Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://dfgm.math.msu.su/files/0diss/diss-zotyev.pdf Дата изменения: Wed Jan 18 22:10:23 2012 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:35:31 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: релятивистское движение

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

На правах рукописи УДК 514.154, 514.745.4, 514.763.337, 514.763.34, 517.938.5, 517.958

Зотьев Дмитрий Борисович

Симплектические многообразия с контактными особенностями.
Cпециальность 01.01.04 "геометрия и топология"

Диссертация
на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научный консультант доктор физ.-мат. наук, профессор А.В. Болсинов

Москва - 2011 1


Содержание
Общая характеристика работы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Глава 1. Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

 1.1. Симплектическая и контактная геометрия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11  1.2. Вырожденные особенности симплектической структуры. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.1. Исходные понятия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.2. Первые результаты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

 1.3. Частный интеграл, связанный с особенностью симплектической структуры
инвариантного подмногообразия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Глава 2. Симплектические особенности и теория А.Т. Фоменко. . . . . . . . . . . . . . . 43

 2.1. Теория А.Т. Фоменко. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  2.2. Поправки на симплектические особенности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  2.3. Пример интегрируемой системы c особенностью. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3.1. Cлучай Богоявленского. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.3.2. Контактные особенности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.3.3. Особая поверхность. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.3.4. Обозначения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.3.5. Метки при h1 < h < h2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.3.6. Метки при h2 < h < h0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.3.7. Метки при h0 < h < h3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.3.8. Метки при h > h3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.3.9. Топология особой поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2


Глава 3. Симплектические многообразия с контактными особенностями. . . . . . 91

 3.1. Контактные вырождения замкнутых 2-форм. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.1.1. Контактная структура на особой гиперповерхности. . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.1.2. Контактные особые точки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.1.3. Продолжения гамильтоновых полей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.1.4. Теорема Дарбу. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.1.5. Симплектический объем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

 3.2. Каноническая структура Ли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.2.1. Контактные вырождения и структуры Ли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.2.2. Контактные вырождения и симплектизация. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.2.3. Решения Фридмана. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.2.4. Контактно-связная сумма. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

 3.3. Гамильтоновы системы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.3.1. Предельные положения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 3.3.2. Теорема Лиувилля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Глава 4. Нулевая гиперповерхность электромагнитного поля. . . . . . . . . . . . . . . . . 167

 4.1. Классическая теория электромагнитного поля в вакууме. . . . . . . . . . . . . . 167  4.2. Нулевая гиперповерхность. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173  4.3. Тензор электромагнитного поля вблизи светового конуса. . . . . . . . . . . . . . 180  4.4. Плотность токов и зарядов вблизи светового конуса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Рисунки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

3


Общая характеристика работы
Актуальность темы диссертации.
Симплектическая геометрия, также как и риманова, исходит из предположения о невырожденности тензора соответствующей структуры [4, 58]. Это предположение генетически связано с уравнениями У.Р. Гамильтона [67]. Наиболее глубокие приложения симплектической геометрии относятся к небесной механике и динамике твердого тела [2, 36], где фазовые многообразия интегрируемых гамильтоновых систем, будучи кокасательными расслоениями или орбитами коприсоединенных представлений, в самом деле являются симплектическими. Однако, при ограничении гамильтоновой системы на инвариантное подмногообразие симплектический тензор может вырождаться. Есть разумные основания полагать, что, по мере возрастания размерностей исходных фазовых пространств, новые интегрируемые случаи все чаще будут появляться именно на инвариантных подмногообразиях. Первый в динамике твердого тела случай, заданный на многообразии с вырожденными особенностями симплектической структуры, описан О.И. Богоявленским в известной работе [5]. В статье [95], с которой связан генезис представленной теории, были вычислены инварианты Фоменко-Цишанга этой системы и обоснована применимость методов топологического анализа [7, 43, 44], развитых школой А.Т. Фоменко [6, 24, 26, 27, 28, 29, 30, 32, 42, 59, 81, 89]. С точки зрения математики естественно допустить, что матрица замкнутой 2формы вырождается на всем многообразии или в некоторых точках. Первый случай, при условии постоянности ранга, хорошо известен и сравнительно прост [58]. Во втором случае, т.е. при невырожденности почти всюду, симплектическая геометрия имеет особенности, о которых при падении ранга на 2k

>

2

почти ничего не известно. Статья Ж. Мартине содержит первое и, возможно, единственное общее исследование подобных структур [76]. Однако, в этой глубокой работе собственно симплектическая геометрия ограничена простейшим, хотя и наиболее важным случаем вырождений коранга 2. Последующие исследования, в основном, продолжают результаты Мартине и относятся к вырождениям с двумерным ядром [50, 51, 62, 70, 83, 84, 87]. Во многом это связано с объективной сложностью проблемы, т.к., согласно справедливому замечанию В.И. Арнольда: "отсутствие условия невырожденности в определении симплектической структуры делает локальную классификацию таких структур необозримой" [4]. 4


Напротив, вырожденные особенности пуассоновских структур сравнительно легко поддаются изучению, т.к. они не мешают гамильтоновым полям быть корректно определенными [23, 30, 90, 92, 93]. Поэтому несмотря на то, что в невырожденном случае симплектические и пуассоновские многообразия являются изоморфными объектами, их вырождения имеют принципиально разные последствия. Вопрос о корректной определенности гамильтоновых полей является ключевым в работах С. Пневматикоса, где на замкнутые 2-формы накладывается естественное условие

generiques [82, 83, 84, 85]. Однако, за исключением явно заданных в координатах
2-форм нужного вида, в случае вырождений коранга 2k > 2 отсутствует способ проверки этого условия. Таким образом, сколько-нибудь общей теории многообразий с симплектическими особенностями сегодня не существует. В диссертационной работе развита теория симплектических многообразий с вырожденными особенностями, которые удовлетворяют новому условию контактности. Это условие является свойством общего положения для замкнутых 2-форм, каждая из которых вырождается в точках гиперповерхности, будучи невырожденной вне ее. Класс несущих на себе такие структуры многообразий, в определенном смысле, включает в себя симплектизации контактных многообразий и аналогичные конструкции для локальных алгебр Ли [4, 20]. В связи с этим некоторые результаты данной работы, которая не имеет генетических связей с контактной геометрией, соприкасаются с областью исследований ее "вложений" в симплектическую [52, 54, 56, 65, 75, 78]. Для контактно вырождающихся симплектических многообразий оказалось возможным изучить предельное поведение гамильтоновых полей в особых точках, применительно к задаче их продолжения с открытого плотного подмножества {det = 0}. На этой основе построена теория, которая следует ключевым понятиям и фактам симплектической геометрии, включая аналоги фундаментальных теорем Дарбу и Лиувилля. Известны содержательные примеры, возникающие в динамике твердого тела в типичном случае dim K er( )

=

2 [14, 15]. Несмотря на то, что язык

дифференциальных форм давно применяется в электродинамике [40, 49, 91], а уравнения Гамильтона и канонические преобразования являются важной частью аппарата теории плазмы [35, 47] (как впрочем и всей теоретической физики), собственно симплектическая геометрия, по-видимому, не нашла физически содержательных приложений в классической теории электромагнитного поля. В настоящей работе таковые найдены для cлучая dim K er( ) = 4.

5


Цели диссертационной работы.
1. Обосновать применимость теории инвариантов Фоменко-Цишанга к

интегрируемым системам, которые возникают на многообразиях с особенностями симплектической структуры. 2. Исследовать вопрос о существовании интегралов гамильтоновых систем, связанных с вырождениями симплектической структуры. 3. Изучить предельное поведение гамильтоновых полей в точках вырождения симплектической структуры и найти условия их корректной определенности. 4. Ввести разумные ограничения на способ вырождения симплектической структуры, позволяющие получить аналог теоремы Дарбу. 5. Найти аналог теоремы Лиувилля с для интегрируемых которые систем на симплектических многообразиях особенностями, удовлетворяют

введенным ограничениям. 6. Найти физически содержательные примеры симплектических особенностей коранга 2k > 2, возникающих на гиперповерхностях.

Научная новизна.
Все результаты диссертационной работы, за исключением справочного

материала  1.1, 2.1, 4.1, являются новыми и полученными самостоятельно. 1. Доказано сущестовование замкнутой, почти всюду невырожденной 2-формы на любом четно-мерном многообразии (теорема 3  1.2). 2. На многообразиях с симплектической или почти симплектической структурой, имеющей особенности общего положения, описано типичное предельное поведение гамильтоновых потоков в точках вырождения с двумерным ядром. (теорема 4, следствие 1, предложение 2  1.2) 3. Найден критерий существования частного интеграла гамильтоновой системы, связанного с вырождением симплектической структуры на инвариантном подмногообразии. (теорема 5, предложение 5  1.3, предложение 4  2.2) 4. Обоснована применимость теории инвариантов Фоменко-Цишанга к интегрируемым системам общего положения, заданным на многообразиях с 6


особенностями симплектической структуры. (теорема 3  2.2) 5. В интегрируемом случае О.И. Богоявленского уточнены значения - меток в инвариантах Фоменко-Цишанга (рис. 4), доказана контактность всех точек вырождения симплектической структуры, описано предельное поведение потоков интегралов на особой гиперповерхности и установлен ее топологический тип. (п. 2.3.2, предложение 7  2.3) 6. Введено условие контактности особых точек симплектической структуры, которое обобщает типичные вырождения с двумерным ядром и является свойством общего положения для замкнутых 2-форм, вырождающихся в точках гиперповерхности. (определение 1  3.1) 7. Найдено условие контактности точек вырождения симплектической структуры, индуцированной на четно-мерной поверхности в симплектическом многообразии. (предложение 2  3.1) 8. Найден критерий корректной определенности гамильтоновых полей в контактных точках вырождения симплектической структуры. (теорема 1, предложение 3  3.1) 9. Доказана гамильтоновость фазовых потоков, сохраняющих симплектическую форму с контактными особенностями. (предложения 6, 7  3.2) 10. Доказан аналог теоремы Дарбу и найден канонический вид замкнутой 2формы в окрестности контактной точки. (теорема 3  3.1) 11. Описаны канонические структуры Ли и (или) контактные структуры на гиперповерхностях, состоящих из контактных точек вырождения симплектической структуры. (теорема 5, следствия 4,5,6  3.2, предложение 10  3.3) 12. Доказана реализуемость контактных многообразий гиперповерхностями, состоящими из контактных точек вырождения некоторых симплектических структур (конструкция S - симплектизации). Аналогичный локальный результат получен для нечетно-мерных многообразий Ли с нечетно-мерными слоями. (определение 4, предложение 9  3.2), предложение 8  3.2) 7


13.

Найдена

конструкция

контактно-связной

суммы

симплектических

многообразий, которая определяет на связной сумме симплектическую структуру с контактными вырождениями. (определение 5  3.2) 14. Доказана теорема Мозера о нетривиальности 2-мерных когомологий де-Рама (теорема 4  3.1). 15. Изучено типичное предельное поведение гамильтоновых полей в контактных точках. (теорема 6  3.3). 16. Доказаны аналоги теоремы Лиувилля для интегрируемых систем, заданных на симплектических многообразиях с контактными особенностями (теоремы 7,8, предложения 15, 16  3.3). 17. Доказано, что сферически симметричное электромагное поле, независимо от происхождения, имеет нулевую магнитную и радиальную электрическую компоненты. (предложение 1  4.1) 18. Найдены примеры контактных вырождений тензора электромагного поля. (пример 3  4.2, примеры 4, 5  4.3) 19. Изучена геометрия электромагнитного поля вблизи контактной точки нулевой гиперповерхности. (теорема 1  4.2) 20. Изучена каноническая контактная структура нулевой гиперповерхности электромагнитного поля. (следствие 1  4.2, предложение 4  4.3) 21. Для электромагнитных полей со сферическим фронтом введены калибровочные условия на потенциалы, обеспечивающие обнуление зарядов на нулевой гиперповерхности. (предложение 3  4.3, предложение 6  4.4) 22. Получены дифференциальные уравнения I порядка для потенциалов поля в бесконечно тонком пространственно-временном слое, прилегающем к световому конусу. (предложение 5  4.3)

8


Результаты диссертации, выносимые на защиту. 1. В предметную область теории инвариантов Фоменко-Цишанга включены
интегрируемые системы общего положения, заданные на 4-мерных симплектических многообразиях с типичными особенностями (теорема 3  2.2).

2. Найдены условия вырождения симплектических структур, обеспечивающие
корректную определенность гамильтоновых полей при некотором естественном, известном ограничении (определение 1 п. 3.1.2, теорема 1 п. 3.1.3).

3. Найден канонический вид симплектической структуры в окрестности
контактной точки (теорема 3 п. 3.1.4).

4. Описано типичное предельное поведение гамильтоновых полей в контактных
точках (теорема 6 п. 3.3.1).

5. Для интегрируемых систем, заданных на многообразиях с контактными
особенностями, доказаны аналоги теоремы Лиувилля (теоремы 7, 8 п. 3.3.2)

6. Предложена конструкция контактно-связной суммы симплектических
многообразий (определение 5 п. 3.2.4).

7. Изучена геометрия электромагнитного поля вблизи контактной точки нулевой
гиперповерхности (теорема 1  4.2).

Апробация работы.
На протяжении работы (2000 2010) результаты периодически докладывались на семинарах А.Т. Фоменко "Современные геометрические методы", а также на семинарах кафедры дифференциальной геометрии и приложений МГУ. Представлялись на следующих конференциях: 1. 8 международная конференция "Устойчивость, управление и динамика твердого тела", ИПММ НАН Украины, г. Донецк, 2002г., 2. Международная юбилейная конференция "Классические задачи динамики твердого тела", ИПММ НАН Украины, г. Донецк, 2004г., 3. Международная топологическая конференция "Александровские чтения", г. Москва, МГУ, 2006г.

9


Публикации по теме диссертации.
1. Zotev D.B. Fomenko-Zieschang Invariant in the Bogoyavlenskyi Integrable Case. Regular & chaotic dynamics, 5 (2000), 4, 437-458. 2. Зотьев Д.Б. О симплектической геометрии многообразий с почти всюду

невырожденной замкнутой 2-формой. Математические заметки, 76 (2004), вып. 1,
66-77. 3. Зотьев Д.Б. Фазовая топология волчка Ковалевской в S O(2) - симметричном

двойном силовом поле. Механика твердого тела, 34(2004), 66-71.
4. Зотьев Д.Б. Фазовая топология I класса Аппельрота волчка Ковалевской в

магнитном поле. Фундаментальная и прикладная математика, 12 (2006), 1, 95128. 5. Зотьев Д.Б. Об одном частном интеграле, который можно извлечь из

матрицы Пуассона. Нелинейная динамика. 3 (2007) 1, 75-80.
6. Зотьев Д.Б. Контактные вырождения замкнутых 2-форм. Математический сборник, 198 (2007), 4, 47-78. 7. Zotev D.B. On a partial integral which can be derived from Poisson Matrix. Regular & chaotic dynamics, 12 (2007), 1, 81-85. 8. Зотьев Д.Б. Контактные вырождения тензора электромагнитного поля. Вестник МЭИ, (2011), 2, (в печати).

Структура диссертации.
Объем диссертационной работы составляет 217 страниц в формате LaTEX article, 12 pt. Она состоит из общей характеристики работы, четырех глав основного текста на 184 страницах, списка литературы и 14 рисунков. Определения, теоремы, следствия, предложения, леммы, замечания и примеры имеют нумерацию, которая в каждой главе начинается с 1. В номере каждой формулы содержится указатель текущей главы. В ссылках за пределы текущей главы указывается глава, параграф или подпункт.

Автор глубоко признателен своему научному консультанту профессору А.В. Болсинову, а также академику А.Т. Фоменко за внимание к работе и неоценимую моральную поддержку на всем ее протяжении. 10


Глава 1. Введение.
На протяжении работы все объекты (функции, многообразия, поля и т.д.) предполагаются гладкими класса C . Подмногообразием называется гомеоморфно вложенное многообразие (гладкая поверхность).

1.1. Симплектическая и контактная геометрия.
Рассмотрим гладкое многообразие M размерности 2n 2, на котором задана дифференциальная 2-форма . Если в каждой точке M имеет место d = 0 и

det( ) = 0, то пара (M , ) является симплектическим многообразием, а форма называется симплектической структурой на M . Согласно теореме Дарбу, в
окрестности каждой точки M существуют т.н. канонические координаты (p, q ), в которых
n

=
i=1

dpi dqi .

В координатах (p1 , q1 , ..., pn , qn ) матрица формы имеет блочно-диагональный вид 01 -1 0 01 . -1 0 ... 01 -1 0 Гамильтонова система является векторным полем вида
2n

Xi =
j =1



ij

H , xj

1 i 2n,

которое определяется гладкой функцией H : M R (гамильтонианом) на симплектическом многообразии (M , ). Здесь ( ij ) обратная матрица формы
2n

=
1i
ij dxi dxj .

Векторное поле X обозначается sg rad(H ) [30] и однозначно определяется свойством

(v , X ) = dH (v )

v T x M
11

x M .


Гамильтонов поток сохраняет форму , т.е. L = 0. Обратно: всякое векторное поле с фазовым потоком, сохраняющим форму , локально является гамильтоновым. В канонических координатах векторному полю sg rad(H ) отвечают классические уравнения Гамильтона:

pi = -

H qi

qi =

H , pi

1 i n.

Для любой пары гладких функций F и G определена скобка Пуассона:

{F, G} = (sg rad(F ), sg rad(G)) = dG(sg rad(F )) = -dF (sg rad(G)).
С ее помощью система sg rad(H ) записывается в виде xi = {H, xi }. В пространстве

C (M ) операция {ћ, ћ} задает структуру алгебры Ли. В координатах:
2n

{F , G } =
i,j =1

F G = xj xi
ij

n

k=1

F G F G - p k qk q k p k

.

Функция F является первым интегралом системы sg rad(H ) тогда и только тогда, когда {F, H } = 0. Гамильтониан H всегда является интегралом sg rad(H ) многообразии M достаточно найти такие интегралы F1 , . . . , F и функции H, F1 , . . . , F
n-1

(т.к.

{H, H } = 0). Для полного интегрирования системы sg rad(H ) на 2n - мерном
n-1

, что {Fi , Fj } = 0

почти всюду независимы на M . Если они существуют, то

система называется интегрируемой по Лиувиллю. Удобно обозначать Fn = H . Все интегралы попарно коммутируют, т.е. {Fi , Fj } = 0,

1 i, j n .

Теорема 1 (теорема Лиувилля) Расcмотрим неособую поверхность
{x M : H (x) = h, F1 (x) = f1 , . . . , F
n-1

( x) = f

n-1

}.

(1.1)
n

Компактные, связные компоненты (1.1) являются вложенными торами T



M , оставаясь таковыми при всех, достаточно малых изменениях чисел h, fi . В
некоторой окрестности каждого T n определены такие регулярные координаты s, (действие-угол), что функции s1 , . . . , sn выражаются через F1 , . . . , Fn , а 1 , . . . , координатах действие-угол имеет место
n n

являются угловыми координатами на торах s = const, где 1 i 2 . В

=
i=1

dsi di ,

и система sg rad(H ) записывается в виде:

si = 0

i =

H si
12

(1 i n).


Инвариантные

торы

T

n



M , являющиеся связными компонентами

подмногообразий вида (1.1), называются торами Лиувилля. Из теоремы Лиувилля следует, что интегральная траектория поля sg rad(H ), проходящая через точку

(s0 , 0 ) T n , задается уравнениями вида k (t) = 0 + k t, k
При этом частоты

sk (t) = s0 = const . k H sk

k =

постоянны на торе {s = s0 }. Если соотношение
n

mk k = 0,
k=1

mk Z

невозможно в том случае, когда хотя бы одно mk = 0, то каждая траектория на

T

n

всюду плотна в нем, и тор T

n

называется нерезонансным. Иначе существует

равная нулю нетривиальная линейная комбинация частот с целыми коээфициентами

mk . Тогда тор T n называется резонансным. При этом он оказывается расслоенным
на инвариантные торы размерности r

<

n, и каждая траектория на T
r

n

является линейной обмоткой одного из "маломерных" торов T

T

n

[58]. Для

окончательного интегрирования в квадратурах достаточно выразить гамильтониан

H через s1 , . . . , sn . Решение последней задачи может быть связано со значительными
аналитическими трудностями, хотя способ вычисления переменных действия в принципе известен [43].

Теорема 2 (относительная лемма Пуанкаре) Пусть N подмногообразие в
симплектическом многообразии M и k замкнутая k - форма, равная нулю на

T N , т.е. k |

N

= 0. Тогда в некоторой окрестности подмногообразия N форма

k

является дифференциалом k - 1 - формы, равной нулю в каждой точке N .
Поскольку линейно-независимые векторные поля sg rad(Fi ) касаются тора Лиувилля T n и

(sg rad(Fi ), sg rad(Fj )) = {Fi , Fj } = 0 ,
то ограничение формы на T
n

равно нулю. Из относительной лемме Пуанкаре

(теорема 2) следует, что = d в окрестности изотропного тора T n . Пусть

f1 , . . . , fn ,

1

mod 2 , . . . ,
13

n

mod 2


есть такие координаты в окрестности T n , что i являются угловыми координатами тора f = const. Если i есть любой цикл на торе Лиувилля, гомологичный окружности i = t, то на этом торе имеет место

si =
В общем, неинтегрируемом на которых

1 2

.
i

случае система

интересно может

найти

инвариантные интегрируемой.

подмногообразия,

оказаться

Эквивалентная задача поиска глобальных инвариантных соотношений была сформулирована А. Пуанкаре [25]. Его метафора об островах регулярности в океане хаоса характеризует важность данной проблемы. Теорема Лиувилля описывает окрестность неособого подмногообразия (1.1), расслоенную инвариантными торами T n . Этой теоремой не охватывается случай, когда интегральная поверхность (1.1) содержит критические точки отображения

момента

F : M Rn ,

F (p) = H (p), F1 (p), . . . , F

n-1

(p) .

Поэтому интегрируемые случаи на инвариантных поверхностях могут быть интересны и тогда, когда система интегрируема в объемлющем фазовом многообразии. Множество критических точек отображения F , как правило, является объединением нескольких инвариантных подмногообразий. Множество критических значений F называется бифуркационной диаграммой. Пусть n > 0. Многообразие K размерности 2n + 1 называется контактным, если на нем фиксировано гладкое поле 2n - мерных подпространств , удовлетворяющее следующему условию. Для каждой точки K существует такая ее окрестность U и 1-форма на U , что

y (y ) = 0,

y

n i=1

d

y

= 0 y U.

Последнее равносильно тому, что y = 0 и dy невырождена на каждом y . В некоторых координатах (u, p, q) форма приводится к каноническому виду
n

= du -
i=1

pi dq

i

(теорема

Дарбу).

Интегральное

многообразие

распределения

,

имеющее

максимально возможную размерность n, называется лежандровым. Если 1-форма определена глобально (т.е. U = K ), то контактное многообразие

K называется точным. Тогда соответствие v - iv () между контактными
14


векторными полями и гладкими функциями на K является биекцией, в силу чего в C (K ) возникает структура алгебры Ли:

f = iv (),

g = iw ()



[f , g ] = i

[v ,w]

().

Операция [ћ, ћ] называется скобкой Лагранжа. На контактном многообразии, не являющемся точным, эти объекты определены локально. Векторное поле называется контактным, если его локальные потоки сохраняют контактную структуру [4]. Любое контактное поле для некоторой функции f (контактного гамильтониана) в канонических координатах выглядит так:

v = vf =

f -p

f p

+ u

f f +p q u

f - . p p q

Рассмотрим пример контактной структуры, которая не является точной. Отождествим каждую пару точек (- , , t) и ( , - , -t) в многообразии

{ (, , t) R3 : - ,

-1 < < 1,

-1 < t < 1 }.

2 2 Получится полноторие K =D0 Ч S 1 , где D0 = D2 \ D2 . Уравнение

(dt + d)( ) = 0
корректно определяет контактное поле 2-плоскостей T K . Обозначим через

ч вложенный в K лист Мебиуса = 0. В каждой точке осевой окружности S

1

листа ч плоскость пересекается с T ч по прямой, натянутой на вектор / . Если бы на полнотории K существовала контактная форма , то ее ограничение на ч определяло бы ориентацию листа Мебиуса ч. Поэтому контактная структура

- не является точной 2.
Легко доказать, что ориентируемое контактное многообразие является точным тогда и только тогда, когда существует непрерывное поле ориентаций гиперплоскостей



T K . Если есть контактная 1-форма точного,

ориентированного многообразия (K, ), то 2-форма d задает ориентацию каждой контактной гиперплоскости
- = 1 (0) .

Если при этом K является краем симплектического многообразия (M , ), то индуцированная на K ориентация края и поле направлений возрастания формы

(на фактор-пространствах T K/ ) определяют непрерывное поле ориентаций
плоскостей . В случае совпадения этих ориентаций с теми, которые определяются 15


формой , по определению имеем | ориентацию каждого , то | < 0.



> 0. Если же форма задает обратную

Существуют различные интерпретации контактных многообразий, как объектов симплектической геометрии [52, 54, 56, 57, 61, 65, 75, 78]. Пусть (K, ) есть связное, ориентируемое, контактное многообразие, являющееся границей симплектического многообразия (M , ), где dim M = 4 и dim K = 3.

1. Если есть контактная форма на K = M и |K = d, то (M , ) называется
сильным симплектическим пополнением многообразия (K, ). В случае | ввести 2-форму


>0

говорят о выпуклом, а в случае | < 0 о вогнутом пополнении. Если на [0; +) Ч K

= d ( + 1) ,
где (t, x) = t, то получим выпуклое пополнение контактного многообразия

(K, K er()). Аналогично, форма = d (1 - )
определяет на [0; 1) Ч K структуру вогнутого пополнения. В обоих случаях K = {0} Ч

K = -1 (0).

2. Если | > 0, то (M , ) называется слабым симплектическим пополнением.
Известно, что если 2-форма точна в окрестности K = M , то ее можно подвергнуть малой деформации в такую форму , что (M , ) является сильным симплектическим пополнением многообразия (K, ). Контактные многообразия могут возникать, как гиперповерхности внутри симплектических. В случае K с контактной формой достаточно ввести 2-форму

= d ( + 1)
на многообразии M = (-1; +) Ч K , чтобы получить искомое вложение K = {0} Ч

K M . При произвольной размерности 2n > 2 симплектического многообразия (M , ), лиувиллевым называется любое векторное поле X на M , удовлетворяющее
условию LX = . Если = d, то определяемое iX = поле X является лиувиллевым. На любой гиперповерхности K M , которая в каждой своей точке трансверсальна лиувиллевому полю X , 1-форма iX определяет контактную структуру. Симплектизацией контактного многообразия K называется многообразие

N = { T K : = 0,
16

( ) = 0 }


с канонической симплектической структурой , индуцированной из T K [4]. Форма

определяет в N локальные координаты (, u, p, q), в которых
n

= ,

= d du -
i=1

pi dq

i

.

Следующее многообразие M мы назовем замкнутой симплектизацией :

M =N K ,

K = { 0 T K : K } .

Смысл этого термина очевиден. Ограничение симплектической структуры T K определяет на M замкнутую 2-форму . Она невырожден