М.В.Козлов, Элементы теории вероятностей в примерах и задачах

Содержание

Предисловие 6
Глава I. НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ 9
 1. Вероятность в классической схеме. Классическая вероятность и элементы комбинаторики (1.1-1.10). Симметричное случайное блуждание (1.11-1.19). Урновая модель (1.20-1.30) 9
 2. Вероятностное пространство, случайные величины, распределение вероятностей. События и вероятностная мера (2.1-2.4). Испытания Бернулли (2.5, 2.6). Разбиения, случайные величины в схеме Бернулли (2.7-2.14). Случайные величины в схеме бесконечной последовательности испытаний Бернулли (2.15-2.18). Задача о разорении игрока (2.19, 2.20) 25
 3. Непрерывные вероятностные модели. Случайные величины в схеме случайного выбора точек из отрезка, функции распределений, плотности (3.1-3.10). Пуассоновский процесс и предельная схема Пуассона (3.11-3.15). Распределение арксинуса в симметричном блуждании (3.16). Формула Стирлинга и нормальное распределение в схеме симметричного блуждания (3.17-3.21). Многомерные распределения (3.22-3.27) 42
 4. Независимость. Независимые дискретные случайные величины, распределение суммы, производящие функции (4.1-4.11). Независимые события (4.12-4.14). Независимые непрерывные случайные величины (4.15-4.22). Пуассоновский процесс и экспоненциальное распределение (4.23-4.26). Броуновское движение (4.27) 66
 5. Условная вероятность. Условные распределения дискретных случайных величин (5.1-5.10). Марковские цепи (5.11-5.16). Условные плотности (5.17, 5.18). Mapковские цепи с непрерывным множеством состояний (5.19, 5.20) 86
 6. Пространство и мера Алгебра множеств, мера и ее свойства (6.1-6.7). Расширение алгебры множеств, внешняя мера, измеримые множества, теорема о существовании и единственности продолжения меры (6.8-6.18). Мера Лебега (6.19). Меры на прямой и функции распределения . (6.20-6.23). Мера на плоскости (6.24, 6.25). Последовательности испытаний (6.26-6.29). Монотонные классы (6.30-6.37) 101
Глава II. ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЕРОЯТНОСТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 128
 7. Математическое ожидание. Математическое ожидание дискретных случайных величин (7.1-7.16). Математическое ожидание в общем случае: определение, свойства, вычисление (7.17-7.34) 128
 8. Дисперсия, ковариация, среднеквадратическое расстояние. Неравенство Чебышева, дисперсия, закон больших чисел в схеме Бернулли (8.1-8.10). Приближение непрерывных функций (8.11, 8.12). Вычисление и свойства дисперсии (8.13-8.16). Ковариация (8.17-8.21). Среднеквадратическое расстояние (8.22). Дисперсия суммы (8.23, 8.24). Закон больших чисел в форме Чебышева (8.25). Дисперсия как мера качества статистической оценки (8.26, 8.27). Матрица ковариаций (8.28-8.35). Линейные оценки с минимальной дисперсией (8.36) 143
 9. Условное математическое ожидание. Определение (9.1-9.3). Оптимальная нелинейная оценка (9.4). Вычисление и свойства условного ожидания в дискретном случае (9.5-9.12). Свойства в непрерывном случае (9.13-9.17). Многомерное нормальное распределение (9.18). Несмещенное оценивание и достаточные статистики (9.19-9.22). Мартингалы (9.23). Ветвящийся процесс (9.24) 158
 10. Измеримые функции и интеграл. Интеграл Лебега от простых функций (10.1-10.12). Интеграл Лебега и его свойства (10.13-10.28). Интегралы Римана, Лебега, Римана-Стильтьеса, Лебега-Стильтьеса (10.29, 10.30). Интеграл на произведении пространств (10.31-10.35). Меры и плотности (10.36-10.40). Марковские процессы (10.41) 174
Глава III. НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 199
 11. Простое симметричное блуждание. Времена достижения и возвращения (11.1-11.6). Предельные теоремы для времен достижения и возвращения (11.7, 11.8). Ветвящийся процесс (11.9). Условное блуждание и броуновский мост, предельные теоремы (11.10-11.18, 11.21). Гауссовские процессы (11.19, 11.20). Броуновская экскурсия (11.22) 199
 12. Схема Бернулли и простое блуждание. Нормальное приближение и большие уклонения для биномиального распределения (12.1-12.4). Нормальное приближение для пуассоновското, отрицательного биномиального и гамма распределений (12.5-12.7). Эмпирическая функция распределения, статистики Колмогорова-Смирнова (12.8-12.10). Сходимость с вероятностью 1, усиленный закон больших чисел, леммы Бореля-Кантелли (12.11-12.14). Времена достижения (12.15). Предельные теоремы для простого блуждания (12.16-12.20). Среднее и дисперсия времени достижения (12.21). Условная предельная теорема (12.22) 223
 13. Сходимость распределений, преобразование Лапласа и характеристические функции. Сходимость случайных величин и распределений (13.1-13.10). Асимптотическая нормальность выборочных квантилей (13.11). Сходимость производящих функций (13.12-13.14). Интеграл Римана-Стильтьеса, преобразование Лапласа, формула обращения, теорема непрерывности, моменты (13.15-13.30, 13,33). Применение преобразования Лапласа (13.31, 13.32, 13.34, 13.35). Характеристические функции (13.36-13.42). Закон больших чисел в форме Хинчина (13.43). Центральная предельная теорема (13.44-13.53). Приближение непрерывной функции тригонометрическими полиномами (1354) Формула обращения для целочисленных величин (13.55) 247
 14. Марковские модели. Неоднородное простое блуждание (14.1-14.9). Процесс Гальтона-Ватсона (14.10-14.24). Условный ветвящийся процесс (14.25-14.29). Ветвящийся процесс с параметром \mu>1 (14.30-14.34) Процессы с иммиграцией (14.35-14.37). Ветвящийся процесс в случайной среде (14.38). Дискретные процессы восстановления и марковские цепи (14.39-14.48) 277
Литература 342
Список обозначений и сокращений 343