.А.И.Кострикин, Ю.И.Манин

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

 

Книга посвящена изложению фундаментальных понятий и аппарата линейной алгебры и родственных ей разделов геометрии. От имеющихся курсов линейной алгебры книга отличается большим вниманием к приложениям и связям с другими областями математики: включено обсуждение основных принципов квантовой механики, описана геометрия пространства Минковского, дано введение в линейное программирование. Книга содержит современный математический материал, не излагавшийся в традиционных руководствах: язык категорий и категорные свойства линейных пространств, кэлерова метрика, введение в теорию многочленов Гильберта.

Для студентов механико-математических специальностей высших учебных заведений.

 

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие 5

Часть 1. Линейные пространства и линейные отображения 7

 1. Линейные пространства 7

 2. Базис и размерность 14

 3. Линейные отображения 21

 4. Матрицы 27

 5. Подпространства и прямые суммы 38

 6. Факторпространства 47

 7. Двойственность 51

 8. Структура линейного отображения 54

 9. Жорданова нормальная форма 61

 10. Нормированные линейные пространства 68

 11. Функции линейных операторов 74

 12. Комплексификация и овеществление 77

 13. Язык категорий 83

 14. Категорные свойства линейных пространств 88

 

Часть 2. Геометрия пространств со скалярным произведением 93

 1. О геометрии 93

 2. Скалярные произведения 95

 3. Теоремы классификации 102

 4. Алгоритм ортогонализации и ортогональные многочлены 110

 5. Евклидовы пространства 117

 6. Унитарные пространства 126

 7. Ортогональные и унитарные операторы 133

 8. Самосопряженные операторы 137

 9. Самосопряженные операторы в квантовой механике 147

 10. Геометрия квадратичных форм и собственные значения самосопряженных операторов 155

 11. Трехмерное евклидово пространство 163

 12. Пространство Минковского 171

 13. Симплектические пространства 181

 14. Теорема Витта и группа Витта 185

 15. Алгебры Клиффорда 189

 

Часть 3. Аффинная и проективная геометрия 193

 1. Аффинные пространства, аффинные отображения и аффинные координаты 193

 2. Аффинные группы 201

 3, Аффинные подпространства 205

 4. Выпуклые многогранники и линейное программирование 212

 5. Аффинные квадратичные функции и квадрики 215

 6. Проективные пространства 220

 7. Проективная двойственность и проективные квадрики 226

 8. Проективные группы и проекции 230

 9. Конфигурации Дезарга и Паппа и классическая проективная геометрия 239

 10. Кэлерова метрика 243

11. Алгебраические многообразия и многочлены Гильберта 245

 

Часть 4. Полилинейная алгебра 254

 1. Тензорное произведение линейных пространств 254

 2. Канонические изоморфизмы и линейные отображения тензорных произведений 259

 3. Тензорная алгебра линейного пространства 264

 4. Классические обозначения 266

 5. Симметричные тензоры 271

 6. Кососимметричные тензоры и внешняя алгебра линейного пространства 275

 7. Внешние формы 285

 8. Тензорные поля 287

 9. Тензорные произведения в квантовой механике 291

Предметный указатель 297