С.ЛЕНГ

АЛГЕБРА

Автор книги, видный американский математик, профессор Колумбийского университета С. Ленг, хорошо знаком советскому читателю по двум вышедшим ранее монографиям "Алгебраические числа" и "Введение в теорию дифференцируемых многообразий" (издательство "Мир", 1966 и 1967). В книге рассмотрены все основные разделы современной алгебры (группы, кольца, модули, теория полей, линейная и полилинейная алгебра, представления групп). Читатель найдет здесь также первоначальные сведения по гомологической алгебре и алгебраической геометрии.

Книга отражает изменения, происшедшие в алгебре за последние два десятилетия, и дает читателю возможность основательно познакомиться с областями алгебры, ставшими уже классическими. Язык категорий и функторов связывает воедино разрозненные ранее понятия и результаты.

Книга будет весьма полезной математикам различных специальностей, студентам, аспирантам и научным работникам. Она может служить основой специальных курсов по алгебре.

ОГЛАВЛЕНИЕ

От редактора перевода 5

Предисловие 7

Предварительные сведения 11

Литература 14

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ГРУППЫ, КОЛЬЦА И МОДУЛИ

Глава I. Группы

 1. Моноиды 17

 2. Группы 21

 3. Циклические группы 25

 4. Нормальные подгруппы 27

 5. Действие группы на множестве 32

 6. Силовские подгруппы 36

 7. Категории и функторы 39

 8. Свободные группы 47

 9. Прямые суммы и свободные абелевы группы 55

 10. Конечно-порожденные абелевы группы 61

11. Дуальная группа 66

Упражнения 69

 

Глава П. Кольца

 1. Кольца и гомоморфизмы 73

 2. Коммутативные кольца 80

 3. Локализация 85

 4. Кольца главных идеалов 89

Упражнения 92

 

Глава Ш. Модули

 1. Основные определения 93

 2. Группа гомоморфизмов 95

 3. Прямые произведения и суммы модулей 98

 4. Свободные модули 103

 5. Векторные пространства 105

 6. Дуальное пространство 108

Упражнения 111

 

Глава IV. Гомологии

1. Комплексы 114

 2. Гомологическая последовательность 116

 3. Эйлерова характеристика 118

 4. Теорема Жордана - Гельдера 122

Упражнения 126

 

Глава V. Многочлены

 1. Свободные алгебры 127

 2. Определение многочленов 131

 3. Элементарные свойства многочленов 136

 4. Алгоритм Евклида 141

 5. Простейшие дроби 145

 6. Однозначность разложения на простые множители многочленов от нескольких переменных 148

 7. Критерии неприводимости 151

 8. Производная и кратные корни 153

 9. Симметрические многочлены 155

 10. Результант 158

Упражнения 162

 

Глава VI. Нетеровы кольца и модули

 1. Основные критерии 166

 2. Теорема Гильберта 169

 3. Степенные ряды 170

 4. Ассоциированные простые идеалы 172

 5. Примарное разложение 177

Упражнения 181

 

ЧАСТЬ ВТОРАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ

Глава VII. Алгебраические расширения

 1. Конечные и алгебраические расширения 185

 2. Алгебраическое замыкание 191

 3. Поля разложения и нормальные расширения 198

 4. Сепарабельные расширения 202

 5. Конечные поля 208

 6. Примитивные элементы 211

 7. Чисто несепарабельные расширения 213

Упражнения. 217

 

Глава VIII. Теория Галуа

 1. Расширения Галуа 219

 2. Примеры и приложения 227

 3. Корни из единицы 232

 4. Линейная независимость характеров 237

 5. Норма и след 239

 6. Циклические расширения 243

 7. Разрешимые и радикальные расширения 246

 8. Теория Куммера 248

9. Уравнение Хⁿ-а=0 252

 10. Когомологии Галуа 255

11. Алгебраическая независимость гомоморфизмов 256

 12. Теорема о нормальном базисе 260

Упражнения 260

 

Глава IX. Расширения колец

 1. Целые расширения колец 268

 2. Целые расширения Галуа 275

 3. Продолжение гомоморфизмов 282

Упражнения 284

 

Глава X. Трансцендентные расширения

 1. Базисы трансцендентности 286

 2. Теорема Гильберта о нулях 288

 3. Алгебраические множества 290

 4. Теорема Нетера о нормализации 294

 5. Линейно свободные расширения 295

 6. Сепарабельные расширения 298

 7. Дифференцирования 301

Упражнения 305

 

Глава XI. Вещественные поля

 1. Упорядоченные поля 307

 2. Вещественные поля 309

 3. Вещественные нули и гомоморфизмы 316

Упражнения 321

 

Глава XII. Абсолютные значения

 1. Определения, зависимость и независимость 322

 2. Пополнения 325

 3. Конечные расширения 332

 4. Нормирования 336

 5. Пополнения и нормирования 345

 6. Дискретные нормирования 346

 7. Нули многочленов в полных полях 350

Упражнения 353

 

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

Глава ХШ. Матрицы и линейные отображения

 1. Матрицы 361

 2. Ранг матрицы 363

 3. Матрицы и линейные отображения 364

 4. Определители 368

 5. Двойственность 378

 6. Матрицы и билинейные формы 383

 7. Полуторалинейная двойственность 388

Упражнения 393

 

Глава XIV. Структура билинейных форм

 1. Предварительные сведения, ортогональные суммы 396

 2. Квадратичные отображения 399

 3. Симметрические формы, ортогональные базисы 400

 4. Гиперболические пространства 402

5. Теорема Витта 403

 6. Группа Витта 403

 7. Симметрические формы над упорядоченными полями. 408

 8. Алгебра Клиффорда 411

 9. Знакопеременные формы 415

 10. Пфаффиан 417

 11. Эрмитовы формы 419

 12. Спектральная теорема (эрмитов случай) 421

 13. Спектральная теорема (симметрический случай) 423

Упражнения 425

 

Глава XV. Представление одного эндоморфизма

 1. Представления 429

 2. Модули над кольцами главных идеалов 432

 3. Разложение над одним эндоморфизмом 442

 4. Характеристический многочлен 446

Упражнения 452

 

Глава XVI. Полилинейные произведения

 1. Тензорное произведение 456

 2. Основные свойства 461

 3. Расширение основного кольца 466

 4. Тензорное произведение алгебр 468

 5. Тензорная алгебра модуля 470

 6. Знакопеременные произведения 473

 7. Симметрические произведения 477

 8. Кольцо Эйлера - Гротендика 478

 9. Некоторые функториальные изоморфизмы 481

Упражнения 486

 

Глава XVII. Полупростота

 1. Матрицы и линейные отображения над некоммутативными кольцами 488

 2. Условия, определяющие полупростоту 491

 3. Теорема плотности 493

 4. Полупростые кольца 496

 5. Простые кольца 498

 6. Сбалансированные модули 501

Упражнения 502

 

Глава ХУШ. Представления конечных групп

 1. Полупростота групповой алгебры 504

 2. Характеры 506

 3. Одномерные представления 511

 4. Пространство функций классов 512

 5. Соотношения ортогональности 516

 6. Индуцированные характеры 520

 7. Индуцированные представления 523

 8. Положительное разложение регулярного характера 528

 9. Сверхразрешимые группы 530

 10. Теорема Брауэра 533

11. Поле определения представления 539

Упражнения 541

Добавление. Трансцендентность е и p 546

Указатель 553