Желобенко Д.П., Компактные группы Ли их представления

Д.П. Желобенко

КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ ЛИ И ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

Имея в виду читателей-физиков, автор стремился сделать изложение по возможности более элементарным. Это, в частности, привело к тому, что пришлось опустить ряд интересных и глубоких вопросов, связанных с топологией компактных групп Ли, а также с общей теорией соответствия между группами и алгебрами Ли. В то же время сравнительно подробно рассматриваются вопросы, имеющие приложение к современным задачам теоретической физики.

Содержание

Предисловие 3

ЧАСТЬ I. ВВЕДЕНИЕ

Глава I. Топологические группы. Группы Ли 15

1. Определение группы 15

2. Топологические группы 19

3. Параметрические группы и группы Ли 25

4. Теория Ли 28

5. Локально изоморфные группы Ли 34

6. Инвариантные формы на группе Ли 40

7. Метрика. Мера Хаара 42

Глава П. Линейные группы 46

8. Полная линейная группа. Экспоненциал 46

9. Полная линейная группа. Основные разложения 48

10. Линейные группы, связанные с формами второго порядка 53

11. Кватернионы 57

12. Вопросы односвязности 62

13. Вопросы комплексификации 66

14. Преобразования в классе тензоров 68

Глава III. Основные задачи теории представлений 74

15. Функции на однородном пространстве 74

16. Терминология теории представлений 78

17. Редукция основной проблемы 84

18. Элементарные гармоники 86

19. Алгебры и группы, связанные с уравнением 91

20. Лемма Шура 94

21. Теорема Бернсайда 99

22. Групповые алгебры и их представления 103

23. Формулировка основных задач 106

ЧАСТЬ II. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ

Глава IV. Компактные группы Ли. Глобальная теорема 111

24. Определение компактной группы 111

25. Формулировка глобальной теоремы 114

26. Прием усреднения 116

27. Свойство ортогональности 119

28. Аппроксимационная лемма для линейной группы G 120

29. Ряды Фурье на линейной группе G 122

30. Завершение доказательства для линейной группы G 124

31. Завершение доказательства в общем случае 12'/

32. Гармонический анализ на однородном многообразии 129

33. Характеры 132

34. Теория представлений конечных групп 134

35. Универсальность группы U(ri)

139 Глава V. Инфинитезимальный метод в теории представлений 142

36. Дифференциал представления 142

37. Неприводимые представления группы SU(2) 147

38. Матричные элементы группы SU(2) 157

39. О некоторых группах, связанных с SU(2) 164

40. О некоторых проблемах инфинитезимального метода 170

Глава VI. Аналитическое продолжение 176

41. Общий принцип аналитического продолжения 176

42. Надкомпактные группы Ли. 'Унитарный трюк' Г. Вейля 182

43. Бикомплексные группы и алгебры Ли 185

44. Комплексная оболочка U(ri). Веса и корни 191

45. Модель неприводимых представлений группы 517(3) 196

Глава VII. Неприводимые представления группы U(n) 203

46. Существование старшего веса 203

47. Единственность старшего вектора 207

48. Различные модели d(a) 210

49. Индуктивные веса 213

50. Произведение Юнга 216

Глава VIII. Тензоры и диаграммы Юнга 220

51. Описание Z- инвариантов 220

52. Диаграммы Юнга 224

53. Симметризаторы Юнга 227

54. Характеристика неприводимых тензоров в терминах симметрии 231

55. Принцип взаимности 237

56. Реализация d(a) на прямоугольных матрицах 241

57. Гармонический осциллятор 244

Глава IX. Операторы Казимира 250

58. Универсальная обертывающая алгебра 250

59. Операторы Казимира для группы GL(ri) 255

60. Собственные значения операторов C_k259

61. Разделение точек спектра и алгебраическое доказательство полной приводимости 265

62. Полное описание центра для группы GL(ri) 269

63. Правило циклов 272

Глава X. Индикаторные системы и базис Гельфанда - Цейтлина 282

64. Операторы левого сдвига на группе Z 282

65. Индикаторные системы 287

66. Алгебра Z-мультипликаторов и задача о сужении с группы на подгруппу 293

67. Базис Гельфанда - Цейтлина 300

68. Понижающие операторы в инфинитезимальной форме 305

69. Нормировка базисных векторов 315

70. Дифференциал d(a) 320

71. Матричные элементы d(a) 325

Глава XI. Характеры 331

72. Инвариантная мера на группе U(ri) 331

73. Примитивные характеры U(ri) 335

74. Весовая диаграмма d(a) 338

75. Вторая формула Вейля 345

76. Заключительные замечания 349

Глава XII. Тензорное произведение двух неприводимых представлений группы U(n) 351

77. Метод характеров 351

78. Метод Z-инвариантов 356

79. Частные случаи 361

80. Детерминанты Вейля 366

ЧАСТЬ III. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

Глава XIII. Основные типы алгебр и групп Ли 373

81. Присоединенное представление алгебры Ли 373

82. Идеал и нормальный делитель 375

83. Основные типы алгебр Ли 377

84. Разрешимые алгебры Ли 381

85. Нильпотептные алгебры Ли 385

86. Разложения Фиттинга 389

87. Билинейная форма Киллинга - Картана 395

88. Основные типы групп Ли 398

89. Теорема Леви - Мальцева 402

Глава XIV. Классификация компактных и редуктивных алгебр Ли 406

90. Компактные алгебры Ли 406

91. Подалгебры Картана 410

92. Базис Картана - Вейля 414

93. Простые корни 417

94. Структурная матрица Картана 421

95. Простые комплексные алгебры Ли 425

96. Вещественные формы полупростых комплексных алгебр Ли 431

97. Завершение классификации 434

Глава XV. Компактные группы Ли в целом 439

98. Инвариантные полиномы 439

99. Алгебраические группы 442

100. Разложение Гаусса 446

101. Разложение Ивасавы 452

102. Максимальные торы 456

103. Фундаментальная группа и центр 462

104. Теорема о линейности полупростой комплексной группы Ли 466

105. Группа Вейля 469

106. Существование комплексной оболочки 474

107. Некоторые дополнительные результаты 480

Глава XVI. Описание неприводимых конечномерных представлений 486

108. Основная теорема 486

109. Старшие веса и сигнатуры 490

110. Нормально вложенные подгруппы 494

111. Полиномы на группе Z 496

112. Завершение классификации 501

113. Симплектическая группа 506

114. Ортогональная группа 514

115. Теория спиноров 521

116. Вещественные формы 526

117. Произвольные связные группы Ли 529

118. Несколько замечаний 532

Глава XVII. Инфинитезимальная теория (характеры, веса, операторы Казимира) 539

119. Разложение Картана - Вейля в универсальной обертывающей алгебре 539

120. Представления со старшим вектором 542

121. Классификация конечномерных неприводимых представлений алгебры X 546

122. Формула Фрейденталя 550

123. Формула Вейля для характеров 556

124. Следствия из формулы Вейля 563

125. Полиномы на картановской подалгебре, инвариантные относительно группы Вейля 565

126. Операторы Казимира 569

127. О вычислении собственных значений операторов Казимира 573

Глава XVIII. Некоторые задачи спектрального анализа конечномерных представлений 579

128. Общая схема сужения с группы на подгруппу 579

129. Сужение SO(n)/SO(n-1) 582

130. Сужение Sp(n)/Sp(n-2) 587

131. Тензорное произведение двух неприводимых представлений 590

132. Сужения SU(m+n)/SU(m) X SU(n) и SU(mn)/SU(m) X SU(n) 592

133. Сужение 5C/(n)/SO(n) 596

134. Сферические функции в п-мерном евклидовом пространстве 601

135. О представлениях группы движений n-мерного евклидова пространства 606

Добавление I. О бесконечномерных представлениях полупростой комплексной группы Ли 611

1. Элементарные представления 611

2. Пространство элементарного представления 613

3. Дифференциал элементарного представления 614

4. Вопросы неприводимости 616

5. Аналог формулы Планшереля 617

6. Теоремы типа Пэли - Винера 619

7. Минимальные представления 620

8. Классификация неприводимых представлений 621

9. О полуприводимых представлениях 622

Добавление II. Элементы обшей теории унитарных представлений локально компактных групп 623

1. Коммутативные группы 623

2. Теорема Стоуна - фон Неймана 625

3. Индуцированные представления 628

4. Полупрямые произведения 631

5. Нильпотентные группы Ли 633

6. Разложение унитарных представлений на неприводимые 635

Добавление III. Унитарная симметрия в классе элементарных частиц 638

1. Инвариантность и законы сохранения 638

2. Элементарные частицы. Изотопический спин 641

3. Унитарная симметрия в классе адронов 643

4. Открытие Q-частицы 647

5. Некоторые проблемы 648

Литература 650

Предметный указатель 660