Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://acoustics.phys.msu.ru/teachers/shanin_files/perturbation_book.pdf Дата изменения: Thu May 9 11:45:57 2013 Дата индексирования: Thu Feb 27 21:02:51 2014 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: мода колебаний

Оглавление
Глава 1.

Асимптотические ряды
1 10 18 28 35 44 49

1. Понятие асимптотического ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Вычисление интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Интегралы типа Фурье и вычисление волновых полей 4. Спектр частотно-модулированного сигнала меры и классификация ........ ..............

5. Особые точки обыкновенных дифференциальных уравнений. При......................... 6. Асимптотики решений обыкновенных дифференциальных уравнений в особых точках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Контрольная работа 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Глава 2.

Задачи теории колебаний
неравномерные разложения ...................... 50 57 63 67 79 84

8. Прямое разложение в задачах теории колебаний. Равномерные и 9. Метод многих масштабов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Метод усреднения. Параметрический резонанс . . . . . . . . . . . . 11. ВКБприближение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Сингулярновозмущенные задачи. Сращивание асимптотических разложений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. Задачи к зачету . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89


Глава 1

Асимптотические ряды
1. Понятие асимптотического ряда
Термин асимптотика применяют, когда говорят о поведении какой-либо функции при очень больших или очень малых значениях одного из физических параметров. В настоящем курсе рассматриваются асимптотики решений задач теории колебаний и задач теории дифракции. В теории колебаний малым параметром может быть мера отклонения системы от линейной системы (например, от простейшего линейного осциллятора). В теории дифракции малый параметр это обычно отношение длины волны к характерным геометрическим размерам экранов. Обычно задачу в полной постановке аналитически решить не удается, однако имеется возможность построить разложение решения в ряд по малому параметру (асимптотический ряд), вернее построить несколько первых членов такого ряда. Это дает удобное приближенное решение физической задачи. Существует формальная теория асимптотических разложений. Эта теория построена на неожиданных, на первый взгляд, свойствах. Так, она оперирует, преимущественно, расходящимися рядами. Для детального ознакомления с теорией асимптотических рядов порекомендуем монографию А.Х.Найфэ [1], содержащую большое количество задач, имеющих отношение к радиофизике.

Пример 1
Рассмотрим трансцендентное уравнение

x tg x = 1.

(1.1)

Это уравнение содержит алгебраическую и тригонометрическую функции, поэтому аналитически решить его не удается. Попробуем построить его приближенное решение.


Гл. 1

1. Понятие асимптотического ряда

2

Перепишем уравнение в виде

tg x =

1 . x x

(1.2) , поэтому дей-

В правой и левой части стоят нечетные функции переменной

ствительные корни уравнения на отрицательной полуоси симметричны соответствующим корням на положительной полуоси, т.е. все действительные корни исчерпываются множествами

{xn }

и

{-xn }, xn > 0

.

Будем решать уравнение графически. Отложим на одном графике функции

tg x

и

1/x

(см. Рис. 1.1). Точки пересечения графиков представляют собой корни

уравнения. Из рисунка очевидно, что имеется бесконечное число корней также что при больших

xn

,а

n xn n.

1/x

p/2 x0

p x1 tg x

2p

x2

x

Рис. 1.1: Графическое решение уравнение (1.2) Итак, попытаемся найти приближенные значения корней значениях

x

n при больших

n

. Большой параметр

n

в данном случае принимает лишь дискрет-

ные значения. Изложим на данном примере общую схему применения метода возмущений.

Шаг 1. Выбор шаблона разложения
Это самый важный шаг в решении задачи. Никакого общего метода выбора правильного шаблона не существует. Имеется ряд рецептов, указывающих что


Гл. 1

1. Понятие асимптотического ряда

3

делать, если тот или иной разумный шаблон не привел к хорошему результату. Иногда шаблон называют немецким словом Ansatz (анзац). В данном случае шаблон имеет вид

xn = n +

a1 a2 a3 + 2 + 3 + ..., n n n n.

(1.3) Для задачи с боль-

т.е. он представляет собой ряд по обратным степеням

шим параметром это представляется осмысленным. Шаблон пока не является приближенным решением, поскольку значения коэффициентов определены.

a1 , a 2 , a 3 . . .

не

Шаг 2. Подстановка шаблона в уравнение
Здесь мы не пытаемся получить значения коэффициентов

an

в общем виде,

поэтому ограничимся лишь первыми членами ряда (а именно, членами, содер-3 жащими степени не ниже n ). Будем использовать разложение тангенса в ряд Тейлора:

tg( n + a) = a +
а также функции

23 a + ..., 3!

(1.4)

1/x

в ряд Тейлора:

1 1 1 = = n + a n(1 + a/( n)) n
Здесь

( ) a a2 a3 1- + - + ... . n ( n)2 ( n)3

(1.5)

a=

a3 a1 a2 + 2 + 3 + ..., n n n 2 a a1 a2 a2 = 1 + 2 3 + . . . , n2 n 3 a a3 = 1 + . . . . n3

Собирая вместе все эти выражения, получаем итоговое представление для уравнения (1.2):

(a a3 ) 1 a3 1 a2 a1 1 1 = + 2+ 3 + - 2 3. n n n 3 n3 n n

(1.6)

Шаг 3. Почленное решение уравнения
Будем решать (1.6) как цепочку уравнений при различных степенях степеней:

n

-1

.

будем решать уравнения этой цепочки последовательно, начиная с младших

n

-1 -2

: :

a1 =

n

1 , a2 = 0 ,

(1.7) (1.8)


Гл. 1

1. Понятие асимптотического ряда

4

n-3 :

a1 1 a3 + a3 = - 2 3 . 1 3 n 41 1 - . n 3 ( n)3

(1.9)

Подставляя (1.7) в (1.9) и собирая слагаемые, получаем приближенное решение

xn n +

(1.10)

Для того, чтобы оценить, насколько полученное решение приближает точные значения, приведем следующую таблицу.

n
1 2 3 Здесь

xn

(0)

xn

(1)

xn

(3)

x

n

xn

(3)

1/( n)5
0.003 -4

3.141 6.283 9.424

3.459 6.442 9.530

3.416 6.436 9.529

3.425 6.437 9.529

0.008 -4

3 ћ 10 4 ћ 10

-5

10 1.3 ћ 10-

5

x(0) = n, n 1 , n 1 41 = n + - . n 3 ( n)3 x(1) = n + n n
. Значение

x(3) n xn
(3)
отклонение

xn

(3)

от точного решения. Из таблицы видно, что отклонение

приближенного решения быстро падает с ростом считать большим, однако и при

n=3

уже можно

n=1

приближение работает неплохо.

ющий отброшенный член, вероятнее всего, пропорционален

Кроме того, из таблицы можно сделать предварительный вывод, что следу( n)-5 .

Пример 2
Оценим значение интеграла

f () =
0

e-x dx +x

(1.11)

при больших положительных значениях параметра (1.11) не вычисляется в элементарных функциях.

. Заметим, что интеграл

Прежде всего, определим, что значит большое значение. Ключевым моментом здесь является поведение экспоненциального множителя. Его значения, превышающие, скажем,

0.1

, сосредоточены на отрезке от

0

до нескольких еди-

ниц (чуть больше 3). Значит, при

>> 1

величина



больше естественного

масштаба изменения подынтегральной функции.


Гл. 1

1. Понятие асимптотического ряда

5

Введем новую переменную интегрирования

=

x .

Теперь интеграл (1.11) может быть переписан в виде

f () =
0

e- d . 1+

(1.12)

В результате этого преобразования удалось представить в виде произведения двух функций: экспоненты, содержащей большой параметр, и гладкой функции (1 + )-1 , не содержащей большого параметра. Такое разбиение на множители типично для вычисления асимптотик интегралов. Примерный вид этих множителей показан на Рис. 1.2.

1/l

1/(1+t)

e

-lt

Рис. 1.2: Сомножители в подынтегральном выражении в (1.12)

Дальше рассуждают так. Пусть



очень велико. Тогда экспоненциальный

множитель в (1.12) очень мал везде, кроме малой окрестности нуля. Это значит, что значение интеграла определяется поведением подынтегральной функции -1 вблизи нуля. Представим функцию (1 + ) в виде ряда:

1 = 1 - + 2 - 3 ћ ћ ћ = (-1)n 1+ n=0

n

при

0.

(1.13)

Подставим (формально) (1.13) в (1.12) и проинтегрируем полученный ряд почленно:

f () =

n=0

(-1)
n 0

e

- n

(-1)n n! d = . n n=0

(1.14)


Гл. 1

1. Понятие асимптотического ряда

6

Здесь используется табличный интеграл


0

e- n d = n!

Выражение (1.14) и называется асимптотическим рядом. Заметим, что ряд (1.14) расходится при всех (1.13) сходится только при пределами от



. Это следствие того, что ряд

< 1,

а подставлять его приходится в интеграл с

=0

до

.

Однако оказывается, что такие ряды могут использоваться для практических вычислений. Более того, во многих случаях сходящиеся ряды, не являющиеся асимптотическими, оказываются не пригодными для практических вычислений из-за медленной сходимости (типичный пример ряды Фурье). Для того, чтобы проиллюстрировать свойства асимптотического ряда, исследуем остаточный член (1.14). Оборвем ряд (1.13) на члене с номером воспользуемся формулой суммы геометрической прогрессии:

N

и

N 1 (- )N +1 = ( - ) n + . 1+ 1+ n=0
Функция

(1.15)

f ()

может быть представлена в виде

f () =
где

N (-1)n n! + RN (), n n=0

(1.16)

RN () = (-1)N
Заметим, что при

+1 0



N +1 -

e 1+

d .

>0 1 < 1. 1+

Воспользуемся этим неравенством и оценим интеграл:

|RN ()| <

(N + 1)! . N +1 N

(1.17)

Таким образом, остаточный член асимптотического ряда численно не превышает первого отброшенного члена ряда. Кроме того, при фиксированном имеем

RN () 0

при



. Это значит, что сумма первых

N

членов асимптотиче-

ского ряда представляет значение функции

f ()

все точнее и точнее с ростом


Гл. 1

1. Понятие асимптотического ряда

7



(при этом для фиксированного значения



невозможно получить точное зна-

чение

f (),

устремляя

N

к бесконечности).

Поведение остаточного члена при различных рисунка видно, что при данном значении



и

N

иллюстрируется на

Рис. 1.3. Для большей наглядности показан логарифм остаточного члена. Из



минимум остаточного члена достигается при

N

, близком к

.

Такая оценка позволяет при каждом



выбрать оп-

тимальное значение

N

.

50

ln(|RN|)
40 =5

30

20

= 10

10

0 = 20

-10

-20

N
0 5 10 15 20 25 30 35 40

Рис. 1.3: Остаточный член при различных

, N

На практике вычисляется всего несколько членов асимптотического ряда (один, два или три), а затем ряд используется для вычисления функции при весьма больших значениях параметра. Тот факт, что для функция рядом, записывают в виде

f ()

представляется данным асимптотическим

(-1)n n! . f () n n=0

(1.18)


Гл. 1

1. Понятие асимптотического ряда

8

Определение асимптотического ряда по Пуанкаре
Рассмотренные примеры подводят нас к определению асимптотического ряда по Пуанкаре.

Ряд называется асимптотическим по Пуанкаре, если а) ошибка словленная усечением ряда на

RN

, обу-

N

-м члене численно не превосходит первого от-

брошенного члена, и б) при фиксированном к нулю.

N

и при стремлении большого пара-

метра к бесконечности (или малого параметра к нулю) ошибка

RN

стремится

То же самое определение может быть записано в другой форме:

Ряд называется асимптотическим, если каждый следующий член меньше предыдущего, а остаточный член сравним по порядку с первым отброшенным членом.
В этом определении термины меньше и сравним по порядку понимаются в смысле терминов о малое и о большое из анализа. А именно, пусть члены асимптотического ряда, а записывается в виде

un ()



Rn

остаточный член. Тогда первое условие

un () 0 un+1 ()
а второе в виде

при

,

(1.19)

Rn () C un+1 ()
где

n

при

,

(1.20)

C

n некоторая ненулевая константа. Очень важно, что в обоих выражениях

стоит

,

а не

n .

Именно этим асимптотический ряд отличается от

обычного сходящегося. При разборе второго примера нам удалось доказать, что полученный ряд обладает свойствами асимптотического. Далее мы не будем этого делать, а асимптотичность соответствующих рядов будем принимать на веру.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 1. Дано уравнение

x3 - 3x - 2 + = 0,
где



малый параметр.

а) Получить решение вблизи б) Получить решение вблизи

x=2

.

x = -1.


Гл. 1

1. Понятие асимптотического ряда

9

2. В цилиндре длины

L

и сечения

S

, закрытом с одного конца, находит-

ся жидкость плотности



и сжимаемости

K

. С другого конца цилиндр

закрыт легким поршнем, который двигается по цилиндру с трением. Коэффициент трения (отношение силы к скорости) равен



.

а) При каком соотношении параметров коэффициент трения можно считать малым? б) Для малых значений коэффициента трения оценить затухание стоячей волны с номером

n.

3. Получить представление (1.16), интегрируя (1.12) по частям.


Гл. 1

2. Вычисление интегралов

10

2. Вычисление интегралов
Разбор домашнего задания
Разберем первую из задач, заданных на дом на прошлой лекции. Рассмотрим кубическое уравнение

x3 - 3x - 2 + = 0,
в котором

(2.1)



малый параметр. Отметим, что это гуманная формулировка

задачи. Менее гуманная формулировка предлагала бы приближенно решить, например, уравнение

x3 - 3x - 1.8 = 0.

(2.2)

При этом необходимо было бы догадаться, что это задача по теории возмущений и самостоятельно разбить уравнение на невозмущенную часть и возмущение (при этом, очевидно,

= 0.2

).

Перепишем уравнение в виде

(x + 1)2 (x - 2) + = 0
Невозмущенное уравнение имеет простой корень

(2.3) и кратный корень

x=2

x=

-1 . к2

Разумно ожидать, что возмущенное уравнение будет иметь корни, близкие и

-1. x=2
. Построим анзац в виде степенного (2.4)

Будем искать корень, близкий к ряда

x = 2 + a1 + a2 2 + . . .
результате получим

Подставим анзац в уравнение и оставим члены не выше второй степени по



.В

(1 + 9a1 ) + 2 (6a2 + 9a2 ) + O(3 ) = 0. 1
Из уравнения при

(2.5)



1

получаем

1 a1 = - . 9 2 . 243

Далее, из уравнения при



2

получаем

a2 = -

Таким образом, данный корень дается приближенной формулой

1 22 x=2- - + O(3 ). 9 243

(2.6)


Гл. 1

2. Вычисление интегралов

11

Попробуем применить тот же метод к отысканию корней вблизи Будем использовать анзац

x = -1.
(2.7)

x = -1 + a1 + a2 2 + . . .
ка (включительно) получим

Подставим его в уравнение. В результате с точностью до членов второго поряд-

- 3a2 2 + O(3 ) = 0. 1

(2.8)

Заметим, что решить это уравнение почленно нет никакой возможности, по1 скольку уравнение при имеет вид 1 = 0. Таким образом данный анзац не позволяет решить задачу. Выясним причины этого. Как и раньше, будем искать решение графически. Перепишем уравнение в виде

(x + 1)2 (x - 2) = -.

(2.9)

Найдем пересечение графиков функций, стоящих в правой и левой части. Левой части соответствует кубическая парабола, а правой прямая, параллельная оси абсцисс (см. Рис. 2.1).

y =(x+1) (x-2)

2

-1 y = -e

2 x

Рис. 2.1: К разбору домашнего задания Рассмотрим графики вблизи точки

x = -1.

Кубическая парабола в этой точ-

ке имеет нулевую первую производную и ненулевую вторую, поэтому локально она хорошо приближается квадратичной параболой. Очевидно, отклонение корня от (2.7).

x = -1

имеет порядок



, что не может быть описано в рамках анзаца


Гл. 1

2. Вычисление интегралов

12

Построим другой анзац, в большей мере соответствующий нашему пониманию поведения корней:

x = -1 + a1 1/2 + a2 + a3
т.е. ряд по полуцелым степеням

3/2

+ O(2 ),

(2.10)



. Подставим анзац в уравнение. Получим (2.11)

(1 - 3a2 ) + 3/2 (a3 - 6a1 a2 ) + O(2 ) = 0. 1 1
Отсюда

Таким образом, кратный в пару корней

1 a1 = + , 3 корень x = -1 x = -1 +

a2 =

1 . 18

невозмущенной задачи превращается

1/2 + + O( 1/2 3 18

3/2

)

(2.12)

Интегралы типа Лапласа
Перейдем к заявленной теме лекции, а именно к асимптотической оценке интегралов. Рассмотрим интеграл вида

I (s) =
a
где

b

f (x)e

-sx

dx,

(2.13)

s

большой положительный параметр, а

f (x)

достаточно гладкая функ-

ция, не содержащая большого параметра. Это простейший интеграл типа Лапласа. Очевидно, к данному типу принадлежит интеграл, рассмотренный во втором примере предыдущей лекции. Сейчас мы рассмотрим эти интегралы более подробно, а также рассмотрим различные обобщения такого интеграла. Как следует из рассмотрения, проделанного в предыдущей лекции, экспоненциальный множитель быстро убывает с ростом грал дает концевая точка окрестности этой точки:

x,

и основной вклад в инте-

x = a.

Разложим функцию

f (x)

в степенной ряд в

f (x) = A0 (x - a) + A1 (x - a)
пени, т.е.

+1

+ ... -1/2.

(2.14)

Отметим, что на этот раз мы не требуем, чтобы ряд содержал только целые сте-



может, например, принимать значения

1/2

или

Важно, чтобы

выполнялось неравенство

> -1,

обеспечивающее сходимость интеграла.


Гл. 1

2. Вычисление интегралов

13

Младшим степеням

(x - a)

соответствуют старшие члены асимптотического

ряда. Главный (т.е. самый старший) член ряда оценивается как

I (s) = A0 e A0 e
Здесь

-sa


a

b

(x - a) e-

s(x-a)

dx + ћ ћ ћ =
(2.15)

-sa


a



(x - a) e

-s(x-a)

dx + ћ ћ ћ =

A0 e-sa ( + 1) . s+1



гамма-функция Эйлера, определяемая с помощью соотношения

() =
0



t-1 e-t dt.

(2.16)

Обратим внимание на то, что в (2.15) произошел переход от интеграла по отрезку

(a, b)

к интегралу по полуоси

разность (т.е. интеграл по полуоси со вкладом окрестности точки

(a, ). (b, ))

Такой переход возможен, поскольку экспоненциально мала по сравнению

a

. Такой прием является обычным для асимпто-

тической оценки интегралов. Если оказывается, что главный член дает только один из концов интервала, то при оценке этого главного члена со вторым концом интервала можно делать что угодно (как правило, положить его равным бесконечности). Формула (2.15) очень важна. Рекомендуется запомнить ее или запомнить то место, где она записана. Рассмотрим различные обобщения данной формулы.

Комплексные значения
Пусть значение равно

s = |s|

, где

s s не является большим положительным действительным, |s| большая положительная действительная величина,

а а



комплексное число, по модулю равное единице. Экспонента, стоящая в (2.13), приобретает вид

exp{-Re[ ]|s|} exp{-iIm[ ]|s|}.
Первый множитель отвечает за рост / убывание, а второй множитель за осцилляции. При

Re[ ] > 0

рассуждения об убывании экспоненциальной функ-

ции остаются справедливыми, и оценка (2.15) остается верной. При щей с ростом Если

Re[ ] < 0
.

экспоненциальная функция перестает быть убывающей и делается возрастаю-

x.

Поэтому основной вклад в интеграл дает конец отрезка

Формально можно свести задачу к предыдущей с помощью замены

x=b x -x.

Re[ ] = 0

, то экспоненциального убывания подынтегральной функции

нет. Вместо этого имеются быстрые осцилляции. Такой интеграл будет изучаться в разделе интегралы типа Фурье.


Гл. 1

2. Вычисление интегралов

14

Более сложный вид экспоненциального множителя
Пусть интеграл имеет вид

I (s) =
a
Пусть

b

f (x) exp{-sg (x)} dx

(s = |s|) g (a) = 0

(2.17)

Re[ ] > 0, g (x)

монотонно возрастающая функция,

. Пользу-

ясь тем же рассуждением, приходим к выводу, что главный вклад в интеграл дает концевая точка интервала дущей, перейдя к новой переменной

x = a. Формально можно t = g (x). Тогда
g (b )

свести задачу к преды-

I (s) =
g (a)
где

f (g -1 (t))

e-st dt , g (g -1 (t))

(2.18)

g

-1

обратная функция. Оценка старшего члена интеграла есть

I (s)

A0 e-sg(a) ( + 1). (sg (a))+1

(2.19)

Вычисление интегралов методом перевала
Рассмотрим в качестве примера интеграл, определяющий функцию Ханкеля первого рода:

(1) H0

1 (x) =

exp{ix cos } d.

(2.20)

Интегрирование происходит в комплексной плоскости переменной



по контуру



, показанному на Рис. 2.2. Данное интегральное представление называется интегралом Сонина. Его

происхождение вполне очевидно. Преобразование к переменной водит к интегралу Фурье

k = cos

при-

H

(1) 0

1 (x) =


-

eikx dk , 1 - k2 (1 - k 2 )-
1/2
.

(2.21)

т.е. функция Ханкеля Фурье-образ функции

Построим оценку функции Ханкеля при больших положительных тим, что подынтегральное выражение в (2.20) везде на контуре

x.

Заме-



по модулю


Гл. 1

2. Вычисление интегралов

15

Im[q]

Im[q]

Im[q]

g

0

p Re[q]

0 g'

p Re[q]

0 g''

p Re[q]

Рис. 2.2: Контура интегрирования для вычисления функции Ханкеля

равно единице, поэтому говорить о том, что какая-то точка контура дает основной вклад, пока нельзя. Для того, чтобы это стало возможным, необходимо деформировать контур интегрирования. Рассмотрим экспоненциальный множитель общего вида какой-то точке ся к нулю при

exp{ixg ()}. Если в Im[g ()] > 0, то значение этого множителя в этой точке стремитx , т.е. подынтегральная функция экспоненциально мала.

Постараемся сделать так, чтобы подынтегральная функция почти везде была экспоненциально мала и нигде не была экспоненциально велика. Заштрихуем на комплексной плоскости



области, где

контур в заштрихованную область. Точка

Im[cos ] > 0 (см. = 0 остается

Рис. 2.2) и сместим на месте, посколь-

ку она является точкой перевала (лежит на стыке двух областей роста и двух областей убывания). Для наших целей достаточно сместить контур в область убывания совсем немного (например, превратить его в контур ), однако обычно деформацию осуществляют таким образом, чтобы контур интегрирования превратился в контур наискорейшего спуска (т.е. чтобы функция

Im[g ()]

рос-

ла на нем как можно скорее) или в контур постоянной фазы (т.е. чтобы функция

Re[g ()]

наискорейшего спуска обозначим

оставалась постоянной). Подумайте, почему это одно и то же. Контур .

Рассмотрим интеграл по контуру разложим косинус в ряд Тейлора:





. Подынтегральная функция на нем мала

везде, кроме окрестности точки перевала. Вблизи окрестности точки перевала

(1) H0

1 (x)





exp{ix(1 - 2 /2)}d.

(2.22)


Гл. 1

2. Вычисление интегралов

16

Далее введем локальную координату



, такую что

=e

-i /4



.

H

(1) 0

(x)

eix

-i /4

exp{-x 2 /2}d .
-
(2.23)



Заметим, что интегрирование в (2.22) и (2.23) производится по разным контурам. Такая замена правомерна, поскольку разница экспоненциально мала. Наконец, пользуясь табличной формулой

exp{-t2 }dt =
-
получаем

,

(2.24)

H

(1) 0

(x)

eix

-i /4

2 . x =0

(2.25) дает вклад в

Очень полезно выяснить, какая именно окрестность точки

интеграл. Оценкой размера этой окрестности служит то, что в ней показатель экспоненты, например, в (2.22) по модулю меньше единицы. То есть, окрестность определяется соотношением

|| <



2/x.

(2.26)

Разумеется, двойка в этой формуле большого смысла не имеет, поскольку мы ищем лишь оценку по порядку величины. Важно, что размер окрестности ока-1/2 зывается порядка x . Более общий вид рассматриваемого интеграла есть

I (s) = f (x) exp{-sg (x)}dx
(2.27)

суть метода перевала состоит в следующем. Контур интегрирования смещается в направлении наибольшего возрастания функции действительной части

g (x).

Контур можно смещать в поперечном направлении до тех пор, пока он не ляжет на точку перевала, которая находится на стыке двух областей роста и двух областей убывания плексная производная

Re[g ]. g

В этой точке градиент

Re[g ]

равен нулю, а значит ком-

равна нулю. Будем считать, что вторая производная

g

не обращается в нуль. Точка перевала

x = x

определяется соотношениями (2.28)

g (0) = 0,

g (x ) = 0.


Гл. 1

2. Вычисление интегралов

17

Для определенности будем полагать, что вторая производная замену независимой переменной. Пусть также

g (x )

действи-

тельна и больше нуля. Выполнения этих условий можно достичь, производя

f (x ) = 0. I (s) f (x )e-
sg (x )

(2.29)

Тогда главный член в асимптотическом разложении интеграла имеет вид

2 sg (x )

(2.30)

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 1. Оценить интеграл

1 I (s) = 1 - x2 esx dx
-1

при больших положительных

x

.

2. Оценить интеграл

I (x) =

при больших положительных


sinm () exp{ix cos }d
и целых

x

m

.


Гл. 1

3. Интегралы типа Фурье

18

3. Интегралы типа Фурье и вычисление волновых полей
Вычисление интегралов типа Фурье
Рассмотрим интеграл вида

I ( ) =
a
где

b

f (x) exp{i g (x)}dx, g (x)

(3.1)



большой действительный положительный параметр, а

действи-

тельная функция. Подынтегральная функция является быстро осциллирующей. Величина представляет собой локальную частоту осцилляций, а плитуду (огибающую).

g



f (x)

локальную ам-

Вид подынтегральной функции показан на Рис. 3.1. При интегрировании вблизи почти любой внутренней точки промежутка имеется множество положительных и отрицательных полупериодов, и они компенсируют друг друга. Нескомпенсированные полупериоды возникают либо вблизи концов интервала интегрирования, либо там, где локальная частота обращается в нуль.

a

b

g'(x) = 0
Рис. 3.1: Подынтегральная функция для интеграла типа Фурье Для строгого анализа интеграла предположим, что функции щую отрезок

f

и

g

продол-

жаются аналитически в некоторую полосу комплексной плоскости, содержа-

a, b

действительной оси. Деформируем контур интегрирования

таким образом, чтобы почти все его точки оказались в областях с

Im[g (x)] > 0,

т.е. в областях экспоненциального убывания. На действительной оси останутся концевые точки и точки перевала (точки с g = 0). Концевым точкам будут соответствовать интегралы типа Лапласа, а точкам перевала перевальные интегралы.


Гл. 1

3. Интегралы типа Фурье

19

Рассмотрим пример. Пусть надо оценить интеграл

I ( ) =

2

-1
Здесь

(x + 10) exp{i x2 }dx

(3.2)

f (x) = x + 10, g (x) = x2

. Найдем точки перевала. Из уравнения

g = 0

получаем, что имеется единственная точка перевала показано на Рис. 3.2.

x=0

, и она принадле-

жит промежутку интегрирования. Деформируем контур интегрирования как

Im[x] -1 I-1 I0 2 I2 Re[x]

Рис. 3.2: Контур интегрирования для интеграла (3.2)

Основные (не экспоненциально малые) вклады в интеграл дают концевые точки и точка перевала:

I ( ) I-1 + I2 + I0 .
зуясь формулой (2.19). Так, для окрестности точки

(3.3)

Вклады концевых точек оцениваем, производя замену переменных и поль-



, такую что

x = -1 - i

x = -1

вводим переменную

. Получаем

I-1 = -i
Для окрестности точки

9ei . 2
с помощью соотношения

x=2

вводим переменную

x = 2 + i

. Получаем

I2 =

3ie4i
с помощью

Наконец, для окрестности точки перевала вводим переменную i /4 соотношения x = e . Применяя формулу (2.30), получаем

I0 =

10ei/4 .

-1 Отметим, что вклады концевых точек пропорциональны , а вклад точки -1/2 перевала пропорционален , т.е. точка перевала дает доминирующий вклад.


Гл. 1

3. Интегралы типа Фурье

20

Вычисление волновых полей
Применим метод, развитый выше, к вычислению волнового поля. Рассмотрим задачу о рассеянии плоской волны на полосе. Ограничимся рассмотрением двумерного сечения задачи, в котором полоса вырождается в отрезок оси Концы отрезка имеют координаты

x.

(-a, 0)

и

(a, 0)

(см. Рис 3.3).

u

in

y

приемник (X,Y) r(-a) f -a
a

r(x) r(a) fa dx a x

Рис. 3.3: Геометрия задачи о дифракции на отрезке Плоская волна падает на отрезок вдоль оси

y

в отрицательном направлении.

Будем считать, что падающая волна имеет вид

uin = exp{-ik y }.
Здесь

(3.4)

k

волновое число. Нашей задачей будет вычислить рассеянное поле в

области

y>0

при большом положительном значении

k

.

Не будем вдаваться в тонкости теории дифракции. Рассеянное поле вычислим, применив принцип ГюйгенсаФренеля. Это будет, конечно, весьма нестрого, но такой подход близок к известному и достаточно осмысленному приближению Кирхгофа, и рассматриваемые интегралы вполне типичны для теории дифракции. Будем считать, что каждая точка полосы (отрезка) является источником вторичных волн. Вторичная волна, рассеянная бесконечно малым участком полосы шириной

dx

имеет вид

dusc (Q) = Auin (P )
где

exp{ik r} dx, kr Q
точка наблюдения,

(3.5)

A

некоторый постоянный коэффициент,

P

точ-

ка полосы, в которой происходит перерассеяние, r расстояние между точками P и Q, uin (P ) значение падающего поля в точке перерассеяния.


Гл. 1

3. Интегралы типа Фурье

21

Данная формула отражает наше представление о том, как выглядит расходящаяся волна в двумерной задаче. Рассеянное поле в приближении Кирхгофа выглядит сходным образом, однако его вид чуть более сложен. Кроме того, разумеется, в приближении Кирхгофа выписывается явный вид для коэффициента

A

.

Заметим, что в данном случае падающее поле одинаково и равно 1 во всех точках отрезка. Пусть точка наблюдения отрезка

Q

имеет координаты

(X, Y ),

а точка

P

имеет координаты

(x, 0).

Полное рассеянное поле, полученное сум-

мированием полей от всех точек отрезка, есть

a u (X, Y ) = A
-a
где

sc

exp{ik r(x)} dx, k r(x)

(3.6)

r(x)

имеет вид

r(x) =



(x - X )2 + Y 2 . r(x)

(3.7) играет роль функции

Очевидно, мы получили интеграл вида (3.1), где

g

.

Перед нами стоит задача получения асимптотической оценки этого интеграла. В соответствии с процедурой, описанной выше, мы заменяем интегрирова-

x (-a, a) на интегрирование по некоторому контуру в комплексной плоскости x. Нас не должно смущать то, что физически осмысленная переменная x начинает принимать комплексные значения. Напиние по действительному отрезку сав интеграл (3.6), мы временно забываем о физическом смысле входящих в него величин. Более того, мы рассматриваем аналитические продолжения всех входящих в интеграл функций. Для определения способа деформации интеграла необходимо проанализировать поведение функции отрезка

Im[r(x)]

при

x

, принадлежащих некоторой окрестности

(-a, a).

Прежде всего определим, при каких (см. Рис. 3.4). Точки

x

выполняется

Im[r(x)] =

0. Очевидно, это (X - iY , X + iY )
функции. с Точка

достигается на объединении действительной оси и отрезка

X + iY

являются точками ветвления

на то, что она может являться точкой перевала. Кроме того, элементарное вычисление показывает, что r (X ) = 0, r (X ) = 0, а это есть формальное определение точки перевала. Определим, какая из областей соответствует смотрим точку

x = X находится на Im[r(x)] = 0. Это указывает

стыке четырех областей, разделяемых линиями

x = x1 + ix

2 с действительными

Im[r(x)] > 0. x1 = X и x2 .

Для этого расПусть

x2

очень

мало. Выполним приближенные вычисления:

r(x1 + ix2 )

(x1 - X )2 + 2ix2 (x1 - X ) + Y 2


Гл. 1

3. Интегралы типа Фурье

22

(x1 - X )2 + Y
Из последней формулы видно, что

2

ix2 (x - X ) (x1 - X )2 + Y Im[r(x)] и x2 имеют

( 1+

)
2
(3.8)

одинаковый знак при

x>X

и разный знак при

x
. На Рис. 3.4 заштрихованы области, в которые

можно деформировать контур интегрирования, добиваясь экспоненциального убывания подынтегральных функций.

Im[x]

X+iY

X X-iY

Re[x]

Рис. 3.4: Области экспоненциального убывания подынтегральной функции Имеются три случая: а) б) в)

-a < X < a X < -a, X > a.

,

Деформация контуров интегрирования для каждого из этих трех случаев показана на Рис. 3.5. В первом случае асимптотическая оценка интеграла содержит три члена: вклады от концевых точек, оцениваемые как интегралы типа Лапласа, и вклад от точки перевала. В двух других случаях имеются только вклады от концевых точек. Начнем со случая а). Представим оценку интеграла в виде суммы трех вкладов:

usc I
перевала. Для оценки вклада

-a

+ Ia + IX ,

(3.9)

где первые два члена вклады от концевых точек, а третий вклад точки

I-

a введем локальную переменную

, такую что

x = -a - i .
Выполняя вычисления, получаем

I-a - k r(-a)

iA


0

( )} i (a + X ) exp ik r(-a) 1 + = r(-a)

{


Гл. 1

3. Интегралы типа Фурье

23

Im[x]

а)
-a X a Re[x]

Im[x]

б)
X -a a Re[x]

Im[x]

в)
-a a X Re[x]

Рис. 3.5: Деформация контура интегрирования

-
Здесь

iA k r(-a)

e

ikr (-a)

r(-a) =



r(-a) A eikr(-a) = k (a + X ) k r(-a) ik cos(-a )
. Угол

(3.10)

(a + X )2 + Y

2,

cos(-a ) = (a + X )/r(-a)



-a показан на

Рис. 3.3. Первый множитель в итоговом выражении (3.10) описывает расходящуюся цилиндрическую волну, источник которой находится в точке с координатами

(-a, 0)
ность.

. Второй множитель описывает угловую зависимость данной волны. Об-

ратим внимание на то, что при

-a = /2

угловой множитель имеет особен-

Очевидно, второе слагаемое в (3.9) имеет вид

eikr(a) A Ia . k r(a) ik cos(a )

(3.11)


Гл. 1

3. Интегралы типа Фурье

24

Оценим вклад

I

X . Введем переменную



для окрестности точки перевала: (3.12)

x = X + ei/4 .
Выполним оценку интеграла по методу перевала:

Aei/ IX kY

4


-

AeikY +i exp{ik i 2 + Y 2 }d kY A 2 eikY +i/4 . k факт, что r (X ) = Y



/4


-

k 2 exp - 2Y

{

} d =

(3.13) .

Здесь был использован тот тельном направлении оси

Вычисленный вклад имеет характер плоской волны, уходящей в положи-

y

. Как и положено плоской волне, она не затухает с

расстоянием. С помощью формулы (3.13) можно задним числом определить на отражается от поверхности с коэффициентом отражения 1, то а если она отражается с коэффициентом

A

. ,

Этот параметр зависит от свойств поверхности рассеивателя. Если плоская вол-

-1,

то

A 2 i/k = 1 A 2 i/k = -1.

Таким образом, три вклада в (3.9) имеют физически осмысленную трактовку. Вклады, соответствующие концевым точкам, представляют собой краевые волны, рассеянные концами отрезка, а вклад, соответствующий точке перевала, представляет собой отраженную плоскую волну. В случае б) и в) выражение упрощается:

usc I-a + Ia ,
где

(3.14)

I-a

и

Ia

формально имеют тот же вид, что и в (3.10), (3.11). То есть поле

представляет собой сумму краевых волн, а вклад плоской волны отсутствует. Это происходит потому, что точка наблюдения в этих случаях не попадает в область геометрической видимости плоской отраженной волны. Рассмотрим важный вопрос о применимости построенных приближений. Очевидно, что эти приближения не могут быть применимы для всех волны имеет особенность, у которой нет никакого физического смысла. Для того, чтобы соответствующие оценки были применимы, необходимо, чтобы каждому из вкладов не мешали другие вклады. А именно, чтобы концевые точки и точки перевала находились достаточно далеко друг от друга. На предыдущей лекции мы оценивали размер области, в которой подынтегральная функция для перевального интеграла не мала. Применяя тот же метод к данному случаю, получаем оценку размера перевальной области:

(X, Y ),

поскольку выше было отмечено, что диаграмма направленности для краевой



xX

2Y . k

(3.15)


Гл. 1

3. Интегралы типа Фурье

25

Выполним аналогичную оценку для интегралов типа Лапласа. Будем следовать тому же методу: отклонение показателя экспоненты в подынтегральной функции на границе области должно быть порядка единицы. Это дает оценку

x+a

1 . k cos(+a )

(3.16)

Прежде всего, выясним, когда концевая точка (например, точка мешает точке перевала. В соответствии с оценкой (3.15),

x = a)

не



(a - X )
т.е.

2Y , k
(3.17)

k (a - X )2 1, 2Y ( = ) .

Теперь выясним, когда точка перевала не мешает концевой точке. В соответствии с оценкой (3.16),

1 (a - X ) > k cos(a )
ших

r(a) k (a - X )

Заметим, что нас интересует в основном плохая область, в которой при боль-

k

выполняется

cos(a ) 0

и, следовательно,

r(a) Y

. Таким образом,

вторая оценка совпадает с (3.17) с точностью до коэффициента. Примерный вид плохих областей показан на Рис. 3.6. Плохие области заштрихованы. При достаточно больших значениях

Y

они начинают пересекаться,

и плоская отраженная волна пропадает. Это происходит при

k a2 > 1. Y
Заметим, что это школьная оценка дальней границы области, в которой наблюдается дифракция Френеля (или поршневой зоны). Плохие области называют полутеневыми (p enumbral zones). В полутеневых областях выполняется сопряжение асимптотик, соответствующих только краевым волнам и сумме краевых и плоской волны. В этих областях пользоваться построенными разложениями нельзя. Вместо этого приходится использовать интеграл, более сложный, чем был использован ранее (хотя тоже упрощенный). Для примера рассмотрим область, соответствующую краевой точке В полутеневой области ненте) функция последствиям.

r(-a) Y

x = -a.

. Этим приближением можно пользоваться

в медленной части подынтегральной функции. В быстрой части (т.е. в экспо-

r

умножается на большой параметр

k

и подставляется в экспо-

ненту, поэтому погрешность этой аппроксимации приводит к очень негативным


Гл. 1

3. Интегралы типа Фурье

26

y

б)

a)

в) x

-a

a

Рис. 3.6: Полутеневые зоны

Итак, интеграл, связанный с окрестностью точки

x = -a { exp

оценивается как

usca -

A kY


-(X +a)

AeikY exp{ik 2 + Y 2 }d kY F (t) =
t


-(X +a)

ik 2Y

2

} d .
(3.18)

Введем функцию

ei d .

2

(3.19)

С ее помощью (3.18) запишется в виде

usca -

( ) k A2 F- (X + a) . k 2Y

(3.20)

Эта формула описывает достаточно сложный переходный процесс в полутеневой области. Именно она ответственна за осцилляции, которые наблюдаются при дифракции на полуплоскости. Сделаем еще одно важное замечание. С задачей о дифракции на полосе (как и с любой другой дифракционной задачей) связаны две очень разные асимптотики, которые нельзя путать. Первая это коротковолновое приближение, которое мы рассмотрели выше. В нем предполагается, что размеры рассеивателя фиксированы, положение точки наблюдения фиксировано, а длина волны стремится к нулю (т.е.

k

). Вторая асимптотика это приближение дальнего


Гл. 1

3. Интегралы типа Фурье

27

поля (дифракция Фраунгофера). В этом приближении предполагается, что размеры рассеивателя фиксированы, длина волны фиксирована, а расстояние от рассеивателя до точки наблюдения стремится к бесконечности. Данные приближения обладают, вообще говоря, противоположными свойствами. Так, в первом приближении имеется плоская отраженная волна, а во втором ее нет.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 1. С помощью метода Лапласа и метода перевала построить асимптотики
функции

F (t)

при больших положительных и отрицательных

t

и убедить-

ся, что при больших положительных

X +a

асимптотика (3.20) переходит в

сумму краевой и отраженной волны, а при больших отрицательных асимптотика (3.20) дает только краевую волну.

X +a

2. Рассмотрим двумерную задачу дифракции на окружности. Пусть плоская волна падает на окружность радиуса Волновое число положен на оси зону малых

R

вдоль оси

x

(см. Рис. 3.7).

k представляет собой большой параметр. Приемник расx на расстоянии d от поверхности окружности. С помощью

приближения ГюйгенсаФренеля оценить поле на приемнике. Выделить

d

, где окружность представляет собой почти плоскость и

зону больших

d,

где окружность есть почти точечный рассеиватель.

y

R

u

in

x d

Рис. 3.7: Геометрия задачи о дифракции на окружности


Гл. 1

4. Спектр частотно-модулированного сигнала

28

4. Спектр частотно-модулированного сигнала
Рассмотрим еще один пример вычисления интеграла типа Фурье. Этот пример пришел из радиофизики. Как известно, в радиовещании применяются два основных способа кодирования сигнала амплитудная модуляция и частотная модуляция. В обоих случаях имеется полезный низкочастотный сигнал, который надо передать, закодировав им некоторый высокочастотный сигнал. В случае с амплитудной модуляцией все обстоит достаточно просто: высокочастотный (несущий) сигнал умножается на сумму полезного сигнала и некоторой константы. Таким образом, полезный сигнал входит в огибающую получившегося сигнала. Если круговая частота полезного сигнала есть стота несущей есть



, а круговая ча-



, то итоговый сигнал содержит компоненты на частотах



+ есть 2.
и

(см. Рис. 4.1). Ширина спектра амплитудно-модулированного сигнала

AM w-W t

w w+W 2pf

FM

?
t

Рис. 4.1: AM и FM сигналы и их спектры При частотной модуляции низкочастотный сигнал пропорционален локальной частоте итогового сигнала. В качестве примера рассмотрим частотно-модулированный сигнал

u(t) = exp{i(t + m cos t)},
где

(4.1)



большой положительный параметр. Локальная частота есть производ-

ная фазы, и она равна модулирован берем

(1 - m sin t). Мы полагаем, что данный сигнал частотно сигналом - sin t с глубиной модуляции m, причем 0 < m < 1.

Нашей целью будет вычисление спектра сигнала (4.1). Для простоты вы-



целым. Тогда сигнал периодическим, поэтому достаточно разложить


Гл. 1

4. Спектр частотно-модулированного сигнала

29

его в ряд Фурье на отрезке интеграла

(- , ).

Таким образом, задача сводится к оценке

In () =
-
при натуральных

exp{i(t + m cos t) - int}dt

(4.2)

n

.

Очевидно, спектр смещается в область высоких частот при росте имеет смысл рассматривать несколько иной интеграл, а именно

,

поэтому

I ( , ) =
-
Мы оценим данный интеграл при фиксированных использовать его значения при целых

exp{i(t + m cos t) - i t}dt
и больших

(4.3)



с тем, чтобы

n =

.

Интеграл (4.3) представляет собой интеграл типа Фурье (3.1) с функцией

g (t) = t(1 - ) + m cos t.
выше, т.е. попытаемся деформировать контур интегрирования

(4.4)

Мы будем следовать процедуре оценки интегралов типа Фурье, изложенной

(- , )

в область

экспоненциального убывания подынтегральной функции. Прежде всего, найдем положение потенциальных точек перевала. Для этого решим уравнение g (t) =

0

. Рассмотрим два случая: а) когда

m < |1 - |,

б) когда

m > |1 - |. ) .

В первом

случае на одном периоде имеются два действительных корня уравнения, и это корни

( t1 = arcsin

1- m

) , t2 = - arcsin

(

1- m

(4.5)

Здесь мы полагаем, что действительной частью

(1- ) > 0. /2

Во втором случае ответ формально такой же,

но корни уравнения являются не действительными, а комплексными числами с и противоположными мнимыми частями. Построим линии уровня функции с линиями для

Im[g (t)]

. Вид этих линий для случаев а)

и б) качественно различается (см. Рис. 4.2). В случае а) вид этих линий сходен

Im[cos t].

Точки перевала лежат на линии

Im[g ] = 0

. В случае

б) точки перевала лежат на линиях с ветствует значению

Im[g ] = 0.

Верхняя точка перевала соот-

Im[g ] > 0,

а нижняя соответствует

Im[g ] < 0.

Стрелки на

рисунке показывают направление возрастания

Im[g ].

Деформация контуров интегрирования для случаев а) и б) показана на Рис. 4.3. Заметим, что в силу периодичности прямолинейные участки контуров, идущие к концевым точкам интервала, компенсируют друг друга, и вклад в интеграл дают только перевальные точки.


Гл. 1

4. Спектр частотно-модулированного сигнала

30

a)

Im[t]

б)

Im[t]

t1 -p 0 t1 t2 p Re[t] -p 0 t
2

p Re[t]

Рис. 4.2: Линии уровня для функции

Im[g (t)]

Рассмотрим случай а). Интеграл содержит вклады от двух точек перевала:

I ( , ) It1 + It2 .
Вычислим

(4.6) в ряд вблизи

It

1

. Для этого разложим функцию

g (t)

t

1:

(t - t1 )2 cos t1 . g (t) (1 - )t1 + m cos t1 - m 2
Заметим, что

(4.7)

cos t1 = 1-

(1 - )2 . m2

Элементарные вычисления дают

It1 = exp i[(1 - )t1 + m cos t1 ]e
Аналогично,

-i /4

2 . m2 - (1 - )2

(4.8)

It2 = exp i[(1 - )( - t1 ) - m cos t1 ]ei
Окончательно получаем

/4

2 . m2 - (1 - )2

(4.9)

I ( , ) = 2e
i (1- )/2

2 Ч 2 - (1 - )2 m


Гл. 1

4. Спектр частотно-модулированного сигнала

31

a)

Im[t]

б)

Im[t]

t1 -p -p 0 t1 t2 p Re[t] 0 t
2

p Re[t]

Рис. 4.3: Деформация контуров интегрирования

( ) cos (t1 - /2)(1 - ) + m2 - (1 - )2 - /4 .
Отметим, что в знаменателе содержится выражение

(4.10)

(m2 - (1 - )2 )1

/4

, которое

обращается в нуль, когда случай а) переходит в случай б). Теперь рассмотрим случай б). Поскольку фрагменты контура интегрирования, примыкающие к концам интервала, компенсируют друг друга, а точка перевала находится в области экспоненциального убывания подынтегральной функции, интеграл экспоненциально мал. Нам необходимо оценить его величину. Контур интегрирования проведен таким образом, что везде, кроме точки перевала, подынтегральная функция экспоненциально мала по сравнению со своим значением в точке перевала. Таким образом, точка перевала дает основной вклад в интеграл. Оценим этот вклад. Пусть точка перевала t1 такова, что ности точки перевала

Re[t1 ] = /2, Im[t1 ] > 0.

Тогда в окрест-

(t - t1 )2 g (t) = (1 - )t1 - i (1 - )2 - m2 + i (1 - )2 - m2 . 2
Оценка перевального интеграла дает

(4.11)

I ( , ) = e
i(1- ) /2

2 (1 - )2 - m

2

exp{( (1 - )2 - m2 - (1 - )Im[t1 ])}.

(4.12)


Гл. 1

4. Спектр частотно-модулированного сигнала

32

|спектр|

1-m

1+m

h

Рис. 4.4: Вид спектра частотно-модулированного сигнала

Вид спектра частотно-модулированного сигнала показан на Рис. 4.4. Частоты с

1-m < < 1+m

соответствуют случаю а). Квадратный корень описы-

вает огибающую спектра, а косинус осцилляции, вызванные интерференцией вкладов от точек перевала. Участки удалении от точек

< 1-m

и

> 1+m

соответствуют слу-

чаю б). В них наблюдается быстрое (экспоненциальное)убывание спектра при

=1+m

.

Мы видим, что весь спектр делится на участок, где интеграл не экспоненциально мал и где он экспоненциально мал. Участок, где спектр не мал, дается соотношением

|1 - | < m

или

| - n| < m

. Очевидно, это ровно те значе-

ния, которые являются локальными частотами сигнала в некоторых точках. Это достаточно очевидный результат. Амплитуды показывают, грубо говоря, какова протяженность участков с нужной локальной частотой. Остальные частоты также присутствуют в спектре, но соответствующие компоненты малы. Асимптотика (4.13) позволяет оценить эти компоненты. В случае, если сигнал имеет общий вид

u(t) = exp{i t + iM cos t},
ширина спектра оценивается как широкую полосу, чем AM. Мы оценили интеграл (4.3) при не могут быть применены при для определенности модулированного сигнала. Обычно

2M , что отличается от M >> 1, поэтому FM

оценки для амплитудносигнал занимает более

m

и

1-

|1 - | > m и при |1 - | < m. Обе оценки |1 - | m. Проанализируем этот случай. Пусть
положительны, и

1 - = m(1 + ),
где

(4.13)



малая величина. В этом случае подынтегральная функция быстро ос-

циллирует везде, кроме окрестности точки жим косинус до членов третьего порядка:

t = /2.

В этой окрестности разло-

cos t - + 3 /6,

= t - /2.


Гл. 1

4. Спектр частотно-модулированного сигнала

33

Третий порядок выбран, поскольку член второго порядка обращается в нуль, а член первого порядка не позволяет вычислить интеграл. Таким образом,

( ) 3 g (t) = m(1 + ) + m + 2 6 )} { ( 3 d exp im + 6

(4.14)

и

I ( , ) e

im(1+) /2 -

(4.15)

Интеграл, входящий в последнее выражение, сводится к функции Эйри. Воспользуемся определением функции Эйри:

1 Ai(z ) = 2


-

{( )} x3 exp i z x + dx 3

(4.16)

Пользуясь этим определением, перепишем интеграл в виде

( I 2 e
im(1+) /2

2 m

)1

/3

( Ai (m) I

2/3 1/3

2

) .

(4.17)

Таким образом, имеются три асимптотики для

. Очевидно, эти асимпто-

тики должны быть как-то согласованы друг с другом. А именно, асимптотика (4.17) должна переходить в (4.10) и (4.13). Для того, чтобы показать, как это происходит, необходимо определить процедуру сращивания асимптотических разложений, что будет сделано значительно позже.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 1. Оценить, при каком соотношении
амплитуду спектра.

1-

и

m

применимы асимптотики (4.10)

и (4.13). Эта оценка позволяет, в свою очередь, оценить максимальную

2. Показать, что функция Эйри

u(z ) = Ai(z ) u - z u = 0.

удовлетворяет обыкновенному

дифференциальному уравнению (4.18)

3. Вычислить (выразить через Гамма-функцию)

Ai(0).


Гл. 1

4. Спектр частотно-модулированного сигнала

34

4. Пользуясь определением (4.16), построить асимптотики функции Эйри
при больших положительных и больших отрицательных z . Указание: вы полнить замену переменной x = z , подобрав таким образом, чтобы выполнялось

x3 =z zx + 3



( ) 3 + 3

для некоторого

. Затем воспользоваться методом перевала.


Гл. 1

5. Особые точки обыкновенных дифференциальных уравнений

35

5. Особые точки обыкновенных дифференциальных уравнений. Примеры и классификация
Разбор задачи 2 из лекции 3. Дифракция на цилиндре
Начнем с модельного представления поля

usc = A
Здесь

eikr() uin () Rd k r()

(5.1)



угол, отсчитываемый вдоль поверхности цилиндра от горизонталь-

ного направления,

R

радиус цилиндра. Будем считать, что фаза падающей

волны на поверхности цилиндра в точке

=0

равна нулю. Тогда (5.2)

uin = exp{ik R(1 - cos )}.
Функция

r()

вычисляется с помощью теоремы косинусов (см. Рис. 5.1):

r() =

R2 + (R + d)2 - 2R(R + d) cos .

(5.3)

R f

r(f) приемник d u
in

Рис. 5.1: Геометрия задачи о дифракции на цилиндре Важный вопрос это стоит ли проводить интегрирование по теневой области цилиндра, т.е. брать в качестве интервала интегрирования

(- , ), (- /2, /2)

или что-то еще. На самом деле, ответ что-то еще. Имеются три соображения. Во-первых, физическая интуиция подсказывает, что теневая область не должна давать вклад в рассеянное поле. Во-вторых, приближенная формула (5.1) справедлива (при некотором значении

A

, которое еще надо найти) только при


Гл. 1

5. Особые точки обыкновенных дифференциальных уравнений

36

углах падения и отражения, близких к нормальному. Наконец, в-третьих, вблизи границы освещенной и теневой областей (т.е. вблизи точек

= + /2)

вол-

новое поле имеет весьма сложную структуру. Это так называемая фоковская зона (названная так потому что она была исследована В.А. Фоком [3]). Поле в этой зоне гладко спадает от значений, соответствующих освещенной зоне до почти нулевых значений, соответствующих теневой зоне. Поскольку поле спадает гладко, концевые точки как таковые отсутствуют. Здесь мы не касаемся очень важных и интересных деталей, связанных с наличием волн соскальзывания, огибающих цилиндрическую поверхность. В соответствии с развитой ранее теорией, основной вклад в такой интеграл могут давать точки стационарной фазы и концевые точки. Будем учитывать точку стационарной фазы

=0

(других таких точек в освещенной области

нет), и не будем учитывать концевые точки вовсе. Построим приближения для фазы порядка малости по

uin ()

и для

r()

, оставляя члены второго (5.4)



:

uin exp{ik R 2 /2} r() d2 + 2 R(R + d) d +
d

R(R + d) . 2 d } d.

2

(5.5)

Таким образом, интеграл приобретает вид

AReik usc kd



2 R(R + 2d) exp ik 2 d

{

(5.6)

Вычисляя его с помощью метода перевала, получаем выражение

Aeik usc k
При

d

2 iR . R + 2d

(5.7)

dR

можно пренебречь вторым слагаемым в знаменателе. Поле в этом

случае имеет вид плоской волны


ikd

usc = Ae
При

2 i . k

(5.8)

dR

можно пренебречь первым слагаемым в знаменателе. Поле в этом

случае имеет вид цилиндрически расходящейся волны

Aeikd usc = kd



iR . k

(5.9)

Последнее выражение позволяет оценить сечение рассеяния цилиндра, т.е. в данном случае длину отрезка, который рассеивает волны так же, как цилиндр. Эта длина

Leff =

R/k ,

(5.10)


Гл. 1

5. Особые точки обыкновенных дифференциальных уравнений

37

т.е. величина порядка среднего геометрического между радиусом цилиндра и длиной волны.

О дифференциальных уравнениях и их особых точках
Данная лекция представляет собой дополнительные главы к курсу обыкновенных дифференциальных уравнений и, отчасти, к курсу методов математической физики. В этих курсах встречались так называемые Здесь мы немного проясним их свойства. С точки зрения, излагаемой в этой и следующей лекции, почти все специальные функции представляют собой решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка, коэффициенты которых являются рациональными функциями. Полюса коэффициентов являются

специальные функции.

особыми точками соответству-

ющего дифференциального уравнения. Свойства уравнения в большой степени зависят от количества и типа его особых точек. Кроме того, очень важно иметь представления об асимптотических рядах, в которые раскладываются решения вблизи особых точек.

Вводный пример 1. Уравнение Бесселя вблизи нуля
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение уравнение Бесселя:

( ) 1 m2 u (x) + u (x) + 1 - 2 u(x) = 0, x x

независимая переменная,

(5.11)

где

x

u(x)

неизвестная функция,

m

параметр

(целое неотрицательное число), штрих обозначает дифференцирование по Пусть

x.

m

не является целым или полуцелым числом (полуцелое число это

целое плюс

1/2).

Случай целого

m

достаточно сложен, и он рассматривается в

следующей лекции. Случай полуцелого

m

разбирается в домашнем задании.

Будем искать решение уравнения (5.11) вблизи точки что решение может быть представлено в виде

x=0

. Предположим,

u(x) = x

ч

n=0

am x m , a0 = 0

(5.12)

где

am

коэффициенты,

ч

неизвестный параметр. Пусть

(этого можно

добиться подбором

ч).

Предположим, что ряды можно дифференцировать почленно. Производные


Гл. 1

5. Особые точки обыкновенных дифференциальных уравнений

38

имеют вид

u (x) = x u (x) = x

ч

n=0

(ч + n)an x

n-1

,

ч

n=0

(ч + n)(ч + n - 1)an xn-2 .

Подставим (5.12) в (5.11). Получим

xч

n=-2

a

n+2

xn [(ч + n + 2)2 - m2 ] + xч

n=0

an xn = 0.

(5.13)

Уравнение (5.13) будем решать почленно, т.е. приравняем нулю коэффициенты при каждой из степеней

x

: (5.14) (5.15)

xч-2 : [ч2 - m2 ]a0 = 0, xч-1 : [(ч + 1)2 - m2 ]a1 = 0, xч+n : [(ч + n + 2)2 - m2 ]an+2 + an = 0
Из (5.14) следует, что Значение что ния

(n = 0, 1, 2 . . . )

(5.16)

ч = +m

.

a0 m = +1/2, a2 , a4 , a6

можно выбрать каким угодно. Пусть следует, что

a0 = 1

. Из (5.15) и того,

a1 = 1

.

Рекуррентная формула (5.16) позволяет вычислить последовательно значе...:

a2 = - a4 a6

1 (ч + 2)2 - m2 1 1 = Ч 2 - m2 (ч + 2) (ч + 4)2 - m2 1 1 1 =- Ч Ч (ч + 2)2 - m2 (ч + 4)2 - m2 (ч + 6)2 - m ...
.

2

Кроме того,

a3 = a5 = a7 = ћ ћ ћ = 0

Заметим, что коэффициенты ряда таковы, что ряд сходится при всех сравнению с единицей) значениях вали, чтобы

x > 0.

Однако для практических вычислений ряд (5.12) годится лишь при малых (по

x.

Выписанные формулы дают представление о том, почему выше мы потребо-

m

не было целым или полуцелым. Действительно, в исключенных

нами случаях знаменатели коэффициентов могут обращаться в ноль. Как это


Гл. 1

5. Особые точки обыкновенных дифференциальных уравнений

39

обычно бывает в теории возмущений, такое поведение указывает на то, что необходимо искать другой анзац решения. Построенные нами решения с точностью до постоянных множителей совпадают с функциями Бесселя выбору

ч=m

, а вторая

Jm (x) ч = -m. По

и

J-m (x)

. Первая функция соответствует

паре функций

Jm (x), J-m (x)

обычно еще

строится функция Неймана

Nm (x) =

Jm (x) cos( m) - J-m (x) . sin( m)

Вводный пример 2. Уравнение Бесселя вблизи бесконечности
Исследуем поведение решений уравнения (5.11) при больших значениях Представление (5.12) не является асимптотическим рядом при ку

x.

x

, посколь-

n + 1-й

член ряда по модулю больше

n

-ого при больших

x.

Наивный (он окажется неверным) путь решения проблемы состоит в том, чтобы по аналогии с первым примером искать асимптотику решения уравнения (5.11) виде ряда по обратным степеням

x
ч

:

an u(x) x , xn n=0
где

(5.17)

a0 = 0

.

Подставим ряд (5.17) и его производные в уравнение (5.11). Приравняем коэффициенты при различных степенях

x

нулю. Получим:

x x xч

ч

ч-1

-n-2

: a0 = 0, : a1 = 0, : an+2 + [(ч - n)2 - m2 ]an = 0.

Из этих уравнений следует, что все коэффициенты ряда равны нулю. Такой результат свидетельствует о том, что никакое решение уравнения (5.11) не имеет асимптотики вида (5.17). Оказывается, следует искать асимптотику решения в несколько ином виде:

u(x) x e
где

ч x

an , xn n=0

(5.18)

ч

и



числовые параметры,

a0 = 0

. В книге Ф.Олвера [2], которую мы

настоятельно рекомендуем изучить, детально обсуждается, какую асимптотику следует выбирать в каждом конкретном случае.


Гл. 1

5. Особые точки обыкновенных дифференциальных уравнений

40

Продифференцируем разложение (5.18) почленно и подставим в уравнение (5.11). Получим

[ xe
ч x

(2 + 1)an [2(ч - n) + 3]a + xn xn n=0 n=1 [(ч - n + 2)2 - m2 ]an xn n=2

n-1

+

(5.19)

]
-2

= 0. x.
При

Приравняем нулю коэффициенты при различных степенях ем:

xч e

x

име-

(2 + 1)a0 = 0.
Отсюда следует, что

(5.20)

= +i.
При

(5.21)

xч-1 e

x

получаем, учитывая (5.21)

(2(ч - 1) + 3)a0 = 0.
Отсюда

(5.22)

1 ч=- . 2 xч-n e
x
,

(5.23)

Наконец, при

n = 2, 3 . . .
n-1

имеем рекуррентную формулу

2(1 - n)a
построить последовательно при всех

+ [(3/2 - n)2 - m2 ]a
3 и т.д.

n-2

= 0.

(5.24)

Последнее выражение дает возможность, задавшись каким-либо значением

a

0,

a1 , a2 , a

Легко видеть, что коэффициенты растут, как

n!,

и ряд (5.18) расходится

x.

Однако, исследовав остаточный член ряда, можно показать, что

ряд является асимптотическим (его остаточный член имеет порядок первого отброшенного члена). За деталями отсылаем к книге [2]. Отметим, что до тех пор, пока остаточный член ряда (5.18) не исследован, этот ряд следует называть формальным, а не асимптотическим. Однако методы, использованные нами для вычисления интеграла и решения дифференциального уравнения, обычно приводят к асимптотическим рядам.

x построены асимптотики двух соответствующих = i и = -i. Первое из решений с точностью (1) янного множителя равно функции Ханкеля первого рода Hm (x), а (2) функции Ханкеля второго рода Hm (x). Полусумма этих функций
Таким образом, для случая

решений, до постовторое является

функцией Бесселя, рассмотренной во втором примере. Такая ситуация вполне


Гл. 1

5. Особые точки обыкновенных дифференциальных уравнений

41

характерна для теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Для каждой особой точки существует пара линейно-независимых решений (если, конечно, уравнение имеет порядок 2), обладающих в известной мере характерным поведением в окрестности данной точки. Эти пары решений, как правило, различны для каждой особой точки. Подытожим результаты, полученные для уравнения Бесселя. Почти во всех точках два линейно-независимых решения уравнения регулярны. Регулярность нарушается вблизи точек ноль и бесконечность. Вблизи нуля имеется пара m линейно-независимых решений (Jm (x), Nm (x)), которые ведут себя как x -m иx , соответственно (случай целых и полуцелых m пока не рассматрива(1) (2) ется). Вблизи бесконечности имеется пара решений (Hm (x), Hm (x)), ведущих ix -ix себя как e / x и e / x, соответственно. Каждая из этих пар может быть выбрана в качестве базиса, по которому (с постоянными коэффициентами) можно разложить любую другую пару решений. Например,

H

(1) m

(x) = Jm (x) + iNm (x),

H

(2) m

(x) = Jm (x) - iNm (x),

(5.25)

Классификация особых точек
Рассмотрим общее линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка

d2 d w(z ) + f (z ) w(z ) + g (z )w(z ) = 0. 2 dz dz
точки

(5.26)

Данное уравнение будем рассматривать в некоторой комплексной окрестности

z=z

0 . Будем считать, что коэффициенты уравнения

f (z )

и

g (z )

одно-

значные функции переменной функции

z

в этой окрестности.

Сперва рассмотрим случай, когда функции

f (z )

и

g (z )

аналитические

z

в данной окрестности. Можно применить стандартные теоремы су-

ществования для обыкновенных дифференциальных уравнений и сделать заключение о том, что для данной области уравнение имеет пару аналитических решений. Такая точка

z0

называется

обыкновенной. особые точки. В особой точке

В противоположность обыкновенным бывают ливы представления

коэффициенты уравнения имеют полюса. А именно, для особой точки справед-

f (z ) =

(z - z0 ) , (z - z0 )m m, n

g (z ) =

(z - z0 ) (z - z0 )n

(5.27)

для некоторых целых чисел лярностей

и функций

,

, аналитических в некоторой

окрестности нуля. Поведение решений уравнения зависит от порядков сингу-

m

и

n

. Проведем классификацию особых точек.

Рангом особой точ-

ки называется минимальное целое число

l

такое, что существует представление


Гл. 1

5. Особые точки обыкновенных дифференциальных уравнений

42

(5.27) с

m = l + 1,
нуле.

n = 2(l + 1). (z ), (z )

(5.28) могут быть равны нулю в

При этом, конечно, одна или обе функции

Сформулированное условие позволяет определить ранг особой точки по порядкам полюсов функций

f

и

g g

в

z

0 . Так, рангу 0 соответствуют пары (1,0),

(0,1), (1,1), (0,2), (1,2). Первое число в паре порядок полюса функции рое число порядок функции не рассматриваем. Особые точки ранга 0 называются

f

, вто-

. Рангу 1 соответствуют пары (2,0), (2,1), (2,2),

(2,3), (2,4), (1,3), (1,4), (0,3), (0,4). Особые точки более высокого ранга мы здесь

регулярными. Не следует путать обыкно-

венные точки и регулярные особые точки. Все сказанное выше относилось к конечным точкам

z

0 . Теория аналитиче-

ских функций комплексного аргумента позволяет в качестве

z

0 рассматривать

бесконечность. Для этого необходимо выполнить конформное преобразование, переводящее бесконечность в некоторую конечную точку, например в ноль. Таким преобразованием является, например,

1 = . z
Пусть решение уравнение

(5.29)

w

переходит в

u( ) = w(1/ ).

Уравнение (5.26) переходит в

d2 d u( ) + p( ) u( ) + q ( )u( ) = 0 2 d d
с коэффициентами

(5.30)

p( ) =
Если точка

2 1 - 2 f (1/ ), l

q ( ) =

1 q (1/ ). 4

(5.31)

0

уравнения (5.30) является особой и имеет ранг l , то точка

z=

уравнения (5.26) также имеет ранг

(поскольку на комплексной сфере это одно

и то же уравнение). Если точка 0 является обыкновенной точкой уравнения (5.30), то бесконечность является обыкновенной точкой уравнения (5.26). Применим данную классификацию к рассмотренному ранее уравнению Бесселя. Среди конечных точек только при

z=0

коэффициенты имеют особенно-

сти, и это особенности порядка 1 и 2. Таким образом, ноль регулярная особая точка уравнения. Проанализируем бесконечность. Преобразование (5.31), примененное к коэффициентам

1 f (z ) = , z

m2 g (z ) = 1 - 2 z

(5.32)


Гл. 1

5. Особые точки обыкновенных дифференциальных уравнений

43

дает

p( ) =

1 ,

q ( ) =

1 - m2 2 . 4

(5.33)

Поскольку второй коэффициент имеет в нуле полюс четвертого порядка, бесконечность иррегулярная особая точка исходного уравнения с рангом 1.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 1. Построить в явном виде решения уравнения Бесселя при

m = 1/2

и

m = 3/2.

Указание: начать строить асимптотический ряд вблизи беско-

нечности и убедиться, что он обрывается на некотором члене, т.е. представляет собой конечную сумму.

2. Пусть коэффициенты уравнения (5.26) раскладываются в бесконечности
в (сходящиеся) степенные ряды

fn f (z ) = , zn n=0
а) Указать условия, накладываемые на

gn g (z ) = . zn n=0

f f

nи

g g

n , при которых бесконечность

является обыкновенной точкой уравнения. б) Указать условия, накладываемые на

nи

n , при которых бесконечность

является регулярной особой точкой уравнения.

3. Найти и проанализировать особые точки уравнения Лежандра

[ ] d 2d (1 - x ) u(x) + n(n + 1)u(x) = 0. dx dx


Гл. 1

6. Асимптотики решений ОДУ

44

6. Асимптотики решений обыкновенных дифференциальных уравнений в особых точках
Регулярные особые точки
Начнем с рассмотрения регулярной особой точки. Пусть это конечная точка

z

0 . Бесконечную точку можно перевести в ноль дробно-линейным преобразова-

нием. Пусть коэффициенты уравнения представляются в виде степенных рядов

f (z ) =

1 fn (z - z0 )n , z - z0 n=0

g (z ) =

1 gn (z - z0 )n . (z - z0 )2 n=0

(6.1)

При этом мы предполагаем, что какой-то из тройки коэффициентов может быть равен нулю, но они не равны нулю все одновременно.

f

0,

g

0,

g

1

Для анализа поведения решений выпишем уравнение (5.26), сохраняя только старшие члены в каждом из коэффициентов, т.е. члены с

f

0и

g

0:
(6.2)

w +

f0 g0 w + w = 0. z - z0 (z - z0 )2

Это однородное (в алгебраическом смысле) уравнение. В общем случае оба его решения представляют собой степенные функции. Будем искать решение этого ч уравнения в виде w = C (z - z0 ) . Подставляя данный вид решения в уравнение, получаем

ч(ч - 1) + f0 ч + g0 = 0.
Это квадратное уравнение для определения значений два корня для

(6.3)

ч

. Почти всегда оно дает

ч,

а именно

ч

1и

ч

2 . Уравнение (6.3) (хотя оно и записано для

упрощенного уравнения (6.2)) играет большую роль для исходного уравнения (5.26). Оно называется его корни

определяющим для данной регулярной особой точки, а

ч

1,2 называются показателями данной особой точки.

Вернемся к исходному уравнению (5.26) с коэффициентами (6.1). будем искать его решение в виде степенного ряда

w(z ) = (z - z0 )

ч

n=0

an (z - z0 )n .

(6.4)

Подставляя данный анзац в уравнение и приравнивая нулю члены при одинаковых степенях

(z - z0 ),

получаем цепочку уравнений

Q(ч + s)as = -

s-1 j =0

[(ч + j )f

s-j

+ gs-j ]aj ,

s = 0, 1, 2, . . .

(6.5)


Гл. 1

6. Асимптотики решений ОДУ

45

где

Q(ч + s) (ч + s)(ч + s - 1) + (ч + s)f0 + g0 .
В старшем члене (т.е. при

(6.6)

s=0

) уравнение (6.5) имеет решение, если

ч

является

корнем определяющего уравнения (6.3). Выберем в качестве

ч

один из корней

ч

1,2 и попытаемся продолжить цепочку, т.е. построить все элементы последо-

вательности

a

n . Это удастся, если далее при

s = 1, 2, . . .

ни одно из значений

Q(ч + s)

не обращается в нуль. Более тонкие оценки показывают, что при этом

получается абсолютно сходящийся (в некоторой окрестности) ряд. Разложения двух линейно-независимых решений уравнения (5.26) имеют самый простой вид

w1 (z ) = (z - z0 )ч1

n=0 n=0

an (z - z0 )n ,

(6.7)

w2 (z ) = (z - z0 )ч
где последовательности

2

bn (z - z0 )n ,

(6.8)

a

nи

b

n получаются из рекуррентной формулы (6.5).

Обратимся к более сложному случаю, когда один из коэффициентов

Q(ч+s),

s = 1, 2 , . . .

обращается в нуль. При этом возможны два варианта. В первом

варианте обращается в нуль также и правая часть соответствующего рекуррентного соотношения. При этом

as

может принимать произвольное значение,

и можно продолжить ряд, получая

a

s+1 ,

a

s+2

,...

Во втором (более общем) ва-

рианте правая часть в нуль не обращается, и ряд дальше строить нельзя. В этом случае анзац (6.4) перестает работать.

Q(ч + s), s = 1, 2, . . . обращается в нуль, если разность корней определяющего уравнения ч1 - ч2 равна натуральному числу, и в качестве ч выбран меньший из корней, т.е. ч2 . Правильный анзац
Очевидно, один из коэффициентов для решений в этом случае имеет вид

w1 (z ) = (z - z0 )

ч1

n=0

an (z - z0 )n ,
n=0

(6.9)

w2 = A ln(z - z0 ) w1 (z ) + (z - z0 )

ч2

bn (z - z0 )n .

(6.10)

Понять, откуда в (6.10) берется логарифм, непросто. Мы отсылаем читателя к книге [2]. При выполнении одного из домашних заданий предстоит убедиться, что данный анзац работает. Имеется еще один случай, когда разность корней определяющего уравнения равна нулю, т.е уравнение имеет кратный корень. В этом случае неприятность


Гл. 1

6. Асимптотики решений ОДУ

46

заключается не в том, что при построении цепочки мы сталкиваемся с делением на ноль, а в том, что с помощью описанной процедуры удается построить только одно решение, а нам нужно два. Оказывается, что в этом случае работает анзац

w1 (z ) = (z - z0 )

ч1

n=0

an (z - z0 )n ,
n=0

(6.11)

w2 = A ln(z - z0 ) w1 (z ) + (z - z0 )

ч1 +1

bn (z - z0 )n .

(6.12)

Подытожим сказанное. Пусть уравнение имеет регулярную особую точку. Последовательность действий по ее анализу выглядит следующим образом.

1. Если особая точка z0

=

выполнить дробно линейное преобразование

и воспользоваться формулами (5.31).

2. Построить разложение коэффициентов (6.1). 3. Построить определяющее уравнение (6.3) и найти его показатели
(т.е. корни определяющего уравнения).

ч1

и

ч2

4. Если разность показателей не равна целому числу, воспользоваться анзацем (6.7), (6.8). Коэффициенты мулу (6.5).

an

и

bn

при этом искать, применяя фор-

5. Если разность показателей

ч1 - ч2 b

равна натуральному числу, воспользо-

ваться анзацем (6.9), (6.10). Коэффициенты лы (6.5). Первые коэффициенты

a

n искать с помощью форму-ч2 стоит ноль, положить

n (до

b

ч1 -ч2 ) также искать по формуле

(6.5). Если в правой части уравнения для

bч

1

A=0

и не рассматривать логарифмические члены.

6. Если разность корней
(6.10). Коэффициенты

ч1 - ч2 равна нулю, воспользоваться анзацем an искать с помощью формулы (6.5).

(6.9),

Для анзацев (6.10) и (6.12) не рекомендуется использовать общую рекуррентную формулу (она весьма сложна). Вместо этого предлагается подставлять (6.10) и (6.12) непосредственно в уравнение (5.26) и приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях

(z - z0 )

.

Иррегулярная особая точка ранга 1
Рассмотрим поведение решений в окрестности иррегулярной особой точки ранга 1. Будем полагать, что эта точка находится в бесконечности. Рассмотрим


Гл. 1

6. Асимптотики решений ОДУ

47

уравнение (5.26), коэффициенты которого при больших по обратным степеням

|z |

представимы рядами

z

:

fs f (z ) = , zs s=0
Будем полагать, хотя бы одно из чисел

gs g (z ) = . zs s=0

(6.13)

f0 , g 0 , g

1 не равно нулю.

Будем искать решение в окрестности бесконечности в виде ряда

as w(z ) = e z . zs s=0 z ч
Здесь

(6.14)

параметры, которые надо найти. Подставим ряд в уравнение. В z ч старшем члене (при e z ) получим



и

ч

2 + f0 + g 0 = 0 .

(6.15)

Это уравнение называется характеристическим, а его корни характеристическими значениями особой точки. z ч-1 В следующем порядке (при e z ) имеем

(f0 + 2)ч = -(f1 + g1 ).

(6.16)

Процедура отыскания основных параметров такова. Решается характеристическое уравнение (6.15). Его корни равны



1,2

f0 =- + 2

(

2 f0 -g 4

)1/
0

2

.

(6.17)

Два корня соответствуют двум линейно-независимым решениям уравнения. Выбирается один из этих корней. Он подставляется в (6.16), и находится соответствующее ему значение

ч

.

Случай, когда дискриминант уравнения (6.15) равен нулю, здесь не рассматривается. За деталями отсылаем к [2]. Решения, построенные для регулярных особых точек, представляют собой степенные ряды, абсолютно сходящиеся в пределах некоторого круга. Напротив, решения для иррегулярных особых точек ранга 1 обычно расходятся. В книге [2] показано, что эти ряды являются асимптотическими.


Гл. 1

6. Асимптотики решений ОДУ

48

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 1. Построить первые 3 члена решений уравнения Бесселя для
нуля.

m=1

вблизи

2. Найти особые точки и указать анзацы решений в этих особых точках для
уравнения Лагерра

xy + (1 - x)y + ny = 0.

(6.18)


Гл. 1

7. Контрольная работа 1

49

7. Контрольная работа 1
1. Оценить интеграл

I (x) =
x

e-t t

1/2

dt

(7.1)

при больших положительных

x.
-

2. В определении функции Эйри

1 Ai(z ) = 2
при больших

{( )} x3 exp i z x + dx 3

(7.2)

|z |

выполнить замену переменных таким образом, чтобы интеграл

свелся к стандартному интегралу типа Фурье:

I () = f ( ) exp{ig ( )}d .

3. Пусть в трехмерном случае вторичная волна, рассеянная участком площади препятствия, имеет вид

dusc (P ) = uin (P )
где

A e kr

ikr

ds,

(7.3)

положение приемника, P положение участка рассеивателя, r расстояние между точками P и P , uin (P ) значение падающей волны в точке P , ds элемент площади рассеивателя, A некоторый коэффициент.

P



Плоская волна падает на сферу радиуса Центр сферы находится на оси

x

в точке

R R + d.

из бесконечности вдоль оси

x.

Считая, что рассеяние происхо-

дит только на освещенной части сферы, примыкающей к точке геометрического отражения, оцените рассеянную волну.

4. Найти особые точки и указать анзацы решений в этих особых точках для
уравнения Куммера

d2 w dw z 2 + (b - z ) - aw = 0 dz dz

(7.4)


Глава 2

Задачи теории колебаний
8. Прямое разложение в задачах теории колебаний. Равномерные и неравномерные разложения
Пример: маятник с переменной длиной подвеса
Рассмотрим задачу, известную из теории колебаний. Это задача о маятнике переменной длины. Угол отклонения маятника приближении уравнением

u(t)

описывается в линейном

u + (1 + sin(t))u = 0, Е
где

(8.1)



малый параметр, а



частота, с которой происходят изменения дли-

ны. Данная частота представляет собой важный параметр задачи. Эта частота должна сравниваться с круговой частотой свободных колебаний маятника, т.е. с ся

=1

. Как известно, при определенных соотношениях

/

наблюдает-

параметрический резонанс , который мы планируем рассмотреть в одной из
Построим для данной задачи

следующих лекций.

прямое разложение . Это означает, что решение

ищется в виде простейшего степенного ряда

u(t) = u0 (t) + u1 (t) + 2 u2 (t) + . . .
циенты, стоящие при различных степенях

(8.2)

Подставим данный степенной ряд в уравнение и приравняем нулю коэффи-



. Получим (8.3) (8.4) (8.5)



0 1 2

: u0 + u0 = 0, Е : u1 + u1 = -u0 sin(t), Е : u2 + u2 = -u1 sin(t), Е ћћћ


Гл. 2

8. Прямое разложение

51

Первое из этих уравнений представляет собой однородное невозмущенное уравнение. Его решение можно записать в виде

u(t) = A sin(t + )
при произвольных постоянных (действительных) найденные на предыдущих шагах. Рассмотрим уравнение для определения

(8.6)

A

и



. Все остальные урав-

нения являются неоднородными, причем в правой части в них стоят члены,

u1 (t),

т.е. (8.4). Подставим в пра-

вую часть этого уравнения (8.6) и воспользуемся тригонометрической формулой произведение синусов. В результате получим

u1 + u1 = Е

A [cos (( + 1)t + ) - cos (( - 1)t - )] . 2

(8.7)

Решение этого уравнения складывается из произвольного решения однородного уравнения и частного решения, вызванного правой частью. В данном случае эти две составляющие легко разделить. Уравнение (8.4) представляет собой уравнение колебаний. Общее решение однородного уравнения представляет собой свободные колебания на частоте как вынужденные колебания на

= 1, а частное решение частотах + 1 и - 1.

можно выбрать

Будем считать, что свободное решение (8.4) равно нулю. Это предположение не ограничивает общность, поскольку ненулевое свободное решение (8.4) можно просто прибавить к (8.6). Вынужденные колебания в этом случае имеют вид

u1 (t) =

A A cos (( + 1)t + ) - cos (( - 1)t - ) . 2] 2[1 - ( + 1) 2[1 - ( - 1)2 ]
(8.8)

Вид разложения (8.8) указывает на проблемы, возникающие с прямым разложением. Первое, что можно отметить, это то, что при

=2

данным раз-

ложением пользоваться нельзя, поскольку знаменатель во втором слагаемом обращается в нуль. Разумеется, то, что знаменатель в (8.8) обращается в нуль, не говорит о том, что данное уравнение не имеет решения. Просто формула (8.8) описывает стационарное решение уравнения (8.7), а при

=2

такого решения

нет. Вместо этого приходится выписывать нестационарное решение, амплитуда которого растет со временем. При рассмотрении следующего примера будет подробно рассказано как это сделать. Данный случай соответствует одному из

параметрических резонансов системы, т.е. состоянию, при котором амплитуда
колебаний неограниченно возрастает. Анализируя использованную процедуру можно предположить, что существуют значения целых



, которые дают ноль в зна-

менателе в следующих порядках прямого разложения (а именно,

= 2/n

при

n

). Эти значения также соответствуют параметрическим резонансам. Ес-

ли ни в каком порядке ноль не появляется, прямое разложение работает.


Гл. 2

8. Прямое разложение

52

Таким образом, при большинстве значений



прямое разложение удается

построить для стационарного решения, но при некоторых (резонансных) удается построить, то говорят, что прямое разложение Напротив, при резонансных



име-

ются члены разложения, растущие со временем. Если стационарное разложение

равномерно по времени.



разложение называют

неравномерным на беско-

нечном временном интервале. Таким разложением нельзя пользоваться напрямую, поскольку оно обычно не отражает основных свойств решения. Отметим, что при резонансных ко при неограниченно растущем



разложение является неравномерным толь-

t

. Если же нас интересует изменение

t

лишь в

конечных пределах, то прямое разложение можно и нужно использовать. Большая часть данной главы посвящена тому, что и как делать, чтобы заменить неравномерное прямое разложение каким-либо равномерным разложением. Обычно это связано с необходимостью как следует понять поведение решения задачи.

Простейший случай неравномерного разложения
Рассмотрим учебный пример, в котором возмущению подвергается частота колебаний:

u + (1 + )u = 0. Е

(8.9)

Этот пример не слишком интересен, однако известно точное решение уравнения, поэтому появляется возможность понять, что происходит с прямым разложением. Будем использовать прямое разложение (8.2). Цепочка уравнений для членов разложения имеет вид



0 1 2

: u0 + u0 = 0, Е : u1 + u1 = -u0 , Е : u2 + u2 = -u1 , Е ћћћ

(8.10) (8.11) (8.12)

Выберем решение уравнения (8.10) в виде

u0 = Aeit .

(8.13)

Разумеется, решение физической задачи не может быть комплексной величиной. Такая запись может означать, что в конце мы возьмем действительную часть от того, что получилось. Рассмотрим уравнение (8.11). Оно представляет собой неоднородное уравнение для линейного резонатора. Правая часть (вынуждающая сила для (8.11))


Гл. 2

8. Прямое разложение

53

сама имеет осциллирующий характер. Что особенно важно, частота вынуждающей силы совпадает с частотой собственных колебаний, т.е. в (8.11) происходит возбуждение осциллятора на его резонансной частоте. Напомним как искать решение уравнения (8.11). Воспользуемся методом вариации постоянных. Будем искать решение в виде

u1 = C (t)eit .
Для

(8.14)

C (t)

получим уравнение

Е C + 2iC = -A.
Нас интересует следующее решение данного уравнения:

(8.15)

C (t) = -

A t. 2i

(8.16)

Такой выбор решения обусловлен тем, что мы хотим, чтобы свободные колебания были близки к нулю при малых Таким образом,

t

.

u1 (t) = -
сравним по величине с разложения.

A it te . 2i t
-1
член

(8.17)

Недостаток этого решения состоит в том, что при

u

1 становится

u0

, т.е. уже не является малой поправкой. Решение утра-

чивает свою асимптотичность. Это типичный пример неравномерности прямого Отметим, что полученное двучленное разложение поведения решения. Действительно, точное решение

u = u0 + u

1 не отражает

uex = A exp{it 1 + }

(8.18)

представляет собой колебания с немного измененной частотой, а не линейно растущие колебания. Покажем, что полученное разложение все же имеет прямое отношение к точному решению. Если рассматривать прямое разложение как ряд Тейлора по



, то

uex

(8.19)

=0

Очевидно, вычисленное по этой формуле решение

u1

совпадает с (8.17). То есть

линейно растущее решение действительно представляет собой разность между экспонентами с немного различными частотами, но справедливо это лишь на


Гл. 2

8. Прямое разложение

54

ограниченном интервале ряда Тейлора.

t

-1

. Далее необходимо строить остальные члены

Линейно растущий (по сравнению с предыдущим членом) член в асимптотическом разложении называется секулярным или вековым. В следующих лекциях мы будем пытаться строить разложения таким образом, чтобы секулярных членов не возникало. Покажем, каким образом (хотя и очень нестрого) можно использовать прямое разложение, построенное выше. Это не заменяет построения более осмысленного решения, но иногда позволяет понять происходящее. Двучленное разложение можно записать в виде

u0 + u1 = B (t)eit ,
где

(8.20)

B (t) = A (1 + it/2).
Представим коэффициент из (8.21) получаем

(8.21)

B (t)

в виде амплитуды и фазы

B (t) = b(t)e

i(t)

. Тогда

db dt d dt

= 0,
t=0

(8.22)

t=0

=. 2 t=0

(8.23) (в конце концов, все мо-

Сделаем смелое допущение и снимем ограничение

менты времени равноправны). Получатся эволюционные уравнения, правильно описывающие в первом приближении колебательный процесс.

Частица в поле бегущей волны
Следующий пример демонстрирует полезность прямого разложения. Рассмотрим частицу в поле бегущей волны. А именно, пусть координата частицы описывается функцией

x(t),

а уравнение движения имеет вид

x + x = sin(x - t). Е
. Как и раньше,

(8.24)

Мы считаем, что масса частицы равна единице, а коэффициент трения равен



малый параметр.

Наша задача понять, совершает ли частица наряду с малым колебательным движением еще и медленный дрейф вдоль оси

x.

Подход к задаче такой.

Мы строим первое приближение к движению частицы и, пользуясь построенным первым приближением, вычисляем второе приближение к правой части (8.24). Это второе приближение является оценкой силы, действующей на частицу во втором приближении. Если имеется ненулевое среднее значение этой


Гл. 2

8. Прямое разложение

55

силы, то можно оценить среднюю скорость дрейфа, используя это среднее значение. Начнем строить прямое разложение. Пусть

x(t) = x0 + x1 (t).
Уравнение для

(8.25)

x1

имеет вид

x1 + x1 = sin(x0 - t). Е Е
Будем искать решение в виде

(8.26) Подставляя этот

x1 = A sin(x0 - t) + B cos(x0 - t). -B - A = 0 , B= . 1 + 2

вид решения в уравнение, получаем систему

- A + B = 1,
откуда

(8.27)

A=-
какого дрейфа нет.

1 , 1 + 2

(8.28)

Очевидно, в первом приближении частица совершает малые колебания, и ниПодставим построенное первое приближение в правую часть уравнения (8.24), а именно вычислим в окрестности точки

sin(x0 + x1 - t). x0 - t:

Для этого разложим синус в ряд Тейлора

sin(x0 + x1 - t) sin(x0 - t) + x1 cos(x0 - t).

(8.29)

Усредним (8.29) по периоду колебаний. Очевидно, среднее значение произведения синуса и косинуса дает нуль, а среднее значение квадрата косинуса одну вторую. Поэтому

< sin(x0 + x1 - t) >
Для медленного дрейфа имеем уравнение

2 B. 2

(8.30)

Е X + X = 2
что дает скорость дрейфа

, 2(1 + 2 )

(8.31)

V=

2 . 2(1 + 2 ) 0,

(8.32)

Таким образом, частица всегда дрейфует в сторону распространения волны. Отметим, что скорость имеет ненулевой предел при самом начале в уравнении (8.24) положить дрейфа. однако, если в

=0

, получится нулевая скорость


Гл. 2

8. Прямое разложение

56

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 1. Построить второе приближение для уравнения (8.1). Определить, для каких частот



трехчленное разложение является неравномерным.

2. Для магнитного момента
уравнение Блоха

M (t)

в трехмерном пространстве выполняется

dM = M Ч B . dt
Магнитное поле друга:

(8.33)

B

представлено скрещенными осциллирующими полями,

направленными вдоль осей

x

и

y

, смещенными по фазе друг относительно (8.34)

x B = ћ sin(t) + ћ sin(t + ). y
Считая



малым параметром, найти среднюю скорость прецессии магнит-

ного момента.

3. Вдоль оси
по закону

x

между двумя абсолютно упругими стенками летает упругий

мячик. Одна стенка закреплена при

x=0

, а другая совершает движение

x = F (t).

Мячик летает быстро, а стенка движется медлен-

но (определите самостоятельно, что это значит в данном случае). Найти приближенный закон изменения модуля скорости шарика в зависимости от времени.


Гл. 2

9. Метод многих масштабов

57

9. Метод многих масштабов
На предыдущей лекции была продемонстрирована основная проблема, возникающая при построении прямого разложения в задаче теории колебаний. Эта проблема появление секулярных членов в разложении. Средством решения этой проблемы является построение более сложного анзаца, в котором при надлежащем выборе параметров удается избежать появления секулярных членов.

Иллюстративный пример. Осциллятор с затуханием
Рассмотрим следующий (учебный) пример. Рассмотрим линейный осциллятор с малым затуханием

x + x = -2x. Е
Решение этого уравнения есть

(9.1)

x(t) = Re[Aet ],
где параметр

(9.2)



находится из квадратного уравнения

2 + 1 = -2.
Корни этого уравнения нетрудно найти:

(9.3)

= - +
или

2 - 1

(9.4)

( ) 2 - + i 1 - 2

(9.5)

Выпишем решение в следующем виде:

x Re[Aeit e-t e

-it2 /2

].

(9.6)

Первая экспонента описывает колебания невозмущенной системы, вторая затухание колебаний, третья малую поправку к частоте колебаний. Заметим, что эти три процесса имеют различный временной масштаб. А именно, введем три разных времени: Обычное

T0 = t,
медленное

(9.7)

T1 = t,

(9.8)


Гл. 2

9. Метод многих масштабов

58

очень медленное

T2 = 2 t,
Таким образом, мы можем переписать (9.6)

(9.9)

x Re[AeiT0 e-T1 e-

iT2 /2

].

(9.10)

Процедура, которую мы хотим предложить, достаточно проста в применении, но сложна для понимания. Вместо поиска функции одной переменной мы будем искать функцию нескольких независимых переменных После того, как решение будет найдено, вместо времен

x(t) x(T0 , T1 , T2 ).

T0 , T1 , T

2 мы подставля-

ем (9.7), (9.8), (9.9), чтобы получить функцию одной переменной. Попытаемся построить решение задачи об осцилляторе с затуханием с помощью использования нескольких времен (многих масштабов). А именно, будем использовать анзац

x=


n

n xn (T0 , T1 , T2 , . . . )

(9.11)

Ограничимся только первыми тремя временами и только тремя членами в разложении. Построим полную производную по

t

по обычным правилам:

d = + + 2 . dt T0 T1 T2
Вторая производная имеет вид

(9.12)

( ) d2 2 2 2 2 2 = + 2 + 2 + . 2 2 dt2 T0 T0 T1 T0 T2 T1
уравнение по степеням

(9.13)

Подставим первую и вторую производные в уравнение (9.1) и распишем



:

0 : 1 1

2 x0 + x0 = 0, 2 T0 2 x1 2 x0 x0 : + x1 = -2 -2 , 2 T0 T 0 T1 T0 2 x0 2 x0 x0 2 x1 x1 2 x2 + x2 = -2 - -2 -2 -2 . : 2 2 T0 T 0 T2 T1 T1 T0 T1 T0

(9.14)

(9.15)

(9.16)

Решим первое уравнение, т.е. (9.14). Очевидно, его общее решение есть

x0 = A0 (T1 , T2 )e

iT0

+

K.C.

,

(9.17)


Гл. 2

9. Метод многих масштабов

59

где под К.С. в правой части обозначены члены, комплексно сопряженные к выписанным. Коэффициент

A0 (T1 , T2 )

зависит от двух более медленных времен

и на этом шаге определен быть не может. Подставим (9.17) в правую часть уравнения (9.15). Получим

2 x1 A0 iT0 e - 2iA0 e + x1 = -2i 2 T0 T1

iT0

+

K.C.

(9.18)

Уравнение (9.18) описывает линейный осциллятор, возбуждаемый на резонансной частоте. В общем случае это приводит к росту амплитуды колебаний, т.е. к появлению резонансных членов в

x1

. Попробуем не допустить этого. Для это-

го сделаем так, чтобы в правой части возбуждение, содержащее резонансную iT экспоненту e 0 , обратилось в ноль. Очевидно, это эквивалентно условию

A0 + A0 = 0. T1

(9.19)

Отметим, что это же условие приводит к тому, что вклад на второй резонансной -iT0 экспоненте (e ) также равен нулю. Решение этого уравнения легко выписать:

~ A0 (T1 , T2 ) = A0 (T2 )e-T1 .

(9.20)

Уравнение (9.18) становится однородным, и его решение дается формулой

x1 = A1 (T1 , T2 )e
Для того, чтобы построить

iT0

+

K.C.

(9.21)

A0 (T2 ),

обратимся к уравнению (9.16). Подставим

в его правую часть (9.20) и (9.21):

2 x2 + x 2 = -e 2 T0

[
iT0

A1 ~ 2iA1 (T1 , T2 ) + 2i - A0 e- T1

T1

~ A0 + 2i e T2

]
-T1

+

K.C.

(9.22)

Снова потребуем, чтобы возбуждение на резонансной частоте отсутствовало (это требование отсутствия секулярных членов). Данное требование приводит к условию

i A1 + A1 = T1 2

(

~ A0 ~ -A 0 + 2 i T2

) e-T1 ,
(9.23)

которое мы рассматриваем как дифференциальное уравнение относительно

A

1

Заметим, что однородное уравнение, соответствующее уравнению (9.23), имеет -T решение C (T2 )e 1 . Правая часть пропорциональна этому решению (как функция

T1

). Это означает, что решение уравнения (9.23) будет содержать функцию


Гл. 2

9. Метод многих масштабов

60

T1 e-

T1

. Такая функция неограниченно растет по сравнению с

~ A0

, а поэтому

она представляет собой секулярный член. Секулярный член отсутствует, если -T коэффициент при e 1 равен нулю, т.е.

~ A0 ~ -A 0 + 2 i =0 T2
Решение этого уравнения есть

(9.24)

~ ^ A0 = A0 e-

iT2 /2

.

(9.25)

Собирая вместе (9.25), (9.20) и (9.17), получаем решение (9.10). Здесь мы построили разложение с точностью до времени второго порядка медленности. В дальнейшем изложении мы будем ограничиваться только первым медленным временем

T1

.

Осциллятор Ван-дер-Поля
Рассмотрим уравнение

u + u = (1 - u2 )u. Е
таким уравнением. Правая часть (судя по наличию в ней

(9.26)

Прежде всего, попробуем понять качественно поведение системы, описываемой является затухани2 ем. Если среднее значение (в не ясном пока смысле) выражения 1 - u меньше нуля, то это обычное затухание, при котором амплитуда колебаний убывает. Если же эта средняя часть больше нуля, то это отрицательное затухание, при котором амплитуда колебаний возрастает. Таким образом, в системе имеется 2 отрицательная обратная связь, которая поддерживает среднее значение u на каком-то постоянном уровне. Для решения задачи используем двучленный анзац

u)

u = u0 (T0 , T1 ) + u1 (T0 , T1 ).
При

(9.27)

0

получаем уравнение

2 u0 + u0 = 0 2 T0
Его решение есть

(9.28)

u0 = A(T1 )e
При

iT0

+

K.C.

(9.29)

1

имеем уравнение

u0 2 u0 2 u1 + u1 = -2 + (1 - u2 ) . 0 2 T0 T0 T1 T0

(9.30)


Гл. 2

9. Метод многих масштабов

61

Подставим (9.29) в (9.30). Получим

2 u1 + u1 = 2 T0 ? -2i(A eiT0 - A e-
iT0

? ) + iAeiT0 - iAe-

iT0

? ? - i(AeiT0 + Ae-iT0 )2 ћ (AeiT0 - Ae

-iT0

).

(9.31)

Здесь черта сверху обозначает комплексное сопряжение, а штрих дифференцирование по T1 . Правая часть после раскрытия скобок содержит слагаемые +3iT0 +iT0 с экспонентами e иe . Резонансными являются члены с экспонентами +iT0 e . Для подавления секулярных членов потребуем, чтобы коэффициент при eiT0 обращался в нуль: ? -2iA + iA - iA2 A = 0, (9.32) откуда

dA 1 = A(1 - |A|2 ). dT1 2
времени и носит название

(9.33)

Это уравнение описывает зависимость комплексной амплитуды от медленного

укороченного уравнения для данной задачи.

Решим данное уравнение. Представим комплексную амплитуду действительных амплитуды и фазы:

A

с помощью

A(T1 ) = a(T1 )e

i(T1 )

. e
i

(9.34) и выделим в уравнении

Подставим (9.34) в уравнение (9.33), сократим на

действительную и мнимую части. В действительной части получим

1 a = a(1 - a2 ), 2
а в мнимой

(9.35)

= 0 .

(9.36) поправки к частоте , достигается при

Последнее соотношение означает, что в первом порядке по нет. Проанализируем (9.35). Стационарное значение, т.е.

a = 0

a=1

. Следовательно, стационарная амплитуда колебаний системы равна 2.

Решим уравнение (9.35) с помощью разделения переменных. Перепишем уравнение в виде

dT1 da = 2) a(1 - a 2
Разложим левую часть в сумму простых дробей:

(9.37)

[

] 1 1 1 dT1 - - . da = a 2(a - 1) 2(a + 1) 2

(9.38)


Гл. 2

9. Метод многих масштабов

62

Интегрируя, получаем


или

a2

a = Ce -1

T1 /2

(9.39)

1 a(T1 ) = 1 + De

-T1

.

(9.40)

Таким образом, мы описали динамику осциллятора Ван-дер-Поля.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 1. Решить уравнение (9.23) с помощью метода вариации постоянной. 2. Рассмотреть нелинейный осциллятор

u + (1 + u2 )u = 0 Е
при малых

(9.41)



методом многих масштабов. Найти поправку к частоте коле-

баний в первом приближении.


Гл. 2

10. Метод усреднения

63

10. Метод усреднения. Параметрический резонанс
Пример 1. Разбор домашнего задания
Разберем задачу, предложенную на дом в предыдущей лекции, но сделаем это в рамках нового метода, а именно метода усреднения. Рассмотрим уравнение

u + (1 + u2 )u = 0 Е
с малым параметром

(10.1)



. Это уравнение описывает осциллятор с малой кубиче-

ской нелинейностью. У такого осциллятора частота свободных колебаний зависит от амплитуды. Необходимо найти эту зависимость. Перепишем уравнение (10.1), оставив в левой части невозмущенную задачу:

u + u = -u3 . Е
Представим решение задачи в виде

(10.2)

u = a(t) cos(t + (t))

(10.3)

с амплитудой и фазой, медленно зависящими от времени. Очевидно, это не очень хорошее представление, поскольку одну неизвестную функцию мы заменяем на две. Поэтому необходимо какое-то ограничение, которое снимает неоднозначность. Это ограничение выберем в виде

u = -a(t) sin(t + (t)).
Непосредственное дифференцирование (10.3) дает

(10.4)

u = a cos(t + ) - a sin(t + ) - a sin(t + ),
так что ограничение (10.4) означает, что

(10.5)

a cos(t + ) - a sin(t + ) = 0.
и медленную части. Вычислим вторую производную

(10.6)

Разделение производной (10.5) на (10.4) и (10.6) это разделение на быструю

u:
(10.7)

u = -a cos(t + ) - a sin(t + ) - a cos(t + ). Е
Подставим вторую производную в уравнение (10.2):

-a sin(t + ) - a cos(t + ) = -a3 cos3 (t + )

(10.8)


Гл. 2

10. Метод усреднения

64

Будем рассматривать систему из уравнений (10.8), (10.6). Выражая из этих уравнений

a

и



, получаем систему

a = a3 cos3 (t + ) sin(t + ), = a2 cos4 (t + ).

(10.9) (10.10)

Отметим, что до настоящего момента никаких приближений не делалось, т.е. уравнения (10.9), (10.10) являются точными. Пришло время упростить эти уравнения, сделав некоторые приближения. А именно, мы считаем, что амплитуда и фаза изменяются медленно, поэтому хорошим приближением будет усреднить правые части по периоду колебаний, т.е. рассматривать уравнения

a = a3 cos3 (t + ) sin(t + ), = a2 cos4 (t + ).
Выполняя усреднение, получаем укороченные уравнения

(10.11) (10.12)

a = 0, 32 = a . 8
Следовательно, поправка к частоте колебаний есть

(10.13) (10.14)

= 3/8a2

.

Пример 2. Параметрический резонанс
Рассмотрим уравнение параметрического резонанса

u + [1 + + cos(2t)]u = 0, Е
где

(10.15)



и



малые параметры. Структура этого уравнения для простоты вы-

кладок несколько изменена по сравнению с использованной ранее (см. (8.1)). А именно, разумно было бы подстраивать частоту изменения коэффициента (частоту



). Здесь же она жестко задана, а вместо этого с помощью параметра



подстраивается частота свободных колебаний осциллятора. Частота изменения коэффициента примерно равна удвоенной частоте свободных колебаний, что соответствует первому параметрическому резонансу. Отметим, что мы считаем малые параметры



и



величинами одного по-

рядка малости. Для описания резонансов более высокого порядка приходится считать эти параметры имеющими разный порядок. Нашей целью будет определение области на плоскости блюдается параметрический резонанс. Перепишем уравнение в виде

(, ),

в которой на-

u + u = -[ + cos(2t)]u. Е

(10.16)


Гл. 2

10. Метод усреднения

65

Представим решение в виде

u = A(t) cos(t) + B (t) sin(t),
где

(10.17)

A

и

B

медленно меняющиеся функции

t

. Введем ограничение (10.18)

u = -A sin t + B cos t,
эквивалентное условию

A cos t + B sin t = 0.
Вторая производная

(10.19)

u

имеет вид (10.20)

u = -A sin t - A cos t + B cos t - B sin t. Е
Подставляя (10.20) в уравнение (10.16), получаем

-A sin t + B cos t = - (A cos t + B sin t) - cos(2t)(A cos t + B sin t).
ляя

(10.21)

Будем рассматривать систему, состоящую из уравнений (10.21), (10.19). Выде-

A

и

B

с помощью линейного преобразования, получим (10.22) (10.23)

A = (A cos t + B sin t) sin t + (A cos t + B sin t) cos(2t) sin t, B = - (A cos t + B sin t) cos t - (A cos t + B sin t) cos(2t) cos t,
лучим систему укороченных уравнений

Усредним правые части уравнений по периоду колебаний. В результате по-

) A= - B, 24 ( ) = - + A. B 24

(

(10.24)

(10.25)

Для определения области, в которой наблюдается параметрический резонанс, проанализируем систему (10.24), (10.25) на устойчивость. Заметим, что это линейная однородная система уравнений с постоянными коэффициентами. Решим характеристическое уравнение этой системы, т.е. найдем такие значения



1,2 , что существуют решения вида

(

A(t) B (t) (

) =

(

A0 B0

) et .

Эти значения



совпадают с собственными значениями матрицы, описывающей

систему, т.е. матрицы

0 -2 -

4

2

- 0

4

) .


Гл. 2

10. Метод усреднения

66

Данные собственные значения равны

1
Очевидно, при резонансу. При ется.

,2

1 =+ 2



2 - 2. 4

(10.26)

|/2| > | |

значения

1,2 оба действительные, и одно из них боль-

ше нуля. Это соответствует экспоненциальному росту, т.е. параметрическому

|/2| < | |

оба значения чисто мнимые, и резонанс не наблюда-

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 1. Рассмотреть уравнение

u + [1 + + cos(2t)]u = 0, Е
с помощью метода многих масштабов. При этом положить нения.

= D

, где

D

фиксированное число порядка единицы. Получить укороченные урав-

2. Рассмотреть уравнение

u + [1 + + cos(2t)]u = 0 Е
с помощью метода усреднения, полагая

u = a(t) cos(t + (t)).
3. Найти, при каком соотношении



и



имеет место второй параметрический

резонанс, описываемый уравнением

u + [1 + + cos t]u = 0. Е


Гл. 2

11. ВКБприближение

67

11. ВКБприближение
Попытка применить метод многих масштабов
Рассмотрим уравнение

u + 2 q (t)u = 0 Е
при

(11.1)

больших положительных значениях

.

Это уравнение представляет боль-

шой интерес для квантовой физики и теории волн, так как описывает коротковолновое приближение в одномерных задачах. Очевидно, его можно обобщить на двух- и трехмерный случай, получив задачу о распространении коротких волн в среде с переменным показателем преломления. Прежде всего, покажем, что метод многих масштабов не позволяет получить решение этой задачи. Отметим, что на метод многих масштабов в данном случае можно возложить некоторые надежды, поскольку явным образом в задаче присутствуют два масштаба времени: нормальное (это масштаб изменения функции Если

q (t))

и быстрое (связанное с периодом колебаний в системе).

q

положительная константа, то частота колебаний равна

q

. Поэтому

логично выбрать в качестве нормального и быстрого времени переменные

T0 = t,

T

-1

= t.

(11.2)

Будем искать решение в виде двучленного разложения

1 u = u0 (T-1 , T0 ) + u1 (T-1 , T0 ).
Производные по времени записываются (по член

(11.3)



) в виде

d = + , dt T-1 T0
2 2 d2 2 = + 2 . 2 dt2 T-1 T-1 T0
Подставим эти производные в уравнение и выделим члены при двух старших порядках:

(11.4)

(11.5)

2

и



, т.е. в

) 2 + q (T0 ) u0 = 0, : 2 T-1 (2 ) 2 : + q (T0 ) u1 = -2 u0 . 2 T-1 T-1 T0 (
2

(11.6)

(11.7)


Гл. 2

11. ВКБприближение

68

Решение первого уравнения записывается в виде

u0 = A(T0 ) exp{



-q (T0 )T-1 } + B (T0 ) exp{- -q (T0 )T-1 }

(11.8)

Подставим (11.8) в уравнение (11.7). Получим

2 u1 + q (T0 )u1 = 2 T-1
-2[( -q A) + ( -q ) T-1 -q A]e -q T
-1

+ 2[( -q B ) - ( -q ) T-1 -q B ]e T0

- -q T-

1

,

(11.9) где штрих обозначает дифференцирование по . Такой вид правой части может привести к появлению секулярных членов вида T-1 exp{+ -q (T0 )T-1 }, а также 2 (T-1 ) exp{+ -q (T0 )T-1 }. Условие отсутствия секулярных членов есть A 0 и

B 0.

Таким образом, анзац (11.3) оказывается непригодным. Чуть позже

мы поймем почему.

Структура ВКБприближения
Будем искать одно из решений уравнения (11.1) в виде

u = exp{G(t, )}, G(t, ) = G0 (t) + -1 G1 (t) + -2 G2 (t) + . . .

(11.10) (11.11)

Сразу заметим, что общее решение уравнения (11.1) не удастся выразить в виде (11.10), зато можно будет так записать два линейнонезависимых решения, а затем представить общее решение как их линейную комбинацию. Ограничимся двучленным разложением для пишем производные

G,

т.е. членами с

G0

и

G

1 . За-

G G e, t [( ] )2 G 2 G G u = 2 Е + 2 e , t t u=
собирая члены при старших степенях

(11.12)

(11.13)

Подставляя вторую производную в уравнение, сокращая на экспоненту и

,

получаем (11.14) (11.15)

2 : (G0 )2 + q = 0, : 2G0 G1 + G = 0, 0
Первое уравнение имеет два решения:

t G0 (t) = + -q ( ) d .

(11.16)


Гл. 2

11. ВКБприближение

69

Рассмотрим второе уравнение. Перепишем его в виде

1 G 0 G =- 2 G0
1
Таким образом,

( ) 1 = - (ln(G0 )) . 2
ln((

(11.17)

G1 = C - t

-q )1/4 ) t -q ( ) d }

(11.18)

Выпишем окончательное решение уравнения (11.1):

u(t) =
Здесь

C1 exp{

-q ( ) d } + C2 exp{- (-q (t))1/4

.

(11.19)

C

1и

C

2 некоторые константы.

Аббревиатура ВКБ расшифровывается как ВентцельКрамерсБриллюэн. Попытаемся понять, почему не работает метод многих масштабов. Рассмотрим выражение (11.8) и сравним его с решением (11.19). Покажем, что экспоненты в (11.19) не могут быть представлены в виде (11.8). Действительно, возможность их представить в таком виде будет означать, что например функция

T-
непостоянном множителе


1

-q (T0 ) -

t

-q ( ) d

не является быстрой функцией времени. А она таковой является при любом

q

.

Понятие точки поворота
В области, где коэффициент

q (t)

положителен, два линейно-независимых ре-

шения уравнения (11.1) представляют (согласно формуле (11.19)) осцилляции с медленно меняющейся амплитудой. Если считать в некоторой области коэффициент ласти, где коэффициент Точка, в которой Будем считать

t

пространственной коорди-

натой, то решения представляют собой волны, бегущие вправо и влево. Если

q (t)

отрицателен, то решения представляют

собой экспоненциально растущее и экспоненциально убывающее решение. В об-

q (t)

близок к нулю, формула (11.19) просто не работает. некоторую (до-

q = 0, называется точкой поворота. t пространственной переменной и рассмотрим q > 0, поворота t

статочно обширную) область, в которой (непрерывная функция) ноль один раз. Пусть на левой границе области Внутри области есть единственная точка .

q (t)

пересекает

а на правой границе

q < 0.

Пусть граничное условие на правой границе представляет собой условие убывания, т.е. из пары решений выбирается только экспоненциально убывающее. В этом случае решение в области представляется при бегущих вправо и влево, а при

t
суммой волн,

t>t

единственной убывающей волной. Это


Гл. 2

11. ВКБприближение

70

можно рассматривать как процесс отражения волны, бегущей вправо, от точки поворота. Нашей целью будет описание точки поворота как отражателя волн. Прежде всего, выясним, в какой области (11.19). Будем считать, что в окрестности мируется линейной:

t нельзя пользоваться t = t функция q хорошо

формулой аппрокси-

q (t) (t - t),
где

(11.20)



некоторый коэффициент порядка единицы.

Критерием того, что анзац (11.10), (11.11) перестает работать, будем считать то, что члены

G

0и

G

1 становятся одного порядка. При этом удобнее

сравнивать не сами члены, а их производные. Очевидно,

G1 = -
Пользуясь тем, что

1 G 1 q 0 =- . 2 G0 4q

G0 =

-q

, получаем, что анзац работает лишь при

4

1/2

|t - t |3

/2

1.

(11.21)

Если это неравенство не выполняется, то формулами (11.19), полученными с помощью рассмотренного анзаца, пользоваться нельзя.

Отражение от точки поворота. Рассмотрение при помощи функции Эйри
Будем рассматривать уравнение в трех областях:

I: II : III :

t < t - D , t > t + D ,

t - D < t < t + D , D = (4 )-2/3 . t q ( ) d } t

В первой области можно пользоваться решением (11.19). Запишем его в виде

uI (t) =

exp{i

t
t


q ( ) d } + R exp{-i q (t)1/
4

.

(11.22)

В этом решении будем полагать, что первый член представляет собой падающую на точку поворота волну, а второй отраженную. Будем считать, что падающая волна имеет единичную амплитуду. Коэффициент его найти.

R

в этом случае

имеет смысл коэффициента отражения. Наша цель будет состоять в том, чтобы


Гл. 2

11. ВКБприближение

71

Во второй области решение запишем в виде убывающей волны

uI I (t) = T
Коэффициент

exp{-

t
t


-q ( ) d }
1/4

(-q (t))

.

(11.23)

T

представляет собой коэффициент прохождения.

Нужно отметить, что для устранения неопределенности нижний предел интегрирования в (11.22) и (11.23) выбран в точке

t

.

Изложенная теория пока не позволяет нам найти коэффициенты бы это сделать, построим решение в третьей области

R

и

T

. Что-

uI

I I , причем для этого не

будем использовать ВКБ приближение. Затем расширим области применимости решения в третьей области за ее пределы, и попытаемся срастить первое решение со вторым, а второе с третьим. В процессе сращивания найдутся коэффициенты

R

и

T

.

Сам процесс сращивания решений выглядит следующим образом. Строятся асимптотики решения

uI

I I , которые совпадают с ВКБ-асимптотиками (11.22) и

(11.23) с точностью до постоянных коэффициентов. Сращивание и заключается в подборе этих коэффициентов. Итак, займемся построением приближенного решения в третьей области. Будем считать, что коэффициент имеет вид

q = -(t - t ).

(11.24)

Решение этого уравнения выражается в виде линейной комбинации функций Эйри (которые являются решениями уравнения Эйри (4.18)):

uI
Здесь

II

= a ћ Ai(z ) + b ћ Bi(z ). (t - t ) -
-2/3 2/3

(11.25)

z=
Коэффициенты

1/3 2/3





q (t).

(11.26)

a

и

b

пока не определены.

Обратимся к асимптотикам функций Эйри. Эти асимптотики могут быть получены из интегральных представлений, но мы здесь просто возьмем из из справочника. В области положительных имеют вид

z1

асимптотики (их первые члены)

2 exp{- 3 z 3/2 } 1/4 , Ai(z ) 2 z 2 exp{ 3 z 3/2 } Bi(z ) 1/4 . z

(11.27)

(11.28)


Гл. 2

11. ВКБприближение

72

При отрицательных

z << -1

имеют место асимптотики

sin{ 2 z 3/2 + /4} 3 1/4 Ai(-z ) , z Bi(-z )
2 cos{ 3 z 3/2 + /4} 1/4 . z

(11.29)

(11.30)

Будем считать доказанным, что асимптотики (11.27)(11.30) выполняются вне третьей области. Это достаточно тонкая теорема, которая включает оценку члена, порожденного следующим членом разложения

q (t)

в ряд Тейлора вблизи

t = t

.

У нас имеются коэффициенты всего, заметим, что такого члена в области

a , b, R , T

, которые надо определить. Прежде

Bi(z )

экспоненциально возрастает в области I I. Поскольку

u

I I нет, логично предположить, что

b=0

. Далее, в той же

a ћ Ai(z ) = a

2 exp{- 3 1/2 (t - t )3/2 } . 2 (/)1/6 (-q )1/4

(11.31)

Сравнивая данное выражение с асимптотикой (11.27), замечаем, что эти асимптотики совершенно одинаковы, если постоянные множители удовлетворяют соотношению

1/6 T = a 1/6 . 2

(11.32)

Таким образом, нам удалось срастить асимптотики в областях I I и I I I, и при этом мы избавились от двух неопределенных параметров. Перепишем асимптотику (11.29):

a ћ Ai(z ) = a

exp{i( 2 (t - t)3/2 3

1/2

+ )} - exp{-i( 2 (t - t)3/2 4 3 2i (/)1/6 q 1/4

1/2

+ )} 4
(11.33)

Сравнивая (11.33) c (11.22), получаем

-a a
откуда

1/6 e-i/4 = 1, 2i 1/6

(11.34)

1/6 e-i/4 = R, 2i 1/6 R = e-
i /2

(11.35)

.

(11.36)

Это очень важная формула. Она означает, что отражению от точки поворота соответствует положительный набег фазы на /2 или на четверть периода. По-i /2 ясним, почему множитель e соответствует положительному набегу фазы.


Гл. 2

11. ВКБприближение

73

Рассмотрим более привычный случай, когда присутствует и пространственная и временная переменная, а именно пусть волна, распространяющаяся вправо, имеет вид тим, что

exp{i( - )}, где выше роль играла

время, а переменная

t.

положение в пространстве. ЗамеПоложительный набег фазы на e-i/2 .

/2

связан с увеличением времени на

/2,

т.е. дается множителем

Из (11.34) и (11.32) нетрудно найти, что

T =e

i /4

.

(11.37)

Дифференцирование импульсного сигнала при отражении от точки поворота
Выясним, как ведет себя импульсный сигнал при увеличении фазы на сигнала в его Фурье представлении. Пусть имеется некоторый сигнал формуле

/2.

Разумеется, можно говорить только об изменении фазы каждой из гармоник

u( ).

Выполним преобразование Фурье по

1 U ( ) = 2

u( )ei d
-

(11.38)

Сигнал синтезируется из спектра по формуле

u( ) =
-

U ( )e

-i

d

(11.39)

Увеличению фазы каждой из гармоник на спектра

/2

соответствует преобразование

U ( ) -i

U ( ) | |

(11.40)

(здесь мы используем тот факт, что гармоникам с отрицательными частотами i /2 соответствует множитель e ). Заметим, что дифференцированию по времени соответствует преобразование

U ( ) -i U ( ).

(11.41)

С точки зрения фазы эти преобразования сходны, поэтому имеются основания думать, что преобразование (11.40) действует в чем-то сходно с дифференцированием. На Рис. 11.1 и 11.2 показано, как оператор, описываемый в Фурьепредставлении формулой (11.40), действует на импульсы в виде гауссианы и Nволны. На обоих рисунках штриховой линией обозначен исходный сигнал, а сплошной результат действия оператора.


Гл. 2

11. ВКБприближение

74

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -1

-0.5

0

0.5

1

Рис. 11.1: Действие оператора (11.40) на сигнал в виде гауссианы

Из рисунков видно, что результат действия оператора действительно качественно повторяет дифференцирование. В частности, из Nволны получатся так называемая Uволна. Конечно, это не совсем дифференцирование, но определенное сходство имеется.

Точка поворота и каустики
Продемонстрируем, каким образом точки поворота ВКБприближения появляются в акустике. Рассмотрим задачу о рефракции волн. Пусть волны распространяются в плоскости оси

(x, y ). y

Пусть среда однородна вдоль оси как

x,

а вдоль

y

имеет переменный показатель преломления. Для определенности поло-

жим, что скорость волн растет с

c2 (y ) =
Параметр

c2 0 . 1 - y

(11.42)



выберем достаточно малым (таким образом, чтобы в некоторой

рассматриваемой области скорость не обращалась в бесконечность. Будем по-


Гл. 2

11. ВКБприближение

75

35 30 25 20 15 10 5 0 -5 -10 -1

-0.5

0

0.5

1

Рис. 11.2: Действие оператора (11.40) на сигнал в виде Nволны

лагать, что рассмотрение производится в полуплоскости находится твердая граница. Волны на частоте

y > 0,

а при

y=0



в среде описываются уравнением

2u 2u 2 + + 2 (1 - y )u = 0. x2 y 2 c0

(11.43)

Физически волны в такой среде испытывают рефракцию (см. Рис. 11.3). Именно этот процесс мы собираемся описать математически. Запустим в среду семейство параллельных лучей, пересекающих ось углом

x

под



. Зависимость поля от

x

будет иметь вид

exp{i x cos()/c0 }.

Выделим

эту зависимость явно и запишем поле в виде

u(x, y ) = w(y ) exp{i x cos()/c0 }.


Гл. 2

11. ВКБприближение

76

y

y каустика лучи c(y) f x
Рис. 11.3: Рефракция лучей и каустика

Для

U (y )

выполняется уравнение

d2 w 2 + 2 (sin2 - y )w = 0. dy 2 c0

(11.44)

Рассмотрим высокочастотное приближение, т.е. будем считать величину

/c

0

большим параметром. Заметим, что поскольку она не является безразмерной, необходимо сказать, по сравнению с чем эта величина является большой. Для этого лучше всего ввести безразмерные переменные с самого начала. Лучше всего это сделать таким образом, чтобы



и

c

0 были в новых переменных равны

единице. Заметим, что уравнение (11.44) имеет тот же вид, что (11.1), и все только что изложенное к нему относится. Таким образом, мы можем заключить про это уравнение, что

1. Точка поворота соответствует обращению в ноль коэффициента, т.е.

y = sin2 /.

(11.45)

2. Ниже точки поворота решение имеет вид суммы волн, распространяющихся вверх и вниз. Эта сумма описывается асимптотикой (11.22).

3. Коэффициент отражения

R

в (11.22) равен

e-

i /2

.

4. Выше точки поворота поле экспоненциально затухает и описывается формулой (11.23).

5. В окрестности точки поворота решение описывается функцией Эйри.
Линия

y=y

является огибающей всего семейства лучей. Такая линия назы-

вается в геометрической оптике и акустике

каустикой. Как мы видим, каустика

описывается точкой поворота соответствующего уравнения. Оказывается, все


Гл. 2

11. ВКБприближение

77

выведенные закономерности справедливы для отражения луча от каустики любой природы. В частности, лучи могут быть прямолинейными (это соответствует среде с постоянным показателем преломления), а волновая картина может быть сформирована зеркалами где-то в другой области (см. Рис. 11.4).

Рис. 11.4: Каустика в случае прямолинейных лучей

Волновод. Условия квантования
Рассмотрим систему, описанную выше, как волновод и найдем значения



,

соответствующие модам в этом волноводе. Для этого попытаемся построить решения уравнения (11.44), удовлетворяющие граничным условиям на поверхностях

y=0

и

y=y

граничного условия при границе. При при условии

. сами решения будем искать в виде (11.32). В качестве y = 0 возьмем w = 0, что соответствует жесткой

y=y

граничное условие выписывать не будем, а вместо этого

будем использовать соотношение (11.36). Очевидно, уравнение имеет решение

exp 2i c0
или

{


0

t



} (sin - y )
2 1/2 1/2

dy - i /2

=1

(11.46)

2i c0
проходы от


0

t



(sin2 - y )

dy - i /2 = 2 m. y

(11.47) , включающий

Выражение (11.47) означает, что полный набег фазы вдоль оси

0

до

y

и обратно, добавку

-i /2

на верхней границе и нулевую

добавку на нижней границе, равен в сумме нескольким полным периодам. Последнее соотношение и есть условие квантования, из которого можно найти значения мо помнить,

m , что y

соответствующие волноводным модам. При этом необходитакже зависит от



.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 1. Показать, что уравнение

y + p(x)y + q (x)y = 0

(11.48)


Гл. 2

11. ВКБприближение

78

с помощью замены

y (x) = (x)u(x)
при подходящем

(11.49)

(x)

сводится к уравнению

( ) p p2 u + q- - u = 0. 2 4


(11.50)

2. Пусть

N

волна периодична с периодом

2

и задается на отрезке

( - , )
(11.51)

функцией

{ uN ( ) =

(1 - / ), > 0 (-1 + / ) < 0
m=-

Эта функция представляется рядом Фурье вида

u( ) =

am e- am

im

(11.52)

для некоторого набора коэффициентов

. Uволна задается формулой

( m) uU ( ) = -i am e- |m| m=-

im

(11.53)

для того же набора коэффициентов. Найти асимптотику

u

U вблизи точки

=0

.

3. Рассмотреть уравнение Шредингера с параболической потенциальной ямой

d2 u + 2 (A - x2 )u = 0. dx2
При достаточно больших ограниченные на всей

(11.54)

найти значения A, при которых существуют оси x решения. Сравнить полученные значения с

известными из квантовой механики.


Гл. 2

12. Сращивание асимптотических разложений

79

12. Сингулярновозмущенные задачи. Сращивание асимптотических разложений
Демонстрационный пример. Анализ
Пусть необходимо решить уравнение

u + u + u = 0
для функции

(12.1)

u(x)

на отрезке

x [0, 1]

с неоднородными граничными условиями

u(0) = 1,
Как обычно,

u(1) = 1.

(12.2)



малый параметр. Уравнение (12.1) имеет второй порядок, так

что наличие пары граничных условий обосновано. Задачи, у которых малый параметр стоит при старшей производной, называют

сингулярно возмущенными. Такие задачи обладают рядом специфических

свойств по сравнению с остальными задачами теории возмущений. Сперва будем предполагать, что решение возмущенной задачи мало (на величину порядка



) отличается от решения невозмущенной задачи. Положим

=0

и рассмотрим невозмущенную задачу с уравнением

u + u = 0.
У этого уравнения имеется решение

(12.3)

u = Ce

-x

, известное с точностью до од-

ного коэффициента. Подбирая этот коэффициент, невозможно добиться, чтобы выполнялись оба граничных условия, даже если разрешено, чтобы эти условия выполнялись не точно, а приближенно. Таким образом, решить невозмущенную задачу в общем случае не представляется возможным. Причина этого ясна: при переходе к невозмущенной задаче порядок уравнения уменьшается на единицу, а количество граничных условий остается прежним. Уравнение (12.1) выбрано таким образом, чтобы для него можно было построить точное решение. Построим его и попробуем понять, что происходит. Точное решение уравнения (12.1) имеет вид

u = C1 e
где показатели

1 x

+ C2 e2 x ,

(12.4)



1,2 определяются из уравнения

2 + + 1 = 0,
а коэффициенты

(12.5)

C

1,2 определяются из граничных условий.


Гл. 2

12. Сращивание асимптотических разложений

80

Уравнение (12.4) имеет корни



1,2

=-

1+

1 - 4 . 2

(12.6)

Применяя формулы приближенных вычислений, получаем

1 -1 ,

2 = -

-1

+ 1.

(12.7)

Первый корень соответствует невозмущенному уравнению, а второй новый. Заметим, что второй корень является большим (он содержит малый параметр в минус первой степени). Соответствующее ему слагаемое представляет собой быстро убывающую экспоненту. Решение уравнения (12.1) с граничными условиями (12.2) представляет собой сумму обычной и быстро убывающей экспонент. Его график для

= 0.01

показан на Рис. 12.1. Очевидно, почти везде решение мало отличается от решения невозмущенного уравнения, однако вблизи левого края интервала имеется область, в которой отличие сильно. В этой области работает быстро убывающая экспонента, обеспечивающая сопряжение невозмущенного решения и граничного условия. Эта область называется

пограничный слой. Толщина пограничного

слоя в данном случае имеет порядок



-1

.

Демонстрационный пример. Сращивание асимптотических разложений
Продолжим исследование уравнения (12.1) с граничными условиями (12.2). Будем рассматривать решение в двух областях: внешней (там, где действует невозмущенное уравнение) и внутренней (там, где пограничный слой). В данном случае мы уже знаем, что пограничный слой примыкает к границе

x = 0.

В общем случае это приходится выяснять методом проб и ошибок. Внешнее ре(o) (i) шение будем обозначать u (от outer), а внутреннее u (от inner). В обоих случаях можно строить решения в виде рядов, например

u(o) = u0 + u
(опуская нулевой индекс).

(o)

(o) 1

+ 2 u2 + . . .

(o)

однако мы здесь ограничимся только старшими членами в обоих разложениях Внешнее решение соответствует уравнению (12.3) и имеет вид

u(o) = C e-x .
Коэффициент условие при

(12.8)

C x=1

выбирается таким образом, чтобы выполнялось граничное , т.е.

C = e.

(12.9)


Гл. 2

12. Сращивание асимптотических разложений

81

2.8 2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Рис. 12.1: График решения уравнения (12.1) с граничными условиями (12.2)

Обратимся к построению внутреннего решения. В соответствии с результатами предварительного анализа, в пределах погранслоя происходит быстрое изменение поля. Для нормального описания необходимо растянуть эту область, введя в пределах погранслоя внутреннюю переменную

=

x .

(12.10)

Эта переменная в пределах погранслоя изменяется на величину порядка единицы. Перепишем уравнение (12.1) в новой переменной. Заметим, что

d 1d = , dx d
Уравнение имеет вид

d2 1 d2 = 2 2. dx2 d
(i)

1 d2 u(i) 1 du(i) + +u d 2 d

= 0.

(12.11)


Гл. 2

12. Сращивание асимптотических разложений

82

Выделим из этого уравнения старшие члены, т.е. члены, стоящие при лучим приближенное уравнение



-1

. По-

d2 u(i) du(i) + = 0. d 2 d
Общее решение того уравнения есть

(12.12)

u(i) = A + De- .
Константы (i) условие u

(12.13)

A и D выбираются так, (0) = 1, а, во-вторых,

чтобы, во-первых, выполнялось граничное внутреннее решение гладко переходило во

внешнее на границе этих областей. Первое условие дает

A + D = 1.
мальная процедура, называемая

(12.14)

Обратимся ко второму условию. Для его удовлетворения существует фор-

сращиванием асимптотических разложений.

Она заключается в следующем. Строятся асимптотики внутреннего решения во внешней области и внешнего решения во внутренней области. Эти асимптотики (i) (o) (o) (i) обозначаются, соответственно, как (u ) и (u ) . Затем налагается условие, чтобы старшие члены этих асимптотик совпадали:

(u(i) )

(o)

= (u(o) )(i) .

(12.15)

Это и есть условие сращивания асимптотик. (i) (o) Асимптотика (u ) строится в два шага. На первом шаге решение записывается через внешнюю переменную:

u(i) = A + De
фиксированном ненулевом

-x/

.

(12.16)

На втором шаге берется старший асимптотики этого решения при

0

и

x

:

(u(i) )(o) = A.
Аналогично, для построения ную

(12.17)

(u(o) )

(i)

это решение выписывается через перемен-



:

u(o) = C e
и берется старший член асимптотики при

-
и фиксированном

(12.18)

0



: (12.19)

(u(o) )(i) = C.
Условие сращивания имеет вид

A = C.


Гл. 2

12. Сращивание асимптотических разложений

83

Отсюда

A = e, D = 1 - e u=u
(o)

. Ответ записывается в виде

+u

(i)

- (u(o) )(i) = e

1-x

- (e - 1)e

-x/

.

(12.20)

Замечания 1. Мы воспользовались своим знанием о том, что пограничный слой находится вблизи левого конца интервала. С тем же успехом он мог оказаться и у правого края (или у каждого из краев). В общем случае приходится пробовать разные варианты, т.е. пытаться построить погранслой у каждого из концов. Если он там строится, т.е. существует решение ведущее себя нужным образом, то он там и есть.

2. Вместо переменной (12.10) имеет смысл пробовать более общий вид

=
Параметр

x . ч

(12.21)

ч

подбирается таким образом, чтобы уравнение для внутреннего

решения допускало решения в виде погранслоя.


Гл. 2

13. Задачи к зачету

84

13. Задачи к зачету
ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 1. Оценить интеграл при

1 I () =
-1

ex dx 1 - x2

2. Оценить интеграл при

1 I ( ) =
-1

e

-x

1 - x2 dx

3. Построить асимптотику функции ошибок

2 Erfc(z ) =

e
z

-t

2

dt z
.

при больших действительных отрицательных

4. Функция Эйри

Ai(z )

определяется интегралом

1 Ai(z ) =

cos(t3 /3 + z t)dt
0

Найти ее асимптотики при больших положительных и больших отрицательных

z

.

5. Функция Эйри

Bi(z )

определяется интегралом

1 Bi(z ) =

[exp(-t3 /3 + z t) + sin(t3 /3 + z t)]dt
0

Найти ее асимптотики при больших положительных и больших отрицательных

z

.


Гл. 2

13. Задачи к зачету

85

6. Найти поправку к собственной частоте колебаний для нелинейного осциллятора, описываемого уравнением

u + u + u5 = 0 Е
при малом

.

7. Записать укороченное уравнение и описать поведение системы, описываемой уравнением

u + u + sign(u) = 0, Е { 1, x > 0, sign(x) = -1, x < 0
при малом

.

8. Записать укороченное уравнение и описать поведение системы, описываемой уравнением

u + u + sign(u) = 0, Е { 1, x > 0, sign(x) = -1, x < 0
при малом

.

9. Вывести и решить укороченные уравнения для системы, описываемой
уравнением

u + u + (u)3 = 0 Е
при малом

.

10. Вывести и решить укороченные уравнения для системы, описываемой
уравнением

u + u + u u4 = 0 Е
при малом

.

11. Вывести укороченные уравнения и найти поправку к собственной частоте
для системы, описываемой уравнением

u + u + (u)2 u = 0 Е
при малом

.


Гл. 2

13. Задачи к зачету

86

12. Исследовать особые точки уравнения (определить тип особых точек и найти показатели) для уравнения

( (1 - z )u - 2z u + ( + 1) -
2
относительно функции

ч2 1-z

)
2

u = 0.

u(z )

.

13. Решить краевую задачу для уравнения

y + y = 1
на отрезке

x [0, 1]

с граничными условиями

y (0) = ,
Здесь

y (1) = .



малый параметр.

14. Решить краевую задачу для уравнения

y + y = x
на отрезке

x [0, 1]

с граничными условиями

y (0) = ,
Здесь

y (1) = .



малый параметр.

15. Рассматривается двумерная задача в плоскости

(x, z )

. Плоская волна вида

eik

z

падает снизу на линзу широкой апертуры. В результате за линзой на

линии

z = +0

формируется поле

uin = exp{-ik x2 /F }.
Здесь

F

фокусное расстояние.

k

большой положительный параметр.

Поле при

z>0

вычисляется с помощью приближенной формулы

u(X, Z ) = A
-

eikr uin (x, +0) dx, kr (X , Z )
до вторичного источника

r (x, +0).
где

расстояние от точки наблюдения

Построить асимптотики поля на оси линзы (при

X=0

) до фокуса (при

Z
) и после фокуса (при

Z>F

). На сколько изменяется фаза волны

при прохождении фокуса?


Гл. 2

13. Задачи к зачету

87

16. Рассматривается трехмерная задача в пространстве
на вида

(x, y , z ).

Плоская вол-

e

ikz

падает снизу на линзу широкой апертуры. В результате за

линзой на линии

z = +0

формируется поле

uin = exp{-ik (x2 + y 2 )/F }.
Здесь

F

фокусное расстояние.

k

большой положительный параметр.

Поле при

z>0

вычисляется с помощью приближенной формулы

u(X, Y , Z ) = A
-
где

eikr uin (x, y , +0) dx, dy kr (X , Y , Z )
до вторичного источ-

r

расстояние от точки наблюдения

ника

(x, y , +0).
z (X,Y,Z) r y (x,y,0) x

u

in

Рис. 13.1: Прохождение волны через линзу Построить асимптотики поля на оси линзы (при (при

X = 0, Y = 0

) до фокуса

Z
) и после фокуса (при

Z>F

). На сколько изменяется фаза

волны при прохождении фокуса?

17. Решить краевую задачу для уравнения

y + iy = 1,
на отрезке

y = y (x)

x [-1, 1]

с граничными условиями

y (-1) = y (1) = 0.
Здесь



малый положительный параметр.

18. Оценить значение интеграла

2 I () =
-1
при больших положительных

cos( cos x)dx



.


Гл. 2

13. Задачи к зачету

88

19. Функция Бесселя задается интегралом

J (z ) =

Контур интегрирования показан на Рис. 13.2. Выписать асимптотику функции Бесселя при фиксированном

exp{z cos t + i (t - /2)}dt.



и большом положительном

z

.

Im[t]

G 0 p Re[t]

Рис. 13.2: Контур интегрирования для функции Бесселя

20. Волновод занимает область
уравнением

выполняется условие Неймана

y > 0 на плоскости (x, y ). На границе y = 0 u/ y = 0. Поле в волноводе описывается

2u 2u + + k 2 (1 - y )u = 0 x2 y 2
Здесь

k

большой параметр, а



ние. Волноводные моды имеют вид номером

фиксированное положительное значеu(x, y ) = eik x w(y ), где постоянная

распространения. Найти приближенно значение

n

для моды с большим

n

. Указание: свести задачу к исследованию поведения функции

Эйри и воспользоваться асимптотикой

2 sin( 3 z 3/2 + /4) 1/4 Ai(-z ) = . z


Литература
1. 2. 3. А. Найфэ Ф. Олвер

Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984, 532 с. Асимптотика и специальные функции. М.: Наука, 1990, 528 с. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных

В. А. Фок

волн. М.: Издательство ЛКИ, 2010, 520 с.