Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1161600&uri=node17.html
Дата изменения: Unknown
Дата индексирования: Wed Apr 13 05:19:57 2016
Кодировка: koi8-r

Поисковые слова: фундаментальные постоянные
Физика Земли и планет - Все о Геологии (geo.web.ru)
Все о геологии :: на главную страницу! Геовикипедия 
wiki.web.ru 
Поиск  
  Rambler's Top100 Service
 Главная страница  Конференции: Календарь / Материалы  Каталог ссылок    Словарь       Форумы        В помощь студенту     Последние поступления
   Геология >> Планетология | Курсы лекций
 Обсудить в форуме  Добавить новое сообщение
<< 3.3 Гравитационный потенциал шара | Оглавление | 4. Гравитационное поле и ... >>

Разделы


3.4 Гравитационное поле планеты

Все планеты Солнечной системы имеют форму, близкую к сферической. Поэтому, гравитационное поле шара можно рассматривать, как первое приближение к гравитационному полю планеты. Во втором приближении можно учесть тот факт, что некоторые планеты, в том числе и Земля, гораздо лучше могут быть представлены эллипсоидом вращения, чем шаром. В третьем приближении мы можем учесть и некоторые особенности в распределении масс внутри планеты и т.д. Короче говоря, гравитационное поле планеты обычно представляют рядом по шаровым функциям. В зависимости от решаемой задачи, предъявляются разные требования к детальности исходных данных, к числу членов разложения и к числу исходных параметров.

Итак, будем считать, что наша фиксированная точка , в которой нам необходимо получить гравитационный потенциал планеты, -- внешняя. Снова, как и в приведенных выше формулах, будем считать, что вектор определяет координаты фиксированной точки , а абсолютная величина этого вектора -- расстояние точки от начала координат. Радиус-вектор элемента массы мы снова будем обозначать буквой . Расстояние между фиксированной точкой и элементом массы -- буквой . Интегрирование по объему тела планеты мы будем помечать нижним пределом . Запишем гравитационный потенциал планеты в виде интеграла

(3.13)

Поскольку точка лежит вне планеты и, как правило, достаточно далеко от нее удалена, то подынтегральное выражение можно разложить в ряд по степеням отношения . Мы тут же столкнемся с так называемыми полиномами Лежандра, на некоторых сведениях о их свойствах необходимо остановиться.

Функцией, производящей полиномы Лежандра, называется функция

где -- полиномы Лежандра степени . Вот несколько первых полиномов Лежандра:

Каждый следующий полином можно вычислить, пользуясь рекуррентной формулой

Существует и общая формула для полиномов Лежандра. Это так называемая формула Родрига

Вернемся снова к нашему интегралу (3.13). Вынесем из под корня величину , получим

Под знак интеграла теперь входит производящая функция полиномов Лежандра. Разлагая подынтегральное выражение в степенной ряд относительно отношения , будем иметь

(3.14)

Представим полученное разложение в виде

где

(3.15)

Полученный ряд называют рядом Лапласа, а соответствующие функции -- функциями Лапласа. Используется и другая терминология. Функции Лапласа могут быть определены через гармонические (удовлетворяющие уравнению Лапласа) однородны полиномы, которые носят название шаровых функций. Поэтому ряд (3.14) после выполнения указанного интегрирования, называют разложением гравитационного потенциала в ряд по шаровым функциям.

Определим первые три функции Лапласа. Чтобы выполнить интегрирование, нам нужно выбрать системы координат. Допустим, что точка -- начало декартовой системы координат. Направления осей, в принципе, не имеют значения. Координаты фиксированной точки мы будем обозначать через , а для элемента массы -- координаты , , . Таким образом вектор , а радиус-вектор элемента массы есть .

Первый член разложения.

Согласно формуле (3.15), имеем

(3.16)

Полученная шаровая функция дает лишь массу планеты. Если ограничиваться только первым членом разложения, то это равносильно тому, что планета отождествляется с шаром со сферически симметрично распределенными массами или с материальной точкой.

Второй член разложения

Следующая шаровая функция имеет вид . Поскольку , будем иметь . Подынтегральное выражение есть не что иное, как скалярное произведение двух векторов и : , поэтому

Из теоретической механики известно, что последний интеграл определяет радиус-вектор центра масс:

Следовательно, линейная шаровая функция выглядит следующим образом

(3.17)

В астрономических приложениях этот член разложения часто не принимают во внимание: предполагают, что начало системы координат выбрано точно в центре масс. Однако, более детальный анализ гравитационных полей планет иногда приводит к выводу о смещении центра масс по отношении к геометрическому центру объема планеты.

Третий член разложения

Для получим .

Заметим, что . Поэтому

После необходимых преобразований, полученную формулу можно привести к виду

(3.18)

где использованы следующие обозначения:

(3.19)

а -- момент инерции планеты относительно оси, проведенной через начало координат и точку . Определим направляющие косинусы точки : , , .

Как следует из теоретической механики,

(3.20)

Таким образом, шаровая функция нулевой степени есть масса планеты (момент инерции нулевого порядка), первой степени определяется через координаты центра масс (момент инерции первого порядка) шаровая функция второй степени определяется через моменты инерции второго порядка. Продолжая рассуждения, мы убедимся в том, с увеличением степени шаровой функции, увеличивается и порядок моментов инерции планеты, через которые эти шаровые функции определяются. Поэтому говорят, что члены разложения гравитационного потенциала высокого порядка определяются через мультипольные моменты ее массы.

В задачах небесной механики часто используются следующие упрощения представления гравитационного потенциала, в предположении, что

-- начало координат совпадает с центром масс,

-- направления осей параллельны главным осям инерции,

-- фигура планеты -- тело вращения.

При этих предположениях координаты центра масс и произведения инерции равны нулю, а . Выберем декартову систему координат следующим образом: ось Oz совпадает с осью вращения фигуры, а оси Ox и Oy лежат в экваториальной плоскости. Тогда

Однако, , поэтому . Подставляя это выражение в формулу для шаровой функции второй степени, получим

Как мы видели, величина равна косинусу угла между осью вращения планеты и направлением на точку . Обозначим этот угол греческой буквой , таким образом , . По определению полиномов Лежандра, имеем

поэтому

Если ограничиться только этими членами разложения, то гравитационный потенциал планеты можно записать в виде

(3.21)

Формула (3.21) показывает, что напряженность гравитационного поля в точке зависит не только от сферических координат этой точки: расстояния и полярного расстояния (или широты) , но и от отличия моментов инерции около полярной и экваториальных осей. В качестве фундаментальной постоянной поля планеты берут не разность , которая зависит от массы и размеров планеты, а безразмерную величину . Теперь вместо формулы (3.21) можно записать

(3.22)

Принимая во внимание другие члены разложения потенциала, но сохраняя главное условие -- внутреннее строение планеты соответствует телу вращения -- мы можем получить формулу для гравитационного потенциала, содержащую полиномы Лежандра более высоких степеней

(3.23)

Коэффициенты разложения и относятся к фундаментальным постоянным астрономии.

В качестве характеристики планеты используют также безразмерный момент инерции, который определяется следующим образом . Эта величина малая, если почти вся масса планеты сосредоточена в ее центре, она равна 0.4, если планета -- однородный шар. Реально 0.0 < < 0.4. Любопытно, что американский ученый Экхард для Луны определил > 0.4, что означает Луна внутри пустая! Более поздние определения безразмерного момента инерции Луны установили, что он равен 0.391, что указывает на ее однородность, но никаких противоречий с установившимися взглядами на строение планет нет. Еще одна фундаментальная постоянная, также связанная с моментами инерции, -- постоянная прецессии играет важную роль в теории вращения планеты.

В заключении раздела приведем численные значения фундаментальных постоянных для некоторых планет и Луны.


Table 3.1. Фундаментальныепостоянные планет
Планеты км
Земля 0,332 0.001082645
Меркурий    
Венера 0,332 0,00000597
Марс 0,377 0,0008746
Юпитер 0,200 0,022060
Сатурн 0,220 0,025010
Уран 0,230  
Нептун 0,290  
Плутон &nbs