Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://dfgm.math.msu.su/files/0diss/diss-zagryadskii.pdf Дата изменения: Tue Feb 24 21:45:38 2015 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:47:32 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: первый закон кеплера

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.Ломоносова МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Загрядский Олег Александрович

Геометрия гамильтоновых систем для многообразий и потенциалов Бертрана
HIFHIFHR E геометрия и топология

Научные руководителиX академик РАН АF ТF Фоменко доцент ЕF АF Кудрявцева

Москва E PHIS


Оглавление

Введение

2

1

Поверхности и метрики Бертрана

10

IFI

IFP
2

Основные определения и примеры IFIFI Базовые определения F F F IFIFP ЦилиндрD конусD сфера F F Обобщенное семейство уравнений

F F F F

F F F F

F F F F

F F F F

F F F F

F F F F

F F F F

F F F F

F F F F

F F F F

F F F F

F F F F

F F F F

F F F F

F F F F

F F F F

F F F F

F F F F

F F F F

F F F F

F F F F

F F F F

F F F F

F F F F

IH IH IU PH
29

Поверхности Бертрана

PFI PFP PFQ
3

Обобщение теоремы Бертрана на поверхности вращения F F F F F F F F F F F Свойства орбит и эффективного потенциала F F F F F F F F F F F F F F F F F F Геометрия поверхностей Бертрана F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F

PW QU RV
57

Абстрактные многообразия Бертрана и поверхности Бертрана в

QFI QFP
4

R3 , R3 2 Бертрановские поверхности и натуральные координаты F F F F F F F F F F F Свойства поверхностей и орбит в R3 , R3 F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F 2

SU TS
72

Гамильтонов подход

RFI RFP RFQ

Система Бертрана как гамильтонова система F F F F F F F F F F F F F F F F F Бифуркационные диаграммыF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Слои Лиувилля и их перестройкиF F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F

UP VR WR

I


Введение

Актуальность
Диссертация посвящена исследованию геометрических и механических свойств обобщеE ния задачи БертранаF Задачи небесной механикиD связанные с движением светил по небу и в пространствеD занимали центральное место в науке на протяжении многих вековF СаE мые простые модели возникли ещ? в античности во времена Аристотеля и с течением времени вс? более и более усложнялисьF Развитие новых методов математики влекло за собой качественные скачки в исследовании задач небесной механикиD позволяя лучше понимать суть происходящих процессовD приводящих к наблюдаемым явлениямF Но это понимание всегда приносило ещ? больше вопросовD ставило сложные проблемы перед исследователямиD для решения которых требовалось привлекать вс? более новые матеE матические инструментыF Немало сложностей сюда привносят так называемые обратные задачи механикиD которые всегда были труднее прямыхF Можно сказатьD что в исследоE вании движения по небу частая их встречаемость естественнаF Одной из таких задач было восстановление закона притяжения между небесными теE лами по форме траекторийD которые описывают планеты при сво?м движенииF Открытие закона всемирного тяготения в sss веке позволило понять почему планетыD астероиды и кометы движутся по коническим сечениямF Но могли быть и другие законы притяжеE нияD приводящие к коническим сечениямF Вопрос нахождения всех таких законов остался открытымD на это указал сам сэр ИF Ньютон в своих началах натуральной философии PPF Таким образом знаяD что все планеты движутся по эллипсамD мы не можем с увеE ренностью утверждатьD что сила притяжения между телами обратно пропорциональна квадрату расстояния F r12 F КонечноD выйдя за рамки математикиD можно эксперименE тальным пут?м проверить правильность четв?ртого закона НьютонаD но несмотря на это задача о восстановлении закона тяготения по форме траекторий носила принципиальный фундаментальный характер и ждала своего решенияF Первые успехи были сделаны только в IVUHх годахF ЖF Бертран сформулировал и решил в IVUQ гF следующую задачу @известную также как теорема БертранаAX Найти
силу притяжения, которая действует между Солнцем и планетами, зависит только от расстояния до Солнца и заставляет двигаться планеты по замкнутым траекториям, если только скорость не очень великаF

P


В формулировке ничего не оговаривалось о вырожденных случаях @напримерD когда планета падает на Солнце по прямойAD более того решалась плоская задачаD а не проE странственнаяF Но если заметитьD что сохраняется вектор момента импульсаD то легко показатьD что движение в центральном поле сил всегда будет плоскимF Другой вариант задачи выглядел такX найти закон сил, действующий на точку и заставляющий е? описывать конические сечения каковы бы не были начальные условияF ЕстественноD предполагаетсяD что закон не зависит от времениD а зависит только от поE ложения точки в пространствеF В таком варианте формулировки @БертранA требование к орбитам более сильныеD а именно они должны быть не просто замкнутымиD а являться коническими сечениямиY но зато условиеD наложенное на закон силыD слабееD тFкF ищется силаD зависящая от положеE ния тел в пространствеD а не строго от расстоянияF Сразу решить в такой формулировке не удалосьX для решения второй задачи Дарбу и Альфен U усилили требование к закону притяжения ! он должен быть как раз центральнымF Со временем удалось решить задачу и без дополнительного требования центральности @ДепейруA WF Математики продолжали искать различные условияD по которым можно восстановить закон взаимодействияF Одно из нихD а именно алгебраичность траекторийD наш?л К?нигс и его формулировка выглядела так QUX Зная, что сила, вызывающая движение планеты
вокруг Солнца, зависит только от расстояния и такова, что она заставляет свою точку приложения описывать алгебраическую кривую, каковы бы ни были начальные условия

F Последний вариант сводится к первомуD если заметитьD что ограниченная кривая должна быть либо замкнутойD либо иметь точки сгущенияF Второе условие невозможно в виду алгебраичности кривойD следовательно кривая будет замкнутаD а это уже условие БертранаF Ответ ко всем тр?м вариантам задачи оказался на удивление одинаковX таким услоE виям удовлетворяют только два закона притяжения ! закон тяготения Ньютона F1 r12 и закон Гука F2 (r) rF Важно отметитьD что силы искались потенциальные и аналитиE ческиеF Соответствующие потенциалы выглядят так V1 1 , V2 r2 F r
(причем существуют ограниченные неособые некруговые орбиты) найти закон этой силы
Замечание 0.0.1.

Как утверждает первый закон КеплераD в случае закона Ньютона планета движется по эллипсуD в одном из фокусов которого находится СолнцеF В случае закона Гука аналог первого закона Кеплера выглядит такX планета движется по эллипE суD в центре которого находится СолнцеF Ещ? одним отличием закона Гука от закона Ньютона состоит в томD что у него нет неограниченных орбитD таких как парабола или гиперболаF Дальнейшие исследования пошли по пути усложнения структуры пространстваF СперE ва были рассмотрены пространства постоянной гауссовой кривизныF Пространство полоE жительной постоянной кривизны ! сфераD отрицательной ! плоскость ЛобачевскогоF Q


Рассмотрим сферу с координатами (r, )D где r ! широтаD ! долготаD и риманоE 1 0 вой метрикой F На сфере рассматривается только центральный @естественноD 0 sin2 r аналитическийA потенциал V D тFеF зависящий только от r @и не зависящий от AF Под действием такого потенциала по поверхности движется частицаF Е? движение описываE 1 1 ют уравнения ЭйлераEЛагранжа для лагранжиана L = 2 r2 + 2 sin2 r 2 - V (r)F Задача Бертрана обобщается такX какие могут быть потенциалы V (r) на сфереD под действием которых частица описывала бы замкнутую траекториюF Задача сформулирована не строE гоD тFкF дополнительно предполагается ещ? несколько условийD в тFчF рассматривается не вся сфераD а только е? половина без экватораF Ответ очень похож на плоский случайF Введ?м вместо r более удобную координату = ctg rF Тогда на сфере существуют только два потенциалаD приводящих к замкнутым траекториямX аналог закона всемирного тяготения V1 = A + B и аналог пружинного взаимодействия Гука V2 = A-2 + B D где A, B ! некоторые константы с определенными знакамиF Как и на плоскости траектории движения будут коническими сечениями @переE сечение сферы с конусом второго порядкаD у которых совпадают центрыAD более того в первом случае центром притяжения будет фокусD а во втором центр @подробнее смF QUAF На сферу также обобщается второй закон Кеплера с некоторой модификациейD а такE же третий закон Кеплера ISD QU @смF также утверждения II"IQ в QFPFAF Все эти результаты @задача Бертрана и законы КеплераA переносятся со сферы S 2 на плоскость Лобачевского L2 D при этом все тригонометрические функции нужно заменить на соответствующие гиперболическиеF
Замечание 0.0.2.

Первое решение было дано Дарбу V в IVUU годуD оно было небогато подробностямиF Далее задача неоднократно переоткрываласьF В IWHPD IWHQ Либман получил результат для S 2 и L2 и исследовал форму траекторийIUD IVF В IWUW гF задача была решена в S n ПF Хиггсом IQD а в IWVH в S 3 Славяновским PVF В IWVP гF получено обобщение на S n и Ln Икедой и Катаямой IRD а в IWWPEIWWR гг Козловым и Хариным получены обобщения на S 2 и L2 с исследованием всех законов Кеплера QUD QVF Следующим усложнением является переход от поверхностей постоянной гауссовой кривизны к поверхностям вращенияF Рассмотрим поверхность вращения S (a, b) Ч S 1 R3 с координатами (u, mod 2 )D где u (a, b) и метрикой вращения

G=

a2 (u) 0 11 2 0 a22 (u)

@HFHFIA

Пусть на этой поверхности задан потенциал V (u)D который зависит только от uF Под действием такого потенциала по поверхности происходит движение частицы согласно 1 уравнениям ЭйлераEЛагранжа для лагранжиана L = 2 a2 (u)u2 + 1 a2 (u)2 - V (u)F ЗадаE 11 2 22 ча Бертрана обобщается следующим образомX каким может быть потенциал V (u)D чтобы R


любая ограниченная орбита была замкнута @и существовала хотя бы одна такая некруE говаяAF Потенциалы с таким свойством назов?м бертрановскимиF В задаче неявным образом предполагается ещ? ряд технических услоE вийD в тFчF положительность функций a11 (u), a22 (u)D аналитичность @в работах некоторых авторовA всех фигурирующих в условии функцийD отсутствие экваторовD тFеF a22 (u) = 0 u (a, b) @смF подробнее STAF Отсутствие экваторов является важным условиемY в случае же их наличия все данные различными математиками доказательства не работаE ют в окрестностях экваторовF Более того существуют потенциалыD тождественно равные константеD которые задают геодезические на поверхности SD прич?м таких поверхностей вращенияD называемых поверхностями Таннери @все геодезические которых замкнутыA существенно больше чем бертрановскихF Успешное решение проблемы возможного наE личия экваторовD при условии замкнутости всех неособых орбитD с помощью принципа Мопертюи и классификации S поверхностей Таннери предложено в статье QWF
Замечание 0.0.3.

Первое решение для поверхностей вращения удалось получить Дарбу в IVUUгF VD правда он не представил полного описания с явным видом метрик всех таких поверхноE стейF Из его утверждений следует следующееX потенциал V является искомым тогда и только тогда, когда в координатах (V , ) метрика поверхности S имеет вид

ds2 =
или

d2 A dV 2 + ч2 (AV 2 - B V + C )2 AV 2 - B V + C

ds2 =

d2 A dV 2 + , ч2 (-V - K )3 (A/(-V - K ) - B V + C )2 A/(-V - K ) - B V + C

где A, B , C, K действительные константы, ч рациональная положительнаяF КонE станты не могут быть произвольнымиD они должны удовлетворять двум условиям @смF STAF В IWWP Перлик обобщил теорему Бертрана для ОТО на поверхность с метрикой пространстваEвремени PQF Исследование с уч?том ОТО продолжили испанцы в PHHVE PHIH ггF ID PD QF В PHHU Сантопрете PR получил формулировку теоремы Бертрана для аналитической поверхности вращения S в R3 в натуральных координатах @v , AD тFеF в такихD в которых метрика на S имеет вид 1 0 . @HFHFPA 2 0 f (v )
Первая часть его теоремы обобщает результат Бертрана на поверхности постоянной криE визны @без экваторовD вложенные в R3 AD вторая часть утверждаетD что на всех остальных поверхностях вращения бертрановского потенциала может быть не более одногоD указано необходимое условие для этогоF

S


(Сантопрете М.) Пусть дана аналитическая поверхность вращения S с координатами (v , ) и метрикой (0.0.2). Тогда
Теорема 1.

ћ На S существует ровно 2 бертрановских потенциала тогда и только тогда, когда f (v ) удовлетворяет f f - f 2 - 2 , где > 0 рациональная константа. ћ На остальных S существует не более одного бертрановского потенциала, притом для его существования необходимо, чтобы f для некоторой рациональной > 0 удовлетворяла 4 - 5(-f f + f 2 ) 2 - 5f f f 2 + 4f 2 f 2 - 3f f f 2 + 4f 4 = 0.
В оригинальной статье неявно предполагалось отсутствие у поверхE ности экваторовD также под бертрановским понимался не замыкающийD а сильно замыкаE ющий потенциал @смF далееAD кроме того был установлен явный вид потенциалов в некоE торых @бертрановскихD смF замF IFIFPA координатахF Условие на метрику 4 - 5(-f f + f 2 ) 2 - 5f f f 2 C 4f 2 f 2 - 3f f f 2 + 4f 4 = 0 может быть представлено в другом виде @смF подробнее теорему WAF
Замечание 0.0.4.

Эта теорема показываетD что на поверхностях вращения существуют серь?зные отE личия от евклидовой плоскостиD сферы и плоскости ЛобачевскогоD тFкF здесь найдутся поверхности только с одним бертрановским потенциалом @аналог потенциала ГукаAF К данной динамической системе движения по двумерной поверхности вращения под действием центрального потенциала применим также гамильтонов подходF Система имеE ет две степени свободы и два первых независимых коммутирующих интеграла энергии и кинетического моментаF Похожие системы активно изучаются в последнее время тополоE гическими методамиD развитыми в работах QPD RUERID PHF Среди подобных динамиE ческих систем бертрановская представляет особый интересD тFкF она не является вполне интегрируемой по ЛиувиллюD однако каждый е? регулярный слой Лиувилля представляE ет собой либо торD либо цилиндрD либо пару цилиндровD ее изоэнергетические поверхности не являются компактнымиD все е? торы Лиувилля резонансныF Полученное в работе QH обобщение теоремы Лиувилля для систем с одним неполным фазовым потоком позволяет уверенно применять разработанные методы описания вполне интегрируемых по ЛиувилE лю гамильтоновых систем к системе БертранаF
Цель диссертации

Диссертационная работа преследует следующие целиX IF Обобщение теоремы Бертрана на абстактные многообразия вращения с псевдориE мановой метрикойF Проведение классификации поверхностей БертранаF PF Анализ реализуемости псевдоримановых поверхностей БертранаD обобщение критеE рия Сантопрете и первого закона Кеплера на нихF QF Описание слоения Лиувилля бертрановских систем с псевдоримановой метрикойD построение бифуркационных диаграммF T


Методы исследования

В диссертации используются методы дифференциальной геометрииD топологии и теоE ретической механикиF При исследовании топологии слоения Лиувилля бертрановской системы используются методы теории топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободыF
Научная новизна

Результаты диссертации являются новымиD получены автором самостоятельно и заE ключаются в следующемX IF Найдены все Eзамыкающие функции обобщенного семейства дифференциальных уравнений БертранаF PF Обобщена теорема Бертрана на абстрактные поверхности вращения без экваторовD с псевдоримановой метрикойF Проведена классификация всех поверхностей БертраE наF QF Установлен факт реализуемости поверхностей Бертрана с псевдоримановой метриE кой в R3 D обобщен критерий Сантопрете и первый закон КеплераF 2 RF Для систем Бертрана с псевдоримановой метрикой построены бифуркационные диаграммы отображения моментаD описаны перестройки слоев ЛиувилляD связанE ные как с особыми точками отображения моментаD так и с регулярнымиF
Апробация диссертации

Результаты диссертации докладывались на следующих научных конференцияхX

ћ международная конференция Воронежская зимняя математическая школа имF СFГF КрейнаF @ВоронежD PSEQH января PHIP гFAY ћ международная конференция студентовD аспирантов и молодых уч?ных ЛомоE носов @МоскваD V!IQ апреля PHIQ гFAY ћ s международная конференция студентовD аспирантов и молодых уч?ных ЛоE моносов @МоскваD U!II апреля PHIR гFAF
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседаниях следующих научE ных семинаровX

ћ на семинаре Современные геометрические методы под руководством акадF АFТF ФоменкоD профF АFВFБолсиноваD профF АFСFМищенкоD профF АFАFОшемковаD доцF ЕFАFКудрявцевойD доцF ИFМFНиконоваF @неоднократноX PHHVEPHIR ггFAY ћ на семинаре Геометрия в целом под руководством профF ИFХF Сабитова в PHIP гY

U


ћ на семинаре ?yerseminr hi'erentilgeometrie? под руководством профF ГF Книпера @совместный семинар Рурского университета в Бохуме и Технического университета в ДортмундеD ГерманияD PHIH гFAF
Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в V работах STETQD список которых приведен в конце диссертацииF
Структура и объ?м

Диссертация состоит из введения и четырех главF Текст диссертации изложен на IHU страницах и содержит I таблицу и PU рисунковF Список литературы содержит TQ наимеE нованияF Во введении подробно излагается история рассматриваемых вопросовY обосновываетE ся актуальность результатов и их научная новизнаY описывается структура диссертации и основные результатыF В первой главе приводятся базовые определения и рассматриваются классические примеры систем Бертрана на плоскости и полусфереY наряду с классическими примерами разбирается пример с произвольным центральным гладким полем на круговом цилиндреD для которого показывается незамыкаемостьF Также здесь формулируется опорный для дальнейших глав результатD касающийся свойств периодичности решений обобщенного семейства дифференциальных уравнений БертранаF Во второй главе формулируется обобщение классической теоремы Бертрана на поE верхности вращения с псевдориманой метрикойD в которой указываются все индефинитE ные метрики без экваторовD допускающие существование на поверхности центрального замыкающего потенциалаD а также приводятся сами потенциалыF Для доказательства обобщения устанавливается ряд взаимосвязей между орбитами на поверхности вращения и аналитическими свойствами эффективного потенциалаF Приводится полная классифиE кация поверхностей Бертрана с точностью до изометрии и преобразования подобияF В конце главы устанавливается явный вид зависимости периода T замкнутых траекторий от первого интеграла энергии для некоторых многообразий БертранаF Для поверхностей Бертрана постоянной гауссовой кривизны аналогичный результат был получен ВFВF КозE ловым QUF Третья глава посвящена во многом свойствам поверхностей БертранаD которые можE но определенным образом реализовать как поверхности вращения в R3 и R3 F ДоказаноD 2 что все поверхности Бертрана с псевдоримановой метрикой без экваторов реализуются в R3 F Для всех таких поверхностей обобщен известный критерий СантопретеF Также для 2 некоторых из них сформулирован аналог первого закона КеплераF В четвертой главе системы Бертрана рассматриваются как гамильтоновы системы и изучается их слоение Лиувилля первых интегралов энергии и кинетического моментаF Для каждой поверхности вращения с псевдоримановой метрикой и замыкающим потенE циалом на ней построены биффуркационные диаграммыF На образе фазового пространE V


ства при отображении момента выделены зоныD отвечающие различным видам слоев ЛиувилляD которые соответствуют различным типам движенийD для каждого слоя уставE новленоD полны ли фазовые потоки sgrad E D sgrad K Y описаны возникающие перестройки слоев Лиувилля при переходе из одной зоны в другуюF
Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность АFТF Фоменко и ЕFАF Кудрявцевой за поE становку задач и постоянную помощь на всех этапах работыF Автор благодарен ИFХF СабитовуD АFДF Малых и АFВF Щепетилову за полезные обсужденияF Автор благодарен АFСF МищенкоD АFАF ОшемковуD ДFАF Федосееву за участие в дискуссиях и полезные соE ветыF

W


Глава 1

Поверхности и метрики Бертрана

1.1
1.1.1

Основные определения и примеры
Базовые определения

Диссертация посвящена исследованию двух механических системX движение по поверхE ности вращения с римановой и псевдоримановой метриками соответственноF Опишем подробнее вышеупомянутые системы с точки зрения лагранжева формализмаF Будем рассмотривать абстрактные двумерные многообразия вращения S (a, b) Ч S 1 с координатами (u, mod 2 ) и римановой метрикойX

ds2 = a2 (u)du2 + a2 (u)d2 . 11 22

@IFIFIA

Функции a11 (u), a22 (u) гладкие C 5 (a, b) и строго положительныеD где a и b пробегают любые значения от - до +D тFеF удовлетворяют - a < b . В случаеD есE ли поверхность S можно вложить в R3 как поверхность вращения с осью вращенияD совпадающей с OZ D a22 будет иметь смысл расстояния от точки на поверхности до оси вращенияF Наряду с S будем также рассматривать многообразия S (a, b) Ч S 1 с координатами (u, mod 2 ) и псевдоримановой метрикойX

ds2 = a2 (u)du2 - a2 (u)d2 , 11 22

@IFIFPA

где функции a11 (u), a22 (u) также гладкие C 5 (a, b) и строго положительныеD a и b также удовлетворяют - a < b . В дальнейшем некоторые утверждения будут сразу формулироваться как для римаE нова случая так и для псевдоримановаD поэтому для единообразия формул будем испольE зовать показатель F ^ Константа равна 1 для поверхности S с метрикой @IFIFIAD и равна ^ -1 для поверхности S с индефинитной метрикой @IFIFPAF
Определение 1.1.1.

IH


У поверхностей S и S координатные линии {u = const} являются параллелямиD а лиE нии { = const} меридианамиF Границами S @соответственно S A являются две граничные параллели {u = a} и {u = b}F Назов?м параллель {u0 } Ч S 1 экваторомD если a22 (u0 ) = 0F Назов?м граничную параллель {u = u0 } экваторомD если a22 (u)/a11 (u) 0, a22 (u) const = 0 при u u0 Y абсолютомD если a22 (u) при u u0 Y полюсомD если a22 (u) 0 при u u0 F 2 Полюс назов?м коническимD если a22 (u)/a2 (u) 1/c при u u0 D где c > 1 для риманова 11 случая @0 < c < 1 для псевдориманова случаяA ! вещественная константаY соответственно устранимымD если 0 - a22 (u)2 /a2 (u) 0 при u u0 F ^^ 11
Определение 1.1.2.

Требование к полюсу быть коническим или устранимым автоматически означаетD что поверхность в окрестности полюса реализуется как поверхность вращения в R3 @соотE ветственно в R3 AF РассмотримD напримерD круговой конус {(x, y , z ) : x2 + y 2 = z 2 , z > 0} 2 в евклидовом пространстве R3 @метрика индуцируется с объемлющего пространстваAF Тогда границаD соответствующая {z = } является абсолютомD а граница {z = 0} являE ется коническим полюсомF Другой пример доставляет проколотая полусфера {(x, y , z ) : x2 + y 2 + z 2 = 1, -1 < z < 0} в R3 F Для полусферы граница {z = -1} является устранимым полюсомD а граница z = 0 является экваторомF Пусть на поверхности S @соответственно S A задан также центральный гладкий потенE циалD тFеF функция V (u) C 5 (a, b)F Под действием V по поверхности движется частицаF d Закон движения определяется уравнениями ЭйлераEЛагранжа L = dt L для лагранжиE q q ^1 22 ана L = 1 a2 (u)u2 + 2 a2 (u)2 - V (u)F Выпишем эти уравнения движенияX 2 11

a2 u + a11 a11 u2 - a22 a22 2 + V = 0, ^ 11 Е d (a2 ) = 0. ^ dt 22

@IFIFQA @IFIFRA

Данные уравнения имеют два первых интеграла энергии и кинетического моментаF

1 1 ^ 22 E = a2 (u)u2 + a2 (u)2 + V (u), 11 2 2 K = a2 (u). ^ 22
Последнее легко проверить прямым дифференцированием по времениF
Определение 1.1.3.

@IFIFSA @IFIFTA

Назов?м траекторией решение r(t) = (u(t), (t)) уравнений двиE жения @IFIFQAD @IFIFRAD другими словамиD зависимость координат точки от времениF Образ отображения r(t) будем называть орбитойF АналогичноD отображение (u(t), (t), a2 (u(t))ћ 11 2 u(t), a22 (u(t)) ћ (t)) ! фазовая траекторияD а его образ в кокасательном расслоении T S ^ ! фазовая орбитаF

II


Величины pu := L/ u = a2 (u)u, p := L/ = a2 (u) являются импульсамиF ^ 22 11 Неособую орбиту естественно задавать с помощью зависимости координаты u от D тFеF можно считать орбиту функцией u()F Из уравнений траектории можно легко получить уравнение орбитыF
Утверждение 1.

Неособые орбиты {u = u()} при движении по S под действием V задаются однопараметрическим (параметр K ) семейством уравнений

u



+u

2

a11 (u) 2a22 (u) - a11 (u) a22 (u)

V (u) a4 (u) a22 (u)a22 (u) 22 =- . - ^ 2 2 a2 (u) a11 (u) K 11

@IFIFUA

Исключим время из уравнения @1.1.3A с помощью @1.1.4A и придем к уравнениям на функцию u = u()D задающую орбитыF uK Согласно @1.1.6A = a2K u) F Далее u = u = a2(u) F Вторая производная ^( ^
Доказательство.
22 22

u= Е

u K d d d d ) = (u) = (u) ћ = ( 2 ^ dt d dt d a22 (u)

2 u K 2u K a22 (u) - a2 (u) a3 (u) 22 22

K . a (u)
2 22

Осталось подставить полученные выражения для , u, u в уравнение @IFIFQAF Е
Замечание 1.1.1.

Семейство уравнений (1.1.7) хорошо темD что каждое уравнение имеет своим интегралом энергию движенияX

E=

a2 (u) 2 2 K2 11 u K + 2 ^ + V (u). 2a4 (u) 2a22 (u) 22

@IFIFVA

Проверяется непосредственно дифференцированием по углу @выражение @IFIFVA также получается из @IFIFSA заменой t на AF При работе с орбитами бывает удобнее пользоваться интегралом E := E /K 2 F В дальнейшем будет показаноD что для замыкающего потенциE ала на поверхности без экваторов по форме ограниченной орбиты @по функции u()A однозначно восстанавливаются энергия E и кинетический момент K точкиD двигающейE ся по этой орбитеY в противоположность этомуD по форме ограниченной геодезической значения E и K однозначно восстановить нельзяD восстанавливается лишь соотношение E D тFеF E F K2 Этот эффект можно хорошо проиллюстрировать на плоскости R2 F В случае отсутствия потенциала движение происходит по геодезическимD тFеF по прямымD при том по прямой можно двигаться с любой скоростьюD форма орбиты так и останется прямойF Если же есть центральный замыкающий потенциалD например Земля притягивает ИСЗ по закону всемирного тяготенияD тогда появляется разницаX при движении с первой космической скоростью форма орбиты будет окружностьюD а при движении со второй ! параболойF
Замечание 1.1.2.

Есть координатыD в которых формулы @1.1.7AD @1.1.8A заметно упроE щаютсяF Они определяются из условияX коэффициент при u 2 в уравнении @IFIFUA равен a11 (u) 2a22 (u) HD тFеF a11 (u) - a22 (u) = 0F Интегрируя находимD что в этих координатах @, A выполняется IP


a2 () = C a4 ()D где C ! константаF Существуют они потомуD что их можно предъявить 11 22 явной формулойF При переходе от (u, ) к (, ) компоненты метрики @соответственно псевдоримановой метрикиA преобразуются такX a2 (u)u2 = a2 ()D a2 (u) = a2 ()F НаE ?11 ?22 11 22 a11 u 2 4 2 2 4 писав соотношение a11 () = C a22 () получим a11 (u)u = C a22 (u)F Так u = +C a(2 )(u) D ? ?
22

u) интегрируем = +a11 (a2 du ) F Замена u (u) монотоннаяD тFкF u = 0F C 22 (u В координатах (, ) @назовем их бертрановскимиA при C = 1 уравнения @1.1.7A и @1.1.8A выглядят такX

1 K2 V () + 2 ^ K2 2a22 () 22 K K2 E= + V ( ) + 2 ^ 2 2a22 () = -
2

@IFIFWA


.

@IFIFIHA

В скобках стоит эффективный потенциал W = V + 2K2 F ^a 22 Бертрановские координаты определены неоднозначноD можно изменять константу C D более того можно менять константу интегрированияF Стоит отметитьD что несмотря на внешнюю схожесть формулD отвечающих уравнеE ниям движенияD уравнениям орбитD первым интеграламD эффективному потенциалу в римановом и псевдоримановом случаях имеется много фундаментальных отличийF ПоE верхностиD допускающие существование замыкающих потенциаловD имеют много отлиE чийD причем в псевдоримановом случае поверхностей будет меньше @смF рисF PFID PFPAD также в псевдоримановом случае поверхности Бертрана всегда реализуются в R3 @смF 2 теорему VAD в отличие от римановаF Серь?зные отличия заключены и в топологии фазоE вого пространстваF В утверждении ID замечаниях IFIFI и IFIFP и всюду далее в настоящей работе под орбитой { = ()} понимается локально заданная орбитаD тFеF заданная в виде локального графика { = () | 1 < < 2 } S = (a, b) Ч S 1 D где - 1 < 2 + и () " @однозначнаяA функция на интервале (1 , 2 ) RF ОтметимD что если либо 1 = -D 2 = + и функция () не является 2 EпериодичнойD либо 2 - 1 > 2 D то орбита пересекает некоторый меридиан более чем в одной точкеD поэтому она не является графиком никакой однозначной функции ()F В противном случаеD тFеF если либо 1 = -D 2 = + и функция () является 2 EпериодичнойD либо 2 - 1 2 D то орбита является графиком однозначной функции ()D заданной на всей окружности S 1 или на некотором ее интервалеF
Замечание 1.1.3.

Далее определим виды траекторий и орбитD с которыми будем работатьF

Круговая орбита ! орбитаD которая совпадает с какойEнибудь паE раллелью {u0 } Ч S F Соответствующую ей траекторию тоже назов?м круговойF Орбита @соответствующая ей траекторияA замкнутаD если функция r(t) периодичнаF
Определение 1.1.4.

1

IQ


Орбита @траекторияA ограниченнаяD если она лежит в некотором компакте [u1 , u2 ] Ч S (a, b) Ч S 1 . Орбита @траекторияA особаяD если она лежит на меридианеD тFеF (t) = constF Для таких орбит и только для них интеграл кинетического момента K равен нулюF
1

Комментарий 1.1.

ЗаметимD что неограниченность траектории @орбитыA означаетD что она выходит на край поверхностиF Особенность орбиты означает падение движущегося тела на притягивающий центрD в случае плоскости R2 падение происходит по радиальной прямойF
Замечание 1.1.4.

Параллель {u0 } Ч S 1 является круговой орбитой с энергией E0 и кинетическим моментом K0 тогда и только тогдаD когда производная эффективного поE K2 тенциала W (u) = V (u) + 2a2 0 u) равна нулю в точке u0 и W (u0 ) = E0 @смF предложение ^( 22 PFIAF Круговая орбита u = u0 с кинетическим моментом K0 сильно K2 устойчиваD если эффективный потенциал W (u) = V (u) + 2a2 0(u) имеет в точке u0 невыE ^ 22 рожденный локальный минимумF Замкнутая орбита с кинетическим моментом K0 орбитально устойчиваD если отвечаюE щая ей фазовая траектория орбитально устойчива для ограничения системы на множеE ство уровня кинетического моментаD содержащего эту траекторию {K = K0 }F
Определение 1.1.5.

Очень важным моментом в задаче Бертрана является требование к потенциалу ! какой именно тип потенциала нам нуженD тFеF в каком классе функций ищется V (u)F Центральный @тFеF зависящий только от координаты uA потенциал V назов?м замыкающимD если
Определение 1.1.6.

() существует неособая ограниченная некруговая орбита в S Y () всякая неособая ограниченная орбита в S замкнутаF
ЗаметимD что вместо условия замкнутости орбит при условииD что начальная скорость меньше некоторого пределаD сформулировано условие замкнутости ограниченных орбитF Также к условию замкнутости орбит добавилось ещ? существование одной замкнутой некруговойF Это условие существенноF Привед?м пример потенциалаD для которого выполнено @правда только формальноA второе условиеD однако у него вообE ще нет ограниченных орбитF Для этого рассмотрим обыкновенный цилиндр x2 + y 2 = 1 в R3 с потенциалом V (x, y , z ) = z F Легко видетьD что в этом случае не будет ограниченныхD а значит и замкнутых орбитF
Замечание 1.1.5.

IR


Обобщая теорему Бертрана на поверхности вращения разные авторы поEразному форE мулировали задачуD в частности искали потенциал в разных функциональных классахF Теоремы RD S и T сформулированы и доказаны в работах STD SW для замыкающего поE тенциалаF Однако во многих работах использовались другие типы потенциаловF НаприE мер в работах БертранаD Дарбу и Сантопрете неявно предполагался сильно замыкающий потенциал @смF определение IFIFIHAD а у Перлика слабо замыкающийF Можно строить обобщение теоремы Бертрана для других типов потенциаловD но как можно убедиться для поверхностей без экваторов все эти потенциалы суть одно и то жеF Следующие R типа потенциалов носят локальный характерD это связано с темD что в раE ботахD в которых обобщалась теорема БертранаD некоторое выражение @период движения по орбитеA раскладывалось в ряд Тейлора в некоторой окрестностиF
Определение 1.1.7.

Потенциал V (u) локально замыкающийD если

()loc существует сильно устойчивая круговая орбита {u0 } Ч S 1 в S Y ()loc для всякой сильно устойчивой круговой орбиты {u0 } Ч S 1 в S существует > 0, такое что всякая неособая ограниченная орбитаD целиком лежащая в кольце [u0 - , u0 + ] Ч S 1 и имеющая уровень кинетического момента в интервале (K0 - , K0 + ), является замкнутойD где K0 " значение кинетического момента на соответствующей круговой траекторииF
Требование существования хотя бы одной сильно устойчивой круговой орбиты выполE няет ту же рольD что и требования существования хотя бы одной ограниченной орбиты для замыкающего потенциала @замF IFIFSAD без него может не существовать сильно устойE чивых круговых орбит @да и вообще ограниченных орбитA и формально условие ()loc будет выполненоF
Определение 1.1.8.

Назов?м потенциал V (r) полулокально замыкающимD если выполE нены условия (), ()loc и следующее условиеX
-lo c

()s

любая неособая ограниченная орбита в кольце U = [a , b ] Ч S 1 с уровнем кинетичеE ^ ского момента K является замкнутойD где a := inf r| , b := sup r| , ! ограниченная ^ орбита из (), K " значение кинетического момента на нейF

При доказательстве теорем SD T в работе ST рассматривался предельный переход при стремлении некруговых орбит к круговой = xD поэтому естественно предположитьD что можно глобальное требование замкнутости ограниченных орбит заменить на какиеE нибудь локальныеD что и сделано в определениях IFIFUD IFIFVF Замкнутая орбита u() орбитально устойчиваD если отвечающая ей фазовая траектория (u(t), (t), pu (t), p (t)) будет орбитально устойчиваD если рассмотE реть ограничение системы на множество уровня кинетического момента {(u, , pu , p ) : p = const}D содержащее эту фазовую траекториюF
Определение 1.1.9.

IS


Определение 1.1.10.

Потенциал V (r) будем называть сильно @соответственно слабо A замыкающимD если выполнено ()loc @соответственно его аналог для всякой орбитально устойчивой круговой орбитыA и следующее условиеX любая окружность {u} Ч S 1 является сильно устойчивой @соответственно орбитально устойчивойA круговой орбитойF Несложно убедитьсяD что любой замыкающий центральный потенциE ал V (r) является полулокально замыкающимD а любой сильно замыкающий " локально и слабо замыкающимF
Замечание 1.1.6.

Поскольку на поверхностях вращения без экваторов все S типов потенциалов совпаE дают STD то можно ввести следующее определениеF Назовем поверхность вращения S @или S A без экваторов бертраE новскойD если на ней существует замыкающий потенциал V D который назовем бертрановE скимF А упорядоченную пару (S, V ) назовем бертрановскойF
Определение 1.1.11.

Рассмотрим в качестве примера обычную евклидову плоскость S0 с выколотым ценE тромD полярными координатами (r, mod 2 ) и евклидовой метрикой ds2 = dr2 + r2 d2 F Поверхность S0 является поверхностью вращения (0, ) Ч S 1 F Край плоскостиD отвеE чающий выколотому центру является устранимым полюсомD а противоположный крайD отвечающий уровню r = является абсолютомF Пусть на S0 действует закон всемирноE го тяготенияD тFеF задан потенциал V (r) = - A @A > 0AF В этом случае уравнение орбит r @IFIFUA примет вид @как дифференциальное уравнение на функцию r()A

22 A r - r - r = - 2 r2 . r K
p Решения этого уравнения выглядят так r = 1+e cos(+0 ) D где p ! фокальный параметрD e ! эксцентриситет орбитыD 0 ! константа интегрирования @угол поворота орбиты вокруг притягивающего центраAF При e < 1 получаются ограниченные орбитыD которые будут эллипсамиD при e 1 получаются неограниченные орбиты ! параболы и гиперболыF ПоE тенциал - A является замыкающимD тFкF существует хотя бы одна замкнутая некруговая r орбитаD а также все ограниченные орбиты @а это эллипсыA будут замкнутыF Каждая круE говая орбита будет сильно устойчивойF Бертрановские координаты @, A связаны с полярными @r, A соотношением = 1 F В r бертрановских координатах упрощается не только вид уравнения @IFIFUAD которое в них A принимает вид + = K 2 D но и явный вид орбит @функции ()AX = p-1 (1+e cos(+0 ))F Другим примером замыкающего потенциала служит закон Гука V (r) = Ar2 (A > 0)F В этом случае все неособые орбиты будут эллипсамиD а неограниченных неособых орбит не существуетF Исследование поверхностей Бертрана начн?м с описания нескольких простых приE меровF Среди поверхностей вращения с замыкающими потенциалами наиболее простым

IT


примеромD на котором видны все общие свойства бертрановской системыD является обычE ный круговой конусF Его метрика является плоской евклидовой и он полностью отражаE ет случай плоского движения в центральном полеD про которое известно немалоF Также огромное значение для исследования замкнутых траекторий на поверхностях вращения игает наличие экваторов @параллелей u = u0 : a22 (u0 ) = 0AF Цилиндр в этом смысле целиком состоит из параллелейEэкваторов и является наиболее плохим кандидатом в поE верхности БертранаF Остановимся на этих примерах поподробнееF
1.1.2 Цилиндр, конус, сфера

Рассмотрим в евклидовом пространстве R3 с декартовыми координатами @x, y , z A кругоE вой цилиндр C0 D заданный соотношениями x2 + y 2 = 1D a < z < bD где a, b константы из R {-} {}F Положение точки на цилиндре зада?тся координатами (z , mod 2 )F Индуцированная с объемлющего пространства метрика на н?м примет вид ds2 = dz 2 +d2 F В наших обозначениях @IFIFIA a11 = a22 1D откуда хорошо видноD что каждая параллель цилиндра является экватором @в смысле определения IFIFRAF
Утверждение 2.

На цилиндре C0 не существует замыкающего потециала.

Пусть на цилиндре существует замыкающий потенциал V (z )D под действием которого по цилиндру движется частицаF Тогда уравнения движения согласно @IFIFQAD @IFIFRA выглядят такX z = -V (z ), Е = 0. Е
Доказательство.

ПокажемD что если существует хотя бы одно замкнутое некруговое решениеD то также существует ограниченное невырожденное незамкнутое решениеD и тем самым привед?м утверждение к противоречиюF Вид уравнений показываетD что движение вдоль координат z и происходят независимо друг от другаD поэтому замкнутость орбиты означает некоторую согласованность этих движенийY идея состоит в томD что можно движение вдоль параллели чутьEчуть ускоE рить или замедлитьD чтобы те орбитыD которые были замкнутыD разомкнулись быF В силу замыкаемости потенциала существует хотя бы одна некруговая замкнутая траE ектория r1 (t) = (z1 (t), 1 (t))D тогда согласно определению найд?тся общий период T у функций z1 (t), 1 (t)F Интегрирование второго уравнения да?т = c1 t + c2 @значеE нияD отличающиеся на 2 D задают одну и ту же координатуAF Рассмотрим траекторию r2 (t) := (z1 (t), 2 (t)) @смF рис IFIAD где 2 (t) = 2c1 t + c2 @ускорим движение вдоль AF Периоды у z1 (t) и 2 (t) теперь несоизмеримыD поэтому у этих функций нет общего периE одаD а значит траектория r2 (t) незамкнута @хотя лежит в тех же границахD что и r1 (t)AF Получается у потенциала V (z ) есть ограниченные незамкнутые траекторииF Конус является поверхностью без экваторов и на н?м в отличии от цилиндра сущеE ствует два замыкающих потенциалаF Рассмотрим абстрактный конусD тFеF поверхность IU


r

1t

r

2t

РисF IFIX Исходная r1 (t) и растянутая r2 (t) орбитыF

C (0, ) Ч S 1 с координатами (u, mod 2 ) и метрикой ds2 = du2 + ч2 u2 d2 ,
где константа ч > 0 и угол при вершине получается 2 чF

На тех конусах, где константа ч иррациональная, не существует центральных замыкающих потенциалов V (u). На тех конусах, где ч Q, существует ровно два замыкающих потенциала: аналог ньютоновского V1 (u) = Au-1 + B , где A < 0, и аналог гуковского V2 (u) = Au2 + B , где A > 0. Орбиты заданные как функция u() имеют один и тот же период 2 = /ч для гуковского и 1 = 2 /ч для ньютоновского.
Утверждение 3.

Утверждение является частным случаем теоремы RF Комментарий 1.2. Опишем геометрический смысл рациональной константы ч = p F q У орбиты u() константа ч определяет количество витков вокруг поверхностиD которое должна сделать частицаD прежде чем траектория замкн?тсяF График орбиты u() на плоскости (u, ) будет представлять из себя синусоиду с периодом 1 @2 для случая гуковского потенциалаAF График с ростом колеблется между максимумом @max u()A и минимумом @min u()AF Это означаетD что за p @для гуковского за 2pA колебаний значение координаты увеличится на 2q и частица в сво?м движении по конусу C совершит q оборотов вокруг поверхностиF Геометрический смысл константы ч для поверхности состоит в следующемF РассмотE рим конструкциюX разрежем конус C по образующей и развернемF Получим некоторый сектор на евклидовой плоскостиF ЗаметимD что угол при вершине @равный 2 чA может быть и больше 2 , в этом случае конус не вложится в R3 как поверхность вращенияF ДаE ~ лее рассмотрим поверхность C , являющуюся одновременно разветвленным накрытием конуса C и разветвленным накрытием евклидовой плоскостиD где количество листов люE ~ бого из накрытий минимально возможноеF Поверхность C можно построить следующим IV


образомF Будем накладывать на плоскость сектораD полученные разворотом разрезанноE го по образующей конусаD каждый следующий поворачивая такD чтобы берег каждого следующего сектора совпал с противоположным берегом предыдущегоF Таким образом ~ получим разветвленное накрытие C R2 \ {0} над проколотой плоскостьюF При этомD если конус был рационаленD тFеF угол при вершине был соизмерим с 2 @иными словаE ~ миD ч Q, обозначим ч = p ), то через q шагов построения C берег очередного сектора q ~ совпадет с берегом первого сектораY в этом случае прекратим процесс построения C и ~ накрытие C R2 \ {0} будет p-листнымF В противном случае берега разных секторов никогда не совпадут и накрытие будет бесконечнолистнымF ~ Таким образомD поверхность C накрывает исходный конус q -листноD если ч рациоE нально и равно p , бесконечнолистно в противном случаеF Накрытие строится естественE q ~ ным образомX его листами будут сектораD из которых составлена поверхность C Y каждый ~ такой сектор " развертка конусаD поэтому можно определить отображение C C, пеE ~ реводящее в точку с координатами (r, ) на конусе все точки поверхности C , имеющие те же координаты на том сектореD которому принадлежатF Наглядно это может быть представлено следующим образомF Возьмем сектораD полученные разворачиванием разE резанного по образующей конусаD и расположим их над разверткой конуса друг над другом " q экземпляровD если ч рациональноD счетное множество в противном случаеY противоположные края лежащих друг над другом секторов считаются склееннымиF ТочE ~ ~ ки этих секторов " это точки поверхности C , отображение C C задается естественной проекциейF Случай ч = 1 соответствует проколотой плоскостиF Сфера имеет всего один экватор и в этом смысле является пограничным случаем межE ду конусом и цилиндромF Рассмотрим сферу S 2 с координатами (, )D где ! широтаD ! долготаD и с метрикой ds2 = d 2 + sin2 d2 F Пусть на сфере действует потенциал V 0F Тогда траектории при движении под действием такого потенцила будут геодезиE ческими ! большими кругамиF Рассмотрим только те геодезическиеD которые отличаются от меридиановD они задаются соотношениемX tg = A ћ sin F Поверхности вращения с замкнутыми геодезическими подробно описаны в SF Справедлива следующая теорема @АF БессеA. Рассмотрим сферу S 2 \ {N , S } (a, b) Ч S 1 единичного радиуса с выколотыми полюсами, с координатами (, mod 2 ) и метрикой вращения ds2 = a2 ( )d 2 + a2 ( )d2 . 11 22 Все геодезические на S 2 , отличные от меридианов, замкнуты тогда и только тогда, когда метрика приводится некоторым диффеоморфизмом (a, b) (0, ), = ( ), ~~ к виду 2 p 2 + h(cos ) d 2 + sin2 d2 , ~ ~ ~ @IFIFIIA ds = q
Теорема 2

где

p q

рационально, а h : (-1, 1) (- p , p ) неч?тная функция. qq
IW


Такие поверхности называются поверхностями ТаннериF Длины всех геодезических общего положения @не экватор и не меридианA одинаковы и равны 2p D длина экватора 2 D длина меридиана 2 p F q

1.2

Обобщенное семейство уравнений

Для обобщения теоремы Бертрана на поверхности вращения необходимо установить пеE риодичность решений уравнения орбит @IFIFUAD что и делается в теореме QF Для тогоD чтобы сформулировать теорему Q необходимо предварительно переформулировать соотE ветствующие свойства орбит и потенциаловF Назов?м обобщенным семейством уравнений Бертрана однопараметрическое @ненуE левой параметр K A семейство дифференциальных уравнений

d2 z 1 + (z ) = 2 (z ) 2 d K

@IFPFIA

на интервале (a, b) R1 D где (z ) и (z ) ! функции класса C D определенные на интерE вале (a, b)F
Определение 1.2.1.

Функцию = (z ) на интервале (a, b) назов?м замыкающей для функции = (z ) @или Eзамыкающей AD если

() существует значение параметра K = K0 R\{0}D при котором соответствующее уравнение имеет ограниченное непостоянное решение z = z ()Y ~~ () все ограниченные непостоянные решения z = z () уравнения со всевозможными значениями параметра K являются периодическими функциями с попарно соизмеE римыми периодамиF
Назов?м функцию = (z ) на интервале (a, b) локально замыкающей для функции = (z ) @или локально Eзамыкающей AD если

()

loc

существует значение параметра K = K0 такоеD что соответствующее уравнение имеет невырожденное устойчивое положение равновесия z0 (a, b)Y для всякой пары (K0 , z0 ) (R\{0}) Ч (a, b)D удовлетворяющей ()loc D найдутся , > 0D такие что все ограниченные непостоянные решения z () уравненийD отвечающих K (K0 - , K0 + )D с областью значений из Eокрестности z0 D тFеF z (R1 ) [z0 - , z0 + ]D являются периодическими функциями с попарно соизмеримыми периодамиF

()

loc

Назов?м функцию = (z ) на интервале (a, b) полулокально замыкающей для функE ции = (z ) @или полулокально Eзамыкающей AD если выполнены условия (), ()loc и следующее условиеX PH


()s-

loc

все ограниченные решения z () уравнения при K = K0 D такие что z (R1 ) z (R1 )D ~ являются периодическими функциями с попарно соизмеримыми периодамиD где K0 и z = z () ! соответствующие значения параметра K и решение из условия ()F ~~

Назов?м функцию (z ) сильно @соответственно слабо A EзамыкающейD если любая точка z0 (a, b) является невырожденным устойчивым @соответственно устойчивымA положением равновесия уравнения при некотором K = K0 D зависящем от z0 D а также выполнено условие ()loc @соответственно его аналог для всякой пары (K0 , z0 ) (R\{0}) Ч (a, b)D такой что z0 ! устойчивое положение равновесия уравнения при K = K0 AF

Пусть задано семейство уравнений Бертрана (1.2.1) на (a, b). Если является полулокально -замыкающей (или -замыкающей, или сильно или слабо -замыкающей), то она является локально -замыкающей. Если на интервале (a, b) функция не имеет нулей, то все классы замыкающих, полулокально замыкающих, локально замыкающих, сильно замыкающих и слабо замыкающих для функций совпадают. Если на интервале (a, b) функция не имеет нулей, то существует не более двух замыкающих функций с точностью до положительной мультипликативной константы и эти функции определяются условиями:
Теорема 3.

(a) если |(a,b) = const > 0, то существуют ровно две (с точностью до положительной мультипликативной константы) -замыкающие функции на (a, b), а 2 именно i (z ) = Ai /i -1 (z ), i = 1, 2, гда Ai = 0 произвольная мультипликативная константа, такая что Ai i (z ) > 0; более того минимальный положительный период любого ограниченного непостоянного решения равен i = 2 /(i );
z- + (b) если |(a,b) является рациональной функцией вида (z ) = (ч2 ( ) )D , где D = const = z- 3 0, ч = const > 0, = const (a, b), то существует единственная (с точностью до положительной мультипликативной константы) -замыкающая функция на A (a, b) : (z ) = 2 (z ) = (z- )3 , где A = 0 мультипликативная константа, такая что A((z - )4 + D) > 0; более того минимальный положительный период любого ограниченного непостоянного решения равен i = ч);
4

(c) если (z ) не имеет ни одного из указанных выше видов, то не существует замыкающих функций на (a, b). В случаях (а) и (b) каждая точка z (a, b) является невырожденным положением равновесия уравнения при K = Ki := + Ai /i2 (z ), i = 1, 2 в случае (a) и K = +ч (z-A4 +D ) (в случае (b)), а при других значениях параметра K не является положением равновесия.
Прежде чем доказать теорему сформулируем ряд леммF Для начала заметимD что любое уравнение из семейства Бертрана @IFPFIA имеет вид z = -U (z )D где U (z ) := PI


((z ) -

(z ) K2

)dz D что позволяет разглядеть первый интеграл E := (z 2 )/2 + U (z ),
@IFPFPA

который является аналогом интеграла энергииF Первый интеграл позволяет понизить порядок каждого уравнения системы БертранаX

z 2 = R(z ) + C W (z ) + 2E = 2E - 2UC (z ),
где R(z ) := -2 (z )dz D C := K 2 /2D W (z ) := (z )dz D UC (z ) := - (R(z ) + C W (z )) /2F Леммы IFPFIEIFPFQ описывают общие свойства решений дифференциального уравнения вида z = -U (z )D где U (z ) ! гладкая функция на интервале (a, b)D к которомуD очевидноD относятся и уравнения системы Бертрана @IFPFIAF

Пусть функция z () является решением уравнения z = -U (z ) и пусть z (0 ) = 0. Тогда график функции z = z () симметричен относительно прямой { = 0 }, т.е. z () = z () := z (0 - ( - 0 )). ~
Лемма 1.2.1.

Прямой подстановкой в уравнение z = -U (z ) проверяетсяD что z () является его решениемF А тFкF начальные условия совпадаютD z (0 ) = z (0 ) и ~ ~ z (0 ) = z (0 )D то совпадают и решенияF ~
Доказательство.

Пусть заданы константы a , b , E такие, что a < a < b < b и E R. Тогда следующие условия эквивалентны:
Лемма 1.2.2.

(a) существует ограниченное решение z () уравнения z = -U (z ) c уровнем энергии E (1.2.2), такое что a = inf z (R1 ), b = sup z (R1 ); (b) U (a ) = U (b ) = E и U |(
a ,b )


Если z {a , b } и выполнено условие (a), то соотношения U (z ) = 0 и z z (R1 ) равно~ ~ ~ сильны.
Пусть выполнено какоеEнибудь одно из условий @аA и @AF Тогда существует положение @точкаA z0 (a , b )D такая что U (z0 ) < E F Фиксируем любой уроE вень E (U (z0 ), E ]F Пусть z () ! локальное решение дифференциального уравнения z = -U (z )D такое что z (0) = z0 , z (0) = 2E - 2U (z0 )F Тогда уровень энергии на реE шении z () равен E F Пусть (z1 , z2 ) (a, b) ! максимальный интервал по включениюD содержащий точку z0 D на котором U (z ) < E F Тогда решение z () может быть продолE z жено на интервал (1 , 2 ) @с помощью интеграла энергии@IFPFPAAD где i = z0i dz D
Доказательство.
2E -2U (z )

i = 1, 2F Отсюда следуетD что при выполнении какогоEлибо из условий @A и @A интерE вал (a , b ) содержит максимальный по включению интервалD содержащий точку z0 D на котором U (z ) < E F ЗначитD (z1 , z2 ) (a , b ) @в силу E E AF
PP


ПокажемD что построенное решение z () ограничено и z (R1 ) [z1 , z2 ]D тFеF z1 = inf z (R1 ) и z2 = sup z (R1 ) @отсюда следует равносильность условий @A и @AAF Если 1 = - и 2 = D то требуемое утверждение очевидноD так как построенное решеE ние определено на всем R1 и z (R1 ) = (z1 , z2 ) @решение непериодичноAF Остался случайD когда для некоторого i {1, 2} выполнено |i | < F Здесь в силу (z1 , z2 ) [a , b ] (a, b) решение может быть продолжено в точку i D тогда z (i ) = zi D U (zi ) = E и z (i ) = 0F Если 1 = - и 2 < D то в силу леммы IFPFI решение ограничено и z (R1 ) = z ((-, 2 ]) = (z1 , z2 ] @значит решение непериодичноAF Аналогично для случая 1 > - и 2 = +F В случае же 1 > - и - 2 < + решение периодично и z (R1 ) = z ([1 , 2 ]) = [z1 , z2 ]D z F Таким причем минимальный положительный период будет равен = 2 z12 dz
2E -2U (z )

образомD решение всегда ограничено и выполняется z (R1 ) [z1 , z2 ]F ДокажемD что для любого i {1, 2} равносильны условия U (zi ) = 0 и zi z (R1 )F Без ограничения общности i = 2F Пусть U (z2 ) = 0D тFеF точка z2 ! положение равновесияF Тогда если z2 z (R1 ) @тFеF 2 < AD то оба решения z () и z2 () z2 удовлетворяют одним и тем же начальным условиям z (2 ) = z2 D z ( - 2) = 0D а потому совпадаютD что противоречит z1 < z2 F Пусть теперь U (z2 ) = 0F Тогда U |[z0 ,z2 ] (z ) E - c(z2 - z ) для некоторого c > 0D откуда 2 (z2 - z0 ) 2/c < D а потому z2 z (R1 )F

Пусть a < a < b < b и U (a ) = U (b ) = E , U |(a Тогда следующие условия эквивалентны:
Лемма 1.2.3.

,b )

< E , E0 := min U |[

a ,b ]

.

(a) для любого E (E0 , E ] любое ограниченное решение zE () уравнения z = -U (z ) с уровнем энергии E (1.2.2), такое что zE (0) (a , b ) периодично; (b) существует отрезок [c1 , c2 ] (a , b ), такой что U |[ 0.
a ,c1 )

< 0, U |[

c1 ,c2 ]

= 0, U |(c

2

,b ]

>

При выполнении этих условий минимальный положительный период решения zE () равен z2 (E ) dz (E ) = 2 , @IFPFQA 2E - 2U (z ) z1 (E ) где значения z1 = z1 (E ) [a , c1 ) и z2 = z2 (E ) (c2 , b ] определены условиями U (z1 ) = U (z2 ) = E . Функция = (E ) непрерывна на полуинтервале (E0 , E ]. Если U (c1 ) = 0, то lim (E ) = . @IFPFRA
E E0

Пусть выполнено условие @AF Тогда U (z1 ) = 0 и U (z2 ) = 0D а значитD по лемме IFPFP образ z (R1 ) рещения z () является отрезкомD откуда решение периодичноF Отсюда и из леммы IFPFP следует пункт @AF Пусть выполнено условие @AF Тогда множество A := {z (a , b ) | U (z ) = 0} непуE стоD тFкF a < b и U (a ) = U (b )F Пусть E := sup U |A D введем множество B := {z
Доказательство.

PQ


[a , b ] | U (z ) E }D c1 := inf B D c2 := sup B F Тогда U |[
a ,c1 )

< 0,

U |(c

2

,b ]

> 0, E0 U |[

c1 ,c2 ]

U (c1 ) = U (c2 ) = E < E .

@IFPFSA

Пусть U ([c1 , c2 ]) = E F ВерноD что c1 < c2 и найдется интервал (z1 , z2 ) (c1 , c2 )D такой что U |(z ,z ) < E D U (z1 ) = U (z2 ) = E и один из концов zi этого интервала принадлежит A 12 @тFеF выполнено U (zi ) = 0AF Пусть теперь z () ! ограниченное решение с уровнем энергии E D отвечающее интервалу (z1 , z2 ) согласно лемме IFPFPF ТFкF это решение ограниченоD то оно является периодическим в силу условия @AD откуда z (R1 ) = [z1 , z2 ]F Отсюда U (zi ) = 0 согласно лемме IFPFPF Полученное противоречие показываетD что U |[c1 ,c2 ] = E = E0 D тFеF выполнено условие @AF Утверждение @IFPFQA было доказано в лемме IFPFPD докажем @IFPFRAF Пусть U (c1 ) = 0F Тогда z [c1 - , c1 ] выполняется E0 U (z ) E0 + c(c1 - z )3 для некоторой константы c c > 0F Отсюда получаем (E ) c11-((E -E0 )/c)1/3 2Edz 2E0 + при E E0 D E0 < E - EF
Лемма 1.2.4.

Пусть (z ), (z ) гладкие функции на (a, b).

(a) Пусть (z0 ) = 0 для некоторого z0 (a, b). Пусть z0 невырожденное устойчивое положение равновесия обобщенного уравнения Бертрана (1.2.1) при K = K0 > 0, z0 ( 2 т.е. K0 = (z0 )) и (z0 ) - (z0 )) (z0 ) > 0. Пусть пара (z0 , K0 ) удовлетворяет усло( z0 lo c вию () из определения 1.2.1. Тогда существуют 0 , > 0, такие что функции и на [z0 - 0 , z0 + 0 ] удовлетворяют соотношениям

3 = 4( )2 ,

- = 2 .

@IFPFTA

(b) Пусть соотношения (1.2.6) выполнены на промежутке I (a, b) положительной длины. Пусть некоторая точка z0 I является положением равновесия обобщенного уравнения Бертрана на (a, b) при K = K0 = 0, и z0 I . Тогда в промежутке 2 )4 +D I выполнены тождества (z ) = Ai (z - )1-i и (z ) = 2 (z2-z- )3 , где i {1, 2}, Ai , i( D, некоторые константы, такие что D = 0 при i = 1, z - = 0, (z - )A1 > 0, ((z - )4 + D)A2 > 0 при любом z I . При этом любая точка z I является невырожденным устойчивым положением равновесия обобщенного уравнения z Бертрана при K = + (z)) ; все ограниченные непостоянные решения z = z () ( обобщенного уравнения Бертрана на I при произвольных ненулевых значениях параметра K являются периодическими с минимальным положительным периодом = 2 / .
2 2 Шаг 1. Введем обозначения C := K 2 D C0 := K 2 D E0 := UC0 (z0 ) 0 @Uc (z ) = (z )dz - 0.5C (z )dz AF Точка z0 (a, b) является невырожденным устойчивым положением равновесия уравнеE ния z = -UC (z ) при C = C0 тогда и только тогдаD когда UC0 (z0 ) = 0 и UC0 (z0 ) > 0F

Доказательство.

PR


2 Поэтому -2UC0 (z0 ) = R (z0 ) + C0 W (z0 ) = -2(z0 ) + K 2 (z0 ) = 0 @ввиду условия (z0 ) = 0 0 выполнено (z0 ) = 0AY дифференцируем ещ? раз -2UC0 (z0 ) = R (z0 ) + C0 W (z0 ) = ( -2 (z0 ) + 2 (z0 )) (z0 ) < 0F z0 Выберем малые , > 0D удовлетворяющие условию ()loc из определения IFPFI для пары (z0 , K0 )D что UC |[z0 -,z0 +] и E0,,C < E,C при K = 2/C [K0 - , K0 + ]D где введены обозначения E,C := min{UC (z0 - ), UC (z0 + )}D E0,,C := min UC |[z0 -,z0 +] F Для любой пары (E , C )D такой что

K=

2/C [K0 - , K0 + ],

E (E0

,,C

, E,C ],

@IFPFUA

рассмотрим ограниченное решение zE ,C () уравнения z = -UC (z ) с уровнем энергии i @IFPFPAD такое что zE ,C (R1 ) [z0 - , z0 + ]F Оно существует в силу леммы IFPFP и является периодическим в силу условия ()loc из определения IFPFIF Выпишем минимальный период (E , C ) решения zE ,C @заметимD что константы E , C одE нозначно определяют решение с точностью до сдвигаA согласно лемме IFPFQX
z2 (E ,C )

(E , C ) = 2
z1 (E ,C )

dz R(z ) + C W (z ) + 2E

,

@IFPFVA

где интегрирование проводится по отрезку между двумя нулями z1 и z2 знаменателя @поE этомуD согласно лемме IFPFPD z1 и z2 являются минимумом и максимумом периодического решения zE ,C = zE ,C () уравнения z = -UC (z )AF Используя тоD что z1 = z1 (E , C ) и z2 = z2 (E , C ) зануляют знаменатель подынтегральE ной дроби IFPFVD выразим константы C, E через z1 , z2 X

C (z1 , z2 ) :=

R(z2 ) - R(z1 ) , W (z1 ) - W (z2 )

2E (z1 , z2 ) :=

R(z1 )W (z2 ) - R(z2 )W (z1 ) , W (z1 ) - W (z2 )

@IFPFWA

где соотношения выполняются на множестве {(z1 , z2 ) : z0 - z1 < z2 z0 + }F Доопределим эти выражения на множестве пар (z1 , z2 ) совпадающих чисел следующими R ( R соотношениями C (z1 , z1 ) := - W ((z11)) = 2 (z1 )) D 2E (z1 , z1 ) := -R(z1 ) + W ((z11)) W (z1 )F В итоге z z1 z функции C (z1 , z2 )D E (z1 , z2 ) определены и непрерывны на {(z1 , z2 ) : z0 - z1 z2 z0 + }D тFкF W (z0 ) = (z0 ) = 0F ПолучаемD что при достаточно малом 0 > 0 соответствующие значения параметра K = C (z2,z2 ) обобщенного уравнения Бертрана @для всевозможных 1 пар точек z1 , z2 [z0 - 0 , z0 + 0 ]A будут принадлежать Eокрестности числа
2 C0 2 C (z0 ,z0 )

=

= K0 F Отсюда следуетD что для любых z1 , z2 [z0 - , z0 + 0 ]D таких что z1 < z2 D пара (E , C ) := (E (z1 , z2 ), C (z1 , z2 )) удовлетворяет @IFPFUA @тFеF принадлежит области определения функции (E , C )AD и для любой такой пары формула @IFPFVA примет видX
z
2

(E (z1 , z2 ), C (z1 z2 )) = 2
z
1

dz R(z ) + C (z1 , z2 )W (z ) + 2E (z1 , z2 )

.

@IFPFIHA

Шаг 2. Положим теперь z1 = c - hD z2 = c + hD z = c + htD где c (z0 - 0 , z0 + 0 )D 0 < h << 1F Раскладываем далее функции W и R в этих точках в ряды Тейлора по
PS


степеням переменной h и подставляя их в @IFPFIHA с учетом @IFPFWAD получаем в пределе при h 0X

h0

lim

(E (c - h, c + h), C (c - h, c + h)) = 2

1 2W (c) =: . R (c)W (c) - W (c)R (c) (c)

Отсюда получаем следующее соотношение в интервале (z0 - , z0 + )X

R (c)W (c) - R (c)W (c) = 2 2 (c)W (c).

@IFPFIIA

Подставляя далее в последнее соотношение W = и R = -2D получаем соотношение - = 2 в интервале (z0 - , z0 + )D тFеF второе соотношение из @IFPFTAF Так как функция @IFPFTA непрерывна в своей области определения {(z1 , z2 ) : z0 - 0 z1 < z2 z0 + 0 } и все е? значения попарно соизмеримы ввиду условия ()loc из определеE ния IFPFID то она постоянна и равна своему предельному значению 2 / (z0 )F В частностиD функция (c) постоянна на интервале (z0 - , z0 + )F Шаг 3. Чтобы получить первое соотношение из @IFPFTAD разложим интеграл @IFPFIHA по степеням h и рассмотрим коэффициент при h2 X

4! 3 W

RW -R W 3 iv (R W - R W iv ) + 4 W

RW -R W +W 8 2

.

@IFPFIPA

Из равенств @IFPFIIA и = const получаемX

R W - R W = 2 W ;

2

R W -RW

iv

iv

2 2 ((W )2 - 2W W ). = W

@IFPFIQA

Используя соотношения @IFPFIQA преобразуем коэффициент @IFPFIPA при h2 в разложении интеграла @IFPFIHA и получимD что он зависит только от значений функции W и ее произE водных в точке c и равен 4! ( )2 [4(W )2 - 3W W ]F Приравнивая его к нулю и используя W W = D получаем справедливость следующего соотношения в интервале (z0 - , z0 + )X

3 = 4( )2 .

@IFPFIRA

ТFеF доказано первое соотношение из @IFPFTA и тем самым первая часть леммыF Шаг 4. Доказательство второй части леммы представляет собой аккуратное интеE грирование уравнений @IFPFTAD полученных в первой частиF ТFкF точка z0 I является положением равновесияD то (z0 ) = 0F Выпишем все гладкие решения @IFPFIRA в промеE 2 жутке I D такие что (z0 ) = 0X это решения i (z ) = Ai (z - )1-i D i = 1, 2D где Ai = 0 и I ! константыF Других гладких решений нетD поскольку начальные условия ((z0 ), (z0 )) указанных выше решений образуют все множество R2 \({0} Ч R)D причем приведенные решения не имеют нулей @притом не только на рассматриваемой области I D но и на всей 4 прямой RAD а потому являются решениями дифференциального уравнения = 3 ( )2 / второго порядкаD разрешенного относительно старшей производнойF НаконецD находим PT


(z ) из второго уравнения @IFPFTA с учетом = const > 0 и явного вида найденной (z )X i (z ) = 2 (z - + D(z - )-3 )/i2 D i = 1, 2D константа D такаяD что D = 0 при i = 1D 2 D = -(z - )4 для произвольного z I F Из равенства UC0 (z0 ) = 0 и C0 = 2/K0 > 0 имеем z0 2 = (z0 )) > 0D откуда знак константы Ai однозначно определяется по знаку функции C0 ( на I F Проверка тогоD что для любой указанной пары функций (i , i )D i = 1, 2 функция i является i Eзамыкающей и сильно i Eзамыкающей на I D причем = 2 / D проводится непосредственноF Теперь с помощью лемм IFPFIEIFPFR докажем теорему QF
Пусть функция является полулокально EзамыкаE ющей на (a, b)F ПокажемD что тогда она будет локально Eзамыкающей на (a, b)F Пусть z () ! ограниченное решение обобщенного уравнения Бертрана со значением параметра K = K0 и уровнем энергии E @IFPFPAY оно существует ввиду условия @A из определеE 2 ния IFPFIF Обозначим C0 := 2/K0 D a := inf z (R1 )D b := sup z (R1 )D E0 := min UC0 |[a ,b ] F Тогда [a , b ] (a, b)F Если zE ,C0 () ! ограниченное решение уравнения при K = K0 с уровнем энергии E (E0 , E ]D такое что zE ,C0 (0) (a , b )D то в силу леммы IFPFP имеE ем zE ,C0 (R1 ) [a , b ]D а в силу условия ()s-loc из определения IFPFI решение zE ,C0 () периодичноF ЗначитD выполнено условие @A из леммы IFPFQ при U = UC0 D а потомуD соE гласно лемме IFPFQD выполнено условие @A этого утверждения при U = UC0 F ОказываетсяD соответствующий отрезок [c1 , c2 ] (a , b ) является точкойD притом невырожденным лоE кальным минимумом функции UC0 F В самом делеD из @IFPFRAD условия ()s-loc определения IFPFI следуетD что UC0 (c1 ) > 0 @тFкF в случае UC0 (c1 ) = 0 множество значений функции пеE риода содержит интервал ввиду @IFPFRAD а значит не состоит из попарно соизмеримых чиселD что противоречит условию ()s-loc определения IFPFIAF ТFкF отрезок [c1 , c2 ] на самом деле является точкой невырожденного локального минимума функции UC0 D то выполнено условие ()loc определения IFPFIF Поэтому функция является локально Eзамыкающей на (a, b)F Непосредственно из определения IFPFI следуетD что если является Eзамыкающей или сильно или слабо EзамыкающейD то она автоматически является локально EзамыE кающейF Пусть теперь функция является локально Eзамыкающей на (a, b)D и функция не имеет нулей на (a, b)F Пусть z0 (a, b) ! невырожденное устойчивое положение равновесия уравнения при некотором K = K0 > 0 @которое существует в силу условия ()loc опредеE 2 ления IFPFIAF Так как выполнено условие ()loc D то при C = 2/K 2 и C0 = 2/K0 функции D удовлетворяют системе уравнений @IFPFTA в некоторой окрестности (z0 - , z0 + ) (a, b) точки z0 @согласно лемме IFPFRAF Будем понемногу увеличивать множествоD на котором выполняются соотношения @IFPFTAF Пусть (a0 , b0 ) (a, b) ! максимальный по включению интервалD содержащий точку z0 D на котором выполнены дифференциальные соотношения @IFPFTAF В силу гладкости функций , D соотношения @IFPFTA выполняются на промежутке
Доказательство теоремы 3

PU


I := [a0 , b0 ] (a, b)F Отсюда и из леммы IFPFR следуетD что в некоторой окрестности промеE жутка I в (a, b) верна одна из формул для пары (, )D указанных в лемме IFPFRF Отсюда I = (a0 , b0 ) = (a, b)D так как в противном случае интервал (a0 , b0 ) немаксималенF Таким образомD на всем интервале (a, b) верна одна из формул для пары (, )D указанных в лемме IFPFRY согласно этой же лемме является Eзамыкающей и сильно EзамыкающейF Отсюда является полулокально Eзамыкающей и слабо EзамыкающейF В завершении доказательства отметимD что если (z ) является линейной возрастаюE щей на (a, b) функциейD то имеют место обе возможные Eзамыкающие силовые функE 2 ции i (z ) = Ai (z - )1-i D i = 1, 2D причем соответствующие угловые периоды равE ны i = 2 /i = 2 /(i )F Если (z ) имеет вид 2 (z ) при D = 0D то возможная E замыкающая функция ровно однаX это 2 (z ) = A(z - )-3 D причем = 2 / F Если (z ) не принадлежит ни одному из двух указанных видовD то не будет существовать ни одной Eзамыкающей силовой функции F

PV


Глава 2

Поверхности Бертрана

В этой главе мы опишем все двумерные многообразия с римановой метрикой вращенияD а также с псевдоримановой метрикой вращенияD без экваторовD на которых существуE ет замыкающий потенциалD приводящий к замкнутым орбитамF Таким образомD будет обобщена классическая задача Бертрана на поверхности вращенияF Основным вспомогаE тельным средством станут геометрические характеристики орбитF Установленная связь @предложения PFI E PFSA между свойствами эффективного потенциала и геометрией орE бит позволят доказать необходимость в центральной теореме TF Установленный явный вид орбит @PFPFIVAE@PFPFPHA как зависимости неугловой координаты от угловой D тFеF функции ()D позволит доказать достаточность в теореме TD установить величину миниE мального положительного углового периода каждой периодической орбитыD а также независимость минимального временного периода T соответствующих траекторий r(t) от интеграла кинетического момента K и явный вид зависимости от интеграла полной энергии E F В следующих главах выражения @PFPFIVAE@PFPFPHA будут использованы для доказательства тогоD что орбиты в некоторых случаях являются коническими сеченияE ми @утверждение ISAD а также при построении расширенных бифуркационных диаграмм @предложения RFIERFRAF

2.1

Обобщение теоремы Бертрана на поверхности вращения

Полученная в предыдущей главе теорема Q о свойствах решений обобщенного семейства дифференциальных уравнений Бертрана позволяет вывести из себя напрямую теоремы RD SD TF Обобщение задачи Бертрана на поверхности вращения с римановой метрикой дают теоремы RD SF Они описывает все двумерные поверхности S с римановой метриE койD на которых существуют замыкающие потенциалы V @смF определение IFIFTAD при этом они указывают также количество этих потенциалов с точностью до аддитивной и положительной мультипликативной константF PW


@Федосеев ДFАFA. Пусть дана гладкая двумерная поверхность S , диффеоморная (a, b) Ч S 1 , снабженная римановой метрикой ds2 = dv 2 + f 2 (v )d2 (т.е. абстрактная поверхность вращения). Пусть функция f (v ) удовлетворяет тождеству f f - f 2 = - 2 , где > 0 рационально, т.е. f (v ) имеет один из следующих видов:
Теорема 4

f (v ) = fc (v - ) :=

+

c -



+ (v - v0 ), c = 0, sin( c(v - v0 )), c > 0, sh( -c(v - v0 )), c < 0, c

@PFIFIA

где с половина скалярной кривизны Римана этой поврехности; в данном случае кривизна постоянна; 2 полный угол в конической точке поверхности, постоянная v0 вещественная постоянная. Пусть, далее, функция f (v ) не имеет нулей на интервале (a,b). Тогда в классе центральных потенциалов на S существуют ровно два (с точностью до аддитивной и положительной мультипликативной констант) замыкающих потенциала V1 (v ), V2 (v ) с константами Бертрана 1 = , 2 = 2 (см. комментарий 2.1 ниже).
Константа > 0 называется константой БертранаD если любая неособая некруговая ограниченная орбита является графиком периодической функции v = v ()D минимальный положительный период которой равен 2 / F В этом случае орE бита зажата между двумя параллелями @апоE и перицентрамиAD частица осциллирует между ними и проходит путь между соседними апоцентром и перицентром за время / D тFеF за полупериодF
Комментарий 2.1.

Теорема 5

@Федосеев ДFАFA. Пусть дана гладкая двумерная поверхность S , диффеоморная (a, b) Ч S 1 , снабженная римановой метрикой ds2 = dv 2 + f 2 (v )d2 . Пусть функция f (v ) не удовлетворяет тождеству f f - f 2 = - 2 ни для какого рационального > 0, и пусть функция f (v ) не имеет критических точек на (a, b). Тогда существует не более одного замыкающего центрального потенциала (с точностью до аддитивной и положительной мультипликативной констант). При этом потенциал ровно один тогда и только тогда, когда существует гладкая функция = (v ) без нулей на (a, b), такая что (v ) > 0 и риманова метрика в координатах (, ) имеет вид

ds2 =

d2 d2 +22 , (2 + c - t-2 )2 ч ( + c - t-2 )

@PFIFPA

где ч положительная рациональная постоянная, t ненулевая постоянная, а c произвольная. Любой замыкающий потенциал имеет вид V (v ) = A-2 (v )+B для некоторых постоянных A, B , где A(4 (v ) + t) > 0. Этому замыкающему потенциалу соответствует константа Бертрана = 2/ч (см. комментарий 2.1 выше).
QH


@смF определение IFIFIIA Риманово PEмерное многообразие вращеE ния без экваторовD на котором существует центральный замыкающий потенциалD назовем поверхностью БертранаF Согласно теоремам R и SD это ! римановы PEмерные многообраE зияD описанные в теоремах R и SF
Определение 2.1.1.

Дадим ответ на следующий вопрос АFСF Мищенко В теоремах S и T утверждаетсяD что если риманова @псевдоримановаA метрика на некой двумерной поверхE 2 d ности вращения приводится к виду ds2 = (2 +cdt-2 )2 + ч2 (2 +c-t-2 ) D то на соответствующей - поверхности существуют замыкающие потенциалыD а каким образом можно проверитьD что метрика @индефинитная метрикаA приводится к указанному видуcF Без ограничения общности можно говорить о римановой метрике вращенияF Пусть задана произвольная метрика вращения f1 (u)2 du2 + f2 (u)2 d2 , где = mod 2 , f1 (u) > 0, f2 (u) > 0F ПерейE дем к натуральным координатам (v , ) с @смF QFIFIA помощью замены v = v (u) такойD что dv /du = f1 (u)F В координатах (v , ) метрика вращения имеет вид
Замечание 2.1.1.

ds2 = dv 2 + f (v )2 d2 ,
где f (v (u)) = f2 (u)F Перейдем к параметру = (v ) такомуD координатах (, ) метрика вращения имеет вид f 4 (v ())d2 такжеD что для любой метрики вращения f1 (u)2 du2 + f2 (u)2 d2 , с точностью до сдвига v (u) v (u) + v0 D где v0 E произвольная (v ) ! с точностью до сдвига (v ) (v ) - 0 ,

@PFIFQA что d/dv = 1/f 2 (v )F В + f 2 (v ())d2 F Заметим параметр v (u) определен постояннаяD а параметр @PFIFRA

где 0 E любая константаF Аналогичный параметр можно ввести и для метрики вращения @PFIFPA из теоремы S @тFеF для ds2 = d2 /(2 + c - t-2 )2 + d2 /(ч2 (2 + c - t-2 ))Dгде ч > 0 ! рациональE ная постояннаяD c, t ! вещественные постоянныеAF Для таких метрик имеем 1/f (v ()) = ч 2 + c - t-2 , поэтому - 0 = ч2 @PFIFSA для некоторой вещественной постоянной 0 F Из @PFIFRA и @PFIFSA нетрудно выводится равносильность следующих двух условийX @A метрика @PFIFQA некоторой заменой = (v ) приводится к виду @PFIFVA для некоторых констант 0 < ч QD c R, t R @тFеF к видуD указанному в теореме SAD @A функция F () := 1/f (v ()) является аналитической функцией @более тогоD квадратE ным корнем из рациональной функцииA вида

F () = ч

( - 0 )2 /ч4 + c - tч4 ( - 0 )

-2

@PFIFTA

для некоторых вещественных констант ч > 0, c, t, 0 . ОтметимD что из формулы @PFIFTA следуетD что функция F 2 () является либо многочленом степени P @при t = 0AD либо QI


рациональной функцией вида P (Q())/Q()D где P и Q ! многочлены степени PD Q есть квадрат линейной функции и P (0) = 0 @при t = 0AF Условие @A равносильно следующему условиюX @A функция F () := 1/f (v ()) аналитична и имеет вид @PFIFTAD где константы ч > 0, c, t, 0 однозначно выражаются через аналитическое продолжение функции F () слеE дующим образомX 1/ч = lim |F ()/|,


0 " это либо полюс функции F () в случаеD когда F 2 () не является многочленомD либо точка минимума функции F () в противном случаеD c = lim (F 2 ()/ч2 - ( - 0 )2 /ч4 ),


t = - lim ( - 0 )2 F 2 ()/ч6 .
0

В силу равносильности условий @A и @AD условие @A служит ответом на упомянутый выше вопрос АFСFМищенкоF
Замечание 2.1.2.

Если (a, b) Ч S 1 является поверхностью БертранаD то е? S 1 EподпоE верхностьD тFеF поверхность (c, d) Ч S 1 D где a c < t bD также является поверхностью БертранаF Соответственно назов?м поверхность Бертрана максимальнойD если она не является S 1 -подповерхностью никакой связной поверхности БертранаF Поверхности Бертрана определяются S параметрамиX c, t ! действиE тельные постоянные @t здесь это не время вдоль траекторийD а параметрD характеризуюE щий поверхностьAD ч ! рациональная положительная постояннаяD a, ^ ! действительные ^b ^ := lim (v )F Значению постоянныеD отвечающие границам поверхности S D a := lim (v ), b ^
Замечание 2.1.3.

параметра t = 0 соответствуют поверхности из теоремы RD метрика ds2 = dv 2 + f 2 (v )d2 d2 которых в бертрановских координатах (, ) @смF замF IFIFPA примет вид ds2 = (2 +c)2 + d2 F Значения параметров a, ^ c, t, ч не могут быть произвольнымиD они связаны друг ^ b, 22
ч ( + c)

v a

v b

с другом некоторыми ограничениямиF НапримерD если рассмотреть значения ч = 1, t = 0, c = -1D то интервал (a, ^) не может быть таким (0, )D тFкF при = 0.5D выражеE ^b ние 21 1 из метрики @PFIFPA будет отрицательнымD а значит нарушается положительная - определенностьF Интервал (a, ^) состоит из значенийD принимаемых переменной Y в свою ^b очередьD значенияD которые может принимать D определяются следующими условиямиX a2 () > 0, a22 () = 0D и для определ?нности @не ограничивая общностиA > 0F СледуE 22 ющий список перечисляет множества значенийD которые может принимать D при всех значениях параметров ч, c, tF IF В случае t = 0, c 0 @ч Q>0 A координата может принимать значения из интервала (0, )F

PF В случае t = 0, c < 0 @ч Q>0 A координата может принадлежать ( -c, )F
QP


QF Случай t > 0 @ч Q>0 AF Интервал изменения следующий (2 , )D где 2 =
-c+ c2 +4t 2

F
-c- c2 +4t 2 -c+ c2 +4t 2

RF Случай t < 0, c < 0, c2 + 4t > 0 @ч Q>0 AF Множество изменения состоит из двух интервалов (0, 1 ) и (2 , )D где 1 = D 2 = F

SF При оставшихся значениях параметров c, t, ч возможная область изменения соE стоит из следующих интервалов (0, 4 -t) и ( 4 -t, )F Таким образом ограничение на a, ^ c, t, ч формулируется такX при каждом фиксированE ^ b, ном значении тройки (c, t, ч) интервал (a, ^) должен быть подмножеством соответствуюE ^b щего допустимого множества @смF список выше или таблицу PFIAF Если интервал (a, ^) совпадает со всем допутимым множеством @в случаеD когда доE ^b пустимое множество состоит из двух интерваловD выбирается какойEнибудь один из нихAD то соответствующая поверхность Бертрана является максимальнойF Как показывает выE шепривед?нный списокD допустимые интервалы (a, ^) зависят от c, t и не зависят от чF ^b

В статье STD в которой сформулированы и доказаны теоремы QD RD S была поставE лена задача ! обобщить теорему Бертрана на поверхности вращения с индефинитной метрикойD тFеF описать все соответствующие двумерные поверхности вращения с индефиE нитной метрикойD допускающие наличие центральных гладких потенциаловD приводящих к замкнутым траекториямF Нужное обобщение дает теорема TF
Теорема 6.

Рассмотрим двумерную поверхность S (a, b) Ч S 1 с координатами (u, mod 2 ) и с псевдоримановой метрикой вращения (1.1.2) такой, что a22 (u) = 0 для любого u (a, b). Тогда 1. На тех поверхностях S , псевдориманова метрика которых некоторой заменой u = u(), = приводится к виду:

G=

1 (2 +c)2

0
ч2 1 ( 2 + c)

0

@PFIFUA

для некоторых вещественных постоянных c и ч, таких что ч Q>0 (см. зам. 2.1.4), существует ровно два с точностью до аддитивной и положительной мультипликативной констант гладких замыкающих потенциала V1 () = A|| + B A (A < 0), V2 () = 2 + B (A > 0), где A, B R. 2. На тех поверхностях S , псевдориманова метрика которых некоторой заменой u = u(), = приводится к виду:

G=

1 (2 +c-t

-2 )2

0
1 ч2 (2 +c-t
-2

0
QQ

@PFIFVA
)


для некоторых вещественных постоянных c, t, ч, таких что t = 0, ч Q>0 (см. зам. 2.1.4), существует ровно один с точностью до аддитивной и положительной A мультипликативной констант гладкий замыкающий потенциал V2 () = 2 + B , где A, B R, A(4 + t) > 0. 3. На остальных поверхностях S гладкого замыкающего потенциала не существует.
@смF определение IFIFIIA Псевдориманово PEмерное многообразие вращения без экваторовD на котором существует центральный замыкающий потенциалD назовем поверхностью БертранаF Согласно теореме TD это ! псевдоримановы PEмерные многообразияD описанные в теореме TF
Определение 2.1.2.

Поверхности Бертрана S с псевдоримановой метрикой вращения такE же определяются S параметрами c, t, ч, a, ^F Эти параметры как и в римановом случае не ^b могут принимать произвольные значенияD на них наложены ограничение вида (a, ^) ^b 2 ^) должен быть подмножеством ^ a22 () > 0D a22 () = 0D > 0F Таким образом интервал (a, b допустимого множества @смF таблицу PFIAD при этом если он совпадает с допустимым множеством @его связной компонентойD если их двеAD то соответствующая поверхность Бертрана называется максимальнойF
Замечание 2.1.4.

Таблица PFIX Возможные положительные значения F Значение (c, t) Допустимые значения в римановом случае Допустимые значения в псевдоримановом случае

c 0, t = 0 c < 0, t = 0 t>0 t < 0, c < 0, c2 + 4t > 0 t < 0, c > 0, c2 + 4t > 0 или c2 + 4t 0

(0, ) ( -c, ) (2 , ) (0, 1 ) или (2 , ) (0, 4 -t) или ( 4 -t, )

(0, -c) (0, 2 ) 4 (1 , -t) или ( 4 -t, 2 )

Замечание 2.1.5.

Потенциал V = A|| + B является аналогом потенциала гравитациE A онного взаимодействия НьютонаD а V = 2 + B аналогом пружинного взаимодействия ГукаF Как в римановом так и в псевдоримановом случаях поверхность Бертрана задается пятеркой параметров (c, t, ч, a, ^) R2 Ч Q>0 Ч R2 с некоторыми ограE ^b ничениямиD указанными в замечаниях PFIFQD PFIFRF Параметры c, t сильней всего влияют
Комментарий 2.2.

QR


на форму поверхностиD параметр чD как можно видеть из замечания PFIFQD уже слабее @о том как ч влияет на форму поверхности смF подробнее комментарий IFPAD а параметры a, ^ ^b показывают лишь какой кусок поверхности мы беремF Далее за исключением специально оговоренных случаев речь идет о максимальных поверхностях БертранаF НапримерD в римановом случае при ч = 1, t = 0, c = 1 имеем проколотую полусферуD при ч = 1, t = 0, c = 0 имеем проколотую плоскостьD при ч = 1, t = 0, c < 0 имеем проколотую плоскость Лобачевского STF Для семейства поверхностей Бертрана S с псевдоримановой метрикой нарисуем плосE кость изменения параметров c, t и опишем максимальные поверхностиD соответствуюE щие различным значениям этих параметров @параметры же ч, a, ^ менее существенно ^b 2 влияют на форму поверхностиAF Для удобства на плоскости R с координатами (c, t) выделим несколько множествX l1 := {(c, t) : t = 0, c < 0}D 1 := {(c, t) : t > 0}D 2 := {(c, t) : c < 0, t < 0, c2 + 4t > 0} @смF рисF PFIAF При значении параметров (c, t) из области l1 на соответствующей максимальной поE верхности S существует согласно теореме T два замыкающих потенциала V1 = A + B D где A отрицательнаяD B ! произвольнаяY V2 = A-2 + B D где A положительнаяD B ! проE извольная константыF Граничная параллель = 0 согласно определению IFIFP является экваторомD параллель = -c абсолютомF При значении параметров (c, t) из области 1 на соответствующей максимальной поE верхности существует только один тип замыкающего потенциала V = A-2 +B D где A > 0F Граничная параллель = 0 согласно определению IFIFP является полюсомD а параллель = 2 ! абсолютомF В случае (c, t) 2 имеем две областиD в которых может варьироваться X (1 , 4 -t) и 2 2 ( 4 -t, 2 )D где 1 = -c- 2c +4t D 2 = -c+ 2c +4t D что соответствует двум максимальным A поверхностямF Здесь существует только один замыкающий потенциал 2 + B D где A(4 + t) > 0F Граничные параллель = 4 -t является экваторомD параллели = 1 и = 2 являются абсолютамиF Две максимальные поверхности S1 (1 , 4 -t) Ч S 1 и S2 ( 4 -t, 2 ) Ч S 1 можно гладко склеить по экваторуD тFеF добавить одну параллель = 4 -t и получить объедиE нение S12 S1 ({ 4 -t} Ч S 1 ) S2 (1 , 2 ) Ч S 1 D которое можно рассматривать как гладкое многообразие вращенияF Поверхность S12 является поверхностью с одним экваE торомD а потому не является поверхностью Бертрана @смF определение PFIFPAD хотя любая ее связная S 1 Eподповерхность @тFеF являющаяся объединением параллелей исходнойAD не содержащая экваторD уже является поверхностью БертранаF При других значениях параметров (c, t) поверхности Бертрана с метрикой @PFIFVA не существуетD что существенно отличает риманов и псевдориманов случаиF В римановом случае при любых значениях параметров (c, t) существовали соответствующие поверхноE сти Бертрана @смF рисунок PFPAF

QS


t

1
l1

1

C

2

РисF PFIX Плоскость параметров c, t и е? разбиение на зоны l1 , 1 , 2 D отвечающие различE ным типам поверхностей Бертрана с псевдоримановой метрикойF

На рисунке PFP выделены следующие зоныX точка (0, 0)D луч l1 = {(c, t) : c > 0, t = 0}D луч l2 = {(c, t) : c < 0, t = 0}D кривая l3 = {(c, t) : c < 0, c2 + 4t = 0}D область 1 = {(c, t) : t > 0}D область 2 = {(c, t) : c2 + 4t > 0, c < 0, t < 0}D область 3 = {(c, t) : c2 + 4t < 0} {(c, t) : c2 + 4t 0, t < 0, c > 0}F В римановом случае есть нулевой пример ! это плоскость D которая определяется значеE ниями параметров c = t = 0D ч = 1D a = 0, ^ = D на ней существует потенциал Ньютона ^ b и потенциал ГукаD приводящие к замкнутым траекториямD движение под действием коE торых изучено лучше всего @смF подробнее после определения IFIFIIAF
t

1

l2

l1

c

2

3

l3

РисF PFPX Плоскость параметров c, t и е? разбиение на зоны l1 , l2 , l3 , 1 , 2 , 3 D отвечающие различным типам поверхностей Бертрана с римановой метрикойF

Как уже отмечалось в начале раздела теорему T можно вывести из теоремы QF В самом деле нужно вернуться к уравнениям орбит @IFIFWA в бертрановских коE
Замечание 2.1.6.

QT


1 ординатах @они параметризованы кинетическим моментом K AX = - K 2 V () - 2aK () F 2 22 Эти уравнения являются обобщенным семейством уравнений Бертрана @IFPFIAD где за z ()

2

берется ()D за (z ) берется -

берется -V ()D соответственно за W (z ) берется -V ()X z + (z ) = (z )F Заметим a22 такжеD что в виду тогоD что a22 () = 0 и = a3 D получаемD что (z ) не имеет нулейF ЗнаE 22 читD выполняются условия теоремы Q иD применяя ееD получаем для системы @IFPFIA все пары функций ((z ), (z ))D таких что функция (z ) является EзамыкающейF ВозвращаE ясь теперь к D a22 ()D V () получаем описание всех замыкающих потенциалов V () для каждой поверхности S с псевдоримановой метрикой ds2 = ч4 a4 ()d2 - a2 ()d2 F ОднаE 22 22 ко далее будет дано более геометрическое доказательство теоремы TD которое повторяет многие этапы доказательства теоремы QD но также имеет и отличияF Стоит отметитьD что замкнутость орбит () означает соизмеримость их минимальE ных периодов с D что является частным случаем попарной соизмеримости периодов некруговых орбитF На самом деле из теоремы Q можно вывести более сильное утверждеE ниеD описывающее все поверхности вращения без экваторовD допускающие наличие потенE циаловD приводящих к орбитамD являющимся графиками постоянных или периодических функций () с попарно соизмеримыми @и в действительности равнымиA минимальными положительными периодамиF
1 K2

1 2a2 () 22

=


a22 () a3 () 22

D соответственно за R(z ) =

1 a2 () 22

D за (z )

2.2

Свойства орбит и эффективного потенциала

Пусть происходит движение по поверхности S (a, b) Ч S 1 с индефинитной метрикой @IFIFPA под действием центрального гладкого потенциала V (u) и u() ! орбита с кинетичеE ским моментом K F Эффективный потенциал определяет внешний вид орбит и помогает в доказательстве многих их свойствF
Определение 2.2.1.

Для движения с кинетическим моментом K определим границы орбиты u1 := inf u(R ) ! перицентрD u2 := sup u(R1 ) ! апоцентрD а также эффективный 2 2 потенциал W (u) = V (u) - 2aK (u) F @в римановом случае V (u) + 2aK (u) A 2 2
1
22 22

Особое значение при изучении орбит в центральном поле имеют круговые орбитыF Следующее утверждение да?т критерий тогоD что орбита u = u0 @параллельA будет круE говой для данного потенциала V (u)F А именно справедливо

Параллель {u0 } Ч S 1 является круговой орбитой при некотором K (т.е. u = u0 решение уравнения (1.1.7)) тогда и только тогда, когда sgn V (u0 ) = -sgn a22 (u0 ).
Предложение 2.1.

Для круговой орбиты u = 0, u = 0D согласно @IFIFUA это влеE ч?т -K 2 a22 (u0 ) = V (u0 )a3 (u0 )F УчитываяD что всюду a22 > 0 и K 2 > 0D получаем 22 требуемое совпадение знаковF Обратно при sgn a22 (u0 ) = -sgn V (u0 ) рассмотрим K =
Доказательство.

QU


- КF

V (u0 )a3 (u0 ) 22 a22 (u0 )

F Тогда u = u0 = const ! будет решением уравнения (1.1.7) при выбранном

Условие со знаками можно переписать в терминах эффективного поE тенциалаF Параллель u = u0 является круговой орбитой с кинетическим моментом K тогда и только тогда когда u0 ! критическая точка эффективного потенциала W (u) = 2 V (u)- 2aK (u) F Это верноD тFкF точка u0 критическая для W (u) W (u0 ) = 0D тFеF -K 2 a22 (u0 ) = 2 22 V (u0 )a3 (u0 )D далее повторяются рассуждения доказательства предложения PFIF 22
Замечание 2.2.1.

Используя предложение PFI легко показатьD что при отсутствии круговой орбиты не будет ни одной замкнутойD даже ограниченной орбитыF Более точноD если существует ограниченная орбита с кинетическим моментом K D тогда существует и круговая орбита с тем же кинетическим моментомF Орбиты при движении в центральном поле в пространстве R3 обладают осью симE метрии @если они ограниченыAF Похожим свойством обладают орбиты и на поверхностях вращенияF
Предложение 2.2.

Пусть u = u() орбита (решение уравнения 1.1.7) с критической точкой (0 , u(0 )), т.е. u (0 ) = 0. Тогда график функции u() на плоскости R2 с декартовыми координатами (u, ) симметричен относительно прямой = 0 .
Доказательство.

Доказательство провед?м в бертрановских координатах @, A ~ @смF замF IFIFPAF Симметрия означает () = () := (0 - ( - 0 ))F Прямая подстановка ~ показываетD что функция () удовлетворяет уравнению @IFIFWA орбиты = -W ()D где ~ W ! эффективный потенциалF А поскольку начальные условия совпадают (0 ) = (0 ) ~ ~ и (0 ) = (0 ), то решения () и () совпадаютF Отсюда следуетD что критические точки являются локальными экстремумамиD более того они являются также глобальными экстремумамиD тFе у функции u = u() вообще нет локальных максимумов и минимумов и седловых точекF Интегралы движения E , K тесно связаны с максимально и минимально удал?нными от притягивающего центра точками @периE и апоцентрыA орбиты u()F
Предложение 2.3.

Пусть a < a < b < b. Тогда

(a) Если существует ограниченное решение u() уравнения (1.1.7) с энергией E, кинетическим моментом K, перицентром a , апоцентром b . То u0 (a , b ) W (u0 ) < Eи W (a ) = W (b ) = E . @PFPFIA (b) Верно обратное. Пусть для некоторого K выполнено V (a ) -
K
2

= E , а также u0 (a , b ) W (u0 ) < E . Тогда существует ограниченное решение u() уравнения (1.1.7) с энергией Е, кинетическим моментом K, перицентром a и апоцентром b .
2a2 (b ) 22

K2 2a2 (a ) 22

= V (b ) -

QV


(c) Если задано решение u() уравнения (1.1.7) с перицентром a , апоцентром b , энергией E и u0 {a , b }. Тогда u0 u(R1 ) W (u0 ) = 0.
Эффективный потенциал на протяжении всей орбиты не превосходит энергииD и сравE нивается с ней только в крайних точках @периE и апоцентрахAF Перицентр @апоцентрA a достигается тогда и только тогдаD когда производная эффективного потенциала в н?м не нольF a2 (u) 2 11 Доказательство. (a) Согласно @1.1.8A E = W (u) + 2a4 (u) K 2 u D отсюда @в силу 22 положительности второго слагаемогоA следует W (u)|[a ,b ] E F Пусть достигается апоE центр b при = 2 F Тогда в силу его максимальности u (2 ) = 0D отсюда в силу (1.1.8) E = W (b ) + 0F Пусть теперь апоцентр b не достигаетсяD тFеF u() стремится к b с ростом D причем это стремление монтонное в силу предложения 2.2F Тогда u 0 W E @1.1.8AD а в силу гладкости W (u) W (b )D имеем в пределе W (b ) = E F (b) Рассмотрим произвольное u1 (a , b )D тогда по теореме о существовании и единE ственности решения ОДУ существует решение u() уравнения @IFIFVA с нFуF u(0) = u1 D это решение будет с энергией E F Далее это решение можно продолжить на весь интервал (a , b )F (c) Если перицентр b достигается в некотором 0 D то для такой орбиты u(0 ) = b и u (0 ) = 0D заметимD что если W (b ) = 0D то u = b ! постоянное решение уравнения @IFIFUAD а это противоречит теореме о единственности решенияD тFкF через (0 , b ) проходят исходное и постоянное решенияF Если же перицентр b не достигаетсяD то при стремлении u к b верноD что u , u стремятся к нулюD следовательно из уравнения (1.1.7) производная W (u) 0 при u b D а значит и равна HF

Wu

u1

u2 u

E

РисF PFQX Эффективный потенциал орбиE тыD являющейся графиком периодической функции u()F РисF PFRX ОрбитаD являющаяся графиком пеE риодической функции u()F

QW


Wu

u1

u2 u

E

РисF PFSX Эффективный потенциал орбиE тыD являющейся графиком непериодичеE ской функции u()F

РисF PFTX ОрбитаD являющаяся графиком непериодической функции u()F

Для произвольной обиты с перицентром u1 и апоцентром u2 @энергией E A эффекE тивный потенциал W (u) на отрезке (u1 , u2 ) имеет вид ямы W (u) < E F Предложение PFQ утверждаетD что в случаеD когда график W (u) пересекает уровень E в точках u1 , u2 трансверсально @W (u1 ) = 0D W (u2 ) = 0AD то орбита достигает параллели u = u1 , u = u2 и является графиком периодической функции u()D колеблется между двумя указанными параллелямиF На рисF PFQ график эффективного потенциала для орбитыD являющейся графиком периодической функции u()D а на рисF PFR общий вид орбитыD являющейся графиком периодической функции u()F На рисF PFS представлен график W (u)D который пересекает уровень E в точке u1 трансверсальноD а в точке u2 касается уровня E F СоотE ветствующая орбита изображена на рисF PFTD она достигает своего минимума u1 D но не достигает u2 бесконечно приближаясь к немуF Потенциальная яма @график W (u)AD даже в случае замкнутой орбитыD может иметь мноE жество особенностейD в тFчF несколько локальных минимумовD плоские участки и дрF ОкаE зываетсяD что в случае замыкающего потенциала V (u) яма имеет только очень специальE ный вид ! у не? множество глобальных минимумов образовано точкойF В следующем утверждении свойство замыкаемости ослаблено до периодичности @без требования поE парной соизмеримости периодовAD поэтому вместо одноточечного множества локальных минимумов в формулировке фигурирует отрезок [c1 , c2 ]F
Предложение 2.4.

Пусть при некоторых К и Е на (a , b ) (a, b) функция W (u) = V (u) - строго меньше E и W (a ) = W (b ) = E . Пусть E0 = min W . Тогда следу[a ,b ] ющие условия эквивалентны
K2 2a2 (u) 22

RH


1. Любая орбита, с уровнем энергии E (E0 , E ], кинетическим моментом K и начальным условием u(0) (a , b ) будет являться графиком периодической функции u(). 2. Существует [c1 , c2 ] : W |[
Доказательство.
a ,c1 )

< 0, W |[

c1 ,c2 ]

= 0, W |(c

2

,b ]

> 0.

2 1F Уровень E пересекает график W (u) в двух точках (u1 , E )D (u2 , E )F По предложению 2.3 существует ограниченное решение с перицентром u1 и апоE центром u2 D причем оба они достигаются @тFкF W (u1 ) < 0D W (u2 ) > 0 A ! это решение и будет нашей орбитой с энергией E F Периодичность следует из предложения 2.2F 1 2F Если функция W (u) не имеет видD указанный в условииD то существуют u1 , u2 [a , b ] такиеD что E := W (u1 ) = W (u2 ) < E , W |(u1 ,u2 ) < E D и без ограничения общности W (u1 ) = 0F Тогда по предложению 2.3 существует орбита с энергией E D перицентром u2 и недостижимым апоцентром u1 D более того она не будет являться графиком периодической функции u()F ПротиворечиеF
Если усилить первый пунктD потребовав не периодичность функцийD графиками которых являются орбитыD а замкнутость орбит @или хотя бы попарную соизE меримость периодов указанных непостоянных функцийAD то у эффективного потенциала не будет днаD а будет невырожденный глобальный минимумD тFеF u0 : W |[a ,u0 ) < 0D W (u0 ) = 0D W (u0 ) = 0D W |(u0 ,b ] > 0F ОбратноеD вообще говоряD неверноF Для тогоD чтобы убедиться в этом перейд?м к бертрановским координатам @замечание IFIFPAF В самом делеD пусть W имеет дноD тFеF отрезок [c1 , c2 ] как в пункте P предложения PFRF Рассмотрим уровень энергии E (E0 , E ) и орбиту { = ()} с такой энергией и таким эффективным потенциаломF Тогда она замкнута и полупериод функции () соизмерим с D тFеF
Замечание 2.2.2.



2

K d 2(E - W ())
1

= ч ,

@PFPFPA а также a22 = 0 левая )F А правая часть проE возможно толькоD если интеграл распадается в

где ч ! рациональная положительная константаF В силу @IFIFVAD часть непрерывно зависит от 1 , 2 когда 1 (a , 0 ), 2 (0 , b бегает дискретное множество значений из множества QD такое левая и правая части постоянныF С другой стороны написанный сумму трех
c
1

c

2



2

K d 2(E - W )

1

+
c
1

K d 2(E - W )

+
c
2 2

K d 2(E - W )
-c1 )K 2(E -E0 )

. = E0 F При

( Крайние два положительныF А центральный равен c

D тFкF W |[

c1 ,c2 ]

стремлении E к E0 центральный интеграл @а значит и вся суммаA стремится к D что противоречит постоянству полупериодаF

RI


Невырожденность минимума 0 доказывается аналогичноD а именно справедлива оценE ка
2 0

K d 2(E - W ())

1



1

K d 2(E - W ())

,

где 0 [1 , 2 ]F Далее в силу предложения PFQ E = W (1 ) = W (2 )D а значит интеграл оценивается
0

K 2 max 2(E - W ())

1

K d

K = 2 W (1 ) - W ()

0 - 1

0 - 1 W (1 ) - W (0 )

.

Последнее равенство выполнено в силу тогоD что 0 ! минимум W ()F А в силу тогоD что 2 W (1 ) - W (0 ) = W (0 )(1 - 0 ) + W (0 ) (1 -0 ) + o((1 - 0 )2 ) и W (0 ) = W (0 ) = 0 2! K получаетсяD что последняя дробь есть отношение функции 2 (0 - 1 ) к функции o(0 - 1 )D и оно стремится к D когда 1 0 D что противоречит @PFPFPAF Свойство доказаноF Сформулируем теперь самое сильное свойство замыкающего потенциалаD которое буE дет использоваться при обобщении теоремы Бертрана на поверхности вращенияF

Пусть V () ров (всюду a22 = 0) с замкнутой ~ пери- и апоцентры орбиты (). с перицентром 1 и апоцентром
Предложение 2.5.

замыкающий потенциал на S (a, b)ЧS 1 без эквато~ некруговой орбитой (). Пусть a , b соответственно Тогда 1 < 2 [a , b ] существует замкнутая орбита 2 .

Доказательство.

Если бы такое решение существовалоD то в силу @IFIFIHA

V (1 ) -

K2 K2 = V (2 ) - 2 = E. 2a2 (1 ) 2a22 (2 ) 22

@PFPFQA

Отсюда находим @решая как систему уравнений относительно E и K AD что кинетичеE ский момент и энергия у @не обязательно замкнутой3A орбиты { = ()}D где () " периодическая функцияD высчитываются через пери и апоцентры такX

K2 = 2

V (2 ) - V (1 ) V (2 ) - V (1 ) =2 , 1 1 R(1 ) - R(2 ) - a2 (1 ) a2 (2 )
22 22

@PFPFRA @PFPFSA

V (1 )R(2 ) - V (2 )R(1 ) V (1 )a2 (1 ) - V (2 )a2 (2 ) 22 22 E= = , 2 2 a22 (1 ) - a22 (2 ) R(2 ) - R(1 )

где функция R() := - a2 1() введена для удобства вычисленийF 22 ЗначитD наша орбита @если она существуетA должна быть именно с такими E D K F Рассмотрим уравнение @IFIFUA с указанными E и K и начальным условием (0) = 1 F Проверим корректность построенного решенияD тFеF что оно действительно существует и флуктуирует между 1 и 2 F Если бы эффективный потенциал искомого решения W () = 2 V () + K R() имел бы вид ямыD тFеF W (1 ) = W (2 ) = E , W () < E (1 , 2 )D то 2 RP


согласно предложению PFQ существовала бы требуемая орбитаF В краях 1 , 2 сложностей никаких нетD тFкF по построению @в силу @PFPFRAD @PFPFSAA выполнено W (1 ) = E = W (2 )F K2 R Первая сложностьF Может оказатьсяD что эффективный потенциал W = V + 2 будет всюду превосходить E D тFеF W |(1 ,2 ) > E F Тогда согласно предложению PFQ решение вообще не существует в (1 , 2 )F Покажем от противногоD что такого быть не можетF ~ ~~ Обозначим за E и K ! энергию и кинетический момент орбиты ()F График эффективE ~ ~ ного потенциала W () для исходной орбиты () состоит из убывающей [a , c] и возрасE тающей [c, b ] частейD раздел?нных глобальным невырожденным минимумом = cF Это вынуждает нас рассматривать случаиF Случай первыйX 1 в убывающей частиD а 2 в возрастающейF Тогда для эффективного ~ ~ ~ потенциала исходной орбиты выполнено W (1 ) 0, W (2 ) > 0 @одно из неравенств ~2 обязательно строгоеD тFкF W обращается в ноль только в точке cAD тFеF V (1 ) + K R (1 ) 2 ~2 0, V (2 ) + K R (2 ) > 0F А тFкF эффективный потенциал новой орбиты W |(1 ,2 ) > E D то 2 2 2 W (1 ) 0D W (2 ) 0D что означает V (1 ) + K R (1 ) 0, V (2 ) + K R (2 ) 0F Отсюда 2 2 получается противоречие K 2 K 2 > K 2 F Случай второйX без ограничения общности 1 , 2 в зоне убыванияF Функция R монотонE ~ наяD тFкF a22 = 0 R = 0F Значит функция (K 2 - K 2 )R() тоже монотоннаяF Установим характер монотонностиF В силу @PFPFQA

V (1 ) +

K2 K2 R(1 ) = V (2 ) + R(2 ). 2 2

@PFPFTA

~ В то же время 1 , 2 в зоне убывания эффективного потенциала W исходной орбитыD ~ ~ значит W (1 ) > W (2 )F Что да?т V (1 ) +
Совмещая @PFPFTAD @PFPFUA получим

~ ~ K2 K2 R(1 ) > V (2 ) + R(2 ). 2 2

@PFPFUA

R(1 ) ~ 2 R(2 ) ~ 2 (K - K 2 ) > (K - K 2 ). 2 2 ~ ~ Что с уч?том монотонности (K 2 - K 2 )R() да?т намD что (K 2 - K 2 )R() строго возрастаетF Далее в силу тогоD что W (1 ) = W (2 ) = E D W |(1 ,2 ) > E можно заключитьD что у графика эффективного потенциала W существует глобальный максимумD тFеF 0 ~ ~ ~ (1 , 2 ) : W (0 ) = 0 и правее W убываетF Из тогоD что W (0 ) < W (a ) = W (b ) заключаем V (0 ) + ~ ~ K2 K2 R(0 ) < V (b ) + R(b ). 2 2
@PFPFVA

~ ~ Что с уч?том монотонности RX R(b )(K 2 - K 2 ) > R(0 )(K 2 - K 2 ) да?т V (0 ) + K2 K2 R(0 ) > V (b ) + R(b ). 2 2
RQ @PFPFWA


Таким образом в точке b эффективный потенциал W большеD чем в точке 0 F Значит существует точка 3 X 3 > 0 D W (0 ) = W (3 ) = E0 D (0 , 3 ) W () < E0 F Согласно предложению PFQ существует орбита с перицентром 0 D апоцентром 3 D энергией E0 и кинетическим моментом K F Но W (0 ) = 0D значит она не достигает своего апоцентраD что противоречит замкнутости всех ограниченных орбитF Вторая сложностьF Может оказатьсяD что W |( , ) E D прич?м в некоторых точках 12 W достигает E D но не во всехF Тогда между двумя соседними такими точкамиD или между такой точкой 0 и одним из кра?в @без ограничения общности 2 A потенциал имеет вид ямыD тFеF W (0 ) = W (2 ) = E D (0 , 2 ) W () < E F По предложению PFQ существует орбита между 0 и 2 F Но тFкF W (0 ) = 0D то орбита не достигает значения 0 D значит незамкнутаD что противоречит замкнутости всех ограниченных орбитF Третья сложностьF СлучаиD когда W E на [1 , 2 ] и есть точка 0 такаяD что W (0 ) > E разбирается аналогично первой сложностиF Последняя сложностьF Может оказатьсяD что эффективный потенциал всюду на [1 , 2 ] постояненD тFеF W |[1 ,2 ] constF ДокажемD что такого быть не можетF СлучайD когда потенциал W E на (1 , 2 )D при этом не постоянен и не всюду больше E D разбирается аналогично первой сложностиF ~ В силу тогоD что W имеет зоны убывания [a , c] и возрастания [c, b ] нужно рассмотреть два случаяF Случай первыйX 1 лежит в зоне убыванияD а 2 лежит в зоне возрастанияF Тогда 2 ~2 ~ c [1 , 2 ] и W (c) = 0 как и W (c) = 0Y что означает V (c) + K R (c) = 0 = V (c) + K R (c)F 2 2 ~ ~ ~ Отсюда следуетD что K = K и W = W F Но у W нет отрезков постоянстваF Случай второйX без ограничения общности 1 , 2 лежат в зоне убыванияF Если W = 2 const на [1 , 2 ]D то W 0 на [1 , 2 ]D что означает V + K R = 0F Отсюда следует 2

~ W
[1 ,2 ]

=V +

~ ~ K2 K2 K2 R~ R =- R+ R = (K 2 - K 2 ). 2 2 2 2

@PFPFIHA

Построим последовательность орбитD у которых полупериод неоганиченно возрастаетF Пусть [1 , 22 ] ! максимальный из отрезков вида [1 , x]D на которых W constF Очевидно ~ ~ ~ ~ ~ x < cD тFкF иначе W (c) = 0 = W (c) K = K W = W D а W (c) < W (1 )F РассмотE рим последовательность {xi } (22 , c)D монотонно стремящихся к 2 F Для каждого xi рассмотрим эффективный потенциал Wi D соответствующий орбитам i с перицентром 1 D апоцентром xi и кинетическим моментом Ki @это можно сделать в виду @PFPFSAD @PFPFRAAF ВерноD что Wi |[1 ,xi ] constD тFкF иначе Wi (1 ) = W (1 ) Ki = K Wi = W на (a , b ) W постоянен на [1 , xi ]D что противоречит условию xi > 22 F Со всеми остальE ными сложностями мы умеем боротьсяD поэтому Wi имеет вид потенциальной ямы иD в силу замыкаемости V D Wi убывает на [1 , ci ]D возрастает на [ci , xi ]D где ci ! единственный невырожденный минимум Wi на [1 , xi ]F Ни один минимум ci не может попасть в отрезок [1 , 22 ]D тFкF иначе Wi (ci ) = 0 = W (ci )D откуда следует равенство Wi и W D что как мы уже виделиD невозможноF Полупериод RR


орбиты i можно оценить так
c
i



22

0.5i =
1


22

Ki d 2 Wi (1 ) - Wi () Ki d



1



Ki d 2 Wi (1 ) - Wi () Ki (22 - 1 )





1



2 Wi (1 ) - Wi (22 )

=

2 Wi (1 ) - Wi (22 )

.

@PFPFIIA

Оценка следует из тогоD что [1 , 22 ] промежуток убывания каждой из функций Wi F ТеE перь видноD что когда xi 22 числитель стремится к K (22 - 1 )D а знаменатель к 2 W (1 ) - W (22 ) = 0F ТFеF полупериод неограниченно возрастаетD а должен быть раE вен ч согласно рассуждениямD аналогичным замечанию PFPFPF Установив необходимые связи между свойствами эффективного потенциала W () и свойствами орбит ()D а также одно свойство замыкающего потенциала V () @предлоE жение PFSAD докажем теорему TF Доказательство теоремы 6F Нужно доказать необходимостьD тFеF поверхности с бертрановскими потенциалами могут иметь только указанную в теореме метрикуD а сами потенциалы могут быть только такимиD как указано в теоремеF А также нужно выполнить проверкуD что если поверхность имеет указанную метрику и на ней действует указанный потенциалD то все ограниченные орбиты будут замкнуты и будет существовать некруговая ограниченная орбитаF Необходимость. Провед?м доказательство в бертрановских координатах @смF замеE чание IFIFPAF Пусть на поверхности задан замыкающий потенциал V ()F Тогда существует замкнутая орбита с перицентром a и апоцентром b F Мы знаем @предложение 2.5AD что между любыми двумя параллелями 1 , 2 из (a , b ) можно выбрать замкнутую орбитуD которая будет флуктуировать между нимиF Поскольку любая орбита должна быть заE мкнутойD то е? период T должен быть соизмерим 2 F Запишем это условиеX

2

T =2
1

d
2 K2

(E - V ()) +

1 a2 () 22

= 2 ч,

ч Q.

@PFPFIPA

В силу тогоD что левая часть изменяется непрерывно при изменении 1 , 2 D а правая дисE кретно по множеству Q следуетD что ч = constF Выберем точку x = 1 +2 и будем устремE 2 лять 1 D 2 к xF Введ?м обозначения R() = - a2 1() , 1 = x - h, 2 = x + h, = x + htD где 22 t бегает по отрезку [-1, 1]D а h 0F Имеем

V (1 ) = V (x - h) = V (x) - V (x)h + V (2 ) = V (x + h) = V (x) + V (x)h +

V (x) 2 V (x) 3 V iv (x) 4 V v (x) 5 h- h+ h- h + o(h5 ), 2 6 24 5! V (x) 2 V (x) 3 V iv (x) 4 V v (x) 5 h+ h+ h+ h + o(h5 ), 2 6 24 5!
RS


R ( x) 2 R h- 2 R ( x) 2 R R(2 ) = R(x + h) = R(x) + R (x)h + h+ 2 Разложим подынтегральное выражение в ряд гаемыхA Тейлора и проинтегрируемF Заметим d равенX R(1 ) = R(x - h) = R(x) - R (x)h +

2

(x) 3 h+ 6 ( x) 3 h+ 6 @точнее в = d(x +

Riv (x) 4 Rv (x) 5 h- h + o(h5 ), 24 5! Riv (x) 4 Rv (x) 5 h+ h + o(h5 ). 24 5! сумму конечного числа слаE ht) = hdtF Итак полупериод

1

= V (2 )R(1 ) - V (1 )R(2 ) + V ()R(2 ) - V ()R(1 ) + R()V (2 ) - R()V (1 ) x+h V h h 1 + 12V ((x)) h2 + o(h3 ) d(x + ht) x 2V (x) = @PFPFIQA V (x)R (x) - R (x)V (x) h h 1 - t 2 F 1 ( x)
x- h

V (2 ) - V (1 )d

Где

F1 (x) = 1 + ht

RV -V R + h2 3(V R - R V )

R V -R V V iv R - V Riv + (1 + t2 ) + o(h2 ) 6(V R - R V ) 12(V R - R V )

Дальнейшие преобразования приводят нас кX
1 1

T = 2 +

2V V R -R V h2 12

dt 2V RV -V R tdt -h + V R - R V 6(V R - V R ) 1 - t2 1 - t2 -1 -1 1 2V V - V V iv R - V Riv V dt - - + V R -R V V R -R V 2(V R - R V ) 1 - t2 V -1 1 2 iv iv 2 1 (R V - V R ) V R -V R t dt - + o(h2 ) @PFPFIRA + 2 2 2 (V R - R V ) V R -R V 1-t
-1 1 -1 dt 1-t2

С учетом

T 2

= ч D а также

= заключаемD что 2V . V R -R V
1 -1 tdt 1-t2

ч=
Далее второе слагаемое равно HD тFкF

@PFPFISA

= 0F
1 -1 t2 dt 1-t2

Приравниваем третье слагаемое к нулю с учетом

= X 2

V R V -R V - V V R -R V

-

V iv R - V Riv (R V - V R )2 V iv R - V Riv + - = 0. @PFPFITA 2(V R - R V ) 4(V R - R V )2 4(V R - R V )
RT


Из последнего уравнения можно получить необходимое условие на замыкающий потенE V циалD если избавиться от R , R , R , Riv F Для этого перепишем (2.2.15) в виде 2ч2 = V V R - R V F Продифференцируем два раза 2ч2 = V R - R V D 2V2 = V iv R - Riv V + ч V R - R V F Подставим из трех полученных соотношений Riv , R , R в @2.2.16AD придем к 3V V = 4V 2 . @PFPFIUA Отсюда находится V () =
c1 (+c2 )
2

+ c3 или V () = c1 + c2 F Где c1 , c2 , c3 ! константы
2

интегрированияF А зная V с помощью уравнения @2.2.15A находится R() = (+c2 ) + c4 + ч2 -2 c5 ( + c2 ) D где c2 , c4 , c5 ! действительные константыF Проверка. ПроверимD что найденные потенциалы замыкающиеF Для этого решим уравнение (1.1.8)D посчитав функцию ()F 1 0 (2 +c)2 и потенциала V = A + B имеемX Для поверхности G = 1 0 ч2 (2 +c)

=

A 2K ч

2

-1 +

1+
1 (2 +c)2

2(E - B )ч2 K 2 ч4 K 4 + - c 2 sin 2 A A ч 0
1 ч2 (2 +c)

0

.

@PFPFIVA

Для поверхности G =

0

и потенциала V =
2

A 2

+ B имеемX

2 =

c E-B -+ 2K 2 ч 2
1 (2 +c-t
-2 )2

c E-B - 2K 2 ч 2 0
1 ч2 (2 +c-t 2
-2

-

2( + 0 ) 2A sin . 2K 2 ч ч
A 2

@PFPFIWA

Для поверхности G =

0

и потенциала V =
)

+ B имеемX

E-B c = 2 2- + чK 2
2

E-B c - 2K 2 ч 2

+t-

2( + 0 ) 2A sin . 2K 2 ч ч

@PFPFPHA

ВидноD что во всех тр?х случаях ограниченные орбиты { = ()} будут замкнутыF На примере последнего случая поясним подробнее как был получен явный вид орбиты @PFPFPHAF A Согласно @IFIFVA для a2 () = ч2 (2 +1-t-2 ) и V () = 2 X 22 c

E=

a2 () 2 2 K2 ч4 K 2 2 K 2 ч2 2 A 11 K + 2 + V () = + ( + c - t-2 ) + 2 + B . @PFPFPIA 4 2a22 () 2a22 () 2 2

Выражение тривиально преобразуетсяX

ч2 2 =

t-

2A ч2 K

2



-2

+

2E - 2B - c - 2 . ч2 K 2

RU


Интегрируем по полупериоду

чd t-
2A ч2 K
2

=
2E -2B ч2 K 2

d.



-2

+

-c -

2

После умножения числителя и знаменателя подынтегральной дроби на 2 получим

d 2 t-
2A ч2 K
2

2

= - c 2 -
4

+

2E -2B ч2 K 2

+ 0 . ч

Дальнейшие преобразование приводят кX

d 2 - ( t-
ч2 2A K
2

E -B ч2 K 2 c 2 2

c - 2)

+

E -B ч2 K 2

-

- 2 - (

E -B ч2 K 2

c - 2)

2

=2

+ 0 . ч

Интегрируем и получаем требуемоеX rsin

2 - ( t-
ч2 2A K
2

E -B ч2 K 2

c - 2) E -B ч2 K 2

+

-

c 2

2

=2

+ 0 . ч

Доказательство привело нас не к псевдоримановой метрике как в формулировке теоремы @PFIFVAD а к псевдоримановой метрике
Замечание 2.2.3.

ds2 =

d
(+c2 )2 ч2

2

+ c5 ( + c

2

)-2

2

+

d
(+c2 )2 ч2

2

+c

4

+ c5 ( + c2 )-2 + c

.
4

c ~ Нужная метрика получается после замены + c2 = ч, t = - ч5 , c = c4 F 2

2.3

Геометрия поверхностей Бертрана

Геометрия поверхностей Бертрана с римановой метрикой S и псевдоримановой метрикой S существенно зависит от трех параметров (c, t, ч) R2 Ч Q>0 F Когда параметр t раE вен нулюD мы имеем @согласно теоремам RD TA поверхности с двумя типами замыкающих потенциалов ! аналог гравитационного V1 () = A|| + B @A < 0A и аналог осциляторE A ного V2 () = 2 + B @A(4 + t) > 0AF При t = 0 соответствующие поверхности S имеют постоянную гауссову кривизну и допускают обобщение законов Кеплера QU @в случае реE ализуемости в R3 AD вектора ЛапласаEРунгеEЛенца ID PSF При t = 0 существует только A один тип замыкающего потенциала ! аналог осцилляторного V2 () = 2 + B @A(4 + t) < 0A RV


и система также допускает обобщение вектора ЛапласаEРунгеEЛенца IF Остановимся на геометрии поверхностей Бертрана подробнееF Рациональный параметр ч = p влияет как на форму поверхности @в меньшей степениD q чем c и tAD так и на форму орбит @c, t на форму орбит совсем не влияютAF Поверхность Sч0 при некотором ч = ч0 получается из поверхности S1 при ч = 1 так же как рациональный конус в комментарии IFPF НапримерD если взять сферу единичного радиусаD то можно разрезать е? по меридианам на p одинаковых долекD затем взяв q таких долек можно изогнуть их и склеить по меридианам такD что вторая долька склеивается с первойD третья склеивается со второйD FFFD последняя с первойD вся замкнутая цепочка да?т поверхность Sч D которая будет иметь вид веретена RQF Поверхность Sч q Eлистно накрывает долькуD а исходная S1 ! pEлистноF Явный вид зависимости ()D представленный формулами @PFPFIVAD @PFPFIWAD @PFPFPHAD позволяет описать геометрию орбит @указанные формулы справедливы как для риманова так и для псевдориманова случаяAF Зависимость формы орбиты от ч = p на поверхноE q стях с аналогом ньютоновского потенциала и с аналогом гуковского отличаетсяF В случае гравитационного потенциала согласно формуле @PFPFIVA орбита будет периодично флукE туировать между своими периE и апоцентромD повторяя поведение синусоидыF При этом за p витков вокруг поверхности орбита совершит ровно q колебаний от перицентра до апоцентра и обратноD а в случае осцилляторного потенциала согласно формулам @PFPFIWAD @PFPFPHA планета совершит 2q колебаний за p витковF Соответственно минимальный поE ложительный период орбиты @как функции ()A в первом случае равен 1 = 2 чD а во втором 2 = чF НапримерD для евклидовой плоскости @ч = 1, c = t = 0A при движении вокруг Солнца за один оборот планета совершает ровно одно колебание между своими перигелием и апогелиемF В случае же гуковского потенциала планета двигается по эллипсуD в центре @а не в фокусеA которого находится СолнцеD поэтому планета совершит P колебания за один оборотF Итак множество пар (S, V ) Бертрана @как в римановом так и в псевдоримановом слуE чаяхA параметризуется семеркой величин (c, t, ч, a, ^ A, B )D где тройка (c, t, ч) R2 Ч Q>0 ^ b, определяет форму поверхности S D пара (a, ^) R2 определяет ширину поверхностиD тFеF ^b е? граничные параллелиD пара (A, B ) определяет замыкающий потенциалD действующий на S F Если поверхность S не имеет экваторовD то как уже отмечалось ST все S типов потенциалов @смF определения IFIFTEIFIFIHA эквивалентныF Что касается поверхностейD отE вечающих различным значениям пят?рки параметров @c, t, ч, a, ^AD то классификацию их ^b с точностью до изометрииD преобразования подобия дает теорема UF Сперва дадим слеE дующее определениеF
Определение 2.3.1.

Две поверхности вращения S1 и S2 @соответственно S1 и S2 A S 1 E RW


изометричны или горизонтально изометричныD если существует диффеоморфизм h : S1 S2 D сохраняющий метрику @псевдориманову метрикуA и переводящий параллели в параллелиF Две поверхности вращения S1 и S2 @соответственно S1 и S2 A Eизометричны или вертикально изометричныD если существует диффеоморфизм h : S1 S2 D сохраняющий метрику @псевдориманову метрикуA и переводящий меридианы в меридианыF Две поверхности вращения S1 и S2 с метриками g1 , g2 @соответственно S1 и S2 с псевдоE римановыми метриками g1 , g2 A S 1 Eподобны или горизонтально подобныD если существует диффеоморфизм h : S1 S2 D переводящий параллели в параллели такD что метрики связаны соотношением h g2 = k 2 g1 для некоторой константы k F
Пусть Sc,t,ч,a,b ! поверхность БертранаD параметризованная константами c, t, ч, a, bD тFеF поверхность с координатами (, )D где (a, b)D и метрикой @PFIFPA @псевдоримановой метрикой @PFIFVAAF
Теорема 7.

Для поверхностей Бертрана с римановой (псевдоримановой) метрикой справедливы следующие утверждения: 1. Две поверхности S1 = Sc1 ,t1 ,ч1 ,a1 ,b1 и S2 = Sc2 ,t2 ,ч2 ,a2 ,b2 S 1 -изометричны тогда и только тогда, когда совпадают все параметры (c1 , t1 , ч1 , a1 , b1 ) = (c2 , t2 , ч2 , a2 , b2 ). Две поверхности S1 = Sc1 ,t1 ,ч1 ,a1 ,b1 и S2 = Sc2 ,t2 ,ч2 ,a2 ,b2 -изометричны в окрестности своих меридианов тогда и только тогда, когда (c1 , t1 , a1 , b1 ) = (c2 , t2 , a2 , b2 ), т.е. часть {(, ) : 0 < < 1 } Sc1 ,t1 ,ч1 ,a1 ,b1 вертикально изометрична части ч {(, ) : 0 < < ч2 1 } Sc2 ,t2 ,ч2 ,a2 ,b2 . 1 2. Две поверхности Sc1 ,t1 ,ч1 ,a1 ,b1 и Sc2 ,t2 ,ч2 ,a2 ,b2 S 1 -подобны тогда и только тогда, когда существует k > 0: t1 = k 4 t2 , c1 = k 2 c2 , a1 = k a2 , b1 = k b2 , ч1 = ч2 .

При значении параметров (c, t) из области 3 = {(c, t) : c2 + 4t < 0} {(c, t) : t < 0, c > 0, c2 + 4t > 0} для риманова случая и 2 = {(c, t) : c2 + 4t > 0, t < 0, c < 0} для псевдориманова @смF рисF PFPD PFIA имеются две максимальные поверхности БертранаD иD как показывает теорема UD они не изометричны друг другу и не подобныF Две подповерхности Бертрана одной максимальной поверхности также не могут быть ни изометричнымиD ни подобнымиF Как уже упоминалось вышеD геометрический смысл ч = p раскрывался в частности в q томD что окрестность меридиана поверхности Sc,t,ч накрывала некоторую поверхностьE дольку q EлистноD а окрестность меридиана поверхности Sc,t,1 накрывала ту же самую поверхностьEдольку pEлистноY поэтому локально @в окрестности меридиановA Sc,t,ч и Sc,t,1 изометричныD что и подтверждает теорема UF Две поверхности Бертрана подобныD если у них совпадает рациональный параметр чD а точки (c1 , t1 ) и (c2 , t2 ) в плоскости Oct лежат на одной параболеY как следует из теоремы U все поверхности Бертрана @с одним и тем же ч и подходящими границамиAD отвечающие SH


точкам кривойD разделяющей зоны 2 и 3 @в римановом случаеD смF рисF PFPA подобныD тFкF эта кривая ! ветвь параболы c2 + 4t = 0F Стоит отметитьD что лучи {(c, t) : t = 0, c > 0} и {(c, t) : t = 0, c < 0} удобно в этой теореме считать вырожденным случаем параболыD тFкF они формально удовлетворяют требованиям теоремыD при этом поверхностиD соотE ветствующие первому лучу не подобны поверхностямD соответствующим второму лучуF НапримерD в римановом случае при c = 1, ч = 1 @первый лучA имеем проколотую поE лусферуD а при c = -1, ч = 1 @второй лучA имеем проколотую плоскость ЛобачевкогоD которые не изометричны и не подобныF Случай c = t = 0 @возможен только в римановом случаеA является обособленным и соответствующие поверхности Бертрана не подобны никаким другимF Доказательство. Если у указанных поверхностей совпадают все значения параметE ровD то в качестве S 1 Eизометрии достаточно рассмотреть тождественное сопоставление hD переводящее точку x первой поверхности с координатами (, ) в точку h(x) второй поE верхности с теми же координатамиF ОбратноD если существует требуемая S 1 Eизометрия hX (1 , 1 ) S1 (2 , 2 ) S2 Y то в силу тогоD что параллели переходят в параллелиD выполняется равенство компонент a2 22 метрикиD тFеF верно ч2 (2 +c1-t -2 ) = ч2 (2 +c1-t -2 ) F Последнее равенство выполняется не в 1 11 2 22 11 22 одной точкеD а на интервалеD когда 1 пробегает интервал (a1 , b1 )D 2 = h(1 ) пробегает интервал (a2 , b2 )Y можно считать правую часть сложной функцией ч2 (2 +c1-t -2 ) 2 (1 )D 2 22 22 определ?нной на интервале (a1 , b1 )F Так как меридиан изометрично переходит в меридиE анD то (ч1 /ч2 )4 (d1 )2 = (d2 )2 D тFеF 2 = +(ч1 /ч2 )2 1 + constF Отсюда следует равенство параметров c, t, ч и тождественность функции 2 (1 )D а значит и равенство параметров a и bF В случае Eизометрии окрестностей меридиановD если выполнено (c1 , t1 , a1 , b1 ) = = (c2 , t2 , a2 , b2 )D то в качестве требуемого отображения можно взять следующее h : (1 , 1 ) ч2 S1 (1 , ч1 1 ) S2 F Докажем обратноеF Пусть существует диффеоморфизм h : {-1 < 1 < 1 } S1 {-2 < 2 < 2 } S2 D переводящий меридианы в меридианы и такойD что h g2 = g1 F Но в этом случае на нулевом меридиане должно быть выE d2 2 d2 ( ) 1 2 1 полнено ч2 (2 +c -2 -2 ) = ч2 (2 +c -t -2 ) и (1 )2 = + 2 D откуда следует ч2 (2 +c 1-t -2 ) = t и в случае S Eизометрии @смF вышеAD отсюда получаемD что 2 = + const. Отсюда следуют равенства c1 = c2 , t1 = t2 , ч1 /1 = ч2 /2 и тождественность функции 2 (1 )D а значит и a1 = a2 , b1 = b2 F Во втором утверждении теоремы проверимD что если наборы чисел (c1 , t1 , ч1 , a1 , b1 ) и (c2 , t2 , ч2 , a2 , b2 ) удовлетворяют условию теоремыD то соответствующие им поверхности S 1 -подобныF ВерноD что ч1 = ч2 и существует k > 0X c1 = k 2 c2 D t1 = k 4 t2 D a1 = k a2 D b1 = k b2 F Рассмотрим отображение hX S1 S2 D которое точку x S1 с координатами (1 , ) переводит в точку h(x) S2 с координатами (2 = 1 /k , )F Метрика второй поверхности
1 2 2 2 ( 2 +c -t -2 ) F Как ч2 2 2 2 2 +(ч1 2 )2 1 /(ч2 1 )2
1 1 1 11 2 2 2 22 1 1 1 11

SI


в точке h(x) равна
2 2 d2 (1 ) + ч2 (2 ( )+d-t -2 ( )) = - 2 (2 (1 )+c2 -t2 2 2 (1 ))2 c2 2 2 1 21 2 d2 ( ) = (2 ( )+ c1 -2t 1 2 ( )k-4 )2 + ч2 (2 ( )+ c1dt -2 ( )k-4 ) = - -1 2 1 1 12 21 21 k2 k2 2 d 2 2 2 d2 2 k d1 k 2 1 + ч2 (2 +c -t -2 ) = k (2 +c -t -2 )2 + ч2 (2 +d-t - 2 c1 1 (1 +c1 -t1 1 2 )2 1 11 1 12 1 1 1

h g2 =

=

-2 2

)

= k 2 g1 .

Таким образом h является преобразованием S 1 EподобияF Докажем обратноеF Пусть суE ществуют константа k > 0 и диффеоморфизм h : S1 S2 D переводящий параллели в параллели и такойD что h g2 = k 2 g1 F Но по доказанному существует диффеоморфизм ~ ~ h : S1 S1 := Sc1 /k2 ,t1 /k4 ,ч1 ,a1 /k,b1 /k D переводящий параллели в параллели и такойD что ~~ ~ ~ h g1 = k 2 g1 F ЗначитD S2 и S1 являются S 1 EизометричнымиF В силу пFI имеем S2 = S1 D что и требовалосьF

На сегодняшний день установлено немало свойств движения по поверхностям БерE трана с римановой метрикой и постоянной гауссовой кривизной @тFеF евклидовой плосE костиD сфере и плоскости ЛобачевскогоD которым соответсвуют значения параметров t = 0, ч = 1A под действием потенциалов Ньютона и Гука @и их аналоговAD в том числе посчитаны периоды движений по замкнутым орбитамD для этих периодов установлены законы Кеплера и их аналогиF НапримерD в случае плоскости Лобачевского верен следуE ющий факт @смF QUAF @Козлов ВFВFA. Пусть задана поверхность CL с координатами (, ) и метрикой (2.1.2), где c = -1, ч = 1. Пусть на CL действует аналог ньютоновского потенциала V1 или аналог гуковского V2 (см. зам. 2.1.5). Тогда период движения T частицы по орбите (т.е. период траектории) зависит только от интеграла энергии E , и не зависит от интеграла кинетического момента, прич?м зависимость имеет вид
Утверждение 4

2 T= (в случае V2 ), T = A - 2E A

-

E - A

E2 -1 A2

E2 - 1 (в случае V1 ). A2 @PFQFIA

Оказывается @как следует из работы Гордона IIAD в случаеD если в некоторой облаE сти фазового пространства произвольной автономной гамильтоновой системы все фазоE вые орбиты замкнутыD то период движения по замкнутой траектории зависит только от интеграла E F В случае с плоскостью Лобачевского явный вид такой зависимости да?т утверждение RF Для поверхностей БертранаD соответствующих значениям параметров из области {c2 + 4t > 0}D явный вид да?т следующее утверждениеF
Утверждение 5.

Пусть задана система Бертрана (S, V ), где S поверхность Бертрана с римановой метрикой (псевдоримановой метрикой), соответствующая точке
SP


A области значения параметров {(c, t, ч = p ) : c2 + 4t > 0, t = 0)}, V = 2 аналог гуковq ского потенциала. Тогда период T движения по замкнутой траектории r(t) не зависит от интеграла кинетического момента K и вычисляется по формуле +c -c q , @PFQFPA + T= 2 E ( + c) + 2 A E (c - ) + 2A

где = c2 + 4t.
Плоскость Лобачевского является поверхностью Бертрана и ей соE ответствуют значения параметров ч = 1, t = 0, c = -1F Устремим в формуле @PFQFPA t к нулюD а c к минус единице получим значение периода на CL как в утверждении R @ = |c| = -c = 1AX T= . 2A - 2E Аналогичное выражение при стремлении t кнулю получается и для псевдориманова случаяF Значение периода посчитано для точек (c, t)D которые лежат выше параболы c2 + 4t = 0D устремим c2 + 4t к нулюD чтобы понятьD что происходит на параболеD тFеF чему равен период T на поверхности БертранаD параметризованной (c, t, ч) : c2 + 4t = 0X
Замечание 2.3.1.

T =ћq

E c + 4A 2 E c + 2A

3

.

Вопрос подсч?та явного вида зависимости периода от энергии у ограниченной орбиты на поверхности БертранаD параметризованной параметрами (c, t, ч) такимиD что c2 + 4t < 0 @только для риманова случаяD тFкF для псевдориманова поверхностей с такими значеE ниями параметров не существуетD что видно из таблицы PFI или рисунка PFIAD оста?тся открытымF Согласно уравненям ЭйлераEЛагранжа всюду вдоль r(t) выполE нено a () = K F Представим в форме удобной для интегрирования a2 ()d = K dtF 22 Проинтегрируем между двумя соседними экстремумами одной орбитыD тFеF между апоE ~ центром и перицентромD получится половина времени T D необходимого для тогоD чтобы орбита совершила одно колебаниеF При этомD прежде чем замкнуться орбита совершит q ~ колебанийD поэтому период T = q ћ T F
Доказательство.
2 22 /2

~ T a2 ( )d = K . 22 2

@PFQFQA

0

Уравнение @PFPFPHA дает явный вид орбиты как графика функции () сразу и для римаE нова и для псевдориманова случаевX 2 = + sin( 2ч + 20 )D где ч

=

E c - , = ч2 K 2 2

E c - ч2 K 2 2
SQ

2

+t-

2A . ч2 K 2

@PFQFRA


А угол 0 без ограничения общности равен - @чтобы при изменении от 0 до /2 = 4 (ч )/2 величина 2 менялась от своего минимума - до своего максимума + D если 0 = - D то границы в первом интеграле надо изменить с 0 и /2 на другиеD хотя 4 значение интеграла не изменитсяAF Интеграл с уч?том = ч , = 2ч - преобразуется ~ 2
/2 /2

2 ~ T= K
0

d 2 = 2 ( 2 + c - t -2 ) () ч K ч2
0
2

+ sin(
2

2 ч

d - )+c-
2

t + sin(

=
2 ч

-) 2

=

1 чK
-
2

d(

2 ч

-)
t + sin ~

2

+ sin + c - ~

=

1 чK
-
2

( + sin )d ~~ . 2 + c( + sin ) - t ( + sin ) ~ ~
@PFQFSA

Знак выражения 2 + c - t-2 равен D тFеF зависит от римановости случаяD знак кинетичеE ^ ского момента K может быть как положительным так и отрицательным ! в любом случае отрицательное значение периода T ничему не противоречитD а означает движение в обE ~ 2d ратную сторонуF Стандартная замена = tg , d = 1+ 2 приводит нас от интегрирования ~ 2 тригонометрических функций к дробноEрациональным
1

1 ~ T= чK
-1 1

( +

2 ) 2d 1+ 2 1+ 2 2 2 2 ) + c( + 1+ 2 1+ 2

( +

)-t

=

1 = чK
-1 1

2( + 2 + 2 )d = ( + 2 + 2 )2 + (c - t)(1 + 2 )2 + 2 c (1 + 2 )

=

1 чK
-1

2( + 2 + 2 )d 4 (2 + c - t) + 3 (4 + 2 c) + 2 (4 2 + 22 + 2c - 2t)+ + (4 + 2 c) + 2 + c - t.
@PFQFTA

В знаменателе стоит возвратный многочлен четв?ртой степениD что позволяет просто разE ложить знаменатель на множителиF Промежуточное выражение для интеграла примет видX
1

1 ~ T= чK
-1

2( 2 + (2 + c - t)( 2 +

2 2+c- 2 +c-t

+ 1)d + 1)( 2 +

2+c+ 2 +c-t

. + 1)

@PFQFUA

Для упрощения выражений будем использовать сокращения 2 + c - 2 + c + + = 2 , - = 2 . + c - t + c - t

@PFQFVA

SR


С уч?том введ?ных сокращений интеграл представляется в виде 1 1 1 ~ ( - c + 2t)d + ( + c - 2t)d = T= 2 + + + 1 2 + - + 1 чK (2 + c - t)
-1 -1

@PFQFWA @PFQFIHA

=

1 чK (2 + c - t)

( - c + 2t)I1 + ( + c - 2t)I2 .
dx ax2 +bx+c

С помощью формулы @в случае 4ac - b2 > 0A
1

=

2 4ac-b

2

arctg
1

2 ax+b 4ac-b

2

находим

I1 :=
-1

d = 2+ +1 + 2 2 4 - + arctg

2 2 + + arctg 2 2 4 - + 4 - +

=
-1

=

2 + + -2 + + - arctg 2 2 4 - + 4 - +
x-y 1+xy

.

@PFQFIIA

Последнее упрощается с помощью arctg x - arctg y = arctg

X

I1 =

2 arctg 2 4 - + 1+



4 2 4-+ -4 2 4-+
2 +

= 2 = 2 4 - + 2 . 2 4 - +
@PFQFIPA

Аналогичное выражение получается для I2 X

I2 =
Таким образом период равенX

. 2 4 - -

@PFQFIQA

+ c - 2t - c + 2t + = 2 2 4 - + 4 - - - c + 2t = = + 2 чK (2 + c - t) 4 - 2 (2+c+ )2 2 + c - t) 2 (2+c- ) ( 4 - (2 +c-t)2 (2 +c-t)2 +c -c . + = чK +c 2 - c 2 ( + 2 ) - 2 ( - 2 ) - 2 ~ T= чK (2 + c - t) + c - 2t
@PFQFIRA
2t 2 В последнем переходе первая дробь сократилась на - +c D а вторая на + t-c F ~ Вспоминая теперь формулы @PFQFRA и связь T = q ћ T получаем окончательно утверждение теоремыF

SS


Утверждение SD позволяет связать период движения по замкнутой траектории с одE ним из первых интегралов @полной энергией E A соотношениемD содержащим лишь радиE калы второй степениF Используя такую несложную связь можно построить координату действия I (E ) в части фазового пространства системы @смF замечание RFPFQAF Для неограE ниченных траекторий @выходящих на край поверхностиA большое значение играет конечE ность времениD требуемого для выхода на границуD тFкF это напрямую связано с полнотой соответствующих фазовых потоков @смF утверждения IVD IWAF

ST


Глава 3

Абстрактные многообразия Бертрана и поверхности Бертрана в

R3 , R3 2

Многие исследователи задачи Бертрана начинали свои работы с построения поверхноE стей в евклидовом пространстве R3 D индуцирования объемлющей метрики на нихF ОдE накоD многие поверхности Бертрана нельзя вложить в R3 такD чтобы их метрика полуE чалась индуцированием объемлющей евклидовойD напримерD в теореме S речь ид?т об абстрактных многообразиях вращения S (a, b) Ч S 1 F Некоторые из них можно целиком вложить в R3 D некоторые только локальноD часть не вкладывается даже локальноD тFеF a1 , b1 (a, b) : a a1 < b1 b не существует вложения пояса (a1 , b1 ) Ч S 1 в R3 @с учеE том метрикиAF Тем не менее для реализуемых как поверхности вращения многообразий Бертрана получены красивые результатыF

3.1

Бертрановские поверхности и натуральные координаты

Пусть задано пространство R3 с координатами (x, y , z ) и евклидовой метрикой ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 F Поверхность вращения удобно представлять как множествоD заметаемое вращением профильной кривой @она же меридианA вокруг оси вращенияF Рассмотрим гладкую регулярную кривую (v ) = (f (v ), g (v )) в плоскости X OZ D где v ! натуральный параметрD пробегающий значения от a до bF Тогда при вращении вокруг оси OZ кривая заметает поверхность S (a, b) Ч S 1 D радиус вектор любой точки которой имеет вид r(v , ) = (f (v ) cos , f (v ) sin , g (v ))Y таким образом на поверхности заданы координаты (v , mod 2 )F В этих координатах индуцированная метрика примет вид

1 0 , 2 0 f (v )

@QFIFIA

SU


тFкF rv (v , ) ћ rv (v , ) = f 2 (v ) + g 2 (v ) = 1 в силу натуральности параметра v D и остальE ные компоненты метрического тензора вычисляются тривиально r (v , ) ћ rv (v , ) = 0D r (v , ) ћ r (v , ) = f 2 (v )F Функция f (v ) имеет простой геометрический смыслX f (v ) равно расстоянию от точки (v , ) на поверхности S до оси вращенияF Возьм?м такой вид метрики для определения натуральных координатF
Определение 3.1.1.

Для многообразия S (a, b) Ч S 1 с метрикой вращения ds2 = a2 (v )dv 2 + a2 (v )d2 будем называть координаты (v , mod 2 ) натуральнымиD если в 11 22 них a11 (v ) 1D тFеF метрика на самом деле выглядит так @QFIFIAF

Название мотивировано как раз темD что координата v является натуральным параE метром для координатной кривой = const @она же профильная криваяD она же меридиE анAF Нетрудно убедитьсяD что абстрактных многообразий с метрикой @QFIFIA большеD чем построенных выше поверхностей в R3 с той же метрикойF Все построенные поверхности можно рассматривать как многообразия с метрикой @QFIFIAD но не все такие многообраE зия реализуются в R3 как поверхности вращенияF Это связано с темD что не всегда по заданной функции f (v ) можно подобрать функцию g (v ) такуюD что f 2 (v ) + g 2 (v ) = 1D точнее можно сформулировать это в виде следующего утвержденияF

Поверность S (a, b) Ч S 1 с координатами (v , ) и метрикой (3.1.1) реализуется как поверхность вращения в R3 тогда и только тогда, когда v (a, b) |f (v )| 1.
Утверждение 6.

Для иллюстрации рассмотрим сферуD метрика на ней в натуральных координатах выглядит ds2 = dv 2 + sin2 v d2 F Согласно критерию | sin v | 1 иD действительноD сфера реализуется в R3 F Детальное описание реализуемости смF SUF Бертрановские координаты считаются по натуральным согласно замечанию IFIFPX dv = C f 2 (v) D где C ! некоторая ненулевая константа @выше бралась равной I или EIAF Используя известный факт v = 1 несложно убедитьсяD что натуральные высчитываE v d ются по бертрановским согласно формуле v = C -1 ч2 (2 +c-t-2 ) F Интеграл от дробноE рациональной функции считается в квадратурах и зависимость между v и выглядит 1 так @с точностью до константAX в случае евклидовой плоскости = v D где (v , ) ! поE лярные координаты на плоскостиY в случае сферы = ctg v D где v ! широта на сфереY в случае плоскости Лобачевского = cth v F Более подробно для всех поверхностей БертраE на зависимость смF STF Вернемся теперь к реализуемости поверхностей Бертрана с индефинитной метрикойF Рассмотрим пространство R3 с координатами (x, y , z ) и псевдоримановой метрикой ds2 = 2 2 2 2 -dx - dy + dz F Рассмотрим гладкую регулярную кривую () = (f (), g ()) в плоскости X OZ F При вращении вокруг оси OZ кривая заметает поверхность вращения S D радиус

SV


вектор точки (, ) зада?тся следующим x(, r(, ) = y (, z (,

образомX ) f ()cos ) = f ()sin . ) g ()

@QFIFPA

Псевдориманова метрика на S примет видX

-f 2 () + g 2 () 0 . 0 -f 2 ()
Определение 3.1.2.

@QFIFQA

Координаты (v , )D в которых g 2 (v ) - f 2 (v ) 1D тFеF псевдоримаE нова метрика @QFIFQA примет вид ds2 = dv 2 - f 2 (v )d2 D назовем натуральнымиF В псевдоримановом случаеD в отличие от римановаD полностью реализуются все поE верхности БертранаF Чтобы установить это воспользуемся следующим критериемF
Лемма 3.1.1.

Поверхность S (a, b) Ч S 1 с псевдоримановой метрикой (2.1.8) реализуется в R3 как поверхность вращения тогда и только тогда, когда на (a, b) выполнено: 2

ч2 (2 + c - t-2 ) ( + t-3 )2 .
Доказательство.

@QFIFRA

В самом деле в случае реализуемости

-f 2 =

1 , ч ( + c - t-2 )
2 2

g2-f 2 =

1 . ( + c - t-2 )2
2

Необходимость следует из цепочки равенствX

-2f f = -

2( + t-3 ) ( + t-3 )2 ( + t-3 )2 , f 2f 2 = 4 2 , f2=- 2 2 ч2 (2 + c - t-2 )2 ч ( + c - t-2 )4 ч ( + c - t-2 ) ( + t-3 )2 1 - . g = (g - f ) + f = 2 ( + c - t-2 )2 ч2 (2 + c - t-2 )3
2 2 2 2

3

Выражение g 2 всегда неотрицательноD отсюда следует условие (3.1.4)F Если читать эту цепочку равенств с конца получается достаточностьD а именно пусть выполнено (3.1.4)F Тогда рассмотрим f (), g () такиеD чтоX

f2 = -

1 , 2 ( 2 + c - t -2 ) ч

g () =

1 ( + t-3 )2 -22 d. (2 + c - t-2 )2 ч ( + c - t-2 )3

Построим поверхность S как описано перед леммойD у не? будет требуемая метрика (2.1.8)F

При любом допустимом значении параметров c, t, ч поверхность Бертрана S целиком реализуется в R3 как поверхность вращения S . 2
Теорема 8.

SW


Теорема является прямым следствием леммы QFIFID тFкF левая часть неравенства @QFIFRA всегда отрицательнаD а правая положительнаF
Доказательство.

Самое известное описание поверхностей Бертрана в римановом случае в натуральных координатах дал Сантопрете PRD хотя он работал в пространстве R3 D его результат как и его доказательство справделивы и для абстрактных @не обязательно вложенных в R3 A многообразий БертранаF Его теорема I да?т необходимое условие существования сильно замыкающего потенциала на поверхности с метрикой @QFIFIA в виде дифференциальных уравнений на метрику @функцию f (v )A при дополнительном предположении отсутствия экваторов @f (v ) = 0AF Теоремы WD IH обобщают этот результат с сильно замыкающих потенциалов на замыкающиеD локальноEзамыкающиеD полулокальноEзамыкающиеD слабо замыкающие потенциалыD а также на псевдориманов случайF

Пусть S (a, b) Ч S 1 многообразие с координатами (v , mod 2 ) и римановой метрикой ds2 = dv 2 + f 2 (v )d2 , где f (v ) гладкая функция на (a, b) и f (v ) = 0 на (a, b). Тогда, если функция f (v ) удовлетворяет уравнению
Теорема 9.

4 - 5(-f f + f 2 ) 2 - 5f f f 2 + 4f 2 f 2 - 3f f f 2 + 4f 4 = 0,

@QFIFSA

для неотрицательной действительной , то на этом многообразии существуют координаты (, mod 2 ), такие, что = (v ), в которых метрика имеет вид (2.1.2):

ds2 =

d2 d2 +22 , (2 + c - t-2 )2 ч ( + c - t-2 )
2

@QFIFTA

12 где ч, c, t некоторые вещественные константы, ч > 0. При этом ч { , }. Более i того, если f f - f 2 const, то f f - f 2 - 2 , для i {1, 2}, t = 0, ч = ; если i 2 f f - f 2 = const, то t = 0, ч = . Обратно, для всякого многообразия Бертрана без экваторов, т.е. риманова многообразия с метрикой (3.1.6), функция f (v ), полученная при записи метрики (3.1.6) в натуральных координатах, т.е. f (v ), определ?нная условиями f 2 (v ()) = ч2 (2 +1-t-2 ) , c 2 2 -2 -1 v () = ( + c - t ) , удовлетворяет уравнению (3.1.5) для константы := ч при 12 t = 0, для любой константы { ч , ч } при t = 0.
Замечание 3.1.1.

Поверхность S будет бертрановской тогда и только тогдаD когда или ч будут рациональнымиD однако эквивалентность условий @QFIFSAD @QFIFTA справедлива и при иррациональных значениях , чF НапомнимD что поверхности Бертрана бывают двух видовX на первых существуют два типа замыкающих потенциаловD чему соответствует значение параметра t = 0D на вторых только один тип замыкающего потенциалаD чему соответствует значение параметра t = 0F В натуральных координатах условие t = 0 записывается в виде дифференциального уравнения на функцию f (v )X f должна удовлетворять одному из следующих уравнений TH


f f - f 2 - 2 D f f - f 2 - 4 F Заметим такжеD что если f удовлетворяет одному из перечисленных уравненийD то она удовлетворяет и уравнению @QFIFSAD а соответствующая поверхность является поверхностью постоянной гауссовой кривизны K = - ff F Отметим такжеD что в бертрановских координатах дифференциальное уравнение @QFIFSA v ()) 2 принимает вид 1 + 5 - 3 + 4 = 0D где функция () = f2vf((v()) соответствует логарифмической производной функции f (v )D а v () = f 2 (v ())F Более тогоD выписанное уравнение обладает двумя симметриямиD в тFчF такойX если функция () является его решениемD то и функция () = (ч2 )/ч2 также является его решениемF ~
Пусть S (a, b) Ч S 1 многообразие с координатами (v , mod 2 ) и псевдоримановой метрикой ds2 = dv 2 - f 2 (v )d2 , где f (v ) гладкая функция на (a, b) и f (v ) = 0 на (a, b). Тогда, если функция f (v ) удовлетворяет уравнению
Теорема 10.

2

4 + 5(-f f + f 2 ) 2 - 5f f f 2 + 4f 2 f 2 - 3f f f 2 + 4f 4 = 0,

@QFIFUA

для неотрицательной действительной , то на этом многообразии существуют координаты (, mod 2 ), такие, что = (v ), в которых псевдориманова метрика имеет вид (2.1.8): d2 d2 2 + , @QFIFVA ds = 2 ( + c - t-2 )2 ч2 (2 + c - t-2 )
12 где ч, c, t некоторые вещественные константы, ч > 0. При этом ч { , }. Более i того, если f f - f 2 const, то f f - f 2 2 , для i {1, 2}, t = 0, ч = ; если i 2 f f - f 2 = const, то t = 0, ч = . Обратно, для всякого многообразия Бертрана без экваторов, т.е. псевдориманова многообразия с индефинитной метрикой (3.1.8), функция f (v ), полученная при записи индефинитной метрики (3.1.8) в натуральных координатах, т.е. f (v ), определ?нная условиями -f 2 (v ()) = ч2 (2 +1-t-2 ) , v () = -(2 + c - t-2 )-1 , удовлетворяет уравнению c 12 2 (3.1.7) для константы := ч при t = 0, для любой константы { ч , ч } при t = 0.
2

ЗаметимD что уравнение @QFIFUA получается из уравнения @QFIFSA подE становкой вместо f (v ) выражения if (v )D где i ! мнимая единицаF То же справедливо и для метрикX метрика @QFIFIA переходит в индефинитную метрику @QFIFQA при описанной подстановкеF
Замечание 3.1.2.

Формулы @QFIFSAD @QFIFUA дают возможность конструктивно проверитьD является ли поверхность бертрановской или нет @смF определения PFIFID PFIFP и замечание PFIFIAF Для этого преобразуем уравнение 4 + 5(f f - f 2 ) 2 - 5f f f 2 + 4f 2 f 2 - 3f f f 2 + ^
Замечание 3.1.3.

TI


4f 4 = 0 @единая форма записи для @QFIFSAD @QFIFUAAD разрешив его относительно X = -5(f f - f 2 ) + ^ 9(f f - f 2 )2 + 12f f (f f - f f ) /2 = + (f , f , f , f ),
@QFIFWA

=

-5(f f - f 2 ) - ^

9(f f - f 2 )2 + 12f f (f f - f f ) /2 = - (f , f , f , f ).
@QFIFIHA

Таким образом имея риманову @псевдоримановуA метрику в натуральных координатах ds2 = dv 2 + f 2 (v )d2 D нужно вычислить функции + (f , f , f , f )D - (f , f , f , f ) и если ^ хотя бы одна из них тождественно равна положительной рациональной постояннойD то поверхность является бертрановской @стоит отметитьD что указанный алгоритм не учиE тывает экваторыAF В качестве иллюстрации теоремы W рассмотрим проколотую евклидову плоскостьD проколотую полусферу S 2 D проколотую плоскость Лобачевского L2 F Метрика на плосE кости в натуральных координатах @для плоскости ! это полярныеA имеет вид ds2 = dv 2 + v 2 d2 D функция f (v ) = v D кривизна плоскости равна нулю @f = 0AD соответственно f f - f 2 = -1 @соответствует значению параметров t = 0D c = 0D ч = 1AF Метрика на поE лусфере в натуральных координатах @для полусферы ! это долгота и широтаA имеет вид ds2 = dv 2 + sin2 v d2 D функция f (v ) = sin v D кривизна полусферы равна единице @- - sin v AD sin v 2 соответственно f f - f = -1 @соответствует значению параметров t = 0D c = 1D ч = 1AF Метрика на L2 в натуральных координатах имеет вид ds2 = dv 2 + sh2 v d2 D функция sh v f (v ) = sh v D кривизна L2 равна минус единице @- sh v AD соответственно f f - f 2 = -1 @соответствует значению параметров t = 0D c = -1D ч = 1AF Указанные функции @а также получающиеся из них v + c2 D c1 sin(c1 v + c2 )D c1 sh(c1 v + c2 )A являются всеми решениями 1 1 уравнения f f - f 2 = -1F Доказательство теорем W и IH единообразны и дословно повторяют друг другаD поE этому привед?м подробно доказательство теоремы WD которое основано на следующей леммеF

Пусть в условиях прямой теоремы функция f = f (v ) удовлетворяет уравнению (3.1.5). Тогда существуют единственные константа ч > 0 и функция (v ) такие, что 11 1 (v ) = 2 2 , f 2 (v ()) = 2 2 , ч f (v ) ч ( + c - t-2 )
Лемма 3.1.2.

12 где константы c, t вещественные. При этом ч { , }. Более того, если f f - f 2

2

=
2 i2

const (что соответствует поверхности с двумя потенциалами), то f f - f - i для i {1, 2}, t = 0, ч = ; если f f - f 2 = const (многообразие второго типа), то 2 t = 0, ч = .
TP


Для доказательство леммы QFIFP докажем лемму QFIFQ об эквивалентности условий @QFIFSA и @QFIFTA на метрикуD в которой оно @условие на метрикуA переформулировано в эквивалентность уравнений @QFIFSA и @QFIFIIAF Эквивалентность уравнений нужно пониE 2 мать такX если f (v ) ! решение уравнения @QFIFSAD то функция f (v ())D где (v ) = f 2 (v) D является решением уравнения @QFIFIIAY обратноD если g () := f (v ())D где (v ) определена чуть вышеD является решением уравнения @QFIFIIAD то f (v ) ! решение уравнения @QFIFSAF

Рассмотрим константу > 0 и функцию f (v ) > 0 не соответствую2 щую поверхности первого типа (см. зам. 3.1.1), т.е. f f - f 2 = - 4 , f f - f 2 = - 2 , f f - f 2 = 0 ни в какой точке v (a, b). Пусть есть замена (v ), определ?нная условием i (v ) = ч2 f1 (v) , и v () обратная замена, где ч = > 0, i = 1, 2. 2 Тогда дифференциальное уравнение третьего порядка (3.1.5) на f (v ) эквивалентно существованию действительных констант c1 = 0, c2 , для которых функция f (v ()) удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка
Лемма 3.1.3.

d 2 d f (v ()) 1 = c1 ( + c2 )-3 - ( + c2 ). 4 f 3 (v ( )) i 4

@QFIFIIA

Каждый шаг в доказательстве леммы QFIFQ представляет из себя эквивалентный переход между уравнениямиF Шаг 1F Для упрощения уравнения @QFIFSA вслед за Сантопрете введ?м функцию h(v ) := f (v )f (v ) - f 2 (v )F Тогда уравнение @QFIFSA перепишется в виде
Доказательство.

4 + 5h(v ) 2 - 3f (v )f (v )h (v ) + 4h2 (v ) = 0.
Шаг 2F

@QFIFIPA

Для работы с координатой введ?м функцию ()D которая является в некоE 2 d f (v ( )) )) 1 тором смысле аналогом h(v )F Пусть () := (ч )2 ffv((vv(()) = 4 d3 (v()) F Легко убедитьсяD что if выполненоX 2 ((v )) . h(v ) = 2 ((v )), hv (v ) = 4 2 i f (v ) Подстановка полученных соотношений вместе с определением в уравнение @QFIFIPA позE воляет переписать егоD заменив v на X

1 + 5 () - 3 () () + 42 () = 0.
Шаг 3F

@QFIFIQA

Домножим уравнение @QFIFIQA на

4| + 1 | 4 4
5 2

F Такое преобразование является экE

вивалентным переходом в случае = - 1 , 0F А последнее выполненоD тFкF f (v ) > 0, f (v ) = 4 2 1 0D а значит ((v )) = 0D также по условию леммы h = - 4 , 0D что означает = 0, - 4 F Функция () + 1 гладкая и сохраняет знак на области определенияF Введ?м обоE 4 значение := sgn( () + 1 )F С уч?том сделанных замечаний и введ?нного обозначения 4 получим 3 1 11 ( + 4 ) 4 - ( + 1) 1 ( + 1 )- 4 + ( + 1 ) 4 4 4 4 = 0. @QFIFIRA 11 2 ( + 4 ) 2 TQ


Шаг 4F

Интегрирование по да?т

+1 | + 1 | 4
1 2

= c0 ,

@QFIFISA

где c0 ! действительная константаD и выполнено = 0 и c0 = 0 @согласно условиям леммы = -1AF Шаг 5F Последний шаг доказываетD что в случае = -1 уравнение @QFIFISA эквиваE лентно уравнению 1 () = c1 ( + c2 )-3 - ( + c2 ), @QFIFITA 4 где c1 , c2 ! некоторые константыD удовлетворяющие c1 = 0, + c2 = 0 в интервале измеE 1 нения D = 0D = 0D = -1D = - 4 D |c1 | = 27 D c0 ( + c2 ) < 0F c4 0 Прямой подстановкой проверяется @QFIFITA @QFIFISAF Для тогоD чтобы показать обE ратную импликацию умножим обе части @QFIFISA на и продифференцируем по X

3 = c0 . 4 | + 1 | 5 2 4
Проинтегрируем последнее уравнение с уч?том c0 = 0

@QFIFIUA

-

3 11 | + |- 4 = + c2 , c0 4

@QFIFIVA

c2 ! константа интегрированияF Последнее уравнение интегрируется и да?т () = c1 ( + c2 )
-3

1 - ( + c2 ) + c3 . 4

@QFIFIWA

Соотношения на константы очевидныF В доказательстве леммы QFIFP единственность легко проверяетсяD а для тогоD чтобы проверить существование разбер?м три случаяF
Доказательство леммы 3.1.2

Пусть выполнено f f - f 2 = - 4 D f f - f 2 = - 2 F Тогда по лемме QFIFQ функция f (v ()) удовлетворяет уравнению @QFIFIIAD где c1 = 0F Проинтегрируем уравнение @QFIFIIA по F Тогда левая часть
Случай 1.

2

d 1 d f (v ()) 11 d = - 4 2 f ч4 2 f 3 (v ()) 2ч

-2

( v ) + c4 .

Правая часть равна

1 1 c1 ( + c2 )-3 - ( + c2 ) d = - c1 ( + c2 ) 4 2

-2

1 - ( + c2 ) 2 + c5 . 8

ТFкF определена с точностью до константы выполнено

f 2 (v ()) =

1 , ч ( + c - t-2 )
2 2

TR


2 где t = -4c1 D c = -8(c5 - c4 )D ч = F Случай 2. Рассмотрим случай поверхности первого типаD тFеF h 0D поэтому 0D 1 уравнение @QFIFSA в форме @QFIFIQA находим -1D - 4 F Если -D где = 1 1 1 или 4 D то при ч := имеем = ( )2 d3 f первому случаю интегрируем по получим
d

f (v ()) (v ())

=

fv (v ()) f (v ())

= - + constF Аналогично

f 2 (v ()) =

2 1 =22 , 2 + c) ( ч ( + c)

что и требовалосьF Остальные случаи разбираются аналогичноF Чтобы проверить утверждение прямой теоремы подE ставим полученный в лемме QFIFP вид для функции f 2 (v ) в метрику ds2 = dv 2 + f 2 (v )d2 F Получим d2 d2 . +22 ds2 = 2 ( + c - t-2 )2 ч ( + c - t-2 )
Доказательство теоремы 9

Обратное утверждение следует из тогоD что для римановой метрики @3.1.6A при t = 2 0, = ч функция f (v ()) удовлетворяет дифференциальному уравнению @QFIFIIAD а поE тому функция f (v ) удовлетворяет @QFIFSAF При t = 0 функция f (v ()) удовлетворяет 2 дифференциальному уравнению @QFIFIIA при c1 = c2 = 0F Откуда f f - f 2 - 4 или - 2 D поэтому f (v ) удовлетворяет @QFIFSAF

3.2

Свойства поверхностей и орбит в

R3 , R

3 2

Про римановы поверхности Бертрана Sc,t,ч D отвечающие значению t = 0D известно многоеD тFкF эти поверхности имеют максимально простой вид ! круговой конус @или плоскостьAD полусфераD плоскость ЛобачевскогоF Про поверхностиD отвечающие t = 0D почти ничего не известноD в тFчF являются ли они алгебраическимиD или являются ли поверхности БерE трана также другими известными поверхностями вращения как пары Бонне или груши ТаннериF Используя факт реализуемости всех поверхностей Бертрана с псевдоримановой метE рикой @теорема VA можно корректно сформулировать факт алгебраичности поверхности БертранаF В римановом случае все поверхностиD отвечающие значениям параметров t = 0 и ч = 1 @или c = t = 0 и любому чAD являются алгебраическимиD то же справедливо и для псевдориманова случаяF
Утверждение 7.

Поверхность Бертрана с псевдоримановой метрикой (2.1.7) при ч = 1, реализованная как поверхность вращения в R3 , является подповерхностью алгебраи2 ческой поверхности.
TS


Используя теорему IH запишем псевдориманову метрику @PFIFUA в натуральных координатах (v , )F Тогда она примет вид ds2 = dv 2 - f 2 (v )d2 D где функE ция f (v )D которая стоит в метрикеD удовлетворяет уравнениюX f (v )f (v ) - f 2 (v ) = 2 D где = 1/чF Уравнение легко интегрируется и приводит к явному виду функции f (v )X f (v ) = c11 ch (c1 (v + v0 ))D где c1 , v0 ! константы интегрированияF Таким образом поверхE ность Бертрана при t = 0 и ч = 1 представляет из себя часть однополостного гиперболоE ида {x2 + y 2 - z 2 = c2 }D который является алгебраической поверхностьюF 1 Поверхности Бонне определяются как двумерные поверхности в R3 с помощью средE ней кривизны H D поэтому сравнивать с ними будем только римановы многообразия БерE транаD реализуемые в R3 F
Доказательство.

Пара римановых поверхностей S1 , S2 называется парой БоннеD есE ли существует изометрия h : S1 S2 D сохраняющая среднюю кривизнуF ПоверхностьD входящая в какуюEнибудь пару БоннеD называется поверхностью БоннеF
Определение 3.2.1.

Поверхности БоннеD естественноD вложены в R3 D в отличие от поверхE ностей Бертрана и ТаннериD которые могут полностью вкладываться в R3 D частично или вообще не вкладыватьсяF Поверхность Бертрана реализуется в R3 как поверхность враE щения при тех значениях c, t, ч и (a, b)D при которых
Замечание 3.2.1.

ч2 (2 + c - t-2 ) ( + t-3 )2 .
Про поверхности Бонне известно следующееF
Утверждение 8.

@QFPFIA

Пусть S двумерная поверхность в R3 .

1. Если S поверхность семейства Бонне, то индуцированная с R3 на S метрика является метрикой вращения. 2. Среди компактных поверхностей класса гладкости C 2 и рода p = 0 нет пар Бонне. 3. (Г.Р. Жуков) Если поверхность вращения S с метрикой (1.1.1) и координатами (u, mod 2 ) не имеет омбилических точек и ее средняя кривизна непостоянна (H (u) = 0 u), то поверхность S является поверхностью Бонне тогда и только тогда, когда @QFPFPA a22 (v ) H 2 (v ) - K (v ) = c0 Hs (v ). Здесь H, K средняя и гауссова кривизны соответственно, c0 константа, v натуральный параметр профильной кривой (меридиана).
Сфера S 2 с метрикой вращения ! поверхность ТаннериD если все геодезические на ней замкнуты @смF теорему PAF Допускается наличие особенностей в полюсах сферы @подробE нее смF в SAD поэтому их можно выколоть и рассматривать поверхность Таннери как TT


поверхность S (a, b) Ч S 1 с метрикой (1.1.1)F Перечень всех метрик вращения поверхE ностей Таннери да?т теорема PF Поверхности Бертрана не имеют экваторов @точек u0 : a22 (u0 ) = 0AD а поверхноE сти Таннери всегда имеют ровно один экваторF Поэтому глобально эти два класса не пересекаютсяF Исходные поверхности Таннери @гомеоморфные сфереD без выкалывания полюсовA компактныеD а среди таких поверхностей не может быть поверхности Бонне по утверждению VF В противоположность парам БоннеD поверхности Бертрана и ТаннеE ри могут вообще не вкладываться в R3 F Однако паре параметров (c, t) 3 @смF рисF PFPA соответствуют сразу две максимальные поверхности Бертрана S1 (0, 4 -t) Ч S 1 и S2 ( 4 -t, ) Ч S 1 @смF таблF PFIAD которые можно гладко склеить по недостающему экватору { 4 -t} Ч S 1 D тFеF существует гладкая поверхность S12 (0, ) Ч S 1 с метрикой @PFIFPA такаяD что е? подповерхности (0, 4 -t) Ч S 1 и ( 4 -t, ) Ч S 1 суть максимальные поE верхности Бертрана с одним и тем же значением параметров (c, t, ч)D при этом выполнено соотношение a22 ( 4 -t) = 0D тFеF S12 будет иметь два полюса и один экваторF НапримерD при c > 0, t = 0, ч = 1 @это соответствует лучу l1 D который является границей области 3 на рисF PFPA максимальные поверхности Бертрана являются проклотыми в полюсах полусферамиD которые можно склеить по экватору в сферу без полюсовF Устранив препятствие в виде экватораD можно сравнить поверхности Бертрана с поE верхностями ТаннериF

На гладкой поверхности S12 , получаемой при описанном выше склеивании двух максимальных поверхностей Бертрана S1 , S2 , заданных парой параметров (c, t) из области 3 (рис. 2.2), все геодезические замкнуты, за исключением меридианов.
Утверждение 9.

Доказательство.

Уравнения геодезических в координатах @, A имеют вид

d dt

2( + t-3 ) (2 + c - t-2 ч2 (2 + c - t-2 ) Е -

1 2 + 2 ( + t-3 )2 = 0, ) ч = K. =0 2 2 ч ( + c - t-2 )

@QFPFQA @QFPFRA

Из уравнения @QFPFRA можно выразить t и подставить в уравнение @QFPFQAD получится уравE нениеD задающее кривую @соответствующую геодезическойA в виде функции = ()X

ч2 + + t
Проинтегрируем уравнение @QFPFSA два разаX

-3

= 0.

@QFPFSA

ч2 2 + 2 + c - t 2 = ( 1E c - ) 1+ 2 K2 ч 2

-2

= t

E . ч K2
2

@QFPFTA

1+

(

1E ч2 K 2

-

c2 ) 2

sin 2

+ 0 ч

.

@QFPFUA

Из рациональности ч следует замкнутость геодезическойF TU


Таким образом указанные в утверждении поверхности Бертрана с экваторами являE ются поверхностями ТаннериF Менее тривиальным является вопрос о локальном пересечении классовD тFеF могут ли существовать общие куски у поверхностей из разных классовF Два класса поверхностей вращения @из трех перечисленныхA лоE кально пересекаютсяD если существуют повехность S1 (a1 , b1 )ЧS 1 с метрикой dig(a2 (u), 11 2 1 2 2 ? ? a22 (u)) из первого класса и поверхность S2 (a2 , b2 ) Ч S с метрикой dig(a11 (u), a22 (u)) из второгоD а также числа a1 , b1 , a2 , b2 D такиеD что a1 a1 < b1 b1 , a2 a2 < b2 b2 D и гладкая изометрия hD переводящая полосу первой поверхности S 1 Ч (a1 , b1 ) в полосу второй S 1 Ч (a2 , b2 )F
Определение 3.2.2.

Другими словамиD два класса локально пересекаютсяD если кусочек @в виде поясаA какойEто поверхности из первого класса совпадает с кусочком поверхности из второго классаF В следующем утверждении поверхности предполагаются вложенными в R3 F
Утверждение 10.

Класс поверхностей Бертрана и класс поверхностей Бонне с непостоянной (v H (v ) = 0) средней кривизной локально не пересекаются.
Доказательство.

Для доказательства утверждения достаточно убедитьсяD что ни на какой области поверхности Бертрана не выполняется соотношение @QFPFPAD определяE ющее поверхность БоннеD с этой целью для поверхности Бертрана посчитаем a22 , H, K D подставим их в формулу @QFPFPA и убедимсяD что равенство @QFPFPA нарушитсяF По метрике @PFIFPA вложенной в R3 поверхности Бертрана посчитаем е? среднюю и 1 ? ? гауссову кривизныF ИтакD компоненты метрического тензора E = a2 = (2 +c-t-2 )2 D F = 0D 11 ? G = ч2 (2 +1-t-2 ) F Гауссова кривизна вычисляется по формуле c

1 K = - ?? EG
что в итоге дает

? G ?? EG
-4

,
@QFPFVA

K = c - 6t

-2

- 3tc

+ 2t2 -6 .

Для подсчета средней кривизны вычислим сначала главную кривизну 1 как кривизну профильной кривой @меридианаAD затем поделим на нее K и найдем 2 F Средняя кривизна будет их средним арифметическимF Имеем

1 =

ч2 (2 + c - t-2 ) - ( + t-3 )2 ,
-2

2H =

ч2 (2 + c - t-2 ) - ( + t-3 )2 + c - 6t

- 3tc

-4

+ 2t2

-6

ч2 (2 + c - t-2 ) - ( + t-3 )2

.

Осталось вычислить Hv F Для этого заметимD что натуральный параметр v связан с d соотношением v = ч2 (2 +c-t-2 ) F Имеем

Hv = H ћ v = H ћ

1 = H ћ ч2 (2 + c - t-2 ). v
TV


Вычисления показываютD что после подстановки K, H, Hv , a22 в формулу @3.2.2AD равенE ство не выполняется даже локальноF Соотношение (3.2.2) задает поверхности Бонне и еще некоторые поверхности вращеE ния с омбилическими точкамиY как мы показали только чтоD ни теD ни другие не будут поверхностями БертранаF Как показывает соотношение @QFPFVA для римановых поверхностей Бертрана при t = 0 гауссова кривизна поверхности равна параметру cF НапримерD при положительных c и 1 ч = 1 имеем полусферуD причем ее радиус равен c F Согласно теореме U все полусферыD заданные различными значениями параметра cD подобны друг другуD что соответствует ожиданиямD при этом константа k D связывающая c1 и c2 D является коэффициентом подоE бияF Для поверхностей Бертрана в R3 D соответствующих значениям параметров t = 0, ч = 1D подробно описаны многие детали движенияD в тFчF сформулированы аналоги законов КеплераF Сформулируем эти аналоги для полусферыD для плоскости Лобачевского они формулируются аналогично с соответствующей заменой всех синусов на гиперболические синусыF Для первого закона Кеплера понадобится определение QFPFQF Рассмотрим в R3 с декартовыми координатами (x, y , z ) полусферу S = {x2 + y 2 + z 2 = r2 , z < 0} и замкнутое сечение на ней конусом второго порядка с вершиной в начале координатF Тогда кривая обладает оптическим свойствомD тFеF на полусфере существуют две точки F1 D F2 такиеD что любой лучD выпущенный из F1 после отражения от пройдет через F2 @луч распространяется по геодезическимAF Назовем точки F1 и F2 фокусами F
Определение 3.2.3.

@Первый закон Кеплера для сферы IVA. Пусть задана полусфера CS с координатами (, ) и метрикой (2.1.2). Пусть на сфере действует аналог ньютоновского потенциала V1 или аналог гуковского V2 . Тогда частица будет двигаться по коническому сечению, где конус является квадрикой и его центр совпадает с центром сферы. Как и в плоскости на полусфере аналог гравитационного потенциала да?т эллипс с притягивающим центром в фокусе, а в случае осцилляторного притягивающий центр будет в центре квадрики.
Утверждение 11

Чтобы обобщить второй закон Кеплера на полусферу необходимо ввести понятие тени частицыF Соединим точкуD в которой находится частицаD с полюсом полусферы с помощью меридианаD тогда при движении частицы по поверхности дуга большого кругаD соединяющая точку с полюсомD заметает некоторую площадь s(t)F Для указанной плоE щади второй закон Кеплера не выполняетсяD тFеF s(t) = 0F Сопоставим каждой частице (, ) е? теньD тFеF точку (2, )D где (, ) ! сферические координатыD которые связаны с бертановскими следующим образомX = tg, = F TW


Утверждение 12

@Второй закон Кеплера для сферы с координатами (, ) и метрикой (2.1.2). Пусть на ского потенциала V1 или аналог гуковского V2 . Тогда интервалы времени меридианом, соединяющим тень полусферы, равны. Стоит заметитьD что не для каждой точки лежащих вблизи экватора удвоенная широта ностиAD хотя если считать тень абстрактной частица двигается по полусфереD а е? тень по без ограниченийF
Утверждение 13

QUA. Пусть задана полусфера CS CS действует аналог ньютоновплощади, заметаемые за равные движущейся частицы с полюсом

полусферы определена е? тень выходит за пределы экватораD точкойD принадлежащей целой полной сфереAD то тогда закон

@для точек тFеF поверхE сфере @тFеF обобщается

@Третий закон Кеплера для сферы QUA. Пусть задана полусфера CS с координатами (, ) и метрикой (2.1.2). Пусть на CS действует аналог ньютоновского потенциала V1 . Тогда период движения T частицы по орбите (т.е. период траектории) зависит только от суммы 1 + 2 , где 1 , 2 пери и апоцентры в сферических координатах, т.е. просто широты пери- и апоцентров. К сожалениюD обобщить эти законы на поверхности БертранаD отвечающие ненулеE вому значению параметра tD не удаетсяF Однако можно обобщить их на случай псевдоE римановых поверхностейD отвечающих значениям параметров t = 0D ч = 1D но сначала сформулируем одно простое утверждениеF
Утверждение 14.

Пусть S (S ) риманова (псевдориманова) поверхность Бертрана, реализованная в R3 (R3 ), а V замыкающий потенциал на ней. Тогда орбиты будут 2 симметричны относительно плоскостей, проходящих через ось вращения поверхности и точек экстремумов.
Это утверждение является прямым следствием предложения PFPF Следующее утверE ждение обобщает первый закон Кеплера на поверхности с индефинитной метрикойF

Пусть S поверхность Бертрана с псевдоримановой метрикой + , реализованная в R3 . Пусть на ней действует аналог ньютоновds2 = 2 ского потенциала V1 или аналог гуковского V2 . Тогда движение по S под действием V1 (соответственно V2 ) будет происходить по коническим сечениям, где конус является квадрикой и его центр расположен на оси вращения.
Утверждение 15.

d2 (2 +c)2

d2 (2 +c)

Точка с координатами (, ) лежит на поверхности (x, y , z ) = (f () cos , f () sin , g ())F При этом для потенциала V1 согласно @PFPFIVA и связаны соотношением = a + b cos F Выразим в этом соотношении и cos через (X, Y , Z )F Z Косинус выражается так cos = X/ X 2 + Y 2 D выражается так = -c X 2 +Y 2 @из g 2 -
Доказательство.

UH


1 c f 2 = (2 +c)2 и f 2 = - 21 c находим g 2 = (2 +c)3 D интегрируем g = + g Z = -c f = -c X 2 +Y 2 AF После подстановки получится

c(2 +c)

и устанавливаем

-c

Z X = a + b , X2 + Y 2 X2 + Y 2

а это уже уравнение квадратичного конуса с вершиной на оси OZ F 2 2 2 Аналогично для потенциала V2 @cos 2 = X 2 -Y 2 D 2 = -c X 2Z Y 2 AF X +Y + Последнее утверждение сформулировано для орбитD которые замыкаются за один виE ток @ч = 1AF При t = 0 неясно являются ли орбиты коническими сечениямиD но они сохраняют 1 некоторые свойства эллипсаF ВоEпервыхD общий вид уравнения @PFPFIWA 2 = p (1 + e cos 2) напоминает уравнение эллипса в полярных координатах @в случае R2 с полярными коорE динатами (r, ) бертрановские координаты определяются так = 1/rAF ВоEвторыхD орбита имеет P оси симметрииF ВEтретьихD для орбит можно ввести понятие эксцентриситетаF На плоскости квадриE ки задаются эксцентриситетом с точностью до преобразования подобияD тFеF любые две квадрики с одинаковым e подобныF В случае поверхности Бертрана @как с римановой так и с псевдоримановой метрикойA назов?м эксцентриситетом орбиты величину e =

( ) то одна переводится в другую с помощью умноженияX 1 (, ) 2 (, ) = 1 (x , )F ВEчетвертых справедливо обобщение следующего простого свойства квадрик на плосE костиX если повернуть на плоскости эллипс @параболуA на WH градусов @и даже сдвинутьAD то точки пересечения его с исходным эллипсом @если сдвига не былоD их будет RA будут лежать на одной окружности @достаточно сложить их уравнения в декартовых координаE тахAF Здесь же роль поворота сыграет подстановка + D которая даст пов?рнутую 2 орбитуF Оказывается е? пересечение с исходной орбитой будет состоять из R точекD лежаE щих на одной параллелиF

1+

t- 2A K2 E -B c2 -2 K2

F Тогда если взять орбиту с тем же эксцентриситетомD но другим

E -B K2

c - 2D

UI


Глава 4

Гамильтонов подход

В предыдущих главах к системам Бертрана применялся лагранжев подходF Однако сиE стема Бертрана является в то же время и гамильтоновой системой с четырехмерным фазовым пространством M 4 F Бертрановская система интегрируемаD полная энергия E и кинетический момент K ! е? первые интегралыF Для некоторых бертрановских систем @риманов случайD t = 0A построен также третий первый интегралD который является обобE щением вектора ЛапласаEРунгеEЛенца PS @заметимD что вектор ЛапласаEРунгеEЛенца удалось обобщить также и на остальные поверхности Бертрана IAD таким образомD для таких систем найден максимальный набор первых интеграловF Система Бертрана очень похожа на интегрируемые по Лиувиллю гамильтоновы системы QQD но таковой не являE ется в силу неполноты фазовых потоковF Однако она сохраняет многие свойства интегриE руемых по Лиувиллю системD в тFчF е? фазовое пространство M 4 слоится на совместные поверхности уровней интегралов E и K D связные компоненты которых либо окружноE стиD либо торыD либо цилиндрыF Система Бертрана богата различными особенностямиX у не? не всегда полны фазовые потокиD у не? есть некомпактные слои и некомпактные перестройкиD у не? все торы Лиувилля резонансныF Несмотря на все это здесь работают большинство методовD разработанных и применяемых для интегрируемых по ЛиувилE лю гамильтоновых систем компактными изоэнергетическими поверхностями QPEQRD RIERPD RSESQD SRF В данной главе будет подробно описана топология слоения Лиувилля системы БертраE наD исследована полнота фазовых потоков первых интегралов E и K D а также возникаюE щие перестройки слоев при изменении E и K D построены расширенные бифуркационные диаграммыF

4.1

Система Бертрана как гамильтонова система

Представление системы Бертрана как гамильтоновой системы позволит нам применить к ее изучению новые методы и получить новые результатыF Пусть у нас задано произE

UP


вольное гладкое многообразие вращения S (a, b) Ч S 1 @соответственно S A с координаE тами (u, mod 2 ) и римановой метрикой @IFIFIA @псевдоримановой метрикой @IFIFPAAF Пусть на S @на S A действует центральный гладкий потенциал V (u)F Тогда такая систеE ма является гамильтоновойF Соответствующие импульсы имеют вид pu := L = a2 (u)uD 11 u

p := L = a2 (u)D где L ! лагранжианD а гамильтониан H = ^ 22 Движение задается уравнениями ГамильтонаX H u = p , u = H , p pu = - H , u p = - H .


p2 u 2a2 (u) 11

+ ^

p2 2( 2a22

u)

+ V (u)F

@RFIFIA

НапомнимD что величина введена для единообразия записи формул в римановом и псевE ^ доримановом случаях @смF определение IFIFIAD и соответственно равна единице в первом и минус единице во второмF Когда поверхность S @или S A и потенциал V бертрановскиеD то уравнения @RFIFIA можно решить в бертрановских коодринатах (, ) @смF замечание IFIFPA и записать решение в виде функции r(t) = ((t), (t))D тFеF найти траектории @смF определение IFIFQA на S @или S AF По траектории r(t) восстанавливается орбитаD а также фазовая траектория rM (t) = ((t), (t), p (t), p (t))F Большую помощь в интегрировании уравнений @RFIFIA оказывают первые интегралы полной энергии E и кинетического момента K D которые являются таковыми не тольE ко для бертрановской пары (S, V )D но и для произвольной поверхности вращения S и центрального @не зависящего от угловой координаты A потенциала V X

E=H=

p

2 u

2a2 (u) 11

+ ^

p

2

2a2 (u) 22

+ V (u),

@RFIFPA @RFIFQA

K = p .

Гамильтоновой системой Бертрана назовем ограничение системы @RFIFIA на инваE риантное подмножество M 4 := (T S ) \ {p = 0}F Фазовое пространство M 4 системы представляет из себя четырехмерное многообразие вращения (a, b) Ч S 1 Ч R1 Ч (R1 \ {0}) @кокасательное расслоение к S D из которого удалены фазовые орбитыD отвечающие осоE бым орбитамAF На M 4 определены координаты (u, , pu , p )F Симплектическое многообразие M ! это многообразие с заданной на нем невырожденной замкнутой PEформой F Форма называется симплектическойF
Определение 4.1.1.

Любое симплектическое многообразие является ориентируемым и четномернымF Фазовое пространство M 4 описанной выше динамической системы ! симплектическое многообразие с канонической симплектической структурой

= du dpu + d dp .
UQ

@RFIFRA


Наличие симплектической структуры позволяет канонически определить вектор косого градиента от скалярной гладкой функции F на M 4 и скобку Пуассона QQF Для гладкой функции F на симплектическом многообразии (M 2n , ) определ?н вектор косого градиента sgrad F (u)X координаты вектора sgrad F (u) определяE ются из соотношения (v , sgrad F ) = v (F )D которое должно быть выполнено для произE вольного векторного поля v на M 2n F В локальных координатах
Определение 4.1.2.

(sgrad F )i =

ij

F , xj

@RFIFSA

где ij ! матрицаD обратная к ij ! матрице симплектической формы @4.1.4AF Вектор косого градиента sgrad F является двойственным к ковектору градиента dF относительно невырожденной формы F
Определение 4.1.3.

Скобкой Пуассона на многообразии M называется билинейное отображение {ћ, ћ}X C (M ) Ч C (M ) C (M )D ставящее в соответствие паре гладких функций гладкую функциюD и удовлетворяющее правилам косой симметрииD Якоби и ЛейбницаX


{f , g } = -{g , f }, {f , {g , h}} + {g , {h, f }} + {h, {f , g }} = 0, {f g , h} = f {g , h} + g {f , h}.
МногообразиеD на котором введена скобка ПуассонаD называется пуассоновымF

@RFIFTA @RFIFUA @RFIFVA

Любое симплектическое многообразие является пуассоновым @обратноеD вообще гоE воряD не верноAD тFкF для двух гладких функций F, G скобку Пуассона можно ввести следующим образом

{F, G} = (sgrad F, sgrad G) {F, G} =

ij

F G . xi xj

СкажемD что две гладкие функции F, G на M 4 находятся в инволюции или коммутируютD если {F, G} = 0F ФункцияD равная тождественно константеD коммутирует с любой другойF В терминах скобки Пуассона уравнения Гамильтона @RFIFIA перепишутся в видеX

u pu p

= = = =

{ { { {

H H H H

, , , ,

u}, }, pu }, p }.

@RFIFWA

UR


Интегральные кривые системы @RFIFWA представляют из себя кривые векторного поля sgrad H F Функция F на M ! первый интеграл системы @RFIFWAD если она постоянна на интегральных кривых поля sgrad H D что соответствует F = {H, F } = 0F
Определение 4.1.4.

Гамильтонову систему @M 2n , , H AD определенную на симплектиE ческом многообразии (M 2n , )D где H ! гладкий гамильтонианD назовем вполне интегрируемой по ЛиувиллюD если существует n первых интегралов f1 , f2 , ...fn поля sgrad H D которые удовлетворяют условиямX

ћ f1 , f2 , ..., fn функционально независимыD тFеF почти всюду на M нейно независимыD ћ f1 , f2 , ..., fn попарно коммутируютD тFеF {fi , fj } = 0,

2n

их градиенты лиE

ћ фазовые потоки полей sgrad f1 D FFF sgrad fn полныD тFеF естественный параметр на интегральных кривых продолжается до бесконечности в обе стороныF
Совместной регулярной поверхностью Ta1 ,...an уровня функций f1 , ..., fn назов?м поE верхность Ta1 ,...an := {x M 2n : f1 (x) = a1 , ..., fn (x) = an } такуюD что в каждой точке x Ta1 ,...an градиенты grad f1 D FFF grad fn линейно независимыF Разбиение фазового проE странства M 2n на связные компоненты совместных поверхностей уровня первых интеграE лов назовем слоением ЛиувилляF Для совместной поверхности первых интегралов f1 , ...fn вполне интегрируемых по Лиувиллю систем выполняется теорема Лиувилля QQF @Теорема ЛиувилляA. Пусть (M 2n , , H = f1 , f2 , ..., fn ) вполне интегрируемая по Лиувиллю гамильтонова система. Тогда справедливы следующие утверждения:
Теорема 11

1. совместная регулярная связная поверхность Ta1 ,...an уровня интегралов f1 , ...fn инвариантна относительно потоков sgrad f1 , ..., sgrad fn и если она компактна, то диффеоморфна n-мерному тору T n , который называется тором Лиувилля; 2. слоение Лиувилля в некоторой окрестности U тора Лиувилля Ta1 но прямому произведению тора T n на диск Dn ;
,...a
n

диффеоморф-

3. в окрестности U = T n Ч Dn можно ввести координаты s1 , ..., sn , 1 , ...n , называемые переменными действие-угол, обладающие свойствами: (a) s1 , ..., sn координаты на Dn , 1 mod 2 , ...n mod 2 угловые координаты на торе T n , (b) = dsi di , (c) переменные действия si являются функциями от первых интегралов f1 , ...fn , (d) гамильтонов поток sgrad H в переменных действие-угол спрямляется на каждом торе Лиувилля, что означает, что уравнения Гамильтона принимают вид si = 0, i = qi (s1 , ..., sn ).
US


Важно заметитьD что в случае некомпактности слоя Ta1 ,...an D он диффеоморфен факE торпространству пространства Rn по Zk @k < nAD Ta1 ,...an (S 1 )k Ч Rn-k F Бертрановская гамильтонова система на проколотой евклидовой плокости R2 \{} с полярными координатами (r, )D потенциалом Гука пружинного взаимодействия V (r) = r2 D четырехмерным фазовым пространством M 4 (0, ) Ч S 1 Ч R2 D гамильтонианом 2 p2 H = p2r + 2r2 + r2 является вполне интегрируемой по Лиувиллю с компактными слоями Лиувилля @несмотря на некомпактность M 4 AD каждый регулярный слой будет двумерным торомF Однако не все бертрановские системы интегрируемы по ЛиувиллюF Рассмотрим тор Лиувилля T некой интегрируемой системы sgrad H F Тогда по теореме Лиувилля поле sgrad H на торе T принимает вид 1 = c1 , ...n = cn F Тор Лиувилля назыE вают резонанснымD если существует нетривиальная целочисленная линейная комбинация величин c1 , ..., cn D равная нулюF Соответственно система называется резонанснойD если все c2 ее торы Лиувилля резонансныF В случае системы с двумя степенями свободы число = c1 называют числом вращения интегрируемой системы sgrad H на торе Лиувилля T F У берE трановской системы все ограниченные орбиты будут замкнутыD аD следовательноD и все траектории лежащие на торах Лиувилля @для интегралов H и p A будут замкнутыD таким образомD система Бертрана является резонанснойF Для нее число вращения на каждом торе одинаково и равно одному из семи параметровD определяющих пару Бертрана (S, V )D рациональному ч для аналога потенциала Ньютона и ч для аналога потенциала ГукаF 2 Для более общей динамической гамильтоновой системы (S, V )D где S (a, b) Ч S 1 ! двумерная поверхность вращения с метрикой @IFIFIA @или псевдоримановой метриE кой @IFIFPAAD V ! центральный гладкий потенциал на S D с фазовым симплектическим пространством (M 4 , ) @где определена соотношением @RFIFRAAD гамильтонианом H = p2 p2 u ^ 2 (u) + 2a2 (u) + V (u) рассмотрим первые интегралы энергии H и кинетического моменE 2a11 22 та p F Справедливо следующее утверждениеF

Интегралы энергии (4.1.2) и кинетического момента (4.1.3) функционально независимы п.в., находятся в инволюции и векторное поле sgrad p полно.
Утверждение 16.

Доказательство.

Посчитаем градиенты H и p в координатах (u, , pu , p )X a11 (u) a (u) Hu = - a3 (u) p2 - a22 (u) p2 + V (u) ^3 0 u 11 22 0 H = 0 , grad p = . @RFIFIHA grad H = pu 0 Hpu = a2 (u) 11 1 Hp = - a2pu) (
22

Далее с помощью соотношения @RFIFSA вычислим sgrad H, sgrad p X Hpu 0 H 1 sgrad H = p , sgrad p = . -Hu 0 0 0 UT

@RFIFIIA


Теперь легко увидетьD что {H, p } = (sgrad H )T ij (sgrad p ) = 0F Полнота поля sgrad p следует из тогоD что его интегральные линии ! это окружности вида {} Ч S 1 Ч {} Ч {} M 4 F Утверждения IT недостаточно для тогоD чтобы гамильтонова система (S, V ) была вполне интегрируема по ЛиувиллюF Как показывают утверждения IVD IWD поток sgrad H не всегда полонF ОднакоD несмотря на этоD для связных компактных компонент совместE ного регулярного множества уровня интегралов энергии и кинетического момента выE полняются утверждения теоремы ЛиувилляD тFеF справедливо утверждение IUF

Пусть S (S ) поверхность с координатами (u, ) и римановой метрикой (1.1.1) (псевдоримановой метрикой (1.1.2)). Пусть на ней действует центральный потенциал V (u). Тогда для такой гамильтоновой системы связная компонента совместной регулярной поверхности уровня интегралов энергии и кинетического p2 p2 ^ момента TE ,K = {(, , p , p ) M 4 | 2a2 u(u) + 2a2 (u) + V (u) = E , p = K } является либо 11 22 тором, либо цилиндром.
Утверждение 17.

ЗаметимD что согласно утверждению IT выполняются все условия определения RFIFRD кроме полноты потока sgrad H F Этого достаточно для применения теоремы I работы QHD являющейся обобщением классической теоремы ЛиувилляF Дадим далее альтернативное доказательство в случаеD когда связная компонента TE ,K компактнаF Рассмотрим векторное поле sgrad p на связной компоненте TE ,K F ПоверхE ность TE ,K инвариантна относительно поля sgrad p D тFкF из коммутирования H, p слеE дуетD что H, p являются первыми интегралами не только для поля sgrad H D но и для поля sgrad p F У поля sgrad p не будет особых точекD тFкF его интегральные линии суть окружности {} Ч S 1 Ч {} Ч {}F А значит эйлерова характеристика @как сумма индексов особых точек векторного поляA совместной компактной поверхности уровня равна HD тFеF это тор или бутылка КлейнаF Так как поверхность TE ,K регулярнаD то векторы sgrad H D sgrad p образуют базис ее касательного пространства в каждой ее точкеF Поэтому эта поверхность ориентируемаD тFеF не может являться бутылкой КлейнаF Для бертрановского потенциала можноD используя замкнутость ограниченных орбитD поE строить в явном виде гомеоморфизм между тором и TE ,K F Пусть TE ,K компактна и (u, , pu , p ) TE ,K F Тогда существует такая ограниченнаяD а значит в силу замыкаеE мости бертрановского потенциалаD замкнутая траектория (t)F При некотором значении времени t = t0 тело при движении по этой траектории проходит точку с координатами (u, ) и имеет энергию и кинетический момент равные соответственно E , K F Эта траекE тория не является круговойD так как на фазовой орбитеD отвечающей круговой орбитеD sgrad H пропорционален sgrad p D поэтому содержащая ее поверхность TE ,K не регулярнаF Все некруговые ограниченные орбиты с такими же значениями H, p получаются из Im поворотом на некий угол 0 F Поэтому каждую такую орбиту @траекториюA можно задать углом 0 F ТFкF траектория замкнутаD то каждая точка на траектории () однозначно заE да?тся углом @точка однозначно зада?тся моментом времени tD а (t) ! монотоннаAF
Доказательство.

UU


Поэтому все точки на совместной компоненте уровня интегралов H, p можно взаимноE однозначно задать двумя угловыми координатами (0 , )D и значит она является тором S 1 Ч S 1F Аналогично с цилиндромD который получается в некомпактном случаеF Далее среди всех систем @S, V A и @S , V A движения по поверхности S с римановой метрикой @IFIFIA или S с псевдоримановой метрикой @IFIFPA под действием центрального потенциала V будем рассматривать только бертрановскиеF Также далее рассуждения буE дут проходить в бертрановских координатах @замF IFIFPAF Для определения всех случаев полноты потока sgrad H заметимD что у ограниченных орбит поток sgrad H всегда полонF В случае же неограниченных нужно посчитатьD выходит ли орбита на границу поверхE ности за конечное время или нетF Если выходитD значит параметр на соответствующей траектории не продолжается до бесконечности и поток неполонF
Определение 4.1.5.

Пусть задана поверхность Бертрана S (a, b) Ч S 1 с замыкающим потенциалом V F Тогда граница = a @или = bA достигаетсяD если существует неособая орбита { = () | 1 < < 2 }D где - 1 < 2 D упирающаяся в границу = aD тFеF () a при 0 для некоторого действительного 0 F Граница = a @или = bA достигается асимптотически или является асимптотойD если существует неособая орбита = ()D наматывающаяся на граничную окружность = aD тFеF i {-, +} и () a при i для некоторого i {1, 2}F Граница = a @или = bA достигается (или достигается асимптотически) за конечное времяD если существует неособая траектория r(t) = ((t), (t)) и действительное t0 такиеD что (t) a при t t0 F Граница = a @или = bA вполне недостижимаD если она не достигается и не достигается асимптотическиF
Утверждение 18.

Пусть задана пара Бертрана (S, V ), где S максимальная риманова поверхность Бертрана, параметризованная тройкой (c, t, ч), с бертрановскими координатами (, mod 2 ) и метрикой (2.1.2), V () замыкающий потенциал на S . Тогда справедливы следующие положения. 1. В случае t = 0, c = 0 и потенциала V1 () = A (A < 0) граница = 0 (абсолют) достигается за бесконечное время всеми неособыми орбитами с уровнями (E , K ) интегралов таких, что E 0, при остальных значениях (E , K ) граница вполне недостижима. Граница = (полюс) вполне недостижима. Если потенциал A V2 () = 2 (A > 0), то обе границы = 0, = вполне недостижимы. 2. В случае t = 0, c > 0 и потенциала V1 () граница = 0 (граничный стигается за конечное время неособыми орбитами с уровнями (E , K таких, что 2E cч2 K 2 , при других значениях (E , K ) граница вполне ма. Граница = (полюс) вполне недостижима. Если потенциал границы = 0, = вполне недостижимы.
UV

экватор) до) интегралов недостижиV2 (), то обе


3. В случае t = 0, c < 0 и потенциала V1 () граница = -c (абсолют) достигается за бесконечное время всеми неособыми орбитами с уровнями (E , K ) инте гралов из области {E > A -c} {E = A -c, -A > ч2 K 2 -c}, при остальных значениях (E , K ) граница вполне недостижима. Граница = (полюс) вполне недостижима. Для потенциала V2 () граница = -c достигается за бесконечное время всеми неособыми орбитами с уровнями (E , K ) интегралов из области A A {E > -c } {E = -c , 2A > ч2 K 2 c2 }, при остальных значениях (E , K ) граница вполне недостижима. Граница = вполне недостижима.
4. В случае t > 0 и потенциала V2 граница = (полюс) вполне недостижима. Граница = 2 (абсолют) достигается за бесконечное время всеми неособыми A A орбитами с уровнями (E , K ) интегралов из области {E > 2 } {E = 2 , ч2 (2A+t) > 4 2 2 2 2 K }, при остальных значениях (E , K ) граница вполне недостижима. 5. В случае значения параметров (c, t) из области 2 l3 = {t < 0, c < 0, c2 + 4t 0} A (см. рис. 2.2) и потенциала V2 = 2 (A(4 + t) > 0) имеем две поверхности. Граница первой поверхности = 2 (абсолют) достигается за бесконечное время всеми A неособыми орбитами с уровнями (E , K ) интегралов из области {E > 2 } {E = 2 A 2A > K 2 }, при остальных значениях (E , K ) граница вполне недостижи2, 4 2 ч2 (2 +t) ма. Граница первой поверхности = (полюс) вполне недостижима. Граница = 0 (полюс) второй поверхности достигается за конечное время всеми неособыми орбитами с уровнями (E , K ) интегралов из области {2A < ч2 K 2 t} {2A = ч2 K 2 t, 2E > ч2 K 2 c}, при остальных значениях (E , K ) граница вполне недостижима. Граница = 1 (абсолют) второй поверхности достигается за бесконечное время всеми неособыми орбитами с уровнями (E , K ) интегралов из области A A {E > 2 } {E = 2 , ч2 (2A+t) > K 2 }, при остальных значениях (E , K ) граница вполне 4 1 1 1 недостижима. 6. В случае значения параметров (c, t) из области 3 = {c2 + 4t < 0} {c > 0, t < A 0, c2 + 4t 0} (см. рис. 2.2) и потенциала V2 = 2 (A(4 + t) > 0) имеем две по верхности. Граница первой и второй поверхностей = 4 -t (граничный экватор) достигается за конечное время всеми неособыми орбитами с уровнями (E , K ) ин тегралов из области {2(E - A t ) - ч2 K 2 (2 -t + c) 0)}, при остальных значениях - (E , K ) граница вполне недостижима. Граница = (полюс) первой поверхности вполне недостижима. Граница = 0 (полюс) второй поверхности достигается за конечное время всеми неособыми орбитами с уровнями (E , K ) интегралов из области {ч2 K 2 t > 2A} {ч2 K 2 t = 2A, ч2 K 2 c = 2E }, при остальных значениях (E , K ) граница вполне недостижима.
Утверждение 19.

Пусть задана пара Бертрана (S , V ), где S максимальная псевдориманова поверхность Бертрана, параметризованная тройкой (c, t, ч), с бертрановскиUW


ми координатами (, mod 2 ) и псевдоримановой метрикой (2.1.8), V () замыкающий потенциал на S . Тогда справедливы следующие положения. 1. В случае t = 0, c < 0 и потенциала V1 () = A (A < 0) граница = 0 (граничный экватор) достигается за конечное время всеми неособыми орбитами с уровнями c (E , K ) интегралов таких, что E ч2 K 2 2 , при остальных значениях (E , K ) гра ница вполне недостижима. Граница = -c (абсолют) достигается за бесконечное время всеми неособыми орбитами с уровнями (E , K ) интегралов из области {E > A -c} {E = A -c, K 2 > ч2-A c }, при остальных значениях (E , K ) граница - вполне недостижима.
A 2. В случае t = 0, c < 0 и потенциала V2 () = 2 (A > 0) (см. теорему 6) граница = -c достигается только за бесконечное время всеми неособыми орбитами A A с уровнями (E , K ) интегралов из области {E > -c } {E = -c , K > -2A }, при чc остальных значениях (E , K ) граница вполне недостижима. Граница = 0 вполне недостижима. A 3. В случае t > 0 и потенциала V2 () = 2 (A > 0) граница = 0 (полюс) достигается за конечное время всеми неособыми орбитами с уровнями (E , K ) интегралов из 2A 2A области {K 2 > ч2 t } {K 2 = ч2 t , E > Ac }, при остальных значениях (E , K ) граt ница вполне недостижима. Граница = 2 (абсолют) достигается за бесконечное время всеми неособыми орбитами с уровнями (E , K ) интегралов из области A A {E > 2 } {E = 2 , K 2 > ч2 (2A+t) }, при остальных значениях (E , K ) граница вполне 4 2 2 2 недостижима.

4. В случае значения параметров (c, t) из области 2 := {(c, t) : t < 0, c < 0, c2 + 4t > 0} (см. рис. 2.1) имеем две максимальные поверхности. Граница = 4 -t (граничный экватор) первой и второй поверхностей достижима за конечное время всеми неособыми орбитами с уровнями (E , K ) интегралов из области {E A c + ч2 K 2 ( -t + 2 )}, при остальных значениях (E , K ) граница вполне недости-t жима. Граница = 1 (абсолют) первой поверхности достижима за бесконечное время всеми неособыми орбитами с уровнями (E , K ) интегралов из области A A {E > 2 } {E = 2 , K 2 > ч2 (2A+t) }, при остальных значениях (E , K ) граница вполне 4 1 1 1 недостижима. Граница = 2 (абсолют) второй поверхности достижима за бесконечное время всеми неособыми орбитами с уровнями (E , K ) интегралов из обA A ласти {E > 2 } {E = 2 , K 2 > ч2 (2A+t) }, при остальных значениях (E , K ) граница 4 2 2 2 вполне недостижима.
Замечание 4.1.1.

Утверждения IVD IW позволяют выделить три случая в зависимости от полноты потоков и компактности регулярных слоев ЛиувилляF IF Потоки sgrad H полны и регулярные слои компактны для следующих римановых максимальных поверхностей Бертрана и потенциаловX t = c = 0, V2 Y t = 0, c > 0, V2 F VH


Среди псевдоримановых поверхностей нет удовлетворяющих требованиям полноты потоков и компактности слоевF PF Потоки sgrad H полныD но среди регулярных слоев есть некомпактные для следуюE щих римановых максимальных поверхностей Бертрана и потенциаловX t = c = 0, V1 Y t = 0, c < 0, V1 Y t = 0, c < 0, V2 Y t > 0, V2 Y t < 0, c < 0, c2 + 4t > 0, a = 2 , ^ = , V2 F ^ b Потоки sgrad H полныD но среди регулярных слоев есть некомпактные для слеE дующих псевдоримановых максимальных поверхностей Бертрана и потенциаловX t = 0, c < 0, V2 F QF Потоки sgrad H неполны во всех остальных случаяхF В утверждениях IVD IW рассматривались максимальные поверхности БертранаD тFеF такиеD которые не являются подповерхностью никакой другой поверхности БертранаF Пусть риманова поверность Бертрана S0 (a1 , b1 ) Ч S 1 не максимальна и является подповерхностью максимальной поверхности Бертрана S (a, b) Ч S 1 такD что a < a1 < b1 < bF Тогда обе е? границы = a1 и = b1 достигаются за конечное времяF В самом деле у исходной поверхности S согласно предложению PFS существует замкнутая траектория с энергией E D кинетическим моментом K D перицентром a1 и апоцентром b1 и периодом T F Тогда время движения от a1 до b1 равно t1 < T @t1 = T /2q AD поэтому если рассмотреть орбиту с энергией E и кинетическим моментом K на поверхности S0 D то полное времяD которое потребуетсяD чтобы добраться от одной границы до другой конечно и равно t1 F
Замечание 4.1.2.

Прежде всего сформулируем факт достижимости границы в терE минах функций V () и a2 () и констант E , K F Необходимым и достаточным условием 22 тогоD что движение с энергией E D моментом K возможно в точке (0 , 0 ) является
Доказательство.

~ V (0 ) = E - V (0 ) - ^

K2 0. 2a2 (0 ) 22
2 2

@RFIFIPA

a ( ) ~ В самом деле согласно @IFIFSA выполнено V (0 ) = 11 20 0 D отсюда сразу следует необхоE димостьD достаточность следует из теоремы существования решения задачи Коши дифE ференциального уравнения @IFIFSA с начальным условием (0 ) = 0 F СоответственноD если граница = a достигаетсяD то в некоторой ее окрестности возE можно движение по некоторой неособой орбитеD тFеF существует орбита { = ()} и действительное > 0 такиеD что 0 (a, a + ) 0 : (0 ) = 0 F Однако этого недостаE ~ точноD чтобы граница = a достигаласьD тFкF если V (a) = 0 орбита { = ()} может наматываться на границу @с бесконечным числом витковA так ее и не достигнувF НеобE ходимое условие достижимости границы = aD совпадающее с достаточным условием достижимости или асимптотической достижимости границы = aD формулируется такX ~ V () > 0 в некоторой окрестности границы = a вида (a, a + )F Но для систем БертраE на асимптотическая достижимость невозможна в силу явных формул @PFPFIVA"@PFPFPHA

VI


для орбит в бертрановских координатах @смF конец доказательства теоремы TAF Поэтому окончательно необходимое и достаточное условие достижимости границы = a для берE ~ трановских систем формулируется такX V () > 0 в некоторой окрестности границы = a вида (a, a + )F Для выполнения последнего условия @а значитD и для достижимости граниE ~ ~ ~ цы = aA достаточно тогоD что либо 0 < V (a) +D либо V (a) = 0 и V (a) > 0F Здесь мы используемD что для бертрановских систем эффективный потенциал имеет простой вид @смF @PFPFPIAAD поэтому он @вместе со своими производнымиA естественно продолжается @возможноD бесконечностьюA по непрерывности в граничные точки интервала (a, b)F Проверку с производными можно опуститьD если известноD что время движения до границы хотя бы по одной траектории конечноF Имея условияD которые позволяют определить достигается ли границаD осталось приE вести условие для определения достигается ли граница за конечное время или за бесE конечноеF Для этого достаточно записать время движения по орбите с энергией E и моментом K от параллели = 11 до параллели = 22 @согласно @IFIFSA и @IFIFTAA и устремлять одну из крайних параллелей @11 , 22 A к границеX

22

T=
11

a11 ()d 2(E - V ()) - ^
a2 22 K2 ()

.

@RFIFIQA

~ ЗаметимD что под корнем стоит как раз величина 2V ()D поэтому если движение возможE ноD то подкоренное выражение в интеграле @RFIFIQA неотрицательноF Рассмотрим риманову @ = 1A максимальную бертрановскую поверхность S (0, ) Ч ^ S 1 D соответствующую c = t = 0 и потенциал V1 () = A (A < 0)F Если граница = ~ достигаетсяD то тогда существует орбита () с некоторыми E , K такаяD что V () в 2 ч2 ~ окрестности положительнаF Но при функция V () = E -A - K 2 2 стремится к - при любых значениях E D K = 0 @что соответствует неособости орбитыAD что означает @по критерию @RFIFIPAAD что данная граница не достигаетсяF ~ ~ ВидноD что при 0 функция V () E D а также V (0) = -A > 0D тFеF граница = 0 достигается при E 0 и не достигается при E < 0F При E 0 время движения между параллелями 11 и 22 вычисляется @согласно @RFIFIQAA
22

T=

11

d
2

2(E - A) - K 2 ч2

2

.

При 11 = 0 интеграл в H расходитсяD тFеF граница = 0 достигается за бесконечное времяF A Рассмотрим теперь на той же поверхности потенциал V2 = 2 (A > 0)F Тогда функция 2 ч2 A ~ ~ V () = E - 2 - K 2 2 F При любых значениях E , K = 0 V () - при 0 и при D поэтому обе границы = 0 и = не достигаютсяF Рассмотрим риманову максимальную бертрановскую поверхность S (0, ) Ч S 1 D ~ соответствующую c > 0 и потенциал V1 () = A (A < 0)F Функция V () = E - A - VP


2 ч2 ~ (2 + c)F При 0 функция V () стремится к величине E - K 2 c D которая может быть положительной при тех значениях E , K D при которых 2E > cч2 K 2 Y при 2E = cч2 K 2 D ~ ~ тFеF V (0) = 0D выполнено V (0) > 0F Значит граница = 0 достигаетсяF Но при ~ функция V () - при любых значениях K = 0, E и граница = не достигаетсяF Время движения между параллелями 11 и 22 в этом случае вычисляется по формуле

K 2 ч2 2



22

T=
11

d ( + c)
2

2(E - A) - K 2 ч2 (2 + c)

.
1 2E -K 2 ч2 c

При 22 11 = 0 подынтегральная функция не превосходит константы
c

D тFеF

интеграл конечен и граница = 0 достигается за конечное времяF ~ Выполнено также V (0) = -A > 0D хотя это условие проверять уже не обязательноD тFкF время движения между какойEнибудь параллелью и границей конечноF В случае A ~ гуковского потенциала V2 = 2 (A > 0) функция V () стремится к - в окрестности обеих границD поэтому обе границы не достигаютсяF Для максимальной поверхности Бертрана @римановойA S ( -c, ) Ч S 1 D отвечаюE щей значениям параметров t = 0, c < 0 @зона l2 на рисF PFPAD и потенциала V1 = A(A < 0) 22 ~ ~ функция V () = E - A - K 2ч (2 + c)F При V () - при любых значениE ях E , K = 0D поэтому граница = не достигаетсяF Граница = -c достигается при ~ ~ V ( -c) = E - A -c > 0Y при E = A -c неравенство V ( -c) = -A - K 2 ч2 -c > 0 выE полняется при -A > ч2 K 2 -cF Соответствующий интеграл расходится в -cD поэтому граница = -c достигается за бесконечное времяF Остальные случаи разбираются аналогичноF Осветим еще только случай максимальE ной римановой поверхности Бертрана S (0, 4 -t) Ч S 1 D отвечающей значениям паE раметров (c, t) из области 3 @смF рисF PFPAF На S действует замыкающий потенциал V2 () = A-2 (A < 0)F 2K2 2K2 A ~ ~ Имеем функцию V () = E - 2 - ч 2 (2 + c - t-2 )F Тогда V ( 4 -t) = E - A t - ч 2 (2 -t + - ~ c)D и при любом значении K = 0 можно подобрать E такоеD что V ( 4 -t) > 0D следовательE 2K2 ноD граница = 4 -t достигается при E - A t - ч 2 (2 -t + c) > 0Y в случае равенства - 2A ~ граница также достигаетсяD тFкF sgnV( 4 -t) = sgn2AF Далее для K 2 < ч2 t выполняется 2A 2A ~ V () + при 0F ЗначитD граница = 0 достигается при K 2 < ч2 t Y при K 2 = ч2 t ~ выполнено V () = 2E - ч2 K 2 (2 + c)D значит граница = 0 в этом случае при 2E = cч2 K 2 F Время движения между параллелями 11 , 22 в этом случае равноX
22

T=
11

d (2 + c - t-2 ) 2(E -
A 2

.

) - K 2 ч2 (2 + c - t-2 )

При 22 = 4 -t интеграл сходится в 4 -tD тFкF при 4 -t подынтегральная функция 1 стремится к константе Y при этом подкоренное выражение A 22
(2 -t+c) 2(E -
-t

)-K ч (2 -t+c)

VQ


~ больше нуляD тFкF оно равно V ( 4 -t) > 0 @мы подобрали подходящее E AD а 2 -t + c > 0 в силу (c, t) 3 F При 11 = 0 интеграл сходитсяD тFкF при 0 подынтегральная функция 3 эквивалентна 2 2 F
В случае максимальных поверхностей Бертрана с псевдоримановой метрикой докаE зательство проходит по той же схемеD при этом значение переменной берется равным ^ минус единицеF Евклидова плоскость R2 с законом всемирного тяготения и законом притяжения Гука служит отличным примером к утверждению IVF Евклидова плоскостьD если в ней прокоE лоть притягивающий центрD является максимальной поверхностью Бертрана (0, ) Ч S 1 D отвечающей следующим значениям параметров t = c = 0D ч = 1F В случае потенциала ГукаD который в полярных координатах равен Ar2 (A > 0)D все неособые орбиты будут эллипсамиD поэтому ни одна из границ r = 0, r = не достигается @ни одна траектория не упирается в притягивающий центр и ни одна не уходит на бесконечностьAF В случае же потенциала Ньютона все неособые орбиты будут либо эллипсамиD либо параболамиD либо гиперболамиD что означает недостижимость границы r = 0D но достижимость за бесконечное время границы r = @напримерD гиперболойAF
-t -2A+ч K t

4.2

Бифуркационные диаграммы.

Для бертрановской системы (S , V )D где S ! максимальная поверхность Бертрана с псевE доримановой метрикой @IFIFPAD а V замыкающий потенциал на нейD рассмотрим два перE вых интеграла энергии H и кинетического момента p F Для указанных интегралов расE смотрим слоение Лиувилля фазового простравнства M 4 гамильтоновой системы БертраE на на совместные слои уровней интегралов H и p F Топологические свойства слоения Лиувилля фазового пространства интегрируемой гамильтоновой системы связаны с осоE бенностями отображения моментаF Отображение FK E : M 4 R2 D задаваемое правилом FK E (, , p , p ) p2 p = (p , H ) = (p , 2a2 () - 2a2 () + V ()) назовем отображением моментаF 11 22 Точку m M 4 назовем особой точкой отображения моментаD если rk dFK E (x) < 2F СоE ответственно rk dFK E (x) назовем рангом особой точки xF Образ множества всех особых точек при отображении момента назовем бифуркационной диаграммойF
Определение 4.2.1.
2

Построим бифуркационные диаграммы отображения момента для систем БертранаD а также на плоскости OK E изобразим различные зоны точек (K, E )D выделяющие различE ные типы движений @круговоеD некруговое ограниченноеD неограниченное с одной стороE ныD неограниченное с двух сторонA ! назовем всю эту конструкцию расширенной бифурE кационной диаграммойF Таким образом каждой точке на плоскости @K, E A соответствует VR


слой слоения ЛиувилляF Мы не рассматриваем вырожденное движениеD тFеF движение по меридианам = constD что соответствует нулевому значению кинетического моментаF СоответственноD на плоскости OK E D где мы изобразим расширенную бифуркационную диаграммуD будет выколото множество K = 0F ЗаметимD что случаи K > 0 и K < 0 симE метричныD бифуркационная диаграмма симметрична относительно OE D поэтому ограE ничимся построением при K > 0F Для удобства разобьем множество = FK E [M 4 ] на несколько подмножествF
Определение 4.2.2.

2 ! образ множества точек фазового пространстваD в которых

rk dFK E = 2F 1 ! образ множества особых точек ранга IF 0 ! образ множества особых точек ранга HF IB ! образ множества точек фазового пространстваD которые лежат на фазовых траекE торияхD соответствующих ограниченным орбитамF
Для системы Бертрана выполняется = 0 1 2 F В самом деле = 0 1 2 в виду тогоD что 0 rk dF 2F Далее grad p = 0 ввиду @RFIFIHAD поэтому верно 0 = F Для множества 1 верно rk dFK E = 1 rk (grad p , grad H ) = 1 вектора grad H, grad p линейно зависимыF С учетом @4.1.10A линейная зависимость означаетD что

-2
p


a22 () 2 p ч2 a5 () 22

+

a22 () 2 p a3 () 22

+ V () = 0

a2 () 11

=0



a22 () 2 p a3 () 22

+ V () = 0

p = 0

@RFPFIA

Здесь применился тот фактD что в используемых нами бертрановских координатах a2 () = 11 4 4 a22 () ћ ч F Условия @RFPFIA в точности означаютD что данные K, E достигаются на кругоE вой орбите {} Ч S 1 и только на ней @согласно определению импульса p и предложению -1 PFIAD поэтому прообраз FK E (1 ) состоит из точек фазовых траекторийD соответствующих круговым орбитамF Верно и обратноеD на круговых орбитах выполняются условия @RFPFIAF Таким образом 1 состоит только из образа точек фазовых траекторийD соответствующих круговым орбитамD поэтому 1 2 = F НапримерD в случае закона Ньютона гравитационного притяжения в R2 все невыE рожденные орбиты можно разделить на ограниченные и неограниченныеF ОграниченE ные будут всегда замкнутыD тFкF они эллипсыF Эллипсам будут соответствовать значеE ния (K, E ) IB D окружностямD как частному случаю эллипсаD будут соответствовать значения (K, E ) 1 IB F Параболам и гиперболам будут соответствовать значения (K, E ) 2 \IB F В общем случае также множество IB соответствует тем значениям интегралов энерE гии и моментаD которые достигаются только на ограниченных орбитахF К ограниченным относятся круговыеD поэтому 1 IB всегдаF

VS


A Для каждого случая @t = 0, V1 = A + B Y t = 0, V2 = 2 + B Y t > 0, V2 Y t < 0, V2 A предE ставим по два рисунка ! бифуркационная диаграмма вместе с образом всего фазового пространства и расширенная бифуркационная диаграммаF

Поскольку константа f ни на что не влияетD в дальнейшем мы будем строить бифуркационную диаграмму без не?F Если далее везде вместо E представить E - B D то получатся формулы и диаграммы с учетом B F
Замечание 4.2.1.

Рассмотрим максимальную поверхность Бертрана S , соответствующую значениям параметров (c, t, ч) из области l1 (рис. 2.1), и потенциал V = A (A < 0). Для такой гамильтоновой системы бифуркационная диаграмма и полный образ отображения момента (на плоскости (K, E )) имеют вид (рис. 4.1). Точка A1 имеет координаты ( ч2-A c , A -c) и не принадлежит , множество 1 представляет из -
Предложение 4.1.

себя кривую E1 (K ) = {(K, E ) : E = cч 2K - 2чAK 2 , ч2-A c < K < }. 2 - Область 2 делится кривыми E2 (K ), E3 (K ) на четыре зоны (рис. 4.2) IB , I1 , I2 , I3 , 22 где E2 (K ) = {(K, E ) : E = cч 2K , 0 < K < }, E3 (K ) = {(K, E ) : E = A -c, ч2-A c < - K < }. Прообраз любой точки из 1 окружность, прообраз любой точки из IB тор (рис. 4.2). Прообраз каждой точки из I1 цилиндр, соответствующие фазовые потоки полны. Прообраз каждой точки из I2 цилиндр с неполными фазовыми потоками, время на соответствующих траекториях не продолжается ни до +, ни до -. Прообраз любой точки из I3 пара цилиндров с неполными потоками; время на траекториях цилиндра, лежащего в {p < 0}, не продолжается до +, но продолжается до -, для цилиндра {p > 0} наоборот. Граница зон I1 и IB содержится в I1 , граница зон I2 и IB содержится в I2 , граница зон I1 и I3 содержится в I3 , граница зон I2 и I3 содержится в I3 , общая граничная точка четырех зон принадлежит I3 .

2

2

2

E

E

2

I1 A1

I3

A1
1

IB

I2 K K

РисF RFIX Бифуркационная диаграмма и в РисF RFPX Расширенная бифуркационная случае l1 , V1 F диаграмма в случае l1 , V1 F ПокажемD что имеет вид как на рисF RFIF Точка (K, E ) D VT

Доказательство.


назовем такие значения первых интегралов допустимымиD если существует орбита с соE ответствующими значениями интегралов энергии E и момента K F Согласно @RFIFIPA необE ходимым и достаточным условием тогоD чтобы было возможно движение по S под дейE ствием V с энергией E и моментом K является существование 0 из интервала@0, -cA такогоD что 2 ~ (0 ) = E - V (0 ) + K 0. @RFPFPA V 2a2 (0 ) 22 Подставим в условие @RFPFPA нашу псевдориманову метрику a2 = - ч2 (1 +c) и замыE 2 22 2 K 2 ч2 0 K 2 ч2 c ~ кающий потенциал V () = A (A < 0)X V (0 ) := E - A0 - 2 - F Таким 2 образом задача свелась к нахождению всех пар (K > 0, E )D для которых существует ~ 0 (0, -c) : V (0 ) 0F ~ Производная V () = -A - K 2 ч2 обращается в ноль в точке max = - KAч2 F Если 2 ~ @ноль V A принадлежит (0, -c)D то вопрос существования 0 D удоE ~ максимум функции V ~ ~ влетворяющей V (0 ) 0D эквивалентен условию V (max ) 0F Пусть 1 ! множество точек ~ (K, E ) D для которых максимум функции V () принадлежит интервалу (0, -c)D а ~ 2 := \1 ! множество точек (K, E ) D для которых функция V () не достигает максиE -A мума на интервале (0, -c)F Условие max = - KAч2 (0, -c) эквивалентно K > -c F 2

~ Таким образомD чтобы найти 1 достаточно найти все пары (K, E )D для которых V - ~ 0F Имеем V - K>
- A -c A ч2 K
2

A ч2 K

2

=E+

A2 ч2 K

2

-

ч2 K 2 c 2

-

A2 2ч2 K

2

0D что соответствует томуD что при

точки (E , K ) расположены на кривой E1 (K ) и выше не?F ~ Чтобы найти 2 нужно заметитьD что если функция V () не имеет максимума на (0, -c)D ~ тогда она возрастает и существование 0 (0, -c) X V (0 ) 0 эквивалентно условию -A ~ V ( -c) > 0F Что да?т в итоге E > A -c для точек при K -c @на рисF RFI уровень E = A -c обозначен пунктиромAF Объединяя теперь найденные 1 и 2 получаем F ПокажемD что 1 зада?тся кривой E1 (K )F Первый способ состоит в томD что каждая круговая орибта = 0 имеет свою уникальную K D поэтому можно из первого уравнения системы @RFPFIA выразить через K и подставив в @RFIFPA получить как связаны E и K для круговой орбитыF Согласно @4.2.1A для a2 () = - ч2 (1 +c) и V = A имеем ч2 K 2 + A = 0D 2 22 -A тFеF = ч2 K 2 F Далее полученную вместе с условием p = 0 подставим в @RFIFPA и получим E1 (K )X K 2 ч2 c A2 E= - 2 2. 2 2ч K ТFкF (0, -c) @замечание 2.1.4AD то K ( ч2-A c , )F - Второй способ состоит в томD что условия @RFPFIA определяют круговую орбитуF ОбраE тимся к уравнению орбиты (2.2.18) ! оно показываетD что в случае замкнутой орбитыD происходит флуктуация вокруг положения -
A ч2 K
2

с амплитудой

1+

2E ч2 K A2

2

-c

ч4 K A2

4

D для

VU


круговой орбиты амплитуда приравнивается к нулюD что да?т ту же зависимость E1 (K ) между E и K F Множество IB представляет из себя точки (K, E )D соответствующие ограниченным орE битамF Для установления таких (K, E ) воспользуемся явным видом орбиты () и устаE новимD при каких условиях на (K, E ) она не выходит на границы {0} Ч S 1 , { -c} Ч S 1 ни при каком X

0<- - A 2K ч

A 2K ч

2

1- 1+

1+

2E ч2 K 2 ч4 K -c 2 A2 A
4

4

, -c.

@RFPFQA @RFPFRA

2

1+

2E ч2 K 2 ч4 K -c 2 A2 A

<

Что со всеми условиями на константы @A < 0, c < 0, K >

- A -c

A даетX @RFPFSA

E<

cK 2 , 2

E<



-cA,

E

A2 K 2 ч2 c - 2 2. 2 2ч K

Прообразом каждой точки (K, E ) IB будет компактное множество и согласно утверE ждению IU оно является тором Лиувилля T 2 F -1 [(K, E )] в случае (K, E ) IB \1 и окружностью в случае (K, E ) 1 F Для I2 верноD что каждому значению (K, E ) соответствуют орбитыD ограниченные только с одной стороны @со стороны параллели { -c} Ч S 1 AD тFкF нарушается условие @RFPFQA и выполняется условие @RFPFRAF По прежнему каждая такая орбита получается из другой поворотом вокруг оси вращения поверхностиD тFеF орбита = 1 () получается из орбиты = 2 () подстановкой 1 () = 2 ( + 0 ) для некоторого 0 F Поэтому @смF утверждение IUA прообраз любой точки из I2 будет цилиндромF Согласно утверждению IW траектория выходит за конечное время на границу = 0 поверхности S D значит и фазовая траектория выходит на границу цилиндра за конечное времяD тFеF поток на циE линдре неполонF Аналогично орбитыD соответствующие зоне I1 D ограничены со стороны параллели {0} Ч S 1 и не ограничены с противоположнойF Прообразом каждой точки из I1 тоже будет цилиндр только уже с полным потокомF Для зоны I3 верноD что соответствующие орбиты будут не ограничены с двух сторонF ТеE перь орбиты делятся на две группы ! с положительным значением p @частица движется от = 0 до = -cA и отрицательным p @частица движется от = -c до = 0AD что означаетD что прообразами в зоне I3 будут пары цилиндровD симметричные в фазоE вом пространстве M 4 относительно гиперплоскости p = 0 @последнее можно понимать такX точка (, , p , p ) принадлежит первому цилиндру тогда и только тогдаD когда точE ка (, , -p , p ) принадлежит второму цилиндруY а можно и поEдругомуX поверхность S VV


можно реализовать определенным образом в R3 D значитD добавив две размерностиD можно 2 реализовать фазовое пространство M 4 в R5 AF 2 ЗаметимD что прообраз любой точки (K, E ) будет симметричен относительно гиE перплоскости p = 0D тFеF указанный прообраз переходит себя при отображении (, , p , p ) (, , -p , p )F

Рассмотрим максимальную поверхность Бертрана S , соответствующую значениям параметров (c, t, ч) из области l1 (рис. 2.1), и замыкающий потенциал V = A-2 (A > 0). Для такой гамильтоновой системы бифуркационная диаграмма и полный образ фазового пространства (на плоскости (K, E )) имеют вид (рис. A 4.3). Точка A1 имеет координаты ( -2A , -c ) и не принадлежит , множество 1 предчc 22 ставляет из себя кривую E1 (K ) = {(K, E ) : E = cч 2K + 2AчK, -2A < K < }. чc Область 2 делится кривой E2 (K ) на две зоны (рис. 4.4) IB , I1 , где E2 (K ) = {(K, E ) : A E = -c , -2A < K < }. Прообраз любой точки из 1 окружность, прообраз любой чc точки из IB тор (рис. 4.4). Прообраз каждой точки из I1 цилиндр с полными фазовыми потоками. Граница зон I1 и IB содержится в I1 .
Предложение 4.2.
E E

2

I1 A1

A1
1

1

IB K K

РисF RFQX Бифуркационная диаграмма и в РисF RFRX Расширенная бифуркационная случае l1 , V2 F диаграмма в случае l1 , V2 F Доказательство предложения RFI почти дословно повторяет доказательство предлоE жения RFI с той лишь разницейD что вместо потенциала V1 () бер?тся потенциал V2 () и фактомD что граница {0} Ч S 1 не достижима @изEза чего 2 делится на P зоныD а не на R как на рисF RFPAF

Рассмотрим максимальную поверхность Бертрана S , соответствующую значениям параметров (c, t, ч) из области 1 (рис. 2.1), и потенциал V = A-2 (A > 0). Для такой гамильтоновой системы бифуркационная диаграмма и полный образ отображения момента (на плоскости (K, E )) имеют вид (рис. 4.5). Точки A1 , A2
Предложение 4.3.

VW


имеют координаты ( 2A , 4
ч



A 2 2 +t 2

), (

2A , Ac t чt

) соответственно и не принадлежат . Мноcч2 K 2
2

жество 1 представляет из себя кривую E1 (K ) = {(K, E ) : E =
ч
2

+ ч2 K

2

2A ч2 K

2

- t,

< K < }. Область 2 делится кривыми 2 (K ), E3 (K ) на четыре зоны (рис. 4.6) IB , 1 , I2 , I3 , E I 2 A где E2 (K ) = {(K, E ) : E = 2 , 2A < K < }, E3 (K ) = {(K, E ) : K = чA , Ac < 4 t t
-A -c
2

ч

E < }. Прообраз любой точки из 1 окружность, прообраз любой точки из IB тор (рис. 4.6). Прообраз каждой точки из I1 цилиндр, соответствующие фазовые потоки полны, прообраз каждой точки из I2 цилиндр с неполными фазовыми потоками, время на соответствующих фазовых траекториях не продолжается ни до +, ни до -. Прообраз любой точки из I3 пара цилиндров с неполными потоками; время на траекториях цилиндра, лежащего в {p < 0}, не продолжается до +, но продолжается до -, для цилиндра {p > 0} наоборот. Граница зон I1 и IB содержится в I1 , граница зон I2 и IB содержится в I2 , граница зон I1 и I3 содержится в I3 , граница зон I2 и I3 содержится в I3 , общая граничная точка четырех зон принадлежит I3 .
E E

2 +t

2

I1 A1

I3

A1
1

B
1

A2 K

A2

I2 K

РисF RFSX Бифуркационная диаграмма и в РисF RFTX Расширенная бифуркационная случае 1 , V2 F диаграмма в случае 1 , V2 F Как и в случае с предложением RFI критерий @RFPFPA позволяет обосновать вид множества 2 @рисF RFSAD а условия @RFPFIA вид 1 F Обоснование рисунка RFT упирается в поиск условий на K, E D при которых соответE ствующие орбиты будут ограничены с обеих сторон @IB AD ограничены только со стороны {0} Ч S 1 @I2 AD ограничены только со стороны {2 } Ч S 1 @I1 AD неограничены с обеих сторон @I3 AF Данные условия удобно получить с помощью уравнения орбиты @2.2.20AX
Доказательство.

t-
E чK
2

2A ч2 K
2

2

< 0,

E ч2 K E чK
2

2

- -

c 2 c 2

> 0,
2

c -2+

2

+t-

ч2

2A K

2

2 < 2

@RFPFTA

WH


Последнее из неравенств @RFPFTA эквивалентно ограниченности траектории со стороны края {2 } Ч S 1 D первая строчка да?т условие ограниченности орбиты со стороны края {0} Ч S 1 F Полнота или неполнота потоков с учетом случаев продолжаемости времени до + и - следует из утверждения IW и предложения PFPF

Рассмотрим максимальную поверхность Бертрана S с координатами (, ) и метрикой (2.1.8), соответствующую значениям параметров (c, t, ч) из области 2 (рис. 2.1); без ограничения общности координата меняется в пределах первой компоненты, т.е. в пределах интервала (1 , 4 -t). На S действует потенциал V = A-2 (A < 0). Для такой гамильтоновой системы бифуркационная диаграмма и полный образ отображения момента (на плоскости (K, E )) имеют вид (рис. 4.7). Точка A A1 имеет координаты ( 2A , 2 ) и не принадлежит . Множество 1 представляет 4
Предложение 4.4.

ч

1 +t

1

из себя кривую E1 (K ) = {(K, E ) : E =

cч2 K 2

2

+ ч2 K

2

2A ч2 K

2

- t, 2A 4
ч



Область 2 делится кривыми E2 (K ), E3 (K ) на четыре зоны (рис. 4.8) IB , I1 , I2 , I3 , 22 A где E2 (K ) = {(K, E ) : E = 2 , 2A < K < }, E3 (K ) = {(K, E ) : E = cч 2K + 4 ч 1 +t 1 -tч2 K 2 + A t , 0 < K < }. Прообраз любой точки из 1 окружность, прообраз - любой точки из IB тор (рис. 4.8). Прообраз каждой точки из I1 цилиндр, соответствующие фазовые потоки полны, прообраз каждой точки из I2 цилиндр с неполными фазовыми потоками, время на траекториях, лежащих на цилиндре не продолжается вправо до +, не продолжается влево до -. Прообраз любой точки из I3 пара цилиндров с неполными потоками; время на траекториях цилиндра, лежащего в {p < 0}, продолжается до +, но не продолжается до -, для цилиндра {p > 0} наоборот. Граница зон I1 и IB содержится в I1 , граница зон I2 и IB содержится в I2 , граница зон I1 и I3 содержится в I3 , граница зон I2 и I3 содержится в I3 , общая граничная точка четырех зон принадлежит I3 .
Доказательство повторяет основные этапы доказательств предE ложений RFI E RFQF Критерий @RFIFIPA и формулы @RFPFIA обосновывают вид множеств 1 и 2 F Разбиение 2 на зоны IB , I1 , I2 , I3 определяется ограниченностью соответствующих орбит ()F Явный вид орбиты @PFPFPHA позволяет записать условия ограниченности с каждой стороныX 2 E E c c 2A ч2 K 2 - 2 + + t - ч2 K 2 < -t 2K2 - 2 ч @RFPFUA 2 E c E c 2A 2 ч2 K 2 - 2 - - 2 + t - ч2 K 2 > 1 ч2 K 2
Доказательство.

1 +t

< K < }.

Уравнения @RFPFUA определяют ограниченность орбиты ()F Если выполняются обе оценE киD то орбита ограничена с двух сторон @IB AD если только однаD то орбита ограничена с одной стороны @I1 , I2 AD если ни однаD то орбита неограничена с обеих сторон @I3 AF WI


E

E

I1 A1
2 1

I3 A1

IB

I2 K K

РисF RFUX Бифуркационная диаграмма и в РисF RFVX Расширенная бифуркационная случае 2 , V2 F диаграмма в случае 2 , V2 F

Последние неравенства влекут условияD иллюстрирующие деление 2 X

E<

A 2 1

,

E<

cч2 K 2

2

+ ч2 K

2



-t +

A -t

ПолнотаD неполнота потоков является прямым следствием утверждения IW и предложеE ния PFPF Диаграммы @рисF RFI E RFVAD построены для максимальных поверхноE стей Бертрана S с псевдоримановой метрикойF В случае немаксимальной поверхности S0 D которая является подповерхностью максимальной S D диаграммы сохранят общий видD но будут меньшеD тFеF каждое из множеств 1 , IB , 2 уменьшитсяF НапримерD в случае S (, -c - ) Ч S 1 для некоторого инфинитезимального положительного и замыкаE ющего потенциала V1 () = A (A < 0) образ особых точек ранга I станет частью кривой 22 2 -A - E1 (K ) @смF рисF RFIAX 1 = {(K, E ) : E = cч 2K - 2чAK 2 , ч2 (-c-) < K < ч2A }F Образ 2 особых точек ранга P представляется в виде объединения тр?х множествX 2 = 21 2K2 -A 22 23 D где 21 = (K, E ) : E > A( -c - ) - ч 2 (2 -c - 2 ), 0 < K < ч2 (-c-) D
Замечание 4.2.2.



= (K, E ) : E > cч 2K - (K, E ) : E > A( -c - ) -
22

2

2

A2 2ч2 K ч2 K 2

2

,

2

(2 -c - 2 ),

- A ч2 ( -c-)

-A ч2

-A ч2

D и последнее множество 23 = @смF рисF RFWAF


В компактном случае для интегрируемых по Лиувиллю гамильтоноE вых систем согласно теореме Лиувилля QQ можно построить в некоторой окрестности фазового пространства переменные действиеEуголF Координата является циклической для системы БертранаD поэтому действием для нее будет кинетический моментD поле коE сого градиента которого направлено вдоль окружностей {} Ч S 1 Ч {} Ч {} M 4 F Другое дело интеграл полной энергии E D для которого интегральные линии поля sgrad E в точE ности фазовые траектории нашей системыF ТFкF система бертрановскаяD то все ограниченE ные орбиты будут замкнутыD а значит им соответствуют замкнутые фазовые траекторииF
Замечание 4.2.3.

WP


E

21

22

23

E1

K

РисF RFWX Бифуркационная диаграмма и в случае немаксимальной поверхности БертраE на l1 , V1 F

Рассмотрим какуюEнибудь орбиту { = ()} S и соответствующую ей фазовую траE екторию (t) M 4 F Мы знаем период движения по орбите { = ()}D а значит и период функции (t)D который вычисляется по формуле @PFQFPAF Построим переменную I (E , K ) такуюD что траектории поля sgrad I совпадают с траекториями поля sgrad E с точностью до перепараметризацииD при этом период новых траекторий будет равен 2 F Для этого заметимD что согласно @PFQFPA период не зависит от интеграла K D поэтому переменную I будем искать в виде I (E )F Далее sgrad I (E ) = I (E ) sgrad E D поэтому периоды TI и T T траекторий полей sgrad I и sgrad E связаны соотношением TI = I (E ) D откуда с учетом треE T бования TI = 2 получаем I (E ) = 2 F Осталось проинтегрировать последнее равенство по E D для чего выпишем егоD пользуясь @PFQFPAX T q +c -c , I (E ) = = + 2 4 E ( + c) + 2 A E (c - ) + 2A где = c2 + 4tF Интегрирование приводит к

q I (E ) = 2

E ( + c) + 2 A -

E (c -

) + 2A .

@RFPFVA

ЗаметимD что формула @RFPFVA справедлива как для риманова случая так и для псевдоE риманова для аналога потенциала Гука V2 F Если построить вместо отображения момента FK E X M 4 R2 отображение FK I X M 4 R2 по правилу (, , p , p ) (I , K )D и соответственно вместо диаграммD описываемых предE ложениями RFPERFR @псевдориманов случайD гуковский потенциалAD построить диаграммы на плоскости OK I D то граничные кривыеD разделяющие зоны IB , I1 , I2 , I3 спрямятсяF НаE 22 примерD на рисунке RFR кривая {(K, E ) : E = cч 2K + 2AчK, -2A < K < } будет чc WQ


задаваться так X {(K, I ) : I = qчK , -2A < K < }F 2 чc Заметим такжеD что формула @RFPFVA имеет ограниченияD связанные с некомпактностью системыF Период T посчитан для ограниченных орбитD для неограниченных орбит выраE женияD стоящие под корнями становятся отрицательнымиD поэтому переменная I (E ) для -1 области фазового пространства FK E [\IB ] M 4 D отвечающей неограниченным траектоE -1 риямиD не определенаD а определена только для FK E [IB ]F При этом когда точка (K, E ) движется по области IB и подходит к границе E2 (K ) @диаграмма RFRAD знаменатель поE следней дроби правой части @PFQFPA стремится к нулюD что означает стремление к бескоE нечности производной I (E ) и величины поля sgrad I F



4.3

Слои Лиувилля и их перестройки.

Построенные расширенные бифуркационные диаграммы @предложения RFI E RFRA и отобE ражение момента FK E помогают в исследовании топологии слоения Лиувилля @первых интегралов энергии H и момента p A гамильтоновой псевдоримановой системы БертраE наF Каждый слой слоения Лиувилля представляет из себя прообраз точки (K, E ) при отображении момента FK E D и является объединением всех фазовых траекторийD соотE ветствующих траекториям движения с энергией E и кинетическим моментом K F Как следует из вышеупомянутых предложений RFIERFR каждый слой представляет из себя одно из следующих множествX окружностьD двумерный торD цилиндрD пара цилиндровF При этом бифуркационная диаграммаD тFеF множество 1 D в нашем случае состоит тольE ко из образа особых точек ранга IF Прообраз каждой точки (K, E ) 1 окружность вида {0 } Ч S 1 Ч {0} Ч {K } M 4 F Прообраз каждой точки из IB торF Прообраз кажE дой точки из I1 и из I2 цилиндрF Прообраз каждой точки из I3 ! пара цилиндровF В каждом из четырех случаев диаграмм RFPD RFRD RFTD RFVD кроме второго @предложеE ние RFPAD множество делится кривыми E2 (K ), E3 (K ) на R камеры CB , C1 , C2 , C3 D отE вечающие различным типам движенийD при этом сами граничные кривые E2 (K ), E3 (K ) @вместе с кривой E1 (K ) = 1 A камерам не принадлежатD тFеF выполнено CB := IB \1 D C1 := I1 \{E2 (K ) E3 (K )}D C2 := I2 \{E2 (K ) E3 (K )}D C3 := I3 \{E2 (K ) E3 (K )} @таE ким образом камеры будут открытыми связными множествамиAF Слоение Лиувилля над каждой камерой локально тривиальноF Соединим две точки x CB D y C1 кривой D пеE ресекающей E2 (K ) E3 (K ) в одной точке z F Когда точка (K, E ) двигается по кривой в пределах камеры CB ее прообраз остается торомD когда (K, E ) пересекает границу камер CB D C1 в точке cD возникает перестройка тора в цилиндрF Для систем Бертрана возникают Q типа перестроек слоев ЛиувилляX тора и окружности @CB и 1 AD тора и цилиндра @CB и C1 или CB и C2 AD цилиндра и пары цилиндров @C1 и C3 или C2 и C3 AF Все перестройки @бифуркацииA слоев Лиувилля можно разделить на Q типаD если смотреть на перестраиваемые множества с точки зрения компактностиX компактная биE фуркацияD при которой компактная поверхность перестраивается в компактную @полная WR


классификация смF QQAD некомпактная бифуркацияD при которой некомпактная поверхE ность перестраивается в некомпактнуюD и смешаннаяD когда в перестройке участвуют как компактные так и некомпактные слоиF Также перестройки можно разделить на P типа в зависимости от наличия особого уровняX если в перестройке задействован особый слой @тFеF слой содержит точки фазового пространстваD в которых grad H и grad p зависимыAD то это перестройка через особый слой @особая перестройкаAD если нетD то неособая пеE рестройкаF Система Бертрана богата примерами перестроекD она содержит компактныеD смешанные и некомпактные перестройкиD а также перестройки особые и неособыеX пеE реход между камерами CB и C1 @а также CB и C2 A соответствует смешанной неособой бифуркацииD переход между камерами C3 и C1 @а также C3 и C2 A соответствует некомE пактной неособой бифуркацииF

Будем называть два многообразия U1 и U2 со структурой слоения Лиувилля лиувиллево эквивалентнымиD если существует диффеоморфизм hX U1 U2 D переводящий слои U1 в слои U2 F
Определение 4.3.1.

В дальнейшем будем описывать слоение Лиувилля и перестройки его слоев только для системы Бертрана (S , V )D где S (0, -c) Ч S 1 с псевдоримановой метрикой @PFIFUAD V () = A (A < 0) ! замыкающий потенциал на S F Образ отображения момента FK E фазового пространства системы и его разбиение на камеры представлено на диаграммах RFID RFPF
Замечание 4.3.1.

Рассмотрим изоэкинетическую поверхность Q3 0 := {p = K0 } M 4 F Она состоит K из совместных слоев Лиувилля интегралов H, p D притом только такихD для которых p = K0 F Для точки x = (E0 , K0 )D принадлежащей границе камер рассмотрим е? изокинеE тическую окрестностьD тFеF окрестность вида J := {(K, E ) : K = K0 , E0 - < E < E0 + } для некоторого > 0F Тогда окрестность прообраза точки x на изокинетической поверхE ностиD тFеF F -1 [J ] назовем атомомD точнее дадим следующее определениеF
Определение 4.3.2.

Назовем атомом O0-1 класс лиувиллевой эквивалентности изокиE нетической окрестности F -1 [J ] прообраза точки xD лежащей на общей границе камер CB и C1 или на общей границе камер CB и C2 F Атомом O1-11 класс лиувиллевой эквиваE лентности изокинетической окрестности F -1 [J ] прообраза точки xD лежащей на общей границе камер C3 и C1 или на общей границе камер C3 и C2 F Назовем атомом O0-11 класс лиувиллевой эквивалентности изокинетической окрестности F -1 [J ] прообраза точки xD образующей общую границу камер CB и C3 F Выбор не изоэнергетической поверхностиD а изокинетической мотивирован темD что векторное поле sgrad p не имеет особых точек и тем самым dp |Q3 = 0 и Q3 0 при любом K K0 4 K0 будет гладким подмногообразием M F В компактном случае известная классификация WS


атомов содержит лишь атомы минимальной сложности I QQF Однако определенные выE ше некомпактные атомы имеют нулевую сложностьF В системе (S , V ) присутствует еще одна компактная особая перестройкаD соответствующая атому АD на диаграмме @смF рисF RFIHA эта перестройка возникает при попадании точки (K, E ) из камеры CB на границу 1 D что соответствует стягиванию тора на свою осьF Атом O0-1 соответствует перестройE ке тора в цилиндрD а атом O1-11 соответствует перестройке цилиндра в пару цилиндровF Особый случай представляет атом O0-11 D который соответствует перестройке тора сразу в пару цилиндров при переходе из камеры CB в камеру C3 через общую точку кривых 2 E2 (K ) и E3 (K )D имеющую координаты ( ч-A c , A -c) @смF рисF RFIHAF 2-

E O1 11 I1 O0 1 A O0 11 O1 11 I3

O0 1 I2 K IB

РисF RFIHX Бифуркационная диаграммаD и атомы в случае системы Бертрана l1 , V1 F

Так же как и для компактных QEатомов атомы O0-1 D O0-11 D O1-11 удобно описывать с помощью двумерных поверхностейF Поверхность Q3 0 инвариантна относительно сдвигов K вдоль интегральных траекторий поля sgrad p D таким образом на Q3 0 определено пуасE K соново действие окружности ! сдвига вдоль sgrad p на угол F Слоение Лиувилля Q3 0 K 3 и слоение QK0 на интегральные траектории поля sgrad p D которые являются окружноE стями {0 } Ч S 1 Ч {} Ч {K0 }D согласованы в том смыслеD что каждая такая окружность лежит на слое ЛиувилляF Рассмотрим поверхность Q2 0 D которая получается как факE K 3 тормножество множества QK0 по описанному выше действию окружностиF Справедливо представление Q3 0 Q2 0 Ч S 1 F Фазовое пространство M 4 D изокинетическая поверхность K K Q3 0 и слои Лиувилля являются поверхностями вращенияF На всем фазовом пространE K стве определены координаты (, , p , p )D на Q3 0 определены координаты (, , p ) @тFкF K 3 импульс p фиксирован на QK0 и равен K0 AD на Q2 0 определены координаты (, p )F СоотE K ветственноD Q2 0 слоится на образы слоев Лиувилля при описанной факторизацииD среди K которых выделяется слой Q1 0 @является аналогом особого слоя для компактных атомовAD K который определяется как фактор прообраза точки (K0 , E0 )D принадлежащей границам WT


камерF Для наглядной иллюстрации Q2 0 и Q3 0 и их слоений построим соответствующие K K им модели в пространстве R3 F 3 2 3 Модель @M0-1 , M0-1 , g A представляет из себя тройкуD где M0-1 ! трехмерное множеE 3 3 2 ство вращения в R3 D g ! действие группы S 1 на M0-1 такоеD что M0-1 M0-1 Ч S 1 F Точнее пусть T 3 ! окрестность двумерного тора в R3 D заданная в евклидовых координатах параE метрически x = (R + r cos ) cos , y = (R + r cos ) sin , z = r sin D причем параметры , , r меняются в пределах [ , )D [0, 2 )D r (R/8, R/2) @R ! фиксированная 3 положительная константаAF Тогда M0-1 представляет из себя часть построенной окрестE 3 3 ности T 3 X M0-1 = T 3 {(x, y , z ) : z < R/4}F По построению M0-1 ! поверхность вращения с 3 осью OX Z F Аналогом слоения Лиувилля выступает расслоение M0-1 на поверхности Q2 D r являющиеся пересечениями торов x = (R + r cos ) cos , y = (R + r cos ) sin , z = r sin @параметр r определяет торA и полупространства z < R F 4 2 3 Соответственно за M0-1 возьмем связную компоненту сечения M0-1 плоскостью y = 0D 2 2 тFеF множество {(x, z ) : R < (x - R)2 + z 2 < R , z < R } OX Z D которое является 64 4 4 RR кольцом @с радиусами 2 , 8 A с отрезанным кусочком @z R )F Образами аналогов Q2 r 4 слоев Лиувилля при факторизации @по действию группы вращенияA являются кривые Q1 = Q2 {y = 0, x > 0} = {(x, z ) : (x - R)2 + z 2 = r2 , z < R }D среди которых выделим r r 4 R2 R 2 2 1 кривую QR/4 = {(x, z ) : (x - R) + z = 16 , z < 4 } @смF рисF RFIIAF
z

R4

x

3 РисF RFIPX Бифуркации слоев модели M0-1 .

2 РисF RFIIX Бифуркации слоев модели M0-1 .

2 Множество M0-1 D расслоенное на кривые Q1 D с выделенной кривой Q1 /4 является в r R некотором смысле аналогом PEатомаF Поведение слоев Q1 отражает поведение слоев ЛиE r увилля на изокинетической поверхности при переходе точкой (K, E ) из камеры CB в C1 @или C2 AF При увеличении параметра r с R/8 до R/4D кривые Q1 являются концентриE r

WU


ческими окружностямиD которые увеличиваются ! соответствующие им поверхности Q2 r представляют собой концентрические торыD которые разрастаютсяF Таким же образом ведут себя и торы Лиувилля ! они остаются торамиF Когда r достигает значения R/4D то окружность Q1 /4 теряет свою верхнюю точку и разрывается в интервал ! соответствуE R ющий тор Q2 /4 теряет один цикл и разрывается в цилиндрD то же происходит и с тором R ЛиувилляD когда точка (K, E ) достигает границы камер CB и C1 F При дальнейшем увеE личении rD интервал Q1 остается интерваломD слегка распрямляясьD соответствующий r цилиндр Q2 гладко деформируетсяD оставаясь цилиндром @смF рисF RFIID RFIPAF r Чтобы лучше представить связь между геометрией орбит и геометрией соответсвуE ющих им фазовых траекторий заметимD что при фиксированных значениях E , K ограE ниченная орбита { = 0 ()} определена с точностью до поворота вдоль параллелей поверхности S и представляет из себя кривуюD колеблющуюся между двумя параллеE лями = 1 и = 2 F Все остальные орбиты { = ()} с теми же значениями E , K получаются из данной поворотом на некоторый угол D тFеF задаются соотношением () = 0 ( + )F Фазовая траектория орбиты { = 0 ()} является замкнутой и лежит 2 на резонансном торе Лиувилля TK,E = F -1 [(K, E )]D а фазовые траектории всех таких 2 орбит { = ()} заметают весь тор TK,E F 1 Поверхность p = 0 пересекает данный тор по двум окружностям S1 = {(, , p , p ) : 1 = 1 , p = 0, p = K }D S2 = {(, , p , p ) : = 2 , p = 0, p = K }D каждая из которых является одним и тем же базовым циклом 1 фундаментальной группы тораF В процессе 1 перестройки одна из этих окружностей S2 исчезаетD разрушая тем самым второй базисE 1 2 2 ный цикл 2 группы 1 (TK,E )D и оставшееся множество TK,E \S2 становится цилиндромF 2 Рассмотрим разв?ртку тора Лиувилля TK,E D соответствующего ограниченной орбите { = 0 ()} с энергией E D кинетическим моментом K D и экстремальными значениями 1 , 2 D как прямоугольник A1 A2 A3 A4 F На торе существуют координаты угол 1 , 2 D в коE торых поток sgrad H спрямляетсяD тFеF выполнено 1 = c1 , 2 = c2 F Переменная 2 совE падает с F А переменная 1 есть функция только от F Уровень A1 A4 = A2 A3 отвечает c2 параллели = 2 D а уровень B1 B2 параллели = 1 F Отношение = c1 D называемое числом вращенияD равно ч для поверхности Бертрана с потенциалом V1 = AD равно ч 2 A для поверхности Бертрана с потенциалом V2 = 2 F Соответственно на рисF RFIQD RFIRD RFIS нарисованы фазовые траектории для ч = 1D ч = 2D ч = 0.5 и потенциала V1 F При перестройке тора в цилиндр прямоугольник A1 A2 A3 A4 становится вс? более и более вытянутымD сторона A1 A2 вытягиваетсяD а фазовые траектории вс? более и более крутымиF В пределе 2 b точка (K, E ) на расширенной бифуркационной диаграмме @рисF RFPA попадает из IB на границу зон IB и I1 @без ограничения общности можно взять первую диаграммуAD параллель = 2 уходит на границу {b} Ч S 1 поверхности S D 2 тор TK,E превращается в цилиндрD цикл A1 A4 = A2 A3 исчезаетD траектории становятся вертикальными @смF рис RFITD RFIUD RFIVAF 3 2 3 Модель @M1-11 , M1-11 , g A представляет из себя тройкуD где M1-11 ! трехмерное мноE WV


A2

A3

A2

A3

A2

A3

B1

B2

B1

B2

B1

B2

A1

A4

A1

A4

A1

A4

РисF RFIQX Фазовая траекE тория при ч = 1F

РисF RFIRX Фазовая траекE тория при ч = 2F

РисF RFISX Фазовая траекE тория при ч = 0.5F

3 3 2 жество вращения в R3 D g ! действие группы S 1 на M1-11 такоеD что M1-11 M1-11 Ч S 1 F Точнее пусть T 3 ! окрестность двумерного тора в R3 D заданная в евклидовых коордиE натах параметрически x = (R + r cos ) cos , y = (R + r cos ) sin , z = r sin D причем параметры , , r меняются в пределах [ , )D [0, 2 )D r (R/4, R/2) @R ! фикE 3 сированная положительная константаAF Тогда M1-11 представляет из себя часть построE 3 3 енной окрестности T 3 X M1-11 = T 3 {(x, y , z ) : - 3 R < z < R/4}F По построению M1-11 ! 8 поверхность вращения с осью OX Z F Аналогом слоения Лиувилля выступает расслоение 3 M1-11 на поверхности Q2 D являющиеся пересечениями торов x = (R + r cos ) cos , y = r 3 (R + r cos ) sin , z = r sin @параметр r определяет торA и множества - 8 R < z < R F 4 2 3 Соответственно за M1-11 возьмем связную компоненту сечения M1-11 плоскостью y = 0D 2 2 R тFеF множество {(x, z ) : R < (x - R)2 + z 2 < R , - 38 < z < R } OX Z D которое является 16 4 4 кольцом @с радиусами R , R A с отрезанными кусочками @z R D z - 3 RAF Образами анаE 24 4 8 логов Q2 слоев Лиувилля при факторизации @по действию группы вращенияA являются r R кривые Q1 = Q2 {y = 0, x > 0} = {(x, z ) : (x - R)2 + z 2 = r2 , - 38 < z < R }D среди r r 4 2 R которых выделим кривую Q1R/8 = {(x, z ) : (x - R)2 + z 2 = 964 , - 3 R < z < R } @смF рисF 3 8 4 RFIWAF Поведение слоев Q1 отражает поведение слоев Лиувилля на изокинетической поверхE r ности при переходе точкой (E , K ) из камеры C1 в C3 @или из C2 AF При увеличении параE метра r с R/4 до 3R/8D кривые Q1 являются интерваламиD которые увеличиваются ! соотE r 2 ветствующие им поверхности Qr представляют собой цилиндрыD которые разрастаютсяF Таким же образом ведут себя и цилиндры Лиувилля ! они остаются цилиндрамиF Когда r достигает значения 3R/8D то интервал Q1R/8 теряет свою нижнюю точку и разрывается 3 в пару интервалов ! соответствующий цилиндр Q2R/8 разрывается в пару цилиндровD то 3 же происходит и с цилиндром ЛиувилляD когда точка (K, E ) достигает границы камер C3 и C1 F При дальнейшем увеличении rD пара интервалов Q1 остается парой интерваловD r 2 соответствующая пара цилиндров Qr гладко деформируетсяD оставаясь парой цилиндровF 3 2 3 Модель @M0-11 , M0-11 , g A представляет из себя тройкуD где M0-11 ! трехмерное мноE

WW


A2

A3 A2 A3

A2

A3

B1 B1 B2

B2 B1 B2

A1

A4

РисF RFITX Фазовые траекE тории на тореF
A1 A4 A1 A4

РисF RFIUX Фазовые траекE тории на тореD приближаE ющемуся к цилиндруF

РисF RFIVX Фазовые траекE тории на цилиндреF

3 3 2 жество вращения в R3 D g ! действие группы S 1 на M0-11 такоеD что M0-11 M0-11 Ч S 1 F Точнее пусть T 3 ! окрестность двумерного тора в R3 D заданная в евклидовых коордиE натах параметрически x = (R + r cos ) cos , y = (R + r cos ) sin , z = r sin D причем параметры , , r меняются в пределах [ , )D [0, 2 )D r (R/8, R/2) @R ! фиксиE 3 рованная положительная константаAF Тогда M0-11 представляет из себя часть построенE 3 3 ной окрестности T 3 X M0-11 = T 3 {(x, y , z ) : -R/4 < z < R/4}F По построению M0-11 ! поверхность вращения с осью OX Z F Аналогом слоения Лиувилля выступает расслоение 3 M0-11 на поверхности Q2 D являющиеся пересечениями торов x = (R + r cos ) cos , y = r (R + r cos ) sin , z = r sin @параметр r определяет торA и множества - R < z < R F 4 4 3 2 Соответственно за M0-11 возьмем связную компоненту сечения M0-11 плоскостью y = 0D 2 2 тFеF множество {(x, z ) : R < (x - R)2 + z 2 < R , - R < z < R } OX Z D которое является 64 4 4 4 RR кольцом @с радиусами 2 , 8 A с отрезанными кусочками @z R D z - R AF Образами анаE 4 4 логов Q2 слоев Лиувилля при факторизации @по действию группы вращенияA являются r кривые Q1 = Q2 {y = 0, x > 0} = {(x, z ) : (x - R)2 + z 2 = r2 , - R < z < R }D среди r r 4 4 R2 R R 1 2 2 которых выделим кривую QR/4 = {(x, z ) : (x - R) + z = 16 , - 4 < z < 4 } @смF рисF RFPHAF Поведение слоев Q1 отражает поведение слоев Лиувилля на изокинетической поверхE r ности при переходе точкой (K, E ) из камеры CB в C3 F При увеличении параметра r с R/8 до R/4D кривые Q1 являются концентрическими окружностямиD которые увеличиваE r ются ! соответствующие им поверхности Q2 представляют собой концентрические торыD r

IHH


z

z

x

x

РисF RFIWX Бифуркации слоев модели 2 M1-11 .

РисF RFPHX Бифуркации слоев модели 2 M0-11 .

которые разрастаютсяF Таким же образом ведут себя и торы Лиувилля ! они остаютE ся торамиF Когда r достигает значения R/4D то окружность Q1 /4 теряет свои верхнюю и R нижнюю точки и разрывается в пару интервалов ! соответствующий тор Q2 /4 теряет два R цикла и разрывается в пару цилиндровD то же происходит и с тором ЛиувилляD когда точE ка (K, E ) достигает границы камер CB и C3 F При дальнейшем увеличении rD интервал Q1 остается интерваломD соответствующая пара цилиндров Q2 гладко деформируетсяD r r оставаясь парой цилиндровF

IHI


Литература

? I fllesteros eFD iniso eFD rerrnz pF tFD gniso yFD rmiltonin systems dmitting unge!venz vetor nd n optiml extension of fertrnd9s theorem to urved mnifoldsGG gommunF wthF hysF 290 @PHHWAD IHQQ!IHRWF ? P fllesteros eFD iniso eFD rerrnz pF tFD ueplerGosilltor potentils GG PHHV gniso yFD fertrnd spetimes s

? Q fllesteros eFD iniso eFD rerrnz pF tFD gniso yFD iglioni hF xew superintegrle models with positionEdependent mss from fertrnd9s heorem on urved spes R fertrnd tFD h? eoreme reltif u mouvement d9un point ttir? vers un entre (xeD gFF e edF iF ris UU @IVUQAD VRW!VSQF inglF trnslFX pF gF ntosD F oresD eF gF ortD en inglish trnsltion of fertrnd9s theorem @PHHUAD rivXHUHRFPQWTvIF S fesse eFD wnifolds ll of whose geodesis re losedF ferlinD reidelergD xew orkX pringerEerlgD IWUVF РусскF переводX АF БессеD Многообразия с замкнутыми геодеE зическимиF ПерF с англF под редF ВF МF АлексееваF МоскваX МирD IWVIF T folyi F nd folyi tFD qeometrishe ntersuhungenF veipzigX fF qF eunerD IWIQF U hroux qD ur un prol? eme de m? eniqueF sn ookX gours de m? eniqueD F hespeyrousD olF PD xote sD risX eF rermnD IVVTD RTI!RTTF ? V hroux qFD itude d9une question reltive u mouvement d9un point sur une surfe de r? olutionGG fullF F wF pF IVUUF 5F IHH!IIQF ev W hespeyrous FD gours de m? eniqueF olF PFD xote sD risX eF rermnD IVVTF IH pomenko eFF 4he theory of invrints of multidimensionl integrle rmiltonin systems @with ritrry mny degrees of freedomAF woleulr le of ll integrle systems with two degrees of freedom4F E snX opologil glssi(tion of sntegrle ystemsF E edvnes in oviet wthemtisF vFTD IWWIF emerFwthFoF ppFIEQTF II qordon F fFF yn the reltion etween period nd energy in periodi dynmil systems GG tF wthF wehF IW @IWTWAD IIIEIIRF IHP


IP qrndti FD f? errd eFD w? ens pF snverse prolem nd fertrnd9s theorem GG PHHVF IQ riggs F FD hynmil symmetries in spheril geometryD sF tF hysF eF wthF qenF IP @IWUWAD QHW!QPQF РусскF переводX ПF ХиггсD Динамические симметрии в сферической геометрииD sF В книгеX Классическая динамика в неевклидовых пространствахD редF АF ВF Борисов и ИF СF МамаевF МоскваEИжевскX Институт компьютерных исследоваE нийD PHHRD IPS!IRTF IR sked wF nd utym xFD yn generliztion of fertrnd9s theorem to spes of onstnt urvtureD enzorD xF F QV @IWVPAD QU!RHF IS uilling FD hie wehnik in den nihtEiuklidishen umformenD tF reine ngewF wthF fdF WV @IVVSAD I!RVF РусскF переводX ВF КиллингD Механика в неевклидовых пространE ствахF В книгеX Классическая динамика в неевклидовых пространствахD редF АF ВF БоE рисов и ИF СF МамаевF МоскваEИжевскX Институт компьютерных исследованийD PHHRD PQ!UPF IT uoenigs qFD ur les lois de fore entrl fontion de l distne pour lquelle toutes les tr jetoires sont lg? eriquesD fullF de l oi? ? de prne IU @IVVWAD ISQEISSF ete IU viemnn rFD hie uegelshnitte und die lnetenewegung im nihteuklidishen umD ferihte der u? oniglF ? hsishen qesellshft der issenshftD wthF hysF ulsseD fdF SR @IWHPAD QWQ!RPQF ? IV viemnn rFD er die entrlewegung in der nihteuklidishe qeometrieD ferihte der u? oniglF ? hsishen qesellshft der issenshftD wthF hysF ulsseD fdF SS @IWHQAD IRT!ISQF РусскF переводX ГF ЛибманD О движении под действием центральной силы в неевклидовой геометрииD Классическая динамика в неевклидовых пространствахD редF АF ВF Борисов и ИF СF МамаевD МоскваEИжевскD Институт компьютерных исслеE дованийD PHHRD UQ!VPF IW vipshitz FD ixtension of the plnetEprolem to spe of n dimensions nd onstnt integrl urvtureD urtF tF ure epplF wthF IP @IVUQAD QRW!QUHF PH wtveev F FD yn pro jetively equivlent metris ner points of ifurtionF sn ookX opologivl methods in the theory of integrle systemsF idsF folsinov eF FD pomenko eF F nd yshemkov eF eF gmridgeX gmridge sienti( pulishersD PHHTD PIS!PRHF PI xeumnn gFD eusdehnung der uepler9shen qesetze uf der pllD dss die fewegung uf einer uugel)? he sttt(ndetD qessellshft der issenshftenD wthF hysF ulsse QV @IVVTAD I!PF PP xewton sFD wthemtil riniples of xturl hilosophyGG IUPV IHQ


PQ erlik FD fertrnd spetimesD glssF untum qrvF W @IWWPAD IHHW!IHPIF PR ntoprete wFD qrvittionl nd hrmoni osilltor potentils on surfes of revolutionD tournl of wthF hysF RWXR @PHHVAD HRPWHQD IT ppF PS ntoprete wFD flok egulriztion of the uepler rolem on urfes of evolution with ositive gonstnt gurvtureGG PHHWF PT hering pFD hie hwerkrft im qussishen ? umeD xhrF der u? oniglF qessellshft der issenshften q? ottingen IS @IVUHAD QII!QPIF PU erret FD h?orie nouvelle g? ? e eometrique et m? enique des lignes doule ourureF risX virve de wlletEfhelierD IVTHD pF PHSF PV lwinowski tF tFD fertrnd systems on S O(3, R), S U (2)D fullF de l9edemie oloni des ienesF ? siF physF et stronF sssD xFP @IWVHAD VQ!WRF erF PW ikohinsky FD e simpli(ed proof of fertrnd9s theoremD emF tF hysF STXIP @IWVVAD IHUQ!IHUSF QH Ал?шкин КFРF Топология интегрируемых систем с неполными полями МатемF сбFD 205XW @PHIRAD RWETRF QI Болсинов АF ВFD Козлов ВF ВFD Фоменко АF ТFD Принцип Мопертюи и геодезические потоки на сфереD возникающие из интегрируемых случаев динамики твердого телаD Успехи математических наук SHXQ @IWWSAD Q!QPF QP Болсинов АF ВFD Матвеев СF ВFD Фоменко АF ТF D Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободыF Список систем малой сложностиD УМНD RSXP@PUPA @IWWHAD RW!UU QQ Болсинов АFВFD Фоменко АFТF Интегрируемые гамильтоновы системыF ИжевскX УдE муртский университетD IWWWF QR Болсинов АFВFD Фоменко АFТF Геометрия и топология интегрируемых геодезических потоков на поверхностяхF @МонографияAF E МоскваD УРССD IWWWF В серииX 4БиблиоE тека 8 g hynmisF Регулярная и хаотическая динамика томF PF QS Борисов АF ВFD Мамаев ИF СFD Системы на сфере с избыточным набором интеграE ловD Классическая динамика в неевклидовых пространствахF РедF АF ВF Борисов и ИF СF МамаевD МоскваEИжевскX Институт компьютерных исследованийD PHHRD ITU! IVPF inglF trnslFX eF F forisovD sF F wmevD uperintegrle systems on sphereD egulr nd ghoti hynmis IHXQ @PHHSAD PSU!PTTF

IHR


QT Классическая динамика в неевклидовых пространствахF РедF АF ВF Борисов и ИF СF МамаевF МоскваEИжевскX Институт компьютерных исследованийD PHHRF QU Козлов ВF ВFD О динамике в пространствах постоянной кривизныD Вестник МоскF унEтаF СерF ID МатематикаF МеханикаF IWWRF xFPD PV!QSF QV uozlov F FD rrin eF yFD uepler9s prolem in onstnt urvture spesD gelestil wehF nd hynmil estronomy SR @IWWPAD QWQ!QWWF РусскF переводX ВF ВF КозловD АF ОF ХаE ринD Задача Кеплера в пространствах постоянной кривизныD Классическая динамика в неевклидовых пространствахD АF ВF БорисовD ИF СF МамаевD МоскваEИжевскX ИнE ститут компьютерных исследованийD PHHRD ISW!ITTF QW Кудрявцева ЕFАFD Федосеев ДFАF Механические системы с замкнутыми орбитами на многообразиях вращения GG МатемF сбF В печатиF RH Лобачевский НF ИFD Новые начала геометрии с полной теорией параллельныхD Полное собрание сочиненийF Сочинения по геометрииF ТF ssF МF!ЛFX ГИИТЛD IWRWD ISV!ISWF В книгеX Классическая динамика в неевклидовых пространствахD АF ВF Борисов и ИF СF МамаевD МоскваEИжевскX Институт компьютерных исследованийD PHHRD IW!PIF RI Нгуен ТFЗFD Фоменко АFТF Топологическая классификация интегрируемых невырожE денных гамильтонианов на изоэнергетической трехмерной сфереF E Успехи матемаE тических наукF IWWHD тFRSD выпFTD сFWIEIIIF RP Нгуен ТF ЗFD Фоменко АF ТFD Топологическая классификация интегрируемых невыE рожденных гамильтонианов на изоэнергетической трехмерной сфереD Успехи матеE матических наук RSXT @IWWHAD WI!IIIF RQ Рашевский ПFКF Курс дифференциальной геометрииF МоскваEЛенинградX государE ственное издательство техникоEтеоретической литературыD IWSHF RR Смирнов РFГF О классической задаче БертранаEДарбуGG Фундаментальная и приE кладная математикаD IPXU @PHHTAD PQIEPSHF RS Фоменко АF ТFD Топологические инварианты гамильтоновых системD интегрируемых по ЛиувиллюD ФункцF анализ и его приложения PPXR @IWVVAD QV!SIF RT Фоменко АFТF Теория Морса интегрируемых гамильтоновых системF E Доклады АН СССРD IWVTD тFPVUD xoFSD сFIHUIEIHUSF RU Фоменко АFТF Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильE тоновых систем и препятствия к интегрируемостиF E Известия АН СССРF Серия матемF IWVTD тFSHD xoFTD сFIPUTEIQHUF

IHS


RV Фоменко АFТFD Цишанг ХF О топологии трехмерных многообразийD возникающих в гамильтоновой механикеF E Доклады АН СССРD IWVUD тFPWRD xoFPD сFPVQEPVUF RW Браилов АFВFD Фоменко АFТF Топология интегральных многообразий вполне интегриE руемых гамильтоновых системF E Математический СборникD IWVUD тFIQQD xoFQD сFQUSE QVSF SH Фоменко АFТFD Цишанг ХF О типичных топологических свойствах интегрируемых гамильтоновых системF E Известия АН СССРD IWVVD тFSPD xoFPD сFQUVERHUF SI Фоменко АFТF Топологические инварианты гамильтоновых системD интегрируемых по ЛиувиллюF E ФункцF анализ и его приложенияF IWVVD тFPPD выпFRD сFQVESIF SP Фоменко АFТF Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых системF E Успехи математических наукD IWVWD тFRRD выпFI @PTSAD сFIRSEIUQF SQ Фоменко АFТFD Цишанг ХF Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободыF GG Известия АН СССРF IWWHD тFSRD xoFQD сFSRTESUSF SR ФоменкоАF ТD Топологический инвариантD грубо классифицирующий интегрируемые строго невырожденные гамильтонианы на четырехмерных симплектических многоE образияхD ФункцF анализ и его приложения PSXR @IWWIAD PQ!QSF SS Щепетилов АF ВFD Анализ и механика на двухточечноEоднородных римановых проE странствахF МоскваEИжевскX НИЦ Регулярная и хаотическая динамикаD ИИКИD PHHVF
Публикации автора по теме диссертации

ST Загрядский ОF АFD Кудрявцева ЕFАFD Федосеев ДFАF Обобщение теоремы Бертрана на поверхности вращения GG МатемF сбF PHIPF 203D VF QWEUVF SU Загрядский ОFАFD Федосеев ДFАF О явном виде метрик Бертрана GGВестнF МоскF унE таF МатемF МеханF PHIQF 67D SF RTESHF SV Загрядский ОF АFD Соотношение классов БертранаD Бонне и Таннери GG ВестнF МоскF унEтаF МатемF МеханFD T @PHIRAD TPETSF SW Загрядский ОF АFD Поверхности Бертрана с псевдоримановой метрикой вращения GG ВестнF МоскF унEтаF МатемF МеханFD I @PHISAD TTETWF TH Загрядский ОF АFD Бертрановская система и е? фазовое пространствоGG Наука и образование МГТУD PHIRD IPD QTSEQVTF

IHT


TI Загрядский ОFАFD международная конференция Воронежская зимняя математичеE ская школа имF СFГF КрейнаF @ВоронежD PSEQH января PHIP гFAD TVF TP Загрядский ОFАFD международная конференция студентовD аспирантов и молоE дых уч?ных Ломоносов @МоскваD V!IQ апреля PHIQ гFAF TQ Загрядский ОFАFD s международная конференция студентовD аспирантов и молоE дых уч?ных Ломоносов @МоскваD U!II апреля PHIR гFAF

IHU