|
Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://cosmos.msu.ru/pract/05sp2_6.html
Дата изменения: Tue Aug 23 12:58:07 2005 Дата индексирования: Mon Oct 1 19:39:41 2012 Кодировка: Windows-1251 |
Специальный космофизический практикум:
Цель задачи - приобретение навыков использования реальной информации о кеплеровских параметрах орбиты спутника, поступающей от наземных служб наблюдения, в частности NORAD, для оценки параметров несферичности Земли. Это необходимо для понимания способов привязки измерений, проводимых на борту спутника, к реальным географическим и пространственным координатам его положения.
В качестве измеряемого параметра выбрана амплитуда второй зональной сферической гармоники, дающей основной вклад в отклонение поля Земли от сферической формы. В задаче предполагается использовать элементы самостоятельного программирования студентами при обработке реальной базы данных о положении спутника.
Задача может быть рекомендована студентам физических факультетов университетов и других ВУЗов (в рамках общего практикума по механике).
В основе теории тяготения Ньютона лежит закон всемирного притяжения, который для точечных масс величиной m1 и m2, находящихся на расстоянии r, может быть записан в виде
Здесь F12 - сила, действующая на первое тело со стороны второго, r - радиус-вектор из первой точки ко второй, G = 6.67·10-11 м3кг-1с-3 - ньютоновская гравитационная постоянная. Работа по удалению одного из тел в бесконечность при первоначальном расстоянии между точками r равна:
Эта функция определяет энергию взаимодействия точек и называется потенциальной энергией взаимодействия.
Величины g2 = F12/m1 и φ2 = - U12/m1 называются напряженностью гравитационного поля и его потенциалом, создаваемым второй материальной точкой в месте расположения первой точки. Эти величины не зависят от массы первой точки и характеризуют само поле вне зависимости от того, есть в данной области пространства материальная точка или нет. Заметим также, что напряженность и потенциал поля связаны между собой простым соотношением:
или в координатной записи
Кроме этих свойств, гравитационное поле обладает еще двумя свойствами. Одно из них - принцип линейной суперпозиции, а второе - отсутствие экранирования. Первое можно сформулировать следующим образом. Пусть имеются n материальных точек с массами m1, m2,:,mn, расположение которых в пространстве определяется набором радиус-векторов r1, r2,:,rn. Тогда гравитационное поле, создаваемое этими материальными точками в точке с радиусом-вектором r0 характеризуется напряженностью и потенциалом, которые могут быть получены в виде линейной суммы отдельных напряженностей и потенциалов
Второе свойство означает, что действие одной точки на другую не зависит от того, находится между этими материальными точками другие материальные точки или нет. Заметим, что электрическое поле, создаваемое двумя сортами зарядов (положительными и отрицательными), обладает свойством экранирования. Это проявляется в том, что среда, заполненная частицами с различного типа зарядами, будет обладать дополнительным свойством - диэлектрической проницаемостью, которая характеризуется функцией диэлектрической проницаемости или в более сложных случаях - тензором диэлектрической проницаемости. Самогравитирующая среда в силу отсутствия экранирования не имеет свойств аналогичных диэлектрической проницаемости.
Рассмотрим предельный переход к сплошной среде. В этом случае каждая точка среды с
координатами r' = (x', y', z')
может рассматриваться как материальная точка, имеющая массу
Используя принцип суперпозиции, получаем, что в точке r суммарное поле характеризуется следующими величинами:
 | (1) |
|---|
 | (2) |
|---|
Эти формулы позволяют рассчитывать характеристики гравитационного поля любых тел. Однако в ряде случаев возможно использовать более простые формулы, которые вытекают из свойств гравитационного поля. Так соотношение (1) в случае сферического распределения масс можно записать в виде
Отсюда следует, что при сферическом распределении масс напряженность поля на расстоянии r зависит только от массы вещества, заключенного внутри сферы того же радиуса и не зависит от распределения масс вне этой сферы. Этот факт позволяет получать некоторые результаты более простым способом.
Общий вид потенциала, создаваемого телом произвольной формы дается формулой (2). В эту формулу входит множитель
где ψ - угол между векторами r и r'. Правую часть последнего соотношения можно разложить в ряд по полиномам Лежандра:
 | (3) |
|---|
где
Кроме этого введем присоединенные полиномы Лежандра, которые определяются следующими соотношениями:
В формулу (3) входит угол ψ, который выражается через сферические углы θ и φ системы координат. Для преобразования (3) к виду, в который входят θ и φ, воспользуемся теоремой сложения для полиномов Лежандра. Согласно этой теореме
Здесь θ и φ - сферические углы вектора r, направленного в точку наблюдения, а θ' и φ' - сферические углы вектора r', направленного в точку расположения текущего источника. Подставляя последнее выражение в формулу (2) приходим к соотношению:
 | (4) |
|---|
В случае, тела сферической формы потенциал поля тяготения зависит только от радиальной координаты и соответствует ньютоновскому потенциалу
Если тело слабо деформировано, то ряд (4) будет содержать малые поправки к ньютоновскому полю. Планеты и вращающиеся одиночные звезды обладают осевой симметрией: ρ = ρ(r, θ). В этом случае секториальные и тессеральные составляющие гравитационного поля равны нулю:
В результате ряд (4) упрощается и приобретает вид
 | (5) |
|---|
В случае зеркальной симметрии тела относительно экваториальной плоскости нечетные составляющие в ряде (5) исчезают. Последнее условие выполняется для одиночных вращающихся звезд. В этом случае ряд (5) можно записать так:
 | (6) |
|---|
Таблица 1. Данные о зональных гармониках планет солнечной системы [2]
| Jn·106 | ||||||
| Небесное тело | GM | n | ||||
| м3/с2 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
| Солнце | 1.327·1020 | |||||
| Меркурий | 2.168·1013 | |||||
| Венера | 3.249·1014 | -20 | ||||
| Земля | 3.987·1014 | -1082 | 2.54 | 1.58 | 0.22 | -0.59 |
| Луна | 4.903·1012 | -206 | -37.7 | 33.3 | -5.5 | |
| Марс | 4.298·1013 | -1995 | 29 | -9.5 | 5 | 0.2 |
| Юпитер | 1.267·1017 | -14750 | 580 | 5 | ||
| Сатурн | 3.793·1016 | -16670 | 1040 | 11 | ||
| Уран | 5.803·1015 | -12000 | ||||
| Нептун | 7.026·1015 | -3900 | ||||
Данные о форме планет, полученные из анализа движения вокруг них спутников, позволяют сделать вывод о том, что вдали от планет при описании динамики тел с большой точностью можно пользоваться ньютоновским приближением, а вблизи самих планет и на их поверхностях хорошую точность часто дает приближение, содержащее лишь слагаемое с n = 2:
 | (7) |
|---|
Уравнения Ньютона движения точечной частицы массой m в поле тяготения имеют вид
 | (8) |
|---|
где φ - гравитационный потенциал поля тяготения. Для движения в поле сферически симметричного тела потенциал имеет вид:
В сферическом поле сохраняется момент импульса:
В силу этого удобно выбрать систему координат таким образом, что бы плоскость движения спутника (плоскость орбиты) была бы ортогональна постоянному вектору L. Направим ось z вдоль вектора L. В этом случае L = (0, 0, L). Переходя теперь к полярным координатам в плоскости орбиты получаем
 | (9) |
|---|
Рис. 1. Элементы эллиптической орбиты.
Вторым интегралом движения является интеграл энергии, который в выбранной полярной системе координат имеет вид
 | (10) |
|---|
Здесь vr - радиальная скорость спутника, E0 - полная энергия. Учитывая (9), приходим к следующему уравнению:
 | (11) |
|---|
Делая замену переменных r(t) = r(φ(t)) получаем:
Далее делаем замену ξ(φ) = r -1(φ) и в результате получаем:
или
Этот интеграл совпадает по форме с интегралом гармонического осциллятора единичной массы и единичной частоты и точкой равновесия равной
Поэтому можем сразу записать решение:
Обычно это решение записывается в следующей форме
 | (12) |
|---|
где p - фокальный параметр, e - эксцентриситет, угол ν = φ - φ0, отсчитываемый от направления на перигей, называется истинной аномалией. Перигеем называется точка минимального расстояния орбиты от центра поля, апогеем - точка максимального удаления, если она есть. Угол поворота относительно центра эллипса, отсчитываемый от перигея, называется эксцентрической аномалией E. В апогее и перигее радиальная компонента скорости равна нулю. Поэтому из интеграла энергии находим:
Отсюда
С другой стороны из (12) имеем
 | (13) |
|---|
Отсюда
 | (14) |
|---|
Движение спутника по орбите определяется с помощью уравнения Кеплера, которое имеет следующий вид:
 | (15) |
|---|
Здесь E - эксцентрическая аномалия, величина
n(t - t0) + 0 называется средней аномалией, а величина
0 - средней аномалией в эпоху (t0),
- среднее движение.
Геометрический смысл эксцентрической аномалии пояснен на рис. 1.
Эксцентрическая аномалия связана с естественной аномалией (угол ν на рис. 1) формулой
 | (16) |
|---|
Из этих двух уравнений определяется истинная аномалия, соответствующая определенному моменту времени t и, следовательно, положение спутника на орбите, например, относительно перигея.
Декартовы координаты спутника в геоцентрической системе координат будут иметь при этом следующий вид:
 | (17) |
|---|
 | (18) |
|---|
 | (19) |
|---|
Здесь u = ν + ω.
Подробности можно найти в [1]. Полный набор формул смотрите в [5] (стр. 171-180).
Для спутников Земли параметры орбиты вводятся следующим образом. Ось z выбирается совпадающей с осью вращения Земли с положительным направлением на северный полюс. Эта точка на небесной сфере располагается вблизи Полярной звезды. Ось x направляется из центра Земли в точку весеннего равноденствия, которая в современную эпоху находится в созвездии Золотой рыбы. Ось y перпендикулярна двум другим.
Точка пересечения орбиты с экваториальной плоскостью называется узлом орбиты. Точка, где спутник переходит из южной полусферы в северную, называется восходящим узлом. Противоположная относительно центра Земли точка - нисходящий узел. Угол между направлением на точку весеннего равноденствия и восходящим узлом, т. е. между осью x и восходящим узлом, называется долготой восходящего узла и обозначается здесь через Ω.
Рис. 2. Положение орбиты в пространстве.
Угол в плоскости орбиты, отсчитываемый от восходящего узла до перигея называется аргументом перигея и обозначается ω, угол между плоскостью орбиты и экваториальной плоскостью - наклонением орбиты и обозначается здесь через i. Так же в параметры орбиты входит фокальный параметр p и эксцентриситет e. Эти параметры приведены на рис. 2.
Слабое отличие реальной формы планеты от сферической ведет к медленному изменению параметров кеплеровской орбиты со временем. Простая модель такой эволюции может быть построена из анализа динамики момента импульса спутника. Поскольку такая модель аналогична по основным параметрам прецессии вращающегося гироскопа, то в дальнейшем мы будем называть такую модель моделью прецессии, хотя для динамики параметров орбиты спутника такая терминология обычно не применяется. Согласно [7] хорошим приближением для потенциальной энергии спутника в не сферическом поле тяготения Земли является функция
 | (20) |
|---|
где m - масса спутника, и использовано тождество cosθ = z/r. Уравнения Ньютона движения спутника в таком поле имеют вид
Умножая это уравнение слева векторно на радиус-вектор
 | (21) |
|---|
Если сила, действующая на спутник центральна, то момент сил, стоящий в правой части (21) равен нулю. Действительно, для центральной силы выполняется условие:
где Q(r) - некоторая скалярная функция длины радиус вектора r = |r|. Для сферической планеты гравитационное поле центрально и момент сил равен нулю. Это приводит к закону сохранения момента импульса. Если форма Земли отлична от сферической, то гравитационное поле не является центральным, и момент импульса не сохраняется. Вычислим момент сил для потенциальной энергии (20). Дифференцируя потенциальную энергию (20) получаем следующее выражение для силы, действующей на спутник:
 | (22) |
|---|
где
а вектор ez - единичный вектор в направлении оси z, совпадающей с направление оси вращения Земли. Отсюда следует, что в таком поле момент сил, действующих на спутник равен
Отсюда находим
Учитывая, что
получаем для компонент момента импульса систему уравнений
 | (23) |
|---|
Из этой системы видно, что проекция момента импульса спутника на ось вращения Земли сохраняется: Lz = const.
Уравнения (23) вместе с законом сохранения энергии теперь полностью определяют движение спутника в рассматриваемом поле тяготения. Поскольку отклонение от сферичности у Земли мало (см. таб. 1), можно считать, что за один оборот спутника вокруг Земли существенных изменений параметров орбиты не происходит. Такие отклонения должны проявляться лишь через значительный промежуток времени. Поэтому можно предположить, что закон орбитального движения спутника остается по форме таким же, но параметры орбиты медленно меняются со временем. Это означает, что для вычисления декартовых координат спутника можно использовать те же соотношения (17), но теперь следует считать Ω = Ω(t), ω = ω(t), i = i(t), ε = ε(t), a = a(t). Всю совокупность уравнений для этих параметров орбиты, которые называются оскулирующими элементами, можно получить теперь из уравнений (23) и закона сохранения энергии. Однако эти вычисления громоздки, и мы их полностью приводить не будем. Приведем лишь вывод уравнения для векового изменения долготы восходящего узла Ω в предположении, что орбита имеет малый эксцентриситет, т. е. практически не отличается от круговой.
Подставим выражения для координат x, y, z из (17) в первые два уравнения (23). В результате получим
Отсюда получаем
 | (24) |
|---|
 | (25) |
|---|
В этих уравнениях в правой части имеются слагаемые, которые меняются быстро за один оборот спутника вокруг Земли и те которые меняются медленно. Быстро меняются слагаемые, содержащие истинную аномалию ν, которая за один оборот меняется от 0 до 2π. Медленно меняются слагаемые, не содержащие истинной аномалии. Из этого анализа следует, что выражения для компонент момента импульса можно представить аналогичным образом в виде слагаемых, меняющихся быстро и медленно, т. е.
где функции Lx(0), Ly(0) меняются медленно. Уравнения для этих функций получаются прямой подстановкой последних выражений для компонент момента импульса в уравнения (24) и (25) и приравниванием медленно меняющихся частей уравнения. В результате имеем
 | (26) |
|---|
 | (27) |
|---|
Медленно, меняющаяся часть проекции вектора момента импульса на плоскость xy может быть представлена следующим образом:
где L0 - модуль вектора момента импульса медленно меняющейся составляющей, который остается почти неизменным, но сам вектор L вращается вокруг оси z (см. рис. 3).
Рис. 3. Вращение плоскости орбиты в пространстве.
Подставляя эти соотношения в уравнения (24) и (25), считая, что наклонение орбиты не меняется, а меняется только долгота восходящего узла, получаем следующее уравнение для Ω(t)
Учитывая, что для не возмущенного движения по круговой орбите
окончательно находим
Более точный анализ, учитывающий возможное отклонение орбиты от круговой, показывает, что в первом приближении вместе с долготой восходящего узла медленно меняются аргумент перигея ω и средняя аномалия 0. Соответствующие формулы для скорости вековых изменения этих величин имеют такой вид:
 | (28) |
|---|
 | (29) |
|---|
 | (30) |
|---|
Здесь p = a(1 - e2) - фокальный параметр орбиты,
RE - экваториальный радиус Земли, a
- большая полуось орбиты. Видно, что для круговой орбиты формула для Ω
в точности совпадает с полученной нами ранее. Эти уравнения можно
интерпретировать как величину изменения элементов орбиты в радианном
или угловом исчислении за некоторый промежуток времени, например, за
один оборот спутника вокруг Земли. Однако, как будет ясно из
дальнейшего, в реальных данных обычно параметры задают за сутки. Величина
называется средним движением и в данных NORAD приводится в виде числа
оборотов за сутки. Долгота восходящего узла и аргумент перигея в
данных NORAD приводятся в градусах. В этих единицах ΔΩ
и Δω за сутки примут следующий вид:
 | (31) |
|---|
 | (32) |
|---|
 | (33) |
|---|
Величина 360n представляет собой суммарный угловой набег истинной аномалии за сутки. Теперь мы можем легко сделать оценки для величины изменения долготы восходящего узла, аргумента перигея и средней аномалии за сутки для некоторых характерных спутников. Так для полярных метеорологических спутников типа NOAA n ≈ 14 rev/day, RE/p ≈ 1.2, i = 98њ, cos i ≈ -1.2. Используя значение J2 из таблицы 1, находим ΔΩday ≈ 1њ, Δωday ≈ 3њ.
Формулы (31) и (32) взяты из [3]. Формула (33) взята из руководства [5] (стр. 438),
которое содержит справочный материал по всем параметрам движения
спутника. Между формулами, приводимыми в [3] и [5] имеется
незначительное различие, состоящее в отсутствии и наличии
(соответственно) множителя
Задачи космического практикума, относящиеся к разделу “Механика” требуют умения работать с данными о кеплеровских элементах орбиты спутников, которые поступают от станций слежения. Одной из самых полных баз данных о спутниках, которая пополняется регулярно и имеет открытый доступ для большинства спутников, является база данных NORAD (Национальная служба космической обороны США). Однако существуют базы данных на других сайтах. Необходимые данные можно получать в открытом доступе с сайта Dr. T. S. Kelso celestrak.com.
Данные, получаемые от службы NORAD в формате TLE имеют вид трехстрочных записей. Одна из них, необязательная, содержит имя спутника (строка 0). Две других обязательных строки содержат полную информацию о кеплеровской орбите спутника. Строки имеют следующие шаблоны:
0 AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA 1 nnnnnU nnnnnaaa nnnnn.nnnnnnnn +.nnnnnnnn +nnnnn-n +nnnnn-n nnnnnn 2 nnnnn nnn.nnnn nnn.nnnn nnnnnnn nnn.nnnn nnn.nnnn nn.nnnnnnnnnnnnnn
Строка 0 представляет собой 24 символьное (24 байта) имя спутника, присвоенное ему в системе NORAD (NORAD SATCAT).
Строки 1 и 2 содержат информацию в соответствии с Таблицей 2 (следует учитывать форму шаблонов). Буквы, пробелы, точки, знак плюс ('+') - 0, знак минус ('-') - 1.
Таблица 2. Формат данных двухстрочных элементов кеплеровской орбиты в системе NORAD.
| Строка 1 | |
| байты | описание |
| 01 | Номер строки |
| 02 | Пробел |
| 03-07 | Номер, присвоенный спутнику в системе NORAD |
| 08 | Классификация спутника (U - не классифицирован) |
| 09 | Пробел |
| 10-11 | Международный код (две последние цифры года запуска) |
| 12-14 | Международный код (номер запуска в году) |
| 15-17 | Международный код (число ступеней) |
| 18 | Пробел |
| 19-20 | Год эпохи (Две последние цифры года) |
| 21-32 | Эпоха* (день года и дробная часть дня вместе с десятичной точкой) |
| 33 | Пробел |
| 34-43 | Первая производная по времени среднего движения (с десятичной точкой) |
| 44 | Пробел |
| 45-52 | Вторая производная по времени среднего движения (десятичная точка предполагается) |
| 53 | Пробел |
| 54-61 | Коэффициент трения в атмосфере (BSTAR drag term) |
| 62 | Пробел |
| 63 | Тип эфемериды |
| 65-68 | Число элементов |
| 69 | Контрольная сумма (по модулю 10) |
*Эпоха - момент времени, соответствующий определенному положению плоскости экватора.
| Строка 2 | |
| байты | описание |
| 01 | Номер строки |
| 02 | Пробел |
| 03-07 | Номер, присвоенный спутнику в системе NORAD |
| 08 | Пробел |
| 09-16 | Наклонение (в градусах) |
| 17 | Пробел |
| 18-25 | Долгота восходящего узла (в градусах) |
| 26 | Пробел |
| 27-33 | Эксцентриситет (десятичная точка предполагается) |
| 34 | Пробел |
| 35-42 | Аргумент перигея (в градусах) |
| 43 | Пробел |
| 44-51 | Средняя аномалия (в градусах) |
| 52 | Пробел |
| 53-63 | Среднее движение (число оборотов в сутки) |
| 64-68 | Число оборотов в эпоху |
| 69 | Контрольная сумма (по модулю 10) |
Все данные орбиты отнесены к одной эпохе, указанной в первой строке. Напомним, что долгота восходящего узла отсчитывается от направления на точку весеннего равноденствия, которое привязано (условно) к неподвижной небесной сфере. Это направление медленно смещается за счет смещений оси вращения Земли и других процессов. Однако для задач практикума можно с большой степенью точности считать, что плоскость экватора, направление на точку весеннего равноденствия и ось вращения Земли неподвижны. Пример информации об спутнике выглядит так:
NOAA 14 1 23455U 94089A 97320.90946019 .00000140 00000-0 10191-3 0 2621 2 23455 99.0090 272.6745 0008546 223.1686 136.8816 14.11711747148495
В этом фрагменте метеорологический спутник под именем NOAA 14 имеет номер в системе NORAD 23455. Спутник не идентифицируется - параметр U. Год запуска - 1994. Номер запуска в этом году по счету - 89. Эпоха, в которую производилось измерение параметров орбиты - 320.90946019 день в 1997 году, т. е. положение оси вращения Земли, плоскости экватора и направление на точку весеннего равноденствия относятся именно к этому моменту времени. Далее, наклонение орбиты равно 99.0090 градусов, долгота восходящего узла в эпоху - 272.6745. Эксцентриситет - 0.0008546 (орбита почти круговая). Аргумент перигея - 223.1686 градусов. Средняя аномалия в эпоху - 136.8816, а среднее движение - 14.11711747. Число оборотов, сделанных спутником к моменту измерения - 14849.
Файлы, содержащие набор таких записей, обычно носят расширение TLE и используются многими программными комплексами слежения за спутниками и любительскими программами (например, Orbitron). При реализации задач на компьютере в космическом практикуме удобно иметь копию данных о наборе спутников в формате TLE за несколько лет. Такие данные имеются, например, на сайте celestrak.com. Фрагмент такого файла для спутника NOAA17 приведен ниже:
1 27453U 02032A 03036.91173877 .00000252 00000-0 13090-3 0 3431 2 27453 98.7603 108.1893 0012457 36.6226 323.5801 14.23284986 32161 1 27453U 02032A 03037.12263737 .00000259 00000-0 13369-3 0 2941 2 27453 98.7603 108.3991 0012453 35.9336 324.2677 14.23285178 32198 1 27453U 02032A 03037.89593266 .00000255 00000-0 13208-3 0 2957 2 27453 98.7602 109.1685 0012437 33.8535 326.3432 14.23285612 32304 1 27453U 02032A 03037.96623227 .00000255 00000-0 13205-3 0 2975 2 27453 98.7602 109.2384 0012436 33.6520 326.5446 14.23285653 32315 1 27453U 02032A 03038.95042518 .00000275 00000-0 14086-3 0 3378 2 27453 98.7600 110.2175 0012397 30.9679 329.2227 14.23286491 32457
Задание 1. Измерение J2 по движению узла орбиты
Измерение параметра J2 - амплитуды второй зональной гармоники производится с использованием формулы (31).
1. Для нескольких заданных спутников, имеющих различное наклонение орбиты, сделайте выборку из файла данных NORAD по параметрам орбиты спутника за определенный период времени. Необходимо сделать выборку по долготе восходящего узла Ω, среднему движению n, наклонению i.
2. Постройте графики изменения разности ΔΩ = Ω - ΩE долготы восходящего узла Ω за заданный период времени и суточного вращения Земли ΩE для всех спутников.
3. Вычислите среднее значение фокального параметра орбиты p по данным о среднем движении n и оцените статистическую погрешность вычисления p. То же самое сделайте для наклонения орбиты.
4. По этим данным с помощью метода наименьших квадратов оцените тангенс угла наклона
Здесь n берется непосредственно из данных NORAD, т. е. в единицах - число
оборотов в сутки. Заметим, что число 360n
представляет собой полный набег угла (естественной аномалии) за сутки. Множителем
5. Оцените статистическую погрешность оценки J2
6. Сравните результаты для всех спутников.
Задание 2. Измерение J2 по движению перигея орбиты
Измерение параметра J2 - амплитуды второй зональной гармоники производится с использованием формулы (32).
1. Для нескольких заданных спутников, имеющих различное наклонение орбиты, сделайте выборку из файла данных NORAD по параметрам орбиты спутника за определенный период времени. Необходимо сделать выборку по аргументу перигея ω, среднему движению n, наклонению i.
2. Постройте графики изменения аргумента перигея за заданный период времени.
3. Вычислите среднее значение фокального параметра орбиты p по данным о среднем движении n и оцените статистическую погрешность вычисления p. То же самое сделайте для наклонения орбиты.
4. По этим данным с помощью метода наименьших квадратов оцените тангенс угла наклона
графиков
Множителем (1 - e2)2 в силу его близости к 1 мы пренебрегаем.
5. Оцените статистическую погрешность оценки J2.
6. Сравнить результаты для всех спутников.
Задание 3. Измерение J2 по изменению средней аномалии
Измерение параметра J2 - амплитуды второй зональной гармоники производится с использованием формулы (33).
1. Для нескольких заданных спутников, имеющих различное наклонение орбиты, сделайте выборку из файла данных NORAD по параметрам орбиты спутника за определенный период времени. Необходимо сделать выборку по аргументу перигея ω, среднему движению n, наклонению i.
2. Постройте графики изменения средней аномалии за заданный период времени.
3. Вычислите среднее значение фокального параметра орбиты p по данным о среднем движении n и оцените статистическую погрешность вычисления p. То же самое сделайте для наклонения орбиты.
4. По этим данным с помощью метода наименьших квадратов оцените тангенс угла наклона графиков Raan = α векового изменения средней аномалии (в эпоху). Параметр Raan представляет собой в используемых единицах величину изменения средней аномалии в градусах за сутки. С помощью формулы (33) вычисляется значения амплитуды второй сфероидальной гармоники J2
Множителем (1 - e2)5/2 в силу его близости к 1 мы пренебрегаем.
5. Оцените статистическую погрешность оценки J2.
6. Сравнить результаты для нескольких спутников.
1. Что такое зональные, тессериальные и секториальные сферические гармоники поля планеты? Опишите качественно их основные характеристики.
2. Как связаны амплитуды вторых гармоник с моментом инерции Земли?
3. В таблице 1 приведена таблица значений зональных гармоник для планет солнечной системы. Дайте качественное объяснение относительным различиям значений второй и последующих гармоник у различных планет.
4. Что такое естественная, эксцентрическая и средняя аномалии? Объясните их геометрический смысл.
5. Запишите (выведите) уравнение Кеплера. Как связаны друг с другом естественная, эксцентрическая и средняя аномалии?
6. Что такое оскулирующие элементы орбиты?
1. А. Н. Матвеев. Механика и теория относительности. М. Высшая школа, 1986.
2. Ю. В. Александров. Введение в физику планет. Киев. Вища школа, 1982.
3. В. В. Белецкий. Очерки о движении космических тел. М. Наука, 1972, 320 с.
4. Г. Н. Дубошин. Небесная механика. Основные задачи и методы. М. Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1968, 800 с.
5. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. под. ред. Дубошина, М. Наука, 1971, с. 584.
ї Научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д. В. Скобельцына.