Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://dfgm.math.msu.su/files/encyclopedia/extremum.doc Дата изменения: Mon Nov 28 14:43:38 2011 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:46:21 2016 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: принцип мопертюи

Экстремум (от латин. extremum - крайний) - значение непрерывной функции,
являющееся ее локальным максимумом или локальным минимумом. Более точно,
непрерывная функция f имеет в точке x0 локальный максимум (соответственно,
минимум), если существует такая окрестность U точки x0 в области
определения функции, что для любой точки x из U имеет место неравенство
[pic] (соответственно, [pic]). Сама точка x0 при этом называется точкой
экстремума или критической точкой функции f.
Согласно общему Принципу Оптимальности в природе, высказанному еще
Мопертюи, Лейбницем и Эйлером, локальные минимумы и максимумы (т.е.
экстремумы) играют первостепенную роль в описании самых разных природных
явлений, поэтому они активно изучаются. Для дифференцируемых функций
необходимые, а также достаточные условия экстремума описываются в курсе
математического анализа и формулируются на языке производных функции f.
Однако в приложениях важную роль играют и существенно более общие ситуации,
такие как случай выпуклых функций без предположения о дифференцируемости
(здесь экстремумы изучает выпуклый анализ), случай функционалов в
бесконечномерных пространствах, таких как функционал длины кривой или
площади поверхности (такие критические точки изучают вариационное
исчисление и оптимальное управление). Также выделяют понятие условного
экстремума - локально максимального (минимального) значения функции, в
предположении, что аргумент функции удовлетворяет некоторому условию.
|[pic] |[pic] |
|Рис. 1. Красные точки - локальные |Рис. 2. Условные экстремумы линейной |
|минимумы, зеленая точка - локальный |функции, ограниченной на окружность. |
|максимум. |Показаны линии уровня линейной |
| |функции. |

На рис 1 изображены экстремумы функции одного переменного, на рис. 2 -
условный экстремум линейной функции двух переменных, при условии, что ее
аргументы принимают значения на окружности.
Отметим, что экстремумы не следует путать с наибольшим и наименьшим
значениями функции. Скажем, на рис.1 локальный максимум функции заведомо
меньше ее наибольшего значения.
Рекомендованная литература.
В.А.Зорич, Математический анализ. М.: ФАЗИС, 1997.