головой, и направление это идет как бы к окружающей поверхности. Тяжелые же и состоящие из грубых частиц тела движутся к середине, как бы к центру, и кажутся нам падающими вниз, так как опять для всех нас низом считается то, что находится под ногами, и соответ- ствующее направление идет к центру Земли²⁶. Вполне естественно, что эти тяжелые тела оседают вокруг центра под действием со всех сторон равных и подобных взаимных ударов и противодействий. Таким
 

1.7. Земля не совершает никакого поступательного движения

13

        Есть некоторые люди, которые, не имея что возразить против всего этого, все же считают более вероятным другое: что не будет никаких противоречий, если они, так сказать, будут считать небо неподвижным, а Землю вращающейся вокруг той же самой оси с запада на восток и совершающей каждый день примерно одно обращение²⁷ или же считать и небо, и Землю определенным образом движущимися вместе вокруг одной и той же оси таким образом, что сохраняется [наблюдаемое] опережение одного другим.

        Они, однако, не заметили, что если ограничиться наблюдаемыми у звезд явлениями, то, пожалуй, ничто не будет препятствовать такому простейшему предположению, но подобное мнение покажется нам смешным, если мы обратим внимание на совершающееся вокруг нас самих и в воздухе. Действительно, чтобы согласиться с ними, мы должны предположить совершенно противное природе, а именно, что легчайшие и состоящие из наиболее тонких частиц тела или совсем не движутся, или движутся так же, как и тела противоположной природы, хотя [на самом деле] тела, находящиеся в воздухе и состоящие из менее тонких частиц, движутся гораздо быстрее, чем все более земные тела. И тогда [мы должны предположить, что] самые тяжелые и состоящие из грубейших частиц тела будут иметь собственное быстрое и равномерное движение, между тем как все согласны, что земные тела никогда легко не поддаются движениям, сообщаемым им другими телами. В таком случае пришлось бы согласиться, что вращение Земли совершается значительно быстрее всех происходящих вокруг нес движений, так как она делает такой большой оборот в короткое время, и что все не закрепленные на ней предметы должны казаться совершающими одно и то же движение, [по направлению] противоположное земному. Таким образом, мы никогда не могли бы видеть какое-нибудь идущее к востоку облако или брошенное в том же направлении тело, так как Земля в своем движении к востоку всегда опережала бы все тела. Они казались бы нам движущимися к западу и отстающими от движения Земли.

        Но если они скажут, что и воздух совершает вместе с Землей круговое движение в ту же сторону и с той же скоростью, то все равно находящиеся в воздухе тела всегда будут казаться отстающими от движения их обоих. А если бы тела вращались вместе с воздухом как одно тело, то никакое из них не казалось бы опережающим другое или отстающим от него, но оставалось бы на месте, в полете или бросании оно не совершало бы отклонений или движений в другое место вроде тех, которые мы воочию видим совершающимися, и у них вообще не происходило бы замедления или ускорения, оттого что Земля не является неподвижной.
 

1.8. В небе существуют два различных вида первых движений

14

        О гипотезах, которые необходимо предпослать подробному изложению и выводу следствий, сказано достаточно. До сих пор мы говорили о них как бы в общих чертах; в дальнейшем они будут подтверждены и засвидетельствованы тем, что на основании их будет последовательно доказано в полном согласии с наблюдаемыми явлениями. К ним, однако, необходимо добавить следующее основное положение: в небе существуют два различных вида первых движений²⁸. Одно из них увлекает все с востока на запад неизменным и равномерным вращением по параллельным друг другу кругам, описанным вокруг полюсов сферы, сообщающей всему равномерное вращение. Наибольший из этих кругов называется равноденственным вследствие того, что только он один всегда разделяется пополам большим кругом горизонта и при обращении по нему Солнца везде производит для наших чувств равенство дня и ночи²⁹. Другим движением будет такое, в результате которого сферы небесных светил совершают одновременно совместные движения в направлении, противоположном предыдущему, и вокруг других полюсов, не совпадающих с полюсами первого вращения. Мы предполагаем, что дело обстоит именно так, поскольку, наблюдая ежедневно, мы видим все, без исключения, находящееся на небе движущимся по подобным друг другу и параллельным равноденственному кругу путям и совершающим восход, прохождение через середину неба³⁰ и заход, что и является существенным свойством первого упомянутого движения. Дальнейшие и более непрерывные наблюдения показывают, что, хотя все другие светила сохраняют свои взаимные расстояния и в значительной степени собственные свои положения по отношению к свойственным первому движению путям, Солнце, Луна и так называемые блуждающие светила³¹ совершают некоторые разнообразные и неодинаковые движения, направленные, однако, относительно общего движения мира к востоку, как бы отставая от звезд, сохраняющих свои взаимные расстояния и как бы вращаемых одной сферой.

        Если бы упомянутое движение планет совершалось по кругам, параллельным равноденственному, т.е. вокруг полюса первого вращения, то, пожалуй, было бы достаточным полагать для всех одно и то же движение в направлении первого. Такое положение казалось бы вполне вероятным, а происходящие у них перемещения можно было бы объяснить различием в отставаниях, а не результатом движения в противоположном направлении. Однако вместе с движениями к востоку эти светила всегда наблюдаются переходящими к северу и к югу [от равноденственного круга], причем по величине это движение не будет равномерным, так что оно кажется возникающим от каких-то внешних толчков. Однако это неравномерное при таком предположении движение становится вполне упорядоченным, если отнести его к некоторому кругу, наклонному к равноденственному. Вследствие этого упомянутый круг рассматривается как один и тот же и общий для всех планет. В более точном определении это будет круг, описываемый Солнцем [на небесной сфере при его годовом движении]³². Вдоль него совершают обороты Луна и планеты, всегда двигаясь в непосредственной близости от него, причем отклонения каждого светила в ту или другую сторону от начерченного им пути не случайны. Поскольку
 

1.9. О специальных понятиях

15

        Если мы вообразим большой круг, проходящий через полюсы обоих упомянутых кругов, который необходимо рассечет пополам и под прямым углом каждый из этих кругов, то на наклонном круге получим четыре точки: две из них, при пересечении равноденственного круга диаметрально противоположные друг другу, называются равноденственными. Та из них, в которой совершается переход Солнца с юга на север, называется весенней, противоположная же ? осенней. Две же точки на круге, описанном через оба полюса, и тоже, конечно, диаметрально друг другу противоположные, называются тропическими. Та из них, которая находится к югу от экватора,
называется зимней, а находящаяся к северу — летней³³.

        Таким образом мы будем мыслить первое из [двух] первых движений, которое охватывает все остальные, как описываемое и как бы определяемое большим кругом, проведенным через оба указанных полюса³⁴ . Этот круг вращается (и уносит вместе с собой все остальное) с востока к западу  вокруг полюсов равноденственного круга, стоящих неподвижно на так называемом полуденном круге, который только тем отличается от вышеупомянутого, что он не всегда проходит через полюсы наклонного круга. Он называется полуденным также и вследствие того, что мы всегда мыслим его под прямым углом к горизонту, а также потому, что он в этом положении делит пополам каждое из полушарий, находящееся как над Землей, так и под ней, и содержит точки, соответствующие серединам дня и ночи. Второе же многообразное движение, увлекаемое первым и в свою очередь увлекающее сферы всех планет, переносится, как мы сказали, вышеупомянутым первым движением, но вращает [планетные сферы] в противоположную сторону вокруг полюсов наклонного круга. Эти полюсы, всегда неподвижные на круге, совершающем первое движение, т.е. проходящем через оба упомянутых полюса, естественно, тоже вращаются вместе с ним в направлении, противоположном направлению второго движения. Эти полюсы всегда сохраняют описанный через них большой круг, а также наклонный в одном и том же положении по отношению к равноденственному кругу.

Итак, изложение необходимых предпосылок можно считать в общих чертах предварительно законченным. Переходя теперь к специальным доказательствам, мы считаем, что первым из них будет то, при помощи которого определяется величина дуги большого круга, заключенной между полюсами эклиптики и экватора и измеряемой по проведенному через них этому кругу. Но мы видим необходимость изложить предварительно теорию определения величин прямых линий в круге³⁵, поскольку мы желаем раз и навсегда дать всему геометрическое доказательство.
 

1.10. О величинах прямых в круге

16

        Для удобного употребления на практике в дальнейшем мы построим некоторую таблицу, дающую их величины, разделив окружность на 360 частей. Она будет содержать длины прямых, стягивающих зги дуги (причем последние будут возрастать на полградуса), а именно числа содержащихся в них частей диаметра, в предположении, что последний разделен на 120 частей, ибо это числе« очень удобно, как выявится из самих вычислений. Сначала мы покажем, каким образом [лучше всего] при помощи небольшого числа повторяющихся теорем создать удобный и быстрый способ для определения дробной части величин, чтобы не было никаких сомнений, как [может быть] в случае, если бы мы дали только одни величины этих прямых, а также и чтобы при помощи методического их получения на чертежах дать легкий способ их проверки. При вычислениях мы вообще будем пользоваться шестидесятеричной системой вследствие неудобства обычных дробей. Производя умножение и деление, мы всегда будем придерживаться приблизительных результатов, но так, чтобы отбрасываемая часть ничем существенным не отличалась от точной величины³⁷.
 

        Итак, возьмем [рис. 1.1] ³⁸ сначала полукруг ABG на диаметре ADG с центром в D; из точки D под прямым углом к AG проведем DB, разделим DG в точке E пополам и соединим E с B; отложим
EZ, равную EB, и соединим Z и B. Я утверждаю, что ZD представляет сторону десятиугольника, a BZ — пятиугольника.

        Действительно, так как прямая линия DG разделена пополам в E и к ней прибавлена некоторая прямая DZ, то прямоугольник, содержащийся между DZ и GZ, вместе с квадратом на ED будет равен квадрату на EZ или на BE, так как EB равна ZE. Но квадрату на EB равны вместе взятые квадраты на ED и DB. Поэтому прямоугольник между GZ и ZD вместе с квадратом на DE будет равен вместе взятым квадратам на ED и DB или, после отнятия общего квадрата на ED, остающееся произведение GZ и ZD будет равно квадрату либо на DB, либо на DG.Следовательно, ZG разделена в точке D в крайнем и среднем отношениях. Поскольку стороны вписанных в один и тот же круг шестиугольника и десятиугольника, будучи отложены по одной и той же прямой, делят ее в крайнем и среднем отношениях и GD, будучи радиусом, является стороной шестиугольника, то DZ будет равна стороне десятиугольника.

        Аналогично, поскольку сторона пятиугольника квадрирует вместе взятые стороны шестиугольника и десятиугольника, вписанных в тот же самый круг, и в прямоугольном треугольнике BDZ квадрат на BZ равен вместе взятым квадратам на BD — стороне шестиугольника и DZ — стороне десятиугольника, следовательно, BZ будет стороной пятиугольника³⁹.

        Теперь, если мы положим, как я уже сказал, диаметр круга равным 120 частям, то на основании изложенного сторона DE, являясь половиной радиуса, будет равной 30 частям, а ее квадрат — 900; BD, являясь радиусом, равна 60 частям, а ее квадрат — 3600, кварат же на EB или на EZ равен 4500; cледовательно, EZ будет равна приблизительно 67;4,55 частям,
 

1.10. О величинах прямых в круге

17

        Ниже мы покажем, каким образом на основании этих хорд определяется каждая из остальных, предложив сначала небольшую лемму, в высшей степени полезную   для дальнейшего⁴².
Пусть  имеется  круг   [рис.   1.2]  со  вписанным  в  него  каким-нибудь четырехугольником ABGD. Проведем в нем соединяющие AG и BD. Требуется доказать, что прямоугольник на AG и BD равен вместе взятым прямоугольникам на AB и AG и на AD и BG.

        Построим угол ABE, равный DBG. Если мы прибавим  к ним в качестве общего угол  DEBD,  то угол ABD будет равняться углу EBG; также и угол BDA будет равен углу BGE, ибо они стягивают одну и ту же   дугу.   Следовательно,   треугольник ABD   будет равноугольным с треугольником BGE. Таким образом, существует пропорция: как DBG относится к GE, так и BD к DA⁴³, и, значит, произведение BG и AD равно произведению BD и GE. Затем, поскольку угол ABE равен углу DBG, а BAE равен BDG, то и треугольник ABE будет равноугольным с BGD. Поэтому, имеет место пропорция: как BA относится к AE, так и BD к DG, и, значит, произведение BA на DG равно произведению BD на DE. Но было доказано, что
 

1.10. О величинах прямых в круге

18

        Изложив это, возьмем полукруг ABGD  [рис. 1.3] на диаметре AD, из точки A проведем две прямые AB, AG, и пусть величина каждой из них будет дана в частях, каких в заданном диаметре содержится 120. Затем проведем линию, соединяющую B с G. Я утверждаю, что последняя тоже будет заданной⁴⁴.

        Действительно, проведем соединяющие BD и GD; тогда, очевидно, и они будут заданными, вследствие того, что каждая из них [есть хорда дуги, которая] дополняет до полуокружности [соответственно дуги AB или AG]. Теперь, так как в круге имеется четырехугольник ABGD, то произведение AB на GD вместе с произведением AD на BG будет равно произведенюо AG на BD. Но произведение AG на BD дано и также дано произведение AB на GD. Следовательно, будет известным остающееся произведение AD на BG. Но AD — диаметр; следовательно, будет известна прямая BG. Таким образом, нам ясно, что если даны две дуги и стягивающие их прямые, то будет дана и прямая, стягивающая дугу, равную разности двух заданных дуг. И ясно, что при помощи этой теоремы мы сможем записать выражения для немалого числа других прямых при помощи разностей заданных основных дуг. Таким образом, имея величины прямых, стягивающих 60 и 72 градуса, мы найдем прямую, стягивающую дугу в 12 градусов.
 
        Теперь пусть требуется найти по некоторой данной прямой в круге прямую, стягивающую половину дуги, соответствующей первой.

        Пусть ABG [рис. 1.4] будет полукруг на диаметре AG, а GB — заданная прямая. Разделим дугу GB пополам в D, проведем соединительные прямые AB, AD, BD, DG и из точки D опустим на AG перпендикуляр AZ. Я утверждаю, что ZG будет половиной разности AG и AB.

        Действительно, отложим AE равной AB и соединим DE. Поскольку AB равна AE и AD является общей, то две стороны AB, AD равны соответственно двум AE, AD, и угол BAD равен углу EAD. Следовательно, основание BD будет равно основанию DE. Но BD равна DG; значит, DG будет равна DE. Теперь, поскольку в равнобедренном треугольнике DEG из вершины опущен на основание перпендикуляр DG будет половиной разности этих прямых. Таким образом, поскольку прямая, стягивающая дугу BG, предполагается заданной (а вследствие этого будет задана прямая, стягивающая дугу AB — дополнение до полуокружности), будет заданной и ZG, являющаяся половиной разности AG и AB. Но так как в прямоугольном треугольнике AGD проведен перпендикуляр DZ, то прямоугольный треугольник ADG будет иметь равные углы с DGZ, и получится: как относится AG к GD, так будет относиться и GD к GZ.
 

1.10. О величинах прямых в круге

19

         Пусть опять задан круг ABGD на диаметре AD с центром Z [рис. 1.5]. От точки A отложим последовательно две данные дуги AB, BG и проведем под ними соединительные прямые AB, BG, которые тоже являются заданными. Я утверждаю, что если мы соединим AG, то она тоже будет известной.

        Действительно, через точку B проведем диаметр BZE рассматриваемого круга и соединительные прямые BD, DG, GE, DE. Отсюда ясно, что через BG будет задана и GE, а через AB будут данными BD и DE. Тогда на основании того же, что и выше, поскольку в круге имеется четырехугольник BGDE и проведены прямые BD, GE, содержащийся между проведенными линиями прямоугольник будет равен вместе взятым прямоугольникам на противолежащих сторонах. Таким образом, поскольку заданы прямоугольники на BD, GE и на BG, DE, будет задан и прямоугольник на BE, GD. Но диаметр BE задан; следовательно, будет заданной остающаяся прямая
GD, а вследствие этого и соответствующая дополнению до полуокружности прямая GA. Таким образом, если даны две дуги и стягивающие их прямые, то на основании этой теоремы будет заданной и прямая, стягивающая дугу, получающуюся от сложения обеих упомянутых дуг⁴⁶.

        Очевидно, что если ко всем определенным выше прямым мы будем последовательно добавлять прямую, стягивающую дугу в 1¹/₂ градус, и вычислять стягивающие их [суммарные] прямые, то мы сможем записать [в таблицу] прямые для дуг, которые, будучи удвоены, имеют делителем тройку. Останутся [неопределенными] только два промежуточных деления в интервалах по 1¹/₂ градусу, так как мы хотим составить таблицу через промежутки в ¹/₂ градуса. Таким образом, если мы найдем прямую, соответствующую ¹/₂ градуса, то при помощи сложения и вычитания ее с заданными прямыми, замыкающими упомянутые промежутки, мы сможем заполнить и все остальные промежутки. Но если дана какая-нибудь прямая, например, стягивающая дугу в 1¹/₂ градус, то все же невозможно геометрически вычислить прямую, стягивающую третью часть этой дуги. Если бы это было возможно, то мы получили бы отсюда и прямую, соответствующую ¹/₂ градуса. Попробуем сначала найти линию для 1 градуса при помощи линий для 1¹/₂ и ³/₄ градуса, доказав [предварительно] небольшую лемму, которая хотя и не позволяет полностью определять
 

1.10. О величинах прямых в круге

20

        Я утверждаю, что если в круге проведены две неравные прямые, то большая имеет к меньшей отношение меньше того, которое дуга на большей прямой имеет к дуге на меньшей.

        Пусть ABGD будет круг [рис. 1.6]; проведем в нем две неравные прямые, из которых AB будет меньшей, BG большей. Я утверждаю, что прямая GB имеет к BA меньшее отношение, чем дуга BG к дуге BA. Разделим угол ABG пополам прямой BD и проведем соединительные прямые AEG, AD и GD. Так как угол ABG разделен пополам прямой BED, то прямая GD будет равна AD, и GE больше, чем EA. Опустим из D на AEG перпендикуляр DZ. Поскольку AD больше ED, а ED больше DZ, окружность, описанная из центра D радиусом DE, пересечет AD и пройдет выше прямой DZ. Опишем ее, и пусть это будет HEQ; также продолжим DZQ. Поскольку сектор DEQ больше треугольника DEZ и треугольник DEA больше сектора DEH, то треугольник DEZ имеет к треугольнику DEA отношение, меньшее, чем сектор DEQ к DEH. Но как треугольник AEZ относится к треугольнику DEA, так будет относиться и прямая EZ к прямой EA. И как сектор DEQ относится к сектору DEH, так и угол ZDE относится к углу EDA. Следовательно, прямая ZE имеет к EA меньшее отношение, чем угол ZDE к углу EDA. Тогда после композиции⁴⁸ прямая ZA будет иметь к EA меньшее отношение, чем угол ZDA к углу ADE. Если удвоить отношение [ZA к EA], то прямая GA будет иметь к AE меньшее отношение, чем угол GDA к углу EDA, и после выделения⁴⁹ прямая GE будет иметь к EA меньшее отношение, чем угол GDE к углу EDA. Но как прямая GE [относится] к EA, так будет [относиться] и прямая GB к BA, и как [относится] угол GAB к BDA, так [будет относиться] дуга GB к BA⁵⁰. Следовательно, прямая GB имеет к BA меньшее отношение, чем дуга GB к дуге BA.

        Положив это в основу, возьмем круг ABG [рис. 1.7] и проведем в нем две прямые AB и AG. Предположим сначала, что AB стягивает дугу в ³/₄ градуса, а AG — в 1 градус. Так как прямая AG
имеет к BA меньшее отношение, чем дуга AG к AB, а дуга AG представляет 4/3 дуги AB, то, значит, прямая GA будет иметь к BA отношение меньшее, чем 4 к 3. Но доказано, что прямая AB равна 0;48,8 таких частей, каких в диаметре имеется 120. Следовательно, прямая ГА будет меньше 1;2,50 такой же части. Указанное число составляет приблизительно 4/3 от 0;47,8. Затем (на том же чертеже) предположим, что прямая AB стягивает 1 градус, а AG стягивает 1¹/₂ градус. Тогда на том же самом основании, если дуга AG в 1¹/₂ раза больше AB, то, следовательно, прямая GA будет менее,
 

1.11. Таблица прямых в круге

21

        Как я полагаю, в этом виде теория прямых в круге может быть легче всего усвоена. Но чтобы иметь всегда, как я сказал, готовыми численные значения этих прямых, мы приводим ниже таблицы, каждую в 45 строк. Первая из них содержит числовые значения дуг, возрастающих на ¹/₂ градуса, вторая — величины соответствующих этим дугам прямых в предположении, что диаметр состоит из 120 частей, третья же — тридцатые доли разностей прямых на каждые ¹/₂ градуса. Таким образом, имея средний прирост на одну шестидесятую, не отличающийся чувствительно от истинного, мы можем легко вычислить соответствующие величины и для дуг, промежуточных между полуградусами.

        Вполне понятно, что если у нас появится какое-либо сомнение относительно какой-нибудь из величин в таблице прямых вследствие ошибки при переписке, то на основании приведенных теорем мы можем легко произвести проверку или исправление при помощи удвоения исследуемой величины или же определения разности с какими-нибудь другими из известных [величин], или же по величине прямой, стягивающей дугу, равную дополнению до полуокружности. И таблицы эти таковы⁵².

        Приведя числовые величины прямых, заключенных в круге, пожалуй, следует прежде всего, как мы сказали, определить числовую величину наклона круга, проходящего через середины зодиакальных созвездий и наклонного к равноденственному. Иными словами, требуется найти отношение большого круга, проходящего через полюсы обоих указанных кругов, к его дуге, заключенной между этими полюсами. Оно, очевидно, также равно расстоянию каждой из точек солнцеворотов до равноденственного круга⁵³. Эту дугу мы можем непосредственно измерить инструментально при помощи следующего простого устройства⁵⁴.
 

1.11. Таблица прямых в круге

22-25

        Изготовим тщательно обточенный медный круг соответственно измеряемой величине и с прямоугольным сечением поверхности [рис. 1-Е]. Воспользуемся им в качестве полуденного круга, разделив его на обычные 360 частей большого круга, а каждую из этих частей — на столько частей, сколько может вместить инструмент. После этого к упомянутому кругу [1 на рис. 1-Е] присоединим другой, более тонкий круг [2] таким образом, чтобы они все время оставались в одной плоскости; малый круг должен свободно вращаться внутри большого круга в одной и той же плоскости к северу и к югу. На одной поверхности малого круга в двух его диаметрально противоположных точках закрепим небольшие призмы [3], направленные одна к другой и к центру обоих кругов. В середине их поместим тонкие указатели [4] таким образом, чтобы они касались поверхности большого круга, разделенного на части. При каждом наблюдении мы закрепляем этот круг на столбике [б] подходящей величины. Основание этого столбика устанавливается под открытым небом на плоскости, не имеющей никакого наклона к горизонту и так, чтобы плоскость обоих кругов была всегда перпендикулярна к горизонту и параллельна кругу меридиана. Первое из этих условий удовлетворяется при помощи отвеса [5], подвешенного в самой верхней точке. Выпрямляя подножия подкладками, постараемся добиться,  чтобы отвес проходил точно по диаметру. Второе условие достигается, если на плоскости, расположенной под столбиком, начертить хорошо заметную полуденную линию [а—а] и поворачивать круги в стороны до тех пор, пока их плоскость не окажется параллельной упомянутой линии. Установив все это надлежащим образом, мы наблюдаем в полдень отклонения Солнца к северу и к югу, поворачивая внутренний круг до тех пор, пока нижняя призма не будет целиком затенена верхней. Когда это будет достигнуто, концы указателей покажут нам, на сколько делений полуденной линии каждый раз отстоял центр Солнца от зенита.

        Мы сделаем это наблюдение еще более удобным, изготовив вместо кругов каменную или деревянную четырехугольную неподвижную призму [1 на рис. 1-F], одна из граней которой хорошо выровнена и разглажена⁵⁵. Взяв на ее поверхности в качестве центра некоторую точку у одного из углов, мы описали четверть круга [2] и из центральной точки до начерченной окружности провели две прямые линии, содержащие соответствующий четверти круга прямой угол. Эту дугу мы точно так же разделили на 90 градусов и их доли. Затем на одной из прямых, которая должна быть перпендикулярна к плоскости горизонта и обращена к югу, мы поместили два одинаковых прямых цилиндрика [3], обточенных подобно
 

1.13. Предварительные теоремы для доказательств сферики

27

        Из подобных наблюдений и главным образом из тех, которые были сделаны нами во время солнцеворотов в течение многих лет, добившись при помощи отсчитываемой от вершины отметки, чтобы во время летнего или зимнего солнцеворотов получались одни и те же одинаковые деления полуденного круга, мы нашли, что дуга от самого северного до самого южного конца (а это будет дуга, заключающаяся между тропиками) всегда  оказывалась равной 47 градусам с избытком, большим ²/₃, но меньшим ³/₄ градуса. Отсюда получается почти то же отношение, что у Эратосфена, которым пользовался и Гиппарх. Действительно, величина дуги между тропиками составляет приблизительно 11 таких частей, каких в полуденном круге будет 83 ⁵⁸.

        Из упомянутого наблюдения становится ясно, как определять широту места, в котором мы производим наблюдения. Между обеими конечными точками нужно взять среднюю, которая будет соответствовать равноденственному кругу, и измерить дугу, заключенную между этой точкой и верхним концом дуги. Она, очевидно, будет равна расстоянию полюса от горизонта⁵⁹.

        Теперь следует вычислить величины дуг различных больших кругов, проведенных через полюсы равноденственного круга, которые заключаются между равноденственным кругом и кругом, проведенным через середины зодиакальных созвездий⁶⁰. Предварительно мы изложим несколько кратких и очень полезных лемм, при помощи которых доказательства большей части предложений, усматриваемых при помощи сферики, можно сделать более простыми и методическими.

        Пусть  к  двум  прямым  AB   и  AG   [рис.   1.8]    проведены две прямые BE и GD, пересекающиеся в точке Z. Я    утверждаю,    что    отношение   GA к AE составляется   из   отношений GD   к  DZ и ZB   к BE⁶¹. Через E параллельно GD проведем EH. Так как GD и EH параллельны, то отношение GA к EA будет тем же, что и отношение GD к EH. Возьмем еще ZD; тогда отношение GD к EH будет
 

1.13. Предварительные теоремы для доказательств сферики

28

         Так же мы докажем при выделении, что отношение GE к EA составляется из отношений GZ к DZ и DB к BA. Через A проведем параллель к EB [рис. 1.9] и продолжим до этой ее параллели прямую GDH. Так как AH опять будет параллельна EZ, то как относится GE к EA, так будет относиться и GZ к ZH⁶². Если взять еще ZD, то отношение GZ к ZH составится из отношений GZ к ZD и DZ к ZH. Но отношение DZ к ZH такое же, как отношение DB к BA вследствие того, что между параллельными AH и ZB проведены BA и ZH. Следовательно, отношение GZ к ZH складывается из отношений GZ к DZ и DB к BA. Но отношение GZ к ZH такое же, как отношение GE к EA, и, следовательно, отношение GE к EA складывается из отношений GZ к DZ и DB к BA, что и требовалось доказать.

         Пусть дан еще круг ABG [рис. 1.10] с центром D. Возьмем на его окружности три какие-нибудь точки A, B, G так, чтобы каждая из дуг AB, BG была меньше полуокружности; то же самое мы будем предполагать в дальнейшем и для других дуг. Проведем соединительные прямые AG и DEB.

        Я   утверждаю,   что  как  прямая   под   удвоенной дугой AB относится к прямой под удвоенной BG, так будет относиться и прямая AE к прямой EG.

        Действительно, из точек A и D проведем перпендикуляры AZ и GH к прямой DB. Так как AZ параллельна GH и они пересечены прямой AEG, то как относится AZ к GH, так будет относиться и AE к EG.

        Но отношение AZ к GH будет такое же, как у прямой под удвоенной дугой AB к прямой под удвоенной BG, ибо первые две будут соответственно половинами вторых. Следовательно, отношение AE к EG будет тем же, что у прямой под удвоенной дугой AB к прямой под удвоенной BG. Это и требовалось доказать.

        Отсюда следует, что если даны вся дуга AG и отношение прямой под удвоенной дугой AB к прямой под удвоенной дугой BG, то будут заданы и каждая из дуг AB и BG ⁶³.

        Действительно, на том же чертеже [рис. 1.11] проведем соединительную прямую AD и опустим из D на AG перпендикуляр DZ. Очевидно, что при задании дуги AG будут заданными и угол ADZ, стягиваемый ее половиной, и весь треугольник ADZ. Поскольку кроме всей прямой AG предполагается заданным также отношение AE к EG, тождественное с отношением прямой под удвоенной дугой AB к прямой под удвоенной BG, будет заданной прямая AE и, в результате, ZE. Вследствие этого при задании AZ будут заданными угол EDZ прямоугольного треугольника EDZ и весь угол ADB.
 

1.13. Предварительные теоремы для доказательств сферики

29

        Пусть опять будет дан круг ABG [рис. 1.12], описанный около центра D. Возьмем на его окружности три точки A, B, G так, чтобы каждая из дуг AB, AG была  меньше  полуокружности.   То  же  мы  предположим  и относительно дуг, которые будем брать в дальнейшем. Проведем соединительные прямые DA и GB, продолжим их, и пусть они пересекутся в точке E. Я утверждаю, что прямая под удвоенной дугой GA относится к прямой под удвоенной дугой AB, как прямая GE к BE⁶⁴.

        Действительно, если мы, как и в предыдущей лемме, опустим из B и G перпендикуляры BZ и GH на прямую DA, то вследствие их параллельности получится, что как относится GH к BZ, так будет относиться и GE к EB. Таким образом, как прямая под удвоенной дугой GA относится к прямой под удвоенной AB, так будет относиться и GE к EB, что и требовалось доказать.

        И отсюда получится, что если даны только дуга GB и отношение прямой под удвоенной дугой GA к прямой под удвоенной AB, то будет дана и дуга AB⁶⁵.

        Действительно, если на такой же фигуре [рис. 1.13] проведем соединительную прямую DB и на BG опустим перпендикуляр DZ, то будет  заданным угол BDZ, стягиваемый половиной дуги BG, и, следовательно, весь прямоугольный треугольник BDZ. Так как дано отношение GE к EB
и прямая GB, то будут даны также и EB, и вся прямая EBZ. Если DZ дана, то будет дан и угол EDZ того же прямоугольного треугольника, и остающийся угол EDB. Таким образом, будет известна и дуга AB.

        После   этих    предварительных   замечаний   опишем    на   сферической поверхности   [рис.   1.14] дуги больших кругов так, чтобы проведенные к
 

1.14. О дугах между равноденственным и наклонным, кругами

30

        Я утверждаю, что отношение прямой под удвоенной дугой GE к прямой под удвоенной дугой EA складывается из отношения прямой под удвоенной дугой EA складывается из отношения прямой под удвоенной дугой GZ к прямой под удвоенной дугой ZD и отношения прямой под удвоенной дугой DB к прямой под удвоенной дугой BA.

        Действительно,    возьмем центр сферы,    и пусть он будет в точке H. К точкам B, Z, E пересечений кругов проведем из H прямые HB,  HZ и HE. Затем продолжим соединяющую прямую AD, и пусть она пересечется в точке Q с продолжением HB. Точно так же пусть соединяющие прямые DG и AG пересекутся с HZ и HE в точках K и L. Точки Q, K, L лежат на одной прямой вследствие того, что они одновременно находятся на двух плоскостях — треугольника AGD и круга BZE. Соединяющая их прямая QKL вместе с двумя прямыми QA и GA дает две проведенные поперек прямые QL и GD, пересекающиеся в точке K. Следовательно, отношение GL к LA составляется из отношений GK к KD и DQ к QL. Но GL относится к LA, как прямая, стоящая под удвоенной дугой GE, относится к прямой под удвоенной дугой EA, а GK относится к KL, как прямая под удвоенной дугой GZ относится к прямой под удвоенной дугой ZD, и QD относится к QA, как прямая под удвоенной дугой DB относится к прямой под удвоенной дугой BA. Следовательно, отношение прямой под удвоенной дугой GE к прямой под удвоенной дугой EA складывается из отношений прямых под удвоенной дугой GZ и под удвоенной дугой ZD, а также прямых над удвоенной дугой DB и под удвоенной дугой BA.

        На основании тех же рассуждений и как бы для прямых, начерченных на плоскости, доказывается, что отношение прямой под удвоенной дугой GA к прямой под удвоенной дугой EA складывается из отношения прямой под удвоенной дугой GD к прямой под удвоенной дугой DZ и отношения прямой под удвоенной дугой ZB к прямой под удвоенной дугой BE. Все
это и предполагалось предварительно доказать⁶⁶.

        Доказав изложенную выше теорему, сначала вычислим упомянутые дуги таким образом. Пусть ABGD — большой круг [рис. 1.15], проведенный через полюсы кругов равноденственного и проходящего через середины зодиакальных созвездий. Пусть AEG — полуокружность равноденственного круга, а BED — половина круга, проходящего через середины зодиакальных созвездий. Пусть точка E — их пересечение, соответствующее весеннему равноденствию, так что B будет точкой зимнего, а D — летнего солнцеворотов. На окружности ABG возьмем полюс равноденственного круга
 

1.15. Таблица склонений

31

        Теперь, так как на чертеже в две дуги AZ и AE больших кругов вписаны две другие, ZQ и EB, пересекающиеся друг с другом в точке H, то отношение прямой под удвоенной дугой ZA к прямой под удвоенной AB складывается из отношения прямой под удвоенной QZ к прямой под удвоенной QH и отношения прямой под удвоенной HE к прямой под удвоенной EB. Но удвоенная дуга ZA равна 180 градусам, а стоящая под ней прямая — 120 частям, удвоенная же дуга AB в соответствии с принятым нами отношением 11 к 83 равна 47;42,40 градусам, а стоящая под ней прямая — 48;31,55 частям. И далее, удвоенная дуга HE равна 60 градусам, а стоящая под ней прямая — 60 частям, удвоенная же дуга EB равна 180 градусам, а прямая под ней — 120 частям. Следовательно, если из отношения 120 к 48;31,55 мы выделим отношение 60 к 120, то останется отношение прямой под удвоенной дугой ZQ к прямой под удвоенной QH, а именно 120 к 24;15,57. Удвоенная дуга ZQ равна 180 градусам, а стоящая под ней прямая — 120 частям. Следовательно, прямая под удвоенной дугой QH равна 24;15,57 таким же частям. Таким образом, удвоенная дуга QH равна 23; 19,59 градусам, и сама дуга QH — приблизительно 11;40 таким же градусам⁶⁷.

        Теперь предположим, что дуга EH равна 60 градусам, а все остальное остается таким же. Тогда удвоенная дуга EH равна 120 градусам, а прямая под ней — 103;55,23 частям. Следовательно, если мы опять из отношения 120 к 48;31,55 выделим отношение 103;55,23 к 120, то останется отношение прямой под удвоенной дугой ZQ к прямой под удвоенной QH, т.е. отношение 120 к 42;1,48. Но прямая под удвоенной дугой ZQ составляет 120 частей. Тогда прямая под удвоенной дугой QH будет равна 42;1,48 частям, и, следовательно, удвоенная дуга QH равна 41;0,18 градусу, а дуга QH равна 20;30,9 таким же градусам, что и требовалось доказать.

        Вычислив таким же образом числовые значения различных дуг, мы составим таблицу для 90 градусов одного квадранта, содержащую числовые величины дуг, подобных предыдущим. Таблица эта такова⁶⁸.

        Теперь следует определить числовые величины дуг равноденственного круга, образуемых при пересечении его с кругом, проведенным через его полюсы и заданную точку на наклонном круге. Таким образом мы получим
 

1.16. О временах восхода в прямой сфере

32

выраженные в равноденственных временных градусах⁶⁹ времена прохождения через полуденный круг отдельных частей круга, проходящего через середины зодиакальных созвездий, одинаковые для всех местностей, а также [времена прохождения] через горизонт в прямой сфере вследствие того, что только в этом случае горизонт проходит через полюсы равноденственного круга⁷⁰ .

        Начертим снова вышеуказанную фигуру [рис. 1.16]. Пусть опять будет дана дуга EH наклонного круга, которую мы для начала возьмем равной 30 градусам, а требуется определить дугу EQ равноденственного круга.

        На том же основании, что и выше, отношение прямой под удвоенной дугой ZB к прямой под удвоенной дугой BA складывается из отношения прямой под удвоенной дугой ZH к прямой под удвоенной дугой HQ и отношения прямой под удвоенной дугой QE к прямой под удвоенной дугой EA. Но удвоенная дуга ZB равна 132;17,20 градусам, а стоящая под ней прямая — 109;44,53 частям. Удвоенная же дуга AB равна 47;42,40 градусам, а прямая под ней — 48;31,55 частям. Далее, удвоенная дуга ZH равна
 

1.16. О временах восхода в прямой сфере

33

        Предположим теперь, что дуга EH равна 60 градусам, так что при остальном неизменном удвоенная дуга ZH станет равной 138;59,42 градусам, а стоящая под ней прямая — 112;23,56 частям, удвоенная же дуга QH — 41;0,18 градусам, прямая же под ней — 42;1,48 частям. Следовательно, если из отношения 109;44,53 к 48;31,55 выделить отношение 112;23,56 к 42;1,48, то останется отношение прямой под удвоенной дугой GE к прямой под удвоенной EA, т.е. 95;2,40 к 112;23,56, что равносильно отношению 101;28,20 к 120. Но стоящая под удвоенной дугой EA прямая равна 120 частям. Значит, прямая под удвоенной дугой QE будет равна 101;28,20 такой же части, удвоенная же дуга QE составит приблизительно 115;28 градусов, сама же дуга QE — 57;44 градусов ⁷².
Итак, показано, что первая двенадцатая часть круга, проходящего через середины зодиакальных созвездий, начиная от точки весеннего равноденствия, имеет одно и то же время восхода с 27;50 градусами равноденственного круга, вторая же двенадцатая часть — с 29;54 градусами, ибо показано, что обе они вместе соответствуют 57;44 градусам. Очевидно, что третья двенадцатая часть будет иметь одинаковое время восхода с дополняющими до квадранта 32;16 градусами, так как весь квадрант наклонного круга имеет одинаковое время восхода с соответствующим ему квадрантом равноденственного круга, ибо они заключены между кругами, проходящими через полюсы равноденственного круга.

        Таким образом, следуя указанному методу, мы вычислили для каждого десятиградусного отрезка наклонного круга дуги равноденственного круга, имеющие с ним одинаковое время восхода. Мы сделали это по той причине, что для дуг с меньшим числом градусов мы не будем иметь существенных отличий от равномерного возрастания разностей. Мы укажем эти дуги, чтобы можно было определить время, в которое каждая из них проходит через меридиан, как мы сказали, для всех местностей и через горизонт в прямой сфере, взяв начало десятиградусных отрезков в точке весеннего равноденствия.

        Итак, первый отрезок содержит 9;10 временных градусов, второй 9; 15, третий 9;25. Таким образом, для первой двенадцатой части получается вместе 27;50 временных градусов. Четвертый отрезок содержит 9;40, пятый 9;58, шестой 10; 16 временных градусов; таким образом, вторая двенадцатая часть имеет 29;54 временных градусов. Седьмой отрезок содержит 10;34 временных градусов, восьмой 10;47, девятый 10;55; так что опять у третьей двенадцатой части при точках солнцеворота получается 32; 16 временных градуса, а для всего квадранта — соответственно 90 градусов.

        Ясно, что для остальных квадрантов весь порядок оказывается таким же, ибо для каждого из них все происходит одинаковым образом, поскольку мы предполагаем сферу прямой, т.е. равноденственный круг не имеющим никакого наклона к горизонту ⁷³.