Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/Sites/demosite/Uploads/matan80mexmat.9404E9D424AD463DB1FEBDD3A3D7589B.pdf Дата изменения: Thu Apr 17 15:40:43 2014 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:56:00 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: принцип д'аламбера

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ
Том IX Математика Выпуск 2 К 80-летию механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова. Исследования по математическому анализу

Издательство Московского университета 2014 год


УДК 517; 51(06) ББК 22

К 80-летию механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова. Исследования по математическому анализу./ Под

редакцией Т. П. Лукашенко, Т. В. Родионова. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2014. 64 с.

Выпуск посвящается 80-летию механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова

ISBN 9785211056527

c Механико-математический факультет МГУ, 2014 г.


Гаврилов В. И., Субботин А. В.

Дополнение к многомерной теореме Хинчина Островского

Дополнение к многомерной теореме Хинчина Островского и приложения
Гаврилов В. И.1 , Субботин А. В.
2

В одномерной теории граничных свойств аналитических функций хорошо известна теорема Хинчина Островского в усиленной форме, предложенной Г. Ц. Тумаркиным. Ранее авторами и Ж. Павичевичем был получен е? многомерный аналог. Другое усиление одномерной теоремы Хинчина Островского также принадлежит Г. Ц. Тумаркину. Е? многомерный аналог является основным результатом настоящей работы. Затем эта теорема используется для усиления некоторых более ранних результатов авторов, а также для получения полной характеризации компактных подмножеств одного пространства голоморфных функций нескольких комплексных переменных.

1 Введение
Пусть n N и Cn = {z = (z1 , . . . zn ) | zk C, 1 k n} обычное n-мерное комплексное координатное пространство. Символом G обозначим шар Bn = {z Cn | |z1 |2 + . . . + |zn |2 < 1} или поликруг U n = {z Cn | |zk | < 1, 1 k n} в Cn , а символом границу Шилова Бергмана области G; в случае G = Bn имеем = Sn = {z Cn | |z1 |2 + . . . + |zn |2 = 1}, и в случае G = U n имеем = T n = {z Cn | |zk | = 1, 1 k n}. На существует естественная инвариантная вероятностная мера, обозначаемая обычно (d ), , совпадающая с нормированной площадью на сфере Sn в случае = Sn и представляющая собой прямое произведение нормированных мер Лебега на единичных окружностях, образующих в декартовом произведении тор T n , в случае = T n . Символ |z | для z Cn обозначает евклидову норму |z | = |z1 |2 + . . . + |zn |2 , если G = Bn , и поликруговую норму |z | = max |zk |, если G = U n . Для произвольных и > 1 множества D ( ) = {z Bn | |1 - z , | < (1 - |z |)}, > 1, где z , w обозначает обычное эрмитово скалярное произведение в Cn , называют допустимыми областями по Кораньи в Bn . В случае поликруга U n для = (1 , . . . n ) T n и > 1 под допустимыми областями понимают множества D ( ) = {z D (1 ) Ч . . . Ч D (n ) | 1/ < (1 - |zk |)/(1 - |zl |) < , 1 k , l n}. В одномерном случае, когда n = 1, имеем G = Bn = U n = U = {z C | |z | < 1}, |d | , T. = Sn = T n = T = {z C | |z | = 1}, (d ) = 2
Гаврилов Валериан Иванович, профессор, кафедра математического анализа, механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. Субботин Алексей Владимирович, awsubb otin@mail.ru, старший научный сотрудник, РКК Энергия имени С. П. Корол?ва

1kn

3


Соврем. проблемы математики и механики. Том IX, вып. 2. Исследования по математическому анализу

Функция f , голоморфная в области G и удовлетворяющая условию sup ln+ |f (r )| (d ) < +,
0 r <1

в котором ln+ a при a > 0 обозначает max(ln a, 0) и ln+ 0 = 0, называется функцией ограниченного вида в области G; множество всех функций ограниченного вида обозначается N (G) и называется классом Островского Неванлинны в области G. Известно (см. [4] и [5]), что каждая функция f (z ) ограниченного вида обладает почти во всех точках конечными пределами f ( ), когда z стремится к , оставаясь в областях D ( ), > 1, которые называют допустимыми граничными значениями функции f в точках и которые определяют на граничную функцию f . В работе [3] была установлена следующая теорема, являющаяся многомерным вариантом известной теоремы А. Я. Хинчина А. Островского.

Теорема A. Пусть последовательность (fk ) голоморфных функций в области G удовлетворяет условию


ln+ |fk (r )| (d )

C < +,

k N,

0

r < 1,

(1)

( ) с некоторой постоянной C 0, и, кроме того, последовательность fk граничных функций для (fk ) сходится по мере на некотором множестве E положительной меры на . Тогда последовательность (fk ) сходится равномерно на любом компакте из G к неко торой функции f класса N (G), причем граничные функции (fk ) сходятся по мере на множестве E к граничной функции f для предельной функции f .
Эта теорема допускает следующее дополнение.

Теорема 1. Пусть (fk ) последовательность функций класса N (G) удовлетворяет

условиям теоремы A. Тогда в (fk ) существует подпоследовательность (fks ), обладающая свойством: для любого > 0 и любого > 1 в множестве E найд ется (замкнутое) подмножество E, , мера которого отличается от меры E меньше, чем на , и (fks ) сходится равномерно в области G, , образованной объединением допустимых областей D ( ) по всем E, .

Замечание. В одномерном случае (n = 1) утверждение теоремы 1 установлено
Г. Ц. Тумаркиным в [2].

2 Доказательство теоремы 1
В доказательстве теоремы 1 используем две леммы; первая содержится в [3], вторая служит многомерным аналогом соответствующей леммы из [2].

Лемма 1 ([3]). Пусть последовательность (fk ) удовлетворяет условиям теоремы 1 и
N для натурального N > 1 ограниченная голоморфная в G функция FE (z ) обладает свойствами: N а) |(FE ) ( )| = N почти всюду на некоторой окрестности V множества E ;

4


Гаврилов В. И., Субботин А. В.

Дополнение к многомерной теореме Хинчина Островского

N б) |(FE ) ( )| = 1 почти всюду на дополнении V к ; и

в) (V \ E ) < 1/(3 ln N ).

Тогда существует постоянная C1 , зависящая только от постоянной C из условия (1), и такое натуральное K (N ), что оценка N ln+ FE (r )[fk (r ) - fl (r )] (d ) C1 (2)


справедлива для всех k , l

K (N ) и всех 0

r < 1.

Лемма 2. Для любых 0 < q < 1 и > 1 существует такая конечная постоянная Aq, , что для любой голоморфной функции f в области G выполнена оценка [ ]q
lnq M f ( ) (d ) +


Aq

,

sup
0 r <1

ln+ |f (r )| (d ) ,

(3)

где M f ( ) обозначает допустимую максимальную функцию для функции f в точке , определяемую равенством

M f ( ) = sup |f (z )|,
z D ( )

.

(4)

В свою очередь доказательство леммы 2 использует следующее утверждение.

Лемма 3. Если оператор T действует из пространства конечных счетноаддитивных

мер на некотором измеримом пространстве (X, B) в пространство неотрицательных измеримых функций на том же пространстве с некоторой конечной неотрицательной счетноаддитивной мерой и T имеет оценку слабого типа (1, 1), то для любого 0 < q < 1 существует конечная постоянная Aq , зависящая только от 0 < q < 1, полной вариации меры и от постоянной из слабой оценки, что неравенство ( )q Tч(x) (dx) Aq чq (5)
X

справедливо для любой конечной счетноаддитивной меры ч, где ч обозначает полную вариацию меры ч. Доказательство леммы 3. Оценка слабого типа (1, 1) означает существование конечной постоянной A 0, с которой неравенство {Tч(x) > t} Aч/t, t > 0, выполнено для любой конечной счетноаддитивной меры ч на X . Воспользуемся тем, что для любой измеримой на X функции f справедливо

|f (x)| (dx) =
X

{|f (x)| > t} dt.
0

Тогда

[Tч(x)]q (dx) =
X

{[Tч(x)]q > t} dt =
0

{Tч(x) > t
0 1/q

} dt.

5


Соврем. проблемы математики и механики. Том IX, вып. 2. Исследования по математическому анализу

Разобьем последний интеграл на две части: от 0 до некоторого a > 0 и от a до +. На первом участке имеем тривиальную оценку a X , а на втором воспользуемся оценкой оператора T слабого типа (1, 1):

{Tч(x) > t
0 1/q

} dt a X + Aч
a

dt Aчa1-1/q = a X + , t1/q 1/q - 1

где используется 0 < q < 1, так что последний интеграл сходится. Приравнивая последние ( )q Aч два слагаемых друг другу, получаем a = , и, следовательно, оценка (5) (1/q - 1) X 2Aq имеет место с постоянной Aq = (не являющейся, разумеется, наилучшей (1/q - 1)q q-1 X возможной).

Доказательство леммы 2. В случае, когда правая часть (3) бесконечна, утверждение леммы очевидно. Предположим, что правая часть неравенства (3) конечна. В этом случае, как показано в [4, теорема 5.6.4] и [6, теорема 3.3.5], функция ln+ |f (z )| имеет соответственно M-гармоническую (для шара) или n-гармоническую (для поликруга) мажоранту в области G, и наименьшая такая мажоранта представляется в виде интеграла Пуассона umin (z ) = P (z , ) ч(d )


по некоторой конечной неотрицательной борелевской мере ч на , где P (z , ), z G, инвариантное ядро Пуассона в области G и полная вариация меры ч совпадает с наименьшей верхней гранью в правой части (3). В случае поликруга уже сейчас к неравенству ln+ |f (z )| umin (z ), z G, можно применить максимальный оператор (4) и воспользоваться теоремой 4 из [7], что завершит доказательство леммы. В случае шара применим в неравенстве ln+ |f (z )| umin (z ), z G, к левой и правой частям допустимый максимальный оператор (4) и оценим допустимую максимальную функцию интеграла Пуассона, которым представлена функция umin , через граничную максимальную функцию меры ч (см. [4, теорема 5.4.5]). Получим

ln+ M f ( )

K M ч( ), ,

где M обозначает граничный максимальный оператор, действующий на пространстве конечных борелевских мер на Sn , и K конечная постоянная, зависящая только от и n. Так как граничный максимальный оператор обладает оценкой слабого типа (1, 1) (см. [4, теорема 5.2.4]), то возводя полученное неравенство в степень q , 0 < q < 1, и используя доказанное выше неравенство (5), находим q q q q ln+ M f ( ) (d ) K M ч( ) (d ) K Aq чq .


Учитывая связь между ч и точной верхней гранью в (3), получаем отсюда искомое q неравенство (3) с постоянной Aq, = K Aq .

Доказательство теоремы 1. Для любого числа N > 1 рассмотрим ограниченную голоN морфную функцию FE в области G, удовлетворяющую условиям леммы 1 (такая функция
6


Гаврилов В. И., Субботин А. В.

Дополнение к многомерной теореме Хинчина Островского

существует согласно [4, теорема 19.1.14] и [6, теорема 3.5.3]). По лемме 1 существует конечная постоянная C1 , зависящая только от постоянной C из условия (1) и не зависящая от N > 1, что выполнено неравенство (2). Из него, как следует из леммы 2, вытекает оценка q N lnq M [FE (fk - fl )]( ) (d ) Aq, C1 , k , l K (N ), (6) +


где Aq, конечная постоянная, не зависящая от N > 1, и M допустимый максимальный оператор, определяемый равенством (4). N Так как |FE (z )| N при D ( ) z для почти всех E , то по теореме Д. Ф. Егорова существует замкнутое множество EN E , мера которого отличается от N меры E меньше, чем на 1/N , и некоторое r0 , 0 r0 < 1, что |FE (z )| N/2, когда z D ( ), |z | > r0 , EN . Из оценки (6) поэтому следует, что ( ) q q N N M (r0 ) (f - f )( ) (d ) ln+ lnq M [FE (fk - fl )]( ) (d ) Aq, C1 (7) k l + 2
E
N

EN

для всех k , l

K (N ), где символом M
( (Mr0 ) g )( ) =

(r0 )

обозначен ?урезанный? максимальный оператор

z D ( ) |z |>r0

sup |g (z )|,

,

g CG .

Так как последовательность (fk ) сходится равномерно на множестве |z | r0 (теорема 1 из [3], т. е. теорема A настоящей статьи), то существует номер K1 (N ) N, начиная с которого для всех k , l выполнено N |fk (z ) - fl (z )| < 1 при |z | r0 , откуда 2 ) ) ( ( N M (r0 ) (f - f )( ) = ln N M (f - f )( ) ln+ k l + l 2 2 k для всех . Следовательно, неравенство (7) останется справедливым при замене M 0 на M , начиная, возможно, с некоторого большего, чем K (N ), номера K2 (N ). Итак, для любого N > 1 существует такой номер K2 (N ) N и такое замкнутое множество EN E , (E \ EN ) < 1 , что N ( ) q N M (f - f )( ) (d ) A C q C , k , l K (N ), ln+ l q , 1 2 2 2 k
E
N

(r )

с конечной постоянной C2 , не зависящей от N . Стандартными теоретикофункциональными рассуждениями отсюда выводится существование искомой подпоследовательности. Действительно, пусть N пробегает последовательные двойные степени двойки Ns = s 22 , s = 1, 2, . . .. Согласно доказанному выше, существует последовательность K2 (Ns ) N, которую можно считать возрастающей, и последовательность замкнутых множеств ENs E , (E \ ENs ) < 1 , для которых Ns ( ) Ns q ln+ M (f - fl )( ) (d ) C2 , k , l K2 (Ns ). (8) 2 k
EN
s

7


Соврем. проблемы математики и механики. Том IX, вып. 2. Исследования по математическому анализу

Обозначим K2 (Ns ) = ks и докажем, что подпоследовательность (fks ) искомая. 1 1 Так как (E \ ENs ) (E \ ENs ) < 2s и ряд 2s сходится, то существует s=s0 s=s0 s=s0 2 s=1 2 номер s0 , для которого мера множества Es0 = ENs отличается от меры всего множества

E меньше, чем на /2. Далее, согласно неравенству Чебыш и оценке (8), имеем ева { } C2 Ns M (fks+1 - fks ) > Ns или q 2 ln+ Ns { 2q C2 2} M (fks+1 - fks ) > 2s-1 при s N, s s0 , 2qs lnq 2 2

s s0

(9)

где фигурные скобки обозначают множество тех точек множества Es0 , для которых выполнено написанное в скобках неравенство. Кроме того, в силу неравенства треугольника справедливо теоретико-множественное включение
t-1 { 2 } t-1{ M ( fk t - fk s ) > M (f 22l-1 l=s l=s k
l+1

- fk l ) >

2} 2
2l-
1

при t > s, откуда следует
t-1 { 2 } { M (f M (fkt - fks ) > 22l-1 t>s l =s l =s k
l+1

2} - fkl ) > 2l-1 . 2

(10)

На основании (9) и (10), для любого 0 N, 0
t- 1 { 2} M (fkt - fks ) > 22l-1 s t>s l =s
0

s0 , получаем - fk l ) > 2} 2
2l-
1

{ M (f s=0 l=s

k

l+1

2q C2 2q C2 l - 0 + 1 =q 2ql lnq 2 ln 2 l= 2ql s= l=s
0 0

2q C2 l . (11) lnq 2 l= 2ql
0

В силу сходимости ряда сумма в (11) меньше

l q l можно найти номер 0 N, 0 l=1 2

s0 , для которого последняя

. Обозначая дополнение к множеству в левой части (11) через F0 , 2 видим, что мера множества E, = F0 отличается от меры множества E меньше, чем на + = , прич множества Es0 и F0 , замкнуты, как пересечения замкнутых множеств и ем 22 в силу полунепрерывности снизу функций M (fkt - fks ), t, s N. При этом на множестве E, выполнены следующие два свойства: 1) все точки E, лежат в ENs при всех s s0 (так что выполнены все неравенства (9)); и 2) для всех точек E, и любых t > s 0 имеет t-1 2 место неравенство M (fkt -fks ) . Выбирая для любого > 0 такое 1 = 1 ( ) N, 2l-1 l =s 2 t-1 2 1 0 , что < при t > s 1 , получаем справедливые для всех E, и всех 2l-1 l=s 2 t > s 1 неравенства M (fkt - fks ) < , которые означают равномерную сходимость на E, функций M (fkt - fks ) к нулю при t, s . Привед енное рассуждение годится для доказательства равномерной сходимости неко торой подпоследовательности в областях вида D ( ) с фиксированным > 1 и
E,

8


Гаврилов В. И., Субботин А. В.

Дополнение к многомерной теореме Хинчина Островского

множествами E, , (E \ E, ) < , для любого > 0; но нетрудно видеть, применяя диагональный процесс Кантора, что такую подпоследовательность можно выбрать одну и ту же одновременно для всех > 1.

3 Количественное уточнение теоремы 1
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда для любых 0 < q < 1 и > 1
( ) lnq 1 + M (fk - fl )( ) (d ) 0 при k , l .

E

Замечание. В случае q = 1 сходимость может уже не иметь места, даже если допу-

стимую максимальную функцию M (fk - fl )( ) заменить модулем разности допустимых граничных значений |fk ( ) - fl ( )|, . Для примера следует взять любую функцию f из класса ОстровскогоНеванлинны N (G), не входящую в класс Смирнова N (G) (см. [4, гл. 19] и [6]), и рассмотреть последовательность fk (z ) = f (rk z ), z G, с какой-нибудь положительной монотонно возрастающей к единице последовательностью (rk ).

Доказательство теоремы 2. Действительно, если это не так, то существует такая подпоследовательность (fks ), такие q , 0 < q < 1, > 1 и число > 0, что ( ) lnq 1 + M (fkt - fks )( ) (d ) , t = s.
E

По теореме 1 из (fks ) можно выделить ещ одну подпоследовательность, которую обознае чим так же, что M (fkt - fks ) 0 при t, s почти всюду на E . Кроме того, из условия теоремы и леммы 2 следует, что (12) lnq M fks ( ) (d ) Aq , C q , s N, +


для любого q , 0 < q < 1, и конечной постоянной Aq , 0, зависящей только от q и (а также от n). Выберем q так, чтобы q < q < 1. Тогда из оценок (12) следует, что семейство функций {lnq M fks }sN имеет равностепенно абсолютно непрерывные интегралы на , а + ( ) ( ) вместе с ним и семейство {lnq 1 + M (fkt - fks ) }t,sN , поскольку lnq 1 + M (fkt - fks ) 22q (2 lnq 2 + lnq M fkt + lnq M fks ), t, s N. Согласно общей предельной теореме отсюда + + следует ( ) lnq 1 + M (fkt - fks )( ) (d ) 0 при t, s ,
E

что противоречит выбору подпоследовательности (fks ).

Следствие. Если в условиях теоремы 1 последовательность (fk ) сходится к функции
f в области G, то lnq (1 + M (fk - f )( )) (d ) 0
E

при k

для любых 0 < q < 1 и > 1.
9


Соврем. проблемы математики и механики. Том IX, вып. 2. Исследования по математическому анализу

Полученному следствию можно придать следующий метрический смысл. Для любого множества E положительной меры на и любых 0 < q < 1, > 1 выражения q,,E (f , g ) = lnq (1 + M (f - g )( )) (d ), f , g N (G),
E

задают метрики в пространстве N (G). Доказанное следствие поэтому означает сходимость последовательности (fk ) к предельной функции f по метрикам q,,E для каждых 0 < q < 1, > 1.

Замечание. Теорема 2 является одновременно и уточнением, и усилением многомерных

теорем 1 и 2 из [3] и теоремы 1 настоящей статьи. Она является новой и в одномерном случае n = 1.

4 Характеристика компактных множеств пространства M (G)
В качестве другого приложения основной теоремы 1 получим критерий компактности множеств в некотором пространстве голоморфных функций в G. Для этого понадобятся такие вспомогательные определения и обозначения. Скажем, что функция f , голоморфная в G, принадлежит классу M q (G), q > 0, если lnq M f ( ) (d ) < +, +


где (M f )( ) = sup |f (r )|, радиальная максимальная функция для функции f . Полагая q = 1, получаем многомерный класс M 1 (G) M (G), введ енный и изученный в одномерном случае Х. О. Кимом в [8]. Некоторые проблемы граничного поведения функций классов M q (Bn ) рассматривались в [9] и [10], а функциональные свойства в [11]. Естественная метрика в классе M (G) имеет вид (f , g ) = ln(1 + M (f - g )( )) (d ), f , g M (G),
0 r <1

и можно доказать (случай шара см. в [11]), что M (G) представляет собой F -алгебру относительно этой метрики; другими словами, метрика инвариантна, полна и операция умножения непрерывна в метрике . Так как |f (r )| M f ( ), 0 r < 1, , то M (G) содержится в N (G), поэтому каждая функция f M (G) обладает конечными допустимыми граничными пределами f ( ) почти всюду на . Следующая ниже теорема да необходимые и достаточные услоет вия относительной компактности множества в M (G) в терминах допустимых граничных функций f ( ), .

тогда, когда для него выполнены следующие два условия:
1) семейство функций {ln+ Mf ( ), } рывные интегралы на ; и 2) семейство функций {f ( ), } сходимости по мере.
f L f L

Теорема 3. Множество L вполне ограничено в пространстве M (G) тогда и только
имеет равностепенно абсолютно непре-

относительно компактно на в топологии

10


Гаврилов В. И., Субботин А. В.

Дополнение к многомерной теореме Хинчина Островского

Доказательство. Необходимость. 1) Так как из полной ограниченности множества в линейно-топологическом пространстве (каковым является всякая F -алгебра) следует его ограниченность (в линейно-топологическом смысле), то для любого > 0 существует такое 0 > 0, что из f L и || 0 , C, вытекает (f , 0) < . Используя неравенство 2 ln(1 + xy ) ln(1 + x) + ln(1 + y ), x, y 0, получим отсюда для произвольного измеримого множества E ( 1) ln(1 + M f ( )) (d ) ln 1 + (d ) + ln(1 + 0 M f ( )) (d ) 0 E E E ( ) ( 1 1) ln 1 + E + (0 f , 0) < E ln 1 + + при f L. 0 0 2 ( 1) Выбирая > 0 так, чтобы ln 1 + = , при E < находим 0 2 ln(1 + Mf ( )) (d ) < + = , f L, 22
E

что и означает равностепенную абсолютную непрерывность интегралов семейства функций {ln(1 + Mf ( )), }f L , а значит, и семейства {ln+ Mf ( ), }f L , так как ln+ M f ( ) ln(1 + M f ( )), . 2) Теперь воспользуемся тем, что полная ограниченность множества в полном метрическом пространстве равносильна относительной секвенциальной компактности, т. е. тому, что из любой последовательности элементов этого множества можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Пусть (fk ( )) произвольная последовательность семейства функций {f ( ), }f L . Так как множество L относительно компактно в M (G), то существует подпоследовательность (fks ) последовательности (fk ) L, сходящаяся к некоторой функции f M (G). Так как |fks ( ) - f ( )| M (fks - f )( ) почти всюду на , то ln(1 + |fks ( ) - f ( )|) (d ) ln(1 + M (fks - f )( )) (d ) =


= (fks , f ) 0 при s .
Следовательно, подпоследовательность (fks ( )) последовательности (fk ( )) сходится на к f ( ) в среднем логарифмическом, а значит, согласно неравенству Чебыш ева, и по мере. Достаточность. Покажем, что из любой последовательности функций L можно выделить фундаментальную подпоследовательность, что и будет означать полную ограниченность множества L. Действительно, пусть (fk ) L. Тогда, согласно условию 2), из (fk ( ) можно выделить подпоследовательность (fks ( )), сходящуюся по мере. Из условия 1) следует, что множество L имеет равномерно ограниченные характеристики, то-есть ln+ |f (r )| (d ) C < +, f L, 0 r < 1. (13)

(В самом деле, выберем, согласно 1), для = 1 такое > 0, что для любого измеримого множества E с мерой E < выполнено ln+ Mf ( ) (d ) < = 1, f L. Разбивая
E

11


Соврем. проблемы математики и механики. Том IX, вып. 2. Исследования по математическому анализу

на N равных по мере частей E1 , . . . EN , так что El = ln+ Mf ( ) (d ) =
N l=1 E

1 < , имеем N f L.

ln+ Mf ( ) (d ) < N ,

l

Так как |f (r )| Mf ( ), 0 r < 1, то отсюда и следует (13) с постоянной C = N .) Поэтому для последовательности (fks ) выполнены все условия теоремы 1, так что для некоторой подпоследовательности последовательности (fks ), которую обозначим так же, M (fks - fkt ) 0 при t, s почти всюду на . Кроме того, согласно неравенству ln(1 + M (fkt - fks )) 2 ln 2 + ln+ M fkt + ln+ M fks и условию 1), двойная последовательность ln(1 + M (fkt - fks )), t, s N, имеет равностепенно абсолютно непрерывные интегралы на . По общей предельной теореме (fkt , fks ) = ln(1 + M (fkt - fks )( )) (d ) 0 при t, s ,


то-есть, подпоследовательность (fks ) фундаментальна по метрике . Отметим, что основная часть результатов настоящей статьи анонсирована в [12] и включена в монографию [13].

Список литературы
[1] Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций. Москва Ленинград, ГИТТЛ, 1950. [2] Тумаркин Г. Ц. О равномерной сходимости некоторых последовательностей функций // Доклады Академии Наук СССР, 1955, т. 105, 6, с. 11511154. [3] Гаврилов В. И., Павичевич Ж., Субботин А. В. Многомерная теорема Хинчина Островского // Math. Montisnigri, 2003, v. XVI, p. 311. [4] Рудин У. Теория функций в единичном шаре из Cn . Москва, Мир, 1984. [5] Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. II. Москва, Мир, 1965. [6] Рудин У. Теория функций в поликруге. Москва, Мир, 1974. [7] Zygmund A. On the summability of multiple Fourier series // Amer. J. Math., 1947, v. 69, 4, p. 836850. [8] Kim H. O. On an F -algebra of holomorphic functions // Can. J. Math., 1988, v. 40, 3, p. 718741. [9] Kim H. O., Park Y. Y. Maximal functions of plurisubharmonic function // Tsukuba J. Math., 1992, v. 16, 1, p. 1118. [10] Choe B. R., Kim H. O. On the boundary behavior of functions holomorphic on the ball // Complex Variables, 1992, v. 20, p. 5361. [11] Гаврилов В. И., Субботин А. В. F -алгебры голоморфных функций в шаре, содержащие класс Неванлинны // Math. Montisnigri, 2000, v. XII, p. 1731. [12] Гаврилов В. И., Субботин А. В. Максимальный вариант многомерной теоремы Хинчина Островского и приложения // Доклады Академии Наук, 2005, т. 405, 2, с. 158 160. [13] Гаврилов В. И., Субботин А. В., Ефимов Д. А. Граничные свойства аналитических функций (дальнейший вклад). Москва, изд-во Московского университета, 2013. 12


Галатенко В. В., Лукашенко Т. П., Садовничий В. А.

Орторекурсивные разложения

Орторекурсивные разложения


4

Галатенко В. В.2 , Лукашенко Т. П.3 , Садовничий В. А.

Орторекурсивные разложения являются естественным обобщением классических разложений в ряды Фурье по ортогональным системам, обладая такими свойствами, как тождество Бесселя, неравенство Бесселя, эквивалентность сходимости к разлагаемому элементу равенству Парсеваля. При этом орторекурсивные разложения накладывают существенно менее ж?сткие ограничения на системы, по которым осуществляется разложение, а в случае разложения по сильно переполненным системам дополнительно обеспечивают абсолютную устойчивость к широкому классу вычислительных ошибок. В обзоре приводятся определение орторекурсивных разложений по системе элементов гильбертова пространства и более общее определение орторекурсивных разложений по системам подпространств, рассматриваются общие свойства орторекурсивных разложений, а также свойства орторекурсивных разложений по некоторым функциональным системам.

1 Введение
Теория ортогональных рядов (рядов Фурье) является классическим направлением математических исследований: появление этой теории восходит к работам о распространении тепла в тв?рдом теле, созданным Ж. Б. Ж. Фурье в начала XIX века, при этом предпосылки к изучению ортогональных рядов были заложены ещ? в XVIII веке, в частности, работами Л. Эйлера и Ж. Л. Д'Аламбера о колебании струны. Впоследствии изучение вопросов, связанных именно с ортогональными рядами, привело к созданию теории интегрирования Римана, теории множеств Кантора, теории приближений и других областей математики. В настоящее время существует большое количество монографий, посвящ?нных как общей теории ортогональных рядов (например, [1], [2]), так и теории рядов Фурье по конкретным функциональным системам (например, [3][5]).
Работа выполнена в рамках проекта Разработка методов и алгоритмов индивидуального генотипирования по набору ридов без осуществления полной сборки генома (ГК 14.514.11.4025) при поддержке Президента РФ (гранты НШ-6406.2012.1, НШ-3682.2014.1), Правительства РФ (ГК 11.G34.31.0054, ГК 02.G25.31.0030), и РФФИ (проекты 11-01-00476, 14-01-00417). Галатенко Владимир Владимирович, vgalat@msu.ru, доцент, кафедра математического анализа, механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. ханико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова.

! Лукашенко Тарас Павлович, lukashenko@mail.ru, профессор, кафедра математического анализа, ме" Садовничий Виктор Антонович, академик РАН, заведующий кафедрой математического анализа,

механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова.

13


Соврем. проблемы математики и механики. Том IX, вып. 2. Исследования по математическому анализу

В последние десятилетия сфера приложений аппарата ортогональных рядов существенно расширилась, что связано, прежде всего, с быстрым развитием вычислительной техники и активным использованием аппарата ортогональных рядов в алгоритмах обработки и анализа различных данных (изображения, аудиофрагменты, медицинские сигналы и др.). К свойствам, обеспечившим возможность эффективного использования рядов Фурье в приложениях, можно отнести простоту вычисления коэффициентов, возможность быстрой оценки погрешности (тождество Бесселя), свойство оперативности (online-свойство, заключающееся в возможности уточнения приближения за счет дальнейшего разложения без пересчета уже вычисленных коэффициентов). Однако ортогональные ряды обладают и рядом свойств, являющихся с точки зрения большинства приложений нежелательными. К числу таких свойств можно отнести крайнюю жесткость условия ортогональности, значительно сужающего класс систем, по которым можно осуществлять разложение, а также недостаточную устойчивость к вычислительным ошибкам, связанную с минимальностью ортогональных систем (в частности, ошибка в вычислении хотя бы одного коэффициента разложения приводит к тому, что полученный ряд уже не сойдется к разлагаемому элементу). Орторекурсивные разложения представляют собой аппарат, обобщающий классические разложения в ряды Фурье по ортогональным системам, предоставляющий б?льшую o свободу в выборе системы, по которой осуществляется разложение, а также обеспечивающий для многих систем абсолютную устойчивость разложения: разложение сходится в точности к разлагаемому элементу даже в случае возникновения вычислительных ошибок из определенного класса при вычислении всех коэффициентов разложения, при этом класс ошибок является достаточно широким (в частности, разрешены ошибки почти в два раза при вычислении всех коэффициентов). Определение орторекурсивных разложений было предложено Т. П. Лукашенко в 2000 году [6] (см. также [7]), и в настоящее времени существует уже множество работ, связанных с изучением общих свойств орторекурсивных разложений и орторекурсивных разложений по конкретным функциональным системам, а также с изучением дальнейших обобщений орторекурсивных разложений. Ниже в разделе Определение орторекурсивных разложений по системе элементов приводится стандартное определение орторекурсивных разложений и напоминаются их базовые свойства. В разделе Общие свойства орторекурсивных разложений обсуждаются условия на систему элементов пространства, гарантирующие сходимость орторекурсивных разложений по этой системе к разлагаемому элементу, а также вопросы устойчивости орторекурсивных разложений по переполненным системам к вычислительным ошибкам и к малым изменениям системы. В разделе Орторекурсивные разложения по некоторым функциональным системам обсуждаются свойства разложений по системе индикаторов, системе ФабераШаудера, системам сжатий и сдвигов фиксированной функции. В разделе Орторекурсивные разложения по системам подпространств рассматривается одно из обобщений орторекурсивных разложений по системам элементов, возникшее при изучении вопросов обработки медицинских тактильных образов. Для простоты изложения будет рассматриваться случай пространств со скалярным произведением над полем действительных чисел, но практически все результаты легко могут быть распространены и на случай пространств над комплексным полем. 14


Галатенко В. В., Лукашенко Т. П., Садовничий В. А.

Орторекурсивные разложения

2 Определение орторекурсивных разложений по системе элементов
Пусть H пространство со скалярным произведением над полем действительных чисел, {en }K=1 (K N {+}) система ненулевых элементов H , f произвольный элемент H . n Определим индуктивно последовательность остатков {rn (f )}K=0 и последовательность коn эффициентов {fn }K=1 : положим n r0 (f ) = f ; далее, если уже определен остаток rn (f ) (n < K ), положим

f

n+1

=

(rn (f ), en+1 ) , (en+1 , en+1 )
K

r

n+1

(f ) = rn (f ) - f

n+1 en+1

.

Определение. Ряд (сумма)
элемента f по системе {e

fn en называется орторекурсивным разложением (ОРР )

n=1 K n }n=1 .

Несложно видеть, что для любого натурального N , не превосходящего K , N -й остаток равен отклонению частичной суммы орторекурсивного разложения от разлагаемого N fn en . Таким образом, сходимость орторекурсивного разложения элемента: rN (f ) = f - к разлагаемому элементу (в случае K = ) эквивалентна сходимости к нулю при n остатков разложения rn (f ). Также легко установить, что для каждого натурального n (n < K ) имеет место равенство rn+1 (f )2 = rn (f )2 - |fn+1 |2 en+1 2 . Отсюда сразу вытекают такие свойства орторекурсивных разложений, как тождество Бесселя, неравенство Бесселя, эквивалентность сходимости к разлагаемому элементу и равенства Парсеваля (см. [7]): для каждого натурального N , не превосходящего K , имеет место равенство
n=1

f-
K n=1

N n=1

2

fn e

n

= f -
2

N n=1

|fn 2 en 2 ;

сумма

|fn |2 en 2 не превосходит f 2 ;
K n=1

равенство f =

fn en эквивалентно равенству

K n=1

|fn |2 en 2 = f 2 .

Кроме того, легко убедиться, что в случае ортогональной системы {en }K=1 орторекурn сивное разложение по ней совпадает с разложением в ряд Фурье по этой системе. В общем случае орторекурсивные разложения обеспечивают большую свободу в выборе систем, по которой осуществляется разложение. В частности, возможен выбор системы, учитывающий специфику разлагаемого элемента, как это делается, например, в жадных разложениях, когда элементы системы выбираются по мере осуществления самого разложения (см. [8], [9]). В данном обзоре будет рассматриваться случай, когда разложение всех элементов осуществляется, как и в случае классических разложений в ряды Фурье, по изначально зафиксированной единой для всех элементов системе. 15


Соврем. проблемы математики и механики. Том IX, вып. 2. Исследования по математическому анализу

Для учета вычислительных погрешностей, возникающих при практической реализации орторекурсивных разложений, полезной оказывается следующая модель, совпадающая в случае нулевых погрешностей с введенным орторекурсивным разложением. Пусть H пространство со скалярным произведением над полем действительных чисел, {en }K=1 (K N {+}) система ненулевых элементов H , f произвольный n элемент H . Пусть также {(n , n )}K=1 последовательность числовых пар. Определим n er индуктивно последовательность остатков {rn r (f )}K=0 и последовательность коэффициn er ентов {fn r }K=1 : положим n r0 (f )err = f ;
er далее, если уже определен остаток rn r (f ) (n < K ), положим er (rn r (f ), en+1 ) (1 + (en+1 , en+1 ) K n=1

f

err n+1

=

n+1

) + n+1 ,

r

err n+1

er (f ) = rn r (f ) - f

err n+1 en+1

.

Определение. Ряд (сумма)

f

err n en

называется орторекурсивным разложением элеK n=1

мента f по системе {en }K=1 с ошибками {(n , n )} n

.

Задание вычислительных погрешностей числовой парой (, ) является избыточным (например, любая погрешность может быть задана посредством своей абсолютной величины с = 0), однако такой способ оказывается удобным по следующей причине. Точные величины погрешностей в приложениях, разумеется, неизвестны, но имеется возможность добиваться посредством реализации определенных вычислительных схем гарантированного выполнения верхних оценок на погрешности, причем в некоторых ситуациях оценка связана с абсолютной, а в некоторых с относительной величиной погрешности. Задание погрешности парой (, ) позволяет одновременно рассматривать эти ситуации. Далее исключительно для упрощения вида формул будем всюду считать, что система {en }K=1 является нормированной, то есть что для всех натуральных n, не превосходяn щих K , норма элемента en равна 1.

3 Общие свойства орторекурсивных разложений
Критерий, связывающий сходимость ОРР и матрицу Грама системы
Как и в случае рядов Фурье, сходимость орторекурсивного разложения к разлагаемому элементу гарантируется лишь при использовании подходящей системы элементов {en }K=1 n (для ОРР, однако, класс таких систем является существенно более широким). А. В. Политовым был установлен критерий, связывающий гарантированную сходимость орторекурсивного разложения к разлагаемому элементу и матрицу Грама системы, по которой осуществляется разложение (см. [10]). Для формулировки критерия помимо самой матрицы Грама G нормированной системы {en }K=1 , состоящей из элементов gi,j = (ei , ej ), введем также матрицу L, получаюn щуюся из G обнулением элементов, лежащих выше главной диагонали (соответственно, G = L + LT - I , где I единичная матрица, а LT результат транспонирования матрицы L). Также введем матрицу C , в которой строка с номером m (m не превосходит K ) состоит из коэффициентов разложения элемента em по системе {en }K=1 : cm,k = (em )k (в n частности c1,1 = 1, c1,k = 0 при всех натуральных k , больших 1 и не превосходящих K ). Через L-1 обозначим единственную правостороннюю обратную матрицу для матрицы L (которая также является и левосторонней обратной). 16


Галатенко В. В., Лукашенко Т. П., Садовничий В. А.

Орторекурсивные разложения

Лемма 3.1. Матрицы G, L и C связаны следующим соотношением, позволяющим выразить последнюю матрицы через две первые: ( )T C = G L -1 .
в H . Тогда следующие условия эквивалентны:

Теорема 3.1. Пусть линейная оболочка нормированной системы {en }

K n=1

всюду плотна
K n=1

(i) орторекурсивное разложение каждого элемента f H по системе {en } дится к разлагаемому элементу; (ii) выполняется система равенств { G (L-1 G) = G; ( ) (C L) C T = C LC T .

схо-

В случае конечномерных пространств теорема допускает упрощение, связанное с заменой в утверждении (ii) системы равенств на первое равенство системы. Иными словами, в случае конечномерных пространств второе равенство системы (представляющее собой скорее техническое условие, связанное с отсутствием ассоциативности умножения бесконечных матриц) может быть исключено из формулировки. Возможность такого исключения в общем случае пока остается открытым вопросом.

Абсолютная устойчивость орторекурсивных разложений по переполненным системам
При осуществлении орторекурсивного разложения по минимальным системам элементов, такой, как ортогональная система, ошибка в вычислении хотя бы одного коэффициента, как и в случае рядов Фурье, приводит к тому, что результирующее разложение заведомо не будет сходиться к разлагаемому элементу. Однако многие счетные системы, по которым осуществляются орторекурсивные разложения (см., в частности, раздел Орторекурсивные разложения по некоторым функциональным системам), являются переполненными: для них легко устанавливается устойчивость орторекурсивных разложений к любому конечному числу ошибок в вычислении коэффициентов. Оказывается, что такая устойчивость автоматически гарантирует абсолютную устойчивость к существенно более широкому классу вычислительных погрешностей, включающему и малые изменения самой системы элементов, по которой осуществляется разложение (см. [11]). Для формулировки соответствующих результатов введем сначала некоторые обозначения. Через E0 обозначим множество всех финитных последовательностей числовых пар, то есть множество всех последовательностей {(n , n )} , для которых существует таn=1 кое значение N N, что для всех натуральных n, больших N , выполняются равенства n = n = 0. Через E1-,2 обозначим множество всех последовательностей {(n , n )} , n=1 2 для которых lim sup |n | < 1, |n | < . Будем говорить, что орторекурсивное разложение по системе {en } абсолютно n=1 устойчиво к любому конечному числу ошибок в вычислении коэффициентов, если для любого элемента f H и любой последовательности {(n , n )} , принадлежащей E0 , ортоn=1 err fn en элемента f по системе {en } с ошибками {(n , n )} рекурсивное разложение n=1 n=1 сходится к f .
n=1 n n=1

17


Соврем. проблемы математики и механики. Том IX, вып. 2. Исследования по математическому анализу

Легко видеть, что абсолютная устойчивость орторекурсивного разложения к любому конечному числу ошибок в вычислении коэффициентов эквивалентна следующему свойству: для любого элемента f H и любого натурального N орторекурсивное разложение элемента f по системе полученной из системы {en } удалением первых N элементов, n=1 сходится к f . Имеют место следующие теоремы.

Теорема 3.2. Пусть орторекурсивное разложение по нормированной системе {en }
абсолютно устойчиво Тогда оно абсолютно элемента f H , для err fn en разложение к f.
n=1

к любому конечному числу ошибок в вычислении коэффициентов. устойчиво и к ошибкам из класса E1-,2 , то есть для каждого любой последовательности {(n , n )} E1-,2 орторекурсивное n=1
n=1

n=1

элемента f по системе {en } с ошибками {(n , n )} n=1

сходится

Теорема 3.3. Пусть нормированные системы {en }
есть
n=1

n=1

и {e n }

n=1

квадратично близки, то

en - en 2 < . Кроме того, пусть орторекурсивное разложение по системе

{en } абсолютно устойчиво к любому конечному числу ошибок в вычислении коэфn=1 фициентов. Тогда орторекурсивное разложение по системе {en } также абсолютно n=1 устойчиво к любому конечному числу ошибок в вычислении коэффициентов.
Наложенные в теоремах условия (lim sup |n | < 1,
n n=1

|n |2 < , квадратичная близость

систем {en } и {en } ) являются неулучшаемыми и не могут быть ослаблены (см. [11]). n=1 n=1 Утверждения этих теорем могут быть объединены в следующую теорему.

Теорема 3.4. Пусть орторекурсивное разложение по нормированной системе {en }

абсолютно устойчиво к любому конечному числу ошибок в вычислении коэффициентов. Пусть также нормированная система {en } и система {en } квадратично близки. n=1 n=1 Тогда орторекурсивное разложение по системе {en } абсолютно устойчиво к ошибкам n=1 из класса E1-,2 .
В завершение раздела приведем условие на матрицу Грама нормированной системы, являющееся необходимым для того, чтобы орторекурсивное разложение по этой системе было абсолютно устойчиво к любому конечному числу ошибок в вычислении коэффициентов (см. [12, п. 1.5]).

n=1

Теорема 3.5. Пусть орторекурсивное разложение по нормированной системе {en }

абсолютно устойчиво к любому конечному числу ошибок в вычислении коэффициентов. Тогда имеет место равенство GL-1 = 0, где, как и выше, G матрица Грама системы {en } , а L-1 правосторонняя обn=1 ратная матрица к матрице, получающейся из G обнулением всех элементов, лежащих выше главной диагонали.
Результаты о достаточности условия GL-1 = 0 для абсолютной устойчивости орторекурсивных разложений к любому конечному числу ошибок в вычислении коэффициентов в настоящее время отсутствуют. 18

n=1


Галатенко В. В., Лукашенко Т. П., Садовничий В. А.

Орторекурсивные разложения

4 Орторекурсивные разложения по некоторым функциональным системам
Орторекурсивные разложения по системе характеристических функций
Пусть I невырожденный промежуток числовой прямой, ограниченный или неограниченный, H = L2 (I , ч), где ч стандартная мера Лебега на I . Пусть также = {n } n=1 последовательность лежащих в I ограниченных невырожденных промежутков, удовлетворяющих следующим условиям: (1) система покрывает I в смысле Витали, то есть для каждой точки x I и для любого числа > 0 существует такой натуральный индекс n, что x n и |n | < ; (2) для любой пары натуральных индексов m и n, m < n, промежутки m и n либо не пересекаются, либо m n . Рассмотрим функциональную систему {n } , в которой n-я функция представляет n=1 собой характеристическую функцию (индикатор) промежутка n . В случае такого выбора системы, по которой осуществляется разложения, орторекурсивные коэффициенты вычисляются по формуле 1 rn dч, fn+1 = |n+1 |

n+1

и орторекурсивное разложение может быть распространено с L2 (I , ч) на более широкий класс L1oc (I , ч). l Имеют место следующие утверждения о сходимости орторекурсивных разложений по введенной системе характеристических функций (см. [7]).

Теорема 4.1. Для каждой локально-интегрируемой на I функции f ее орторекурсивное
разложение по системе {n }
n=1 n=1

сходится к f почти всюду на I .

системе {n }

Теорема 4.2. Пусть 1 < p < , f Lp (I , ч). Тогда орторекурсивное разложение f по
сходится к f в метрике Lp (I , ч).

Теорема 4.3. Пусть система промежутков удовлетворяет следующему усиленному варианту условия (1): для каждой точки x Q, для любого числа > 0 в системе найдутся один или два промежутка длины, меньшей , покрывающих точку x вместе с некоторой е? окрестностью в I . Тогда для каждой непрерывной на I функции f е? орторекурсивное разложение по системе {n } сходится к f равномерно на каждом вложенном в I компакте. n=1
Аналогично, наложив некоторое дополнительное условие на систему промежутков , можно гарантировать сходимость орторекурсивных разложений по системе {n } функn=1 ций из L1 (I , ч) в метрике L1 (см. [7, Теорема 3]). В случае I = [0; 1] важным частным случаем системы промежутков является стандартная система двоичных промежутков в этом случае частичные суммы орторекурсивного разложения по системе {n } совпадают с частичными суммами разложения n=1 в ряд Фурье по системе Хаара (см. [2, Гл. 3]), но при этом, в отличие от ортогональных разложений, орторекурсивные разложения гарантируют абсолютную устойчивость к широкому классу вычислительных ошибок. Следует отметить, что при разложении по 19


Соврем. проблемы математики и механики. Том IX, вып. 2. Исследования по математическому анализу

системе {n } гарантируется абсолютная устойчивость к более широкому классу ошиn=1 бок в вычислении коэффициентов, чем класс E1-,2 , к ошибкам из которого гарантируется устойчивость в общем случае (см., в частности, [13]). Указанная аналогия между орторекурсивными разложениями по системе характеристических функций и разложениями в ряд Фурье по системе Хаара может быть естественным распространена на более общий случай обобщ?нных систем Хаара, в котором промежутки постоянства функции не обязательно являются двоичными (см. [14]). Заметим также, что результаты об орторекурсивном разложении по системам характеристических функций допускают обобщение, связанное с заменой n (x) на произведение g (x)n (x), где g (x) фиксированная функция, определ?нная на I и удовлетворяющая некоторым нежестким ограничениям (см. [13]).

Орторекурсивные разложения по системе Фабера Шаудера
Пусть

x [0; 1/2] ; 2x, 1 - 2x, x (1/2; 1] ; (x) = 0, x [0; 1].

Определим систему Фабера Шаудера (см., в частности, [2, гл. 6, 1]): представим каждое натуральное число n в виде 2k + j (k {0, 1, 2, . . . }, j {0, 1, . . . , 2k - 1}) и положим n = (2k x - j ). Оказывается, что орторекурсивное разложение по системе Фабера Шаудера может быть распространено с элементов пространства L2 [0; 1] на элементы пространства L1 [0; 1], при этом для f Lp [0; 1] (1 p < +) гарантируется сходимость орторекурсивного разложения f к разлагаемому элементу в метрике Lp (см. [6]). Введение в систему функций, полученных не только целыми, но и половинными сдвигами, позволяет, с сохранением указанной сходимости в Lp , добиться равномерной сходимости к разлагаемому элементу при разложении непрерывных на отрезке [0; 1] функций.

Орторекурсивные разложения по системам сжатий и сдвигов
Оказывается, что результат о сходимости орторекурсивных разложений в метрике L2 может быть получен не только для системы Фабера Шаудера, но и для системы сжатий и сдвигов, порожд?нной произвольной функцией, удовлетворяющей достаточно слабым ограничениям. Соответствующий результат был анонсирован А. Ю. Кудрявцевым (см., в частности, [15]), но доказательство было опубликовано лишь спустя девять лет А.В. Политовым [16]. Для формулировки этого результата введем следующие обозначения. Пусть (x) L2 [0; 1]. Доопределим вне отрезка [0; 1] функцию нулем, представим каждое натуральное число n в виде 2k + j (k {0, 1, 2, . . . }, j {0, 1, . . . , 2k - 1}) и положим n = (2k x - j ). называется системой двоичных сжатий и сдвигов, порожд?нной функцией на отрезке [0; 1].

Определение. Последовательность функций {n }

n=1

удовлетворяет следующим условиям:
(i)
1 0

Теорема 4.4. Пусть порождающая систему двоичных сжатий и сдвигов функция (x)
(x) dч(x) = 0;
20


Галатенко В. В., Лукашенко Т. П., Садовничий В. А.

Орторекурсивные разложения

(ii)

k=1

w

2 2

(

, 2-

k

)

< , где w2 (, ) интегральный модуль непрерывности в L2 [0; 1].

Тогда для каждой функции f L2 [0; 1] е? орторекурсивное разложение по системе двоичных сжатий и сдвигов {n } сходится к f в метрике L2 . n=1
Привед?нная теорема допускает естественные обобщения, связанные с переходом к недвоичным сжатиям, с рассмотрением систем сжатий и сдвигов, порожд?нных несколькими функциями, а также с переходом от одномерного случая к многомерному (см. [12, гл. 3]). Аналогичный результат получен А.Ю. Кудрявцевым и для случая орторекурсивных разложений по системе сжатий и сдвигов на прямой (см. [17]).

Теорема 4.5. Пусть определ?нная на всей числовой прямой функция удовлетворяет
следующим условиям:
(i) (ii)
1 0 + -

(



mZ

)2 |(x + m)| dx < ;

(x) dx = 0;

(iii) существует такая определ?нная и невозрастающая на промежутке [0; +) функция F (w), что для всех w R модуль преобразования Фурье функции в точке w оценивается сверху через F (|w|), и при этом
+

F 2 (w) ln(1 + w) dw < .
0

Тогда существует такая последовательность целых неотрицательных чисел {Lk } , k=1 что орторекурсивное разложение каждой функции f L2 (R) по системе {k,j (x) : k N, |j | Lk }, где k,j (x) = (2k x - j ), а также по любой системе, полученной из этой системы перестановкой пачек, сходится в метрике L2 (R) в точности к разлагаемой функции.
А. Ю. Кудрявцев также изучил вопрос существенности дополнительных ограничений на функцию в этой теореме. В частности, он показал невозможность отбрасывания условия (iii), по сути представляющего собой ограничение на гладкость функции (см. [18, гл. 2]).

5 Орторекурсивные разложения по системам подпространств
В рамках изучения приложений орторекурсивных разложений и, в частности, исследований, связанных с методами автоматизированной тактильной диагностики (см. [19]) естественным образом возникла необходимость обобщения орторекурсивных разложений, заключающегося в переходе от систем элементов к системам подпространств. Это обобщение может быть описано следующим образом (см. [14], [20]). 21


Соврем. проблемы математики и механики. Том IX, вып. 2. Исследования по математическому анализу

Пусть H пространство со скалярным произведением над полем действительных чисел, {Hn }K=1 (K N {+}) система замкнутых подпространств H , f произn вольный элемент H . Определим индуктивно последовательность остатков {rn (f )}K=0 и n K последовательность элементов {fn }n=1 : положим

r0 (f ) = f ;
далее, если уже определен остаток rn (f ) (n < K ), положим

f

n+1

= Pn (rn (f )),
K n=1

r

n+1

(f ) = rn (f ) - f

n+1

(здесь Pn оператор ортогонального проектирования на подпространство Hn ).

Определение. Ряд (сумма)

fn называется орторекурсивным разложением элемента
K n=1

f по системе подпространств {Hn }

.

В случае, когда пространства Hn одномерны и задаются векторами en , орторекурсивные разложения по системе подпространств {Hn }K=1 и по системе элементов {en }K=1 n n совпадают. Для орторекурсивных разложений по системе подпространств остаются справедливыми тождество Бесселя, неравенство Бесселя, эквивалентность сходимости разложения к разлагаемому элементу и равенства Парсеваля. Тождество Бесселя принимает вид

f-

N n=1

2

f

n

= rN (f )2 = f 2 -

N n=1

fn 2 ,

где f произвольный элемент H , N
K n=1

K . Неравенство Бесселя принимает вид fn
2

f 2 ,

равенство Парсеваля (эквивалентное сходимости орторекурсивного разложения к разлагаемому элементу) принимает вид
K n=1

fn 2 = f 2 .

Орторекурсивные разложения по сч?тным системам подпространств, также как и орторекурсивные разложения по системам элементов, обладают для переполненных систем абсолютной устойчивостью к широкому классу погрешностей. Для формулировки этого результата, как и в случае разложений по системам элементов, формализуем сначала понятие погрешности. Пусть H пространство со скалярным произведением над полем действительных чисел, {Hn }K=1 (K N {+}) система замкнутых подпространств n H , f произвольный элемент H , {n }K=1 система элементов H . Определим индуктивn er er но последовательность остатков {rn r (f )}K=0 и последовательность элементов {fn r }K=1 : n n положим er r0 r (f ) = f ;
er далее, если уже определен остаток rn r (f ) (n < K ), положим err n+1 err n err n+1 err n

f

= Pn (r

(f )) +

n+1

,

r

(f ) = r

(f ) - f

err n+1

(как и выше, Pn оператор ортогонального проектирования на подпространство Hn ). 22


Галатенко В. В., Лукашенко Т. П., Садовничий В. А.

Орторекурсивные разложения

Определение. Ряд (сумма)

K n=1

f

err n

называется орторекурсивным разложением элеменK n=1

та f по системе подпространств {Hn }

с ошибками {n }K=1 . n

Как и в случае разложений по системам элементов, в приложениях точные значения погрешностей неизвестны, но посредством реализации определ?нных вычислительных схем могут быть гарантированы верхние оценки на нормы погрешностей n . При этом некоторые вычислительные схемы также гарантируют, что n Hn при всех натуральных n, не превосходящих K . По аналогии с разложениями по системе элементов будем говорить, что орторекурсивные разложения по системе подпространств {Hn } абсолютно устойчивы к любому n=1 конечному числу ошибок, если для каждого элемента f H и для любого натурального N орторекурсивное разложение элемента f по системе подпространств, полученной из {Hn } удалением первых N подпространств, сходится к f . n=1

абсолютно устойчиво к любому конечному числу ошибок. Тогда для каждого элемента f H , для любой последовательности {n } , удовлетворяющей условию n < , n=1 орторекурсивное разложение элемента f по системе подпространств {Hn } ками {n } сходится к f . n=1
n=1 n=1

Теорема 5.1. Пусть орторекурсивное разложение по системе подпространств {Hn }

n=1

с ошиб n=1

Теорема 5.2. Пусть орторекурсивное разложение по системе подпространств {Hn }

абсолютно устойчиво к любому конечному числу ошибок. Тогда для каждого элемента f H , для любой последовательности {n } , удовлетворяющей условиям n Hn n=1 n 2 < , орторекурсивное разложение элемента f по системе подпро(n N) и странств {Hn }
n=1 n=1

с ошибками {n }

n=1

сходится к f .

Вторая теорема является естественным обобщением аналогичного результата для орторекурсивных разложений по системам элементов. Условия в обеих теоремах в общем случае являются неулучшаемыми. В то же время, в некоторых частных случаях условия могут быть ослаблены. Например, в случае, если подпространства {Hn } образуют исn=1 черпывание пространства H (то есть H1 H2 H3 . . . и Hn = H ), то в последней теореме условие
n=1 n

n 2 < может быть заменено на условие n 0 (n ). Однако

следует отметить, что даже в этом случае при отсутствии ограничения n Hn (n N) условие n < в предпоследней теореме ослаблено быть не может. Аналогичные результаты можно привести и для устойчивости орторекурсивных разложений по переполненной системе подпространств к малым изменениям этой системы, однако здесь окончательный результат (то есть результат, условия которого являются неулучшаемыми) в настоящее время неизвестен. Наиболее важным для приложений является случай орторекурсивных разложений по системе подпространств, в котором в каждом подпространстве Hn задан фрейм Парсеваn ля (ортоподобная система) {dn }M=1 (см. [20]). В этом случае элементы fn вычисляются mm Mn следующим образом: fn = (rn-1 (f ), dn )dn . mm
m=1 n=1

23


Соврем. проблемы математики и механики. Том IX, вып. 2. Исследования по математическому анализу

6 Заключение
Орторекурсивные разложения представляют собой естественное обобщение классических разложений в ряды Фурье, наследующее множество положительных с точки зрения приложений свойств и при этом предоставляющее б?льшую свободу в выборе системы, по o которой осуществляется разложение, и обладающее для ряда переполненных систем абсолютной устойчивостью к широкому классу вычислительных ошибок, что делает орторекурсивные разложения крайне привлекательными для многих приложений, включая анализ и обработку медицинских тактильных образов. Орторекурсивные разложения в настоящее время активно изучаются и, несмотря на то, что они появились сравнительно недавно (менее 15 лет назад), уже получен ряд интересных результатов, касающихся как общих свойств этих разложений, так и свойств, связанных с разложением по конкретным функциональным системам. В то же время, некоторые актуальные вопросы, связанные с орторекурсивными разложениями, до настоящего момента остаются открытыми.

Список литературы
[1] Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: ГИФМЛ, 1958. [2] Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. Изд. 2-е, доп. М.: Изд-во АФЦ, 1999. [3] Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М.: ГИФМЛ, 1961. [4] Зигмунд А. Тригонометрические ряды. В 2-х тт. М.: Мир, 1965. [5] Голубов Б. И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша: Теория и применения. М.: Наука, 1987. [6] Лукашенко Т. П. Об орторекурсивных разложениях по системе Фабера Шаудера // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 10-й Саратовской зимней школы. Саратов: Изд-во Саратовского университета, 2000, с. 83. [7] Лукашенко Т. П. О свойствах орторекурсивных разложений по неортогональным системам // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ., 2001, 1, с. 610. [8] Temlyakov V. N. Weak greedy algorithms // Adv. Comput. Math., 2000, v. 12, 23, p. 213227. [9] Галатенко В. В., Лившиц Е. Д. Обобщенные приближенные слабые жадные алгоритмы // Матем. заметки, 2005, т. 78, 2, с. 186201. [10] Политов А. В. Критерий сходимости орторекурсивных разложений в евклидовых пространствах // Матем. заметки, 2013, т. 93, 4, с. 637640. [11] Галатенко В. В. Об орторекурсивном разложении с ошибками в вычислении коэффициентов // Изв. РАН. Сер. матем., 2005, т. 69, 1, с. 316. [12] Политов А. В. Условия сходимости орторекурсивных разложений в гильбертовых пространствах. Дисс. . . . канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 2012. [13] Галатенко В. В. Об орторекурсивном разложении по некоторой системе функций с ошибками при вычислении коэффициентов // Матем. сб., 2004, т. 195, 7, с. 2136. [14] Лукашенко Т. П., Садовничий В. А. Орторекурсивные разложения по подпространствам // Докл. РАН, 2012, т. 445, 2, с. 135138. [15] Кудрявцев А. Ю. Орторекурсивные разложения по системам сжатий и сдвигов фиксированной функции // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тез. докл. Воронежской зимней матем. школы. Воронеж: ВГУ, 2001, с. 161162. 24


Галатенко В. В., Лукашенко Т. П., Садовничий В. А.

Орторекурсивные разложения

[16] Политов А. В. Орторекурсивные разложения в гильбертовых пространствах // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., Механ., 2010, 3, с. 37. [17] Кудрявцев А. Ю. О сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам // Матем. заметки, 2012, т. 92, 5, с. 707720. [18] Кудрявцев А. Ю. Орторекурсивные разложения по неортогональным всплескам. Дисс. . . . канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 2012. [19] Садовничий В. А., Буданов В. М., Галатенко А. В., Галатенко В. В., Лебедев А. Е., Лемак С. С., Лукашенко Т. П., Петров А. А., Подольский В. Е., Семейко А. А., Соколов М. Э., Яковлев И. С. Математические задачи и методы в тактильной диагностике. М.: МАКС Пресс, 2008. [20] Лукашенко Т. П., Садовничий В. А. О рекурсивных разложениях по цепочке систем // Докл. РАН, 2009, т. 425, 6, с. 741746.

25


Соврем. проблемы математики и механики. Том IX, вып. 2. Исследования по математическому анализу

Сингулярные операторы Штурма Лиувилля с потенциалом распределением
Мирзоев К. А.2 , Конечная Н. Н.
3

Данная работа посвящена определению дефектных чисел минимального оператора L0 , порожд?нного дифференциальным выражением l[y ] := -y + y в пространстве L2 (0; +), где 2 L1oc (0; +) и производные понимаются в смысле теории l распределений. Приведены достаточные условия в терминах , обеспечивающие реализацию случая предельной точки в бесконечности для оператора L0 (индекс дефекта L0 (1,1)). Построены примеры, когда является ступенчатой функцией на (0; +), и для оператора L0 имеет место случай предельного круга (индекс дефекта L0 (2,2)). Часть результатов работы новы и для классического случая, когда является локально абсолютно непрерывной функцией на (0, +).

1 Введение
1. Символом (x) обозначим вещественнозначную, измеримую функцию на R+ :=
[0, +), такую, что функция 2 локально интегрируема, т.е. 2 L1oc (R+ ). Пусть далее l y финитная, локально абсолютно непрерывная функция на (0, +). Определим квазипроизводную функции y , полагая y [1] := y - y . Предположим, что функция y [1] также локально абсолютно непрерывна и рассмотрим квазидифференциальное выражение l[y ](x) := -(y [1] (x)) - (x)y [1] (x) - 2 (x)y (x), x R+ .
(1) Обозначим через L2 (R+ ) пространство всех комплекснозначных, измеримых функций с суммируемыми квадратами на полуоси R+ и через 0 множество всех финитных, локально абсолютно непрерывных на R+ функций y , таких, что y [1] также локально абсолютно непрерывна на R+ и l[y ] L2 (R+ ) линейное многообразие в н?м. Хорошо известно, что многообразие 0 образует всюду плотное множество в пространстве L2 (R+ ), и для функций f , g 0 справедливо тождество Грина

(l[f ]g - f l[g ]) = [f , g ]( ) - [f , g ](),

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Минобрнауки РФ 1.5711.2011. Первый автор
поддержан грантом РФФИ 11-01-00790-а. Второй автор поддержан грантом РФФИ 12-01-31491-мол-а. Мирзоев Карахан Агахан оглы, mirzo ev.karahan@mail.ru, профессор, кафедра математического анализа, механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова.

0





,

! Конечная Наталья Николаевна, mermaid5979@yandex.ru, доцент, кафедра информационной безопас-

ности и космических информационных технологий, Институт математики, информационных и космических технологий Северного (Арктического) федерального университета

26


Мирзоев К. А., Конечная Н. Н.

Сингулярные операторы Штурма Лиувилля

где форма [f , g ] определена равенством [f , g ](x) := f (x)g [1] (x) - f [1] (x)g (x). Таким образом, выражение l[y ] на множестве 0 определяет симметрический незамкнутый оператор в пространстве L2 (R+ ). Символами L0 и D0 обозначим замыкание этого оператора и его область определения соответственно. Известно, что верхнее (нижнее) дефектное число n+ (n- ) оператора L0 , определяемое максимальным количеством линейно независимых решений уравнения

l[y ] = y

(2)

при Im > 0 (Im < 0), принадлежащих пространству L2 (R+ ), равно либо 1, либо 2, прич?м n+ = n- . Следовательно, пара (n+ , n- ), называемая индексом дефекта оператора L0 , равна либо (1, 1), либо (2, 2). Следуя Г. Вейлю, в первом случае говорят, что для выражения l имеет место случай предельной точки, а во втором случай предельного круга. В случае предельной точки все самосопряж?нные расширения оператора L0 в пространстве L2 (R+ ) задаются выражением l и однородным граничным условием в нуле. В случае же предельного круга все решения уравнения (2) при любом (вещественном или невещественном) принадлежат пространству L2 (R+ ) и описания самосопряж?нных расширений аналогично описанию самосопряж?нных расширений операторов, порожд?нных регулярными симметрическими дифференциальными выражениями второго порядка на отрезке. Операторы, порожд?нные квазидифференциальными выражениями произвольного порядка в частности, выражениями вида (1) привлекают пристальное внимание многих математиков уже давно (см. [1], [2] и работы, на которые в них имеются ссылки). Привед?нные выше сведения извлечены из этих работ. 2. Пусть теперь означает обобщ?нную производную, т. е. производную в смысле теории распределений. Определим произведение обобщ?нной функции на функцию y D0 , полагая, как обычно, + ( y )() = - (y )
0

для любой бесконечно дифференцируемой финитной на (0, +) функции . Из этого определения следует, очевидно, что в смысле теории распределений справедливо равенство ( y ) = y + y . Следовательно, в выражении (1) можно раскрыть все скобки. Сделав это, получаем l[y ] = -y + y . (3) Таким образом, оператор L0 с областью определения D0 является минимальным замкнутым симметрическим оператором, порожденным выражением (3) в пространстве L2 (R+ ), а уравнение (2) приобретает вид

-y + y = y .

(4)

Корректное определение оператора Штурма Лиувилля с потенциалом , являющимся сингулярным распределением первого порядка, привед?нное здесь, впервые появилось, по видимому, в [3]. Отметим также, что чуть позже такие операторы, особенно в случае отрезка, довольно обстоятельно были изучены (см. [4] и имеющийся там список литературы). 3. Данная работа посвящена определению дефектных чисел оператора L0 в терминах функции . В частности, мы приводим достаточные условия на , обеспечивающие 27


Соврем. проблемы математики и механики. Том IX, вып. 2. Исследования по математическому анализу

самосопряж?нность оператора, порожд?нного выражением (3) и однородным граничным условием в нуле в пространстве L2 (R+ ). Кроме того, построены примеры функций , когда это не так, т. е. для выражения (3) имеет место случай предельного круга. Методы исследования, применяемые в данной работе, базируются, в частности, на следующей теореме

Теорема 1. Для выражения l имеет место случай предельной точки тогда и толь 1/ K 2 (x, t) dt

ко тогда, когда для некоторой последовательности непересекающихся интервалов (an , bn ), n = 1, 2, . . . , выполняется условие
+ n=1

bn dx
an

x
a
m

2

= +, =

(5)

где K (x, t) решение уравнения (2) при [1] K (x, t)|x=t = 0 и Kx (x, t)|x=t = 1.

0, удовлетворяющее условиям

Аналог этой теоремы оста?тся справедливым для произвольных симметрических квазидифференциальных уравнений любого порядка и пространств Lp (R+ ), где весовая w функция w L1oc (R+ ) п. в. положительна, а Lp (R+ ) (1 p < +) пространство w l всех измеримых функций f , для которых |f |p w интегрируема в R+ (см. [5]). Теорема 1 является частным случаем теоремы из [5]. В 1910 году Г. Вейль опубликовал работу [6], где впервые появились классификация предельная точка предельный круг для сингулярных дифференциальных операторов второго порядка, порожд?нных выражениями -(py ) + q y , где p, q непрерывные функции, и первый признак реализации случая предельной точки для соответствующих операторов. Вопрос о необходимых и достаточных условиях на коэффициенты дифференциального выражения второго порядка, обеспечивающие, скажем, случай реализации предельного круга, Г. Вейлем в [6] не ставился. Однако, позже в своей обзорной работе [7] Н. Эверит сформулировал эту проблему и подчеркнул е? важность. Теорема из работы [5] является решением аналогичной проблемы, сформулированной уже для произвольных дифференциальных операторов любого порядка и пространств Lp (см. рабоw ту [8] и список литературы в ней). Несмотря на это, автор книги [9] включил задачу, сформулированную выше, в список нерешенных проблем. Теорема 2 и е? доказательство, привед?нные в настоящей работе, ещ? раз подчеркивают, что теорема 1 является решением этой проблемы. Кроме того, мы пользуемся теоремой, утверждающей, что соответствующие решения двух уравнений вида (2) асимптотически близки, если в определ?нном смысле близки коэффициенты этих уравнений (теорема 3 данной работы). Утверждения такого типа в случае гладких коэффициентов хорошо известны и изложены, например, в [10] (см. гл. XI, 2 (xi) и 8 теорема 8.1 и упражнение 8.4).

2 Теоремы о предельной точке и предельном круге
творяют условиям теоремы 1. Из теоремы существования и единственности задачи Коши для уравнения (2) следует, что при фиксированном n в квадрате {(x, t) : x, t [an , bn ]} функция K (x, t) однозначно определяется значениями функции (x) при x [an , bn ]. Таким образом, если выполняется условие (5), то, независимо от значений функции (x) 28

1. Пусть последовательность отрезков [an , bn ], n = 1, 2, . . . , и функция K (x, t) удовле-


Мирзоев К. А., Конечная Н. Н.

Сингулярные операторы Штурма Лиувилля

вне множества

+

[an , bn ], для выражения l имеет место случай предельной точки; требу-

ется лишь, чтобы 2 L1oc (R+ ). Исходя из этого, докажем, что справедлива следующая l теорема:

n=1

Теорема 2. Пусть (an , bn ), n = 1, 2, . . . , последовательность таких непересекающихся интервалов, что функция (x) абсолютно непрерывна на каждом из отрезков [an , bn ]. Пусть, кроме того, выполняется какое-либо из следующих четыр?х условий:
а) существуют такие постоянные kn > 0, что (x) = -kn почти всюду на [an , bn ] и
+ 1( ) 2 n - sin2 n k n=1 n 1/2

= +,

где n =

kn (bn - an ); kn почти всюду на [an , bn ] и

б) существуют такие постоянные kn > 0, что (x)
+ 1( ) 2 sh2 n - n k n=1 n 1/2

= +,

где n =

kn (bn - an );

в) для - (x) = - min{ (x), 0}, + (x) = (x) + - (x), и некоторой постоянной [0, 1) имеем bn (bn - x)(x - an )- (x)dx (bn - an ) a
n

и

n=1

b {(bn - an )
a
n

n

[(bn - x)(x - an )]2 + (x)dx}

1/2

= + ;

г) для - , определ?нной в в), имеем n=1

(bn - an )2 = +. b n {(bn - an ) - (x)dx}1/2 + 1
an

Тогда для выражения l имеет место случай предельной точки. Доказательство. Пусть 0 a < b < + и функция (x) абсолютно непрерывна на отрезке [a, b]. ( ) Если (x) = -k при x [a, b], то K (x, t) = sin k (x - t) / k и поэтому


a

b

x dx
a

K 2 (x, t) dt =

) 1( k (b - a)2 - sin2 k (b - a) . 4k 2

Положив теперь [a, b] = [an , bn ] и k = kn в этом равенстве и применив теорему 1, получаем, что справедливо утверждение теоремы 2 при условии а). 29


Соврем. проблемы математики и механики. Том IX, вып. 2. Исследования по математическому анализу

Функция Коши удовлетворяет дифференциальному уравнению
y + - (x)y = + (x)y

(6)

по x( (a, b)) и начальным условиям K (x, t)|x=t = 0 и Kx (x, t)|x=t = 1 (t [a, b]). Следовательно, эта функция удовлетворяет интегральному уравнению Вольтерра

x K (x, t) = u(x, t) +
t

u(x, )+ ( )K ( , t) d ,

(7)

где u(x, t) функция Коши уравнения
y = -- (x)y .

Применив метод последовательных приближений, находим, что функцию u(x, t) можно представить в виде

x u(x, t) = x - t -
t

(x - ) ( )( - t) d +
x

-

+ x ( m=1 t

) u2m (x, ) - u2m+1 (x, ) ( - t) d , (8)

где u1 (x, ) = (x - )- ( ), u

m+1

(x, ) =

u1 (x, )um ( , ) d (m = 1, 2, . . .), а функцию

K (x, t) в виде K (x, t) = u(x, t) +
где K1 (x, ) = u(x, )+ ( ), K

+ x m=1 t

Km (x, )u( , t) d ,

(9)

m+1

(x, ) =

x

K1 (x, )Km ( , ) d (m = 1, 2, . . .).

Если при этом - (x) = 0 и + k при x [a, b], то u(x, t) = x - t и из (9) легко извлечь, что 1 K (x, t) sh k (x - t) при a t x b. k Таким образом, в этом случае


a

b

x dx
a

K 2 (x, t)dt

) 1 ( 2 sh k (b - a) - k (b - a)2 . 4k 2

Взяв теперь в этом неравенстве [a, b] = [an , bn ] и k = kn и применив теорему 1, получим доказательство утверждения теоремы 2 при условии б). Пусть теперь b (10) (b - )( - a)- ( )d (b - a),
a

где 0 <

1 некоторая постоянная. Функция 1 f (x, t) = x-t x
t (x - )( - t)- ( )d

30


Мирзоев К. А., Конечная Н. Н.

Сингулярные операторы Штурма Лиувилля

при a t < x b возрастает по x на множестве (t, b] и убывает по t на множестве [a, x). Поэтому из неравенства (10) следует, что выполняется неравенство

x
t

(x - )( - t)- ( )d

(x - t) при a

t

x

b.

(11)

Из этого неравенства и определения функций um (x, t) следует, что

um (x, t) - um+1 (x, t)

(1 - )um (x, t) m = 1, 2, . . . .

(12)

Учитывая теперь неравенство (11) и неравенство u2m (x, t) - u2m+1 (x, t) 0 при a x b, вытекающее из (12), получаем, что u(x, t) (1 - )(x - t) при a t x 0 < < 1. Теперь из (9) следует, что

t bи

x K (x, t) (1 - )(x - t) + (1 - )2
t

(x - )( - t)+ ( )d .

Таким образом, если a и b таковы, что при 0 < < 1 выполняется условие (10), то при atxb x 2 3 K (x, t) 2(1 - ) (x - t) (x - )( - t)+ ( )d .
t

Следовательно,


a

b

x dx
a

K 2 (x, t)dt 2(1 - )3 (x - t)
a

b

x dx
a

(x ) (x - t) (x - )( - t)+ ( )d dt =
t

(1 - )3 (b - a) = 3


a

b

(

)2 (b - x)(x - a) + (x) dx.

Для доказательства утверждения теоремы 2 в случае в) оста?тся только положить [a, b] = [an , bn ] и применить теорему 1. Определим теперь разбиение отрезка [a, b] точками a =: a0 < a1 < . . . < an := b следующим образом. Заметим, что функция f (x, a0 ) возрастает при x > a0 и f (x, a0 ) 0 при x a0 +, поэтому либо f (x, a0 ) < 1 при всех x (a, b], либо уравнение f (x, a0 ) = 1 имеет решение из (a, b]. В первом случае положим a1 := b и завершим разбиение. А во втором случае положим a1 := inf {x : x > a0 , f (x, a0 ) = 1}. Если при этом окажется, что a1 = b, мы также завершим разбиение, в противном же случае определим число a2 , заменив в привед?нных выше рассуждениях число a0 на a1 и т. д. Теперь покажем, что построенное таким образом разбиение отрезка [a, b] содержит конечное число точек и оценим сверху их количество. Пусть N 2 натуральное число и количество точек рассматриваемого разбиения N . Тогда f (am , am-1 ) 1, m = 1, 2, . . . , N - 1. Из этого равенства легко извлечь, что a m 1 1 - ( )d , m = 1, 2, . . . , N - 1, am - am-1 4
a
m-1

31


Соврем. проблемы математики и механики. Том IX, вып. 2. Исследования по математическому анализу

и, суммируя по m, получим
N -1 m=1

1 am - a

m-1

1 4


a

b - ( ) d .

Применяя далее неравенство между арифметическими и гармоническими средними, после элементарных преобразований получаем, что

N

b ) 1( (b - a) - ( ) d 2
a

1/2

+ 1.

Теперь заметим, что по построению при a = am-1 , b = am неравенство (10) превращается в равенство, где = 1, и, следовательно, при этих значениях a, b и выполняется неравенство (11). Таким образом, согласно формулам (8) и (9),

x K (x, t) x-t-
t

(x - )- ( )( - t)d

при a

m-1

t
(1)

x

am .
(N )

(13)

Пусть теперь [a, b] = [an , bn ] (n = 1, 2, . . .). Точками an =: an < an < . . . < an n := b отрезок [an , bn ] разделим на Nn частей указанным выше способом. В каждом из отрезков (0) (m) (m-1) (m) , an ] выполнено неравенство (13) c am = an при m = 1, 2, . . . Nn и an = an . Далее, [an применяя сначала неравенство Коши-Буняковского, затем оценив полученные интегралы с применением неравенства (13) и суммировав по m, получаем, что
an Nn ( m=1 a
(m)

(0)

x dx
a
(m-1) n

)1 K (x, t)dt
2

/2

c

Nn

(

a(m) n

-

a(m-1) )2 n

где c = 5 2/48. Оста?тся учесть верхнюю оценку для Nn , суммировать эти неравенства по n и применить теорему 1. Таким образом, утверждение теоремы 2 справедливо и при условии г). Теорема 2 доказана.
Легко заметить, что неравенство (10) при = 1 является условием, при выполнении которого любое вещественное ненулевое решение уравнения (4) при = 0 имеет не более одного нуля на отрезке [a, b], а верхняя оценка для N это оценка количества нулей ненулевого решения этого же уравнения на отрезке [a, b]. Таким образом, мы получили ещ? одно доказательство теоремы 5.1 и неравенства (5.9) из [10, гл. 11, 5]. Разумеется, известно большое количество достаточных условий реализации случая предельной точки, в том числе и различные варианты утверждений теоремы 2, если L1oc (R+ ) (см. работу [11] и ссылки в ней). Анализом взаимосвязи утверждений теоl ремы 2 с результатами, полученными ранее для этого случая, здесь заниматься не будем, отметим лишь, что п. г) теоремы 2 является теоремой Истхема [12], а привед?нное здесь доказательство новым. 2. Пусть функция Q(x), x R+ такая же, как функция (x). Символами u и v обозначим решения уравнения

(m-1) n

m=1

c(bn - an )2 , Nn

-(y[1] ) - Q(x)y[1] - Q2 (x)y = 0,
где y
[1]

(14)

:= y -Q(x)y , удовлетворяющие условию uv[1] -u[1] v = 1. Докажем, что справедлива
32


Мирзоев К. А., Конечная Н. Н.

Сингулярные операторы Штурма Лиувилля

Теорема 3. Пусть функции (x) и Q(x) такие, что при некотором a > 0
+

( - Q)2 w2 < +,
a

+ | - Q||ww | < +, a

где w = u или w = v , и

+



| - Q||(uv ) | < +.

a

Тогда для любой пары вещественных чисел и уравнение (2) (при = 0) имеет решение f (x), x R+ , удовлетворяющее условиям

f (x) = [ + o(1)]u(x) + [ + o(1)]v (x), f [1] (x) = [ + o(1)]u[1] (x) + [ + o(1)]v[1] (x)
при x +. Доказательство. Матрица

( T=

u v u[1] v[1]

)

является фундаментальной матрицей системы линейных уравнений первого порядка

(

y y[1]

) =

(

)( ) Q 1 y . 2 -Q -Q y[1]

Заметив это, уравнение (2) запишем в виде

(

y y [1]

) =

(

-

2

1 -

)(

y y [1]

)

) () y z и в полученной системе сделаем замену = T z , где z = 1 . [1] z2 y Вычисления показывают, что вектор-функция z = z (x) удовлетворяет системе линейных уравнений z = A(x)z , где uv v2 A = ( - Q) -u2 -uv
Из условий теоремы следует, что
+ ||A(x)||dx < +, a

(

(

) + ( - Q)
2

(

) uv v2 . -u2 -uv

где ||A|| означает сумму абсолютных величин элементов матрицы A. Таким образом, условие задачи 1.4(с) из [10] (гл. X, 1, стр. 331) выполнены. Поэтому теорема 3 вытекает из этой задачи. 33


Соврем. проблемы математики и механики. Том IX, вып. 2. Исследования по математическому анализу

Следствие. Пусть функция Q(x) L1oc (R+ ) имеет локально абсолютно непрерывную l
производную второго порядка на (a, +) при некотором a > 0, Q (x) < 0 при x (a, +) и пусть выполнены условия
+ a

-

Q

= + и

+ (-Q )- a

1/4

(

(-Q )-1

) /4

< +.

Пусть далее, функции (x) и Q(x) таковы, что
+

a

( - Q)2 < + и -Q

+ | - Q| < +. a

(15)

Тогда справедливо утверждение теоремы 3. Доказательство. При сделанных предположениях уравнение (14), очевидно, можно записать в виде -y + Q (x)y = 0,
а для решений этого уравнения справедливы классические асимптотические формулы Лиувилля Грина. Таким образом, для решений u и v верны неравенства

|u|, |v |

c(-Q )-

1/4

,

|v |, |v |

c(-Q )1/4 ,

где c некоторая положительная постоянная (оценки Лиувилля Грина). Уч?т этих неравенств в условиях теоремы 3 и последующее использование неравенств (15) показывают справедливость следствия.

3 Примеры
1. Пусть xn (n = 1, 2, . . .) возрастающая последовательность положительных чисел,
x0 = 0 и lim xn = +. В ниже обсуждаемых примерах мы предполагаем, что функция (x) имеет вид (x) = q (x) +
n+ + k=0

hk (x - xk ),

(16)

где q (x) L1oc (R+ ), а hk некоторые постоянные (k = 0, 1, . . .). Если функция l (x)(= q (x)) удовлетворяет каким-либо из условий а) г) теоремы 2, например, при x [(2xk + xk+1 )/3, (xk + 2xk+1 )/3](= [ak , bk ]), то, очевидно, для выражения l[y ] имеет место случай предельной точки. Таким образом, теорема 2 да?т разнообразные примеры случая предельной точки для выражения l[y ] независимо от последовательностей hk и xk . В частности, если q (x) = 0 при x R+ , то - (x) = 0 на последовательности отрезков [ak , bk ], указанной выше, и поэтому, применяя п. г) теоремы 2, находим, что для выражения l[y ] имеет место случай предельной точки каждый раз, когда
+ k=0

(xk

+1

- xk )2 = +.

2. Теперь построим пример реализации случая предельного круга. Пусть Q(x) отрицательная, строго убывающая и трижды непрерывно дифференцируемая функция
34


Мирзоев К. А., Конечная Н. Н.

Сингулярные операторы Штурма Лиувилля

на R+ , удовлетворяющая условиям следствия, и такая, что Q (x) также строго убывает на (a, +) и + 1 < +. (17) -Q
a

Отметим точку k [xk , xk+1 ) и определим функцию (x), x R+ , полагая (x) = Q(k ) при x [xk , xk+1 ) (k = 0, 1, . . .). Тогда распределение (x), очевидно, имеет вид (16), где q (x) = 0 при x R+ и hk = Q(k+1 ) - Q(k ). Элементарные вычисления показывают, что, если + |Q (xk+1 )|2 (xk+1 - xk )2 < +, (18)
k=0

то выполняются неравенства (15). Поэтому, согласно утверждению следствия, уравнение (2) при = 0 имеет решения f и g , асимптотически близкие с решениями u и v уравнения (14), т. е.

f (x) = (1 + o(1))u(x) + o(1)v (x),

g (x) = o(1)u(x) + (1 + o(1))v (x)

при x +. С другой стороны, применяя оценки Лиувилля Грина, из условия (17) находим, что u, v L2 (R+ ). Таким образом и f , g L2 (R+ ), т. е. дефектное число оператора L0 , порожд?нного выражением (3) с коэффициентом (x), равно 2. Оста?тся привести примеры последовательностей чисел xk и функций Q(x), удовлетворяющие всем выше перечисленным условиям. Ограничимся двумя простыми примерами: I. Пусть xk = ln k и Q(x) = -x - 1, где > 0 и > 3. II. Пусть опять xk = ln k, а Q(x) = -e x , где > 0, > 0 и < 1. Вычисления показывают, что в примерах I и II все условия, накладываемые на функцию Q(x) и последовательность xk , в том числе и неравенство (18), выполняются.

Список литературы
[1] Everitt W. N., Zettl A., Generalized symmetric ordinary dierential expressions I: The general theory // Nieuw archief voor wiskunde (3), 1979, v. 27, p. 363397. [2] Everitt W. N., Marcus L., Boundary Value Problems and Symplectic Algebra for Ordinary Dirrential and Quasi-Dierential Operators. Math. Surveys and Monofraphs, v. 61. Providence: AMS, 1999. [3] Савчук А. М., Шкаликов А. А., Операторы Штурма Лиувилля с сингулярными потенциалами // Математические заметки, 1999, т. 66, 3, с. 847912. [4] Савчук А. М., Шкаликов А. А., Операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами распределениями // Труды Моск. матем. общества, 2003, т. 64, с. 159212. [5] Мирзоев К. А., Функция Коши и Lp -свойства решений квазидифференциальных w уравнений // Успехи мат. наук, 1991, т. 46, 4, с. 161162. [6] Weyl H., Uber gevohnlice Dierentialgleichungen mit Singularitaten und die zugehorigen Ehtwicklungen willkurlicher Funktionen // Math. Ann., 1910, v. 68, p. 220269. [7] Everitt W. N., On the deciency index problem for ordinary dierential operators 19101976. In: Dierential equations, Proceedings from the Uppsala 1977 Inter. Confer. on dierential equations, Stockhom, 1977, p. 6281. [8] Мирзоев К. А., Об аналогах теорем о предельной точке // Математические заметки, 1995, т. 57, 3, с. 394414. 35


Соврем. проблемы математики и механики. Том IX, вып. 2. Исследования по математическому анализу

[9] Zettl A., Sturm-Liouville theory. Math. Surveys and Monofraphs, v. 121. Providence: AMS, 2005. [10] Хартман Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. [11] Everitt W. N., Know les I. W., Read T. T., Limit-point and limit-circle criteria for Sturm Liouville equations with intermittenly negative principal coecients // Proc. Royal Soc. Edinburg, Sect. A, 1986, v. 103, p. 215228. [12] Eastham M. P. S., On a limit-point method of Hartman // Bull. London Math. Soc., 1972, v. 4, p. 340344.

36


Плужникова А. А., Родионов Т. В.

Об одном аналоге системы Хаара

Об одном аналоге системы Хаара
Плужникова А. А.2 , Родионов Т. В.
3



Рассматривается обобщение классической ортогональной системы Хаара, построение которой опирается не на последовательность двоично-рациональных чисел, а на произвольную числовую последовательность. Для этого обобщения доказаны аналоги некоторых свойств системы Хаара: равномерная сходимость рядов Фурье непрерывных функций и базисность системы в пространствах Lp .

Введение
В работе [5] А. Хаар впервые построил ортонормированную систему функций на отрезке, для которой ряд Фурье любой непрерывной функции сходится равномерно. В дальнейшем эта система, е? обобщения и аналоги интенсивно изучались многими авторами. Она оказалась тесно связана с различными вопросами теории вероятностей (мартингальные последовательности), теории функций и теории приближений (системы всплесков или вейвлетов), нашла многочисленные приложения в вычислительной математике и обработке сигналов. Система Хаара состоит из кусочно-постоянных функций на отрезке( [0, 1], определяе) мых своими значениями на двоичных интервалах, т. е. интервалах вида (j - 1)2-k , j 2-k , концами которых являются двоично-рациональные точки j 2-k , j = 1, . . . , 2k , k N. Т. П. Лукашенко предложил [2] строить аналогичную систему, используя не последовательность всех двоично-рациональных точек Q2 , а произвольную последовательность T . В данной работе мы рассматриваем такую обобщ?нную T -систему Хаара и доказываем для не? аналоги некоторых свойств классической системы Хаара: оценку коэффициентов Фурье непрерывных функций, равномерную сходимость рядов Фурье непрерывных функций, а также базисность системы в пространствах Lp [0, 1], 1 p < . Частично эти результаты анонсировались в [3].
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (14-01-00417) и гранта Президента РФ (НШ3682.2014.1). Плужникова Александра Алексеевна, выпускница, кафедра математического анализа, механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова.

! Родионов Тимофей Викторович, ttvvrr@yandex.ru, доцент, кафедра математического анализа, меха-

нико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова.

37


Соврем. проблемы математики и механики. Том IX, вып. 2. Исследования по математическому анализу

1 Классическая система Хаара
Определим систему Хаара согласно [1, гл. 3]. Для этого введ?м стандартные обозначения двоичных интервалов. Двоичным интервалом на [0, 1] называется любой интервал вида ( ) (i - 1)2-k , i2-k , где i = 1, . . . , 2k , а k = 0, 1, 2, . . .. Для n = 2k + i положим ( [ ) ] i-1 i i-1 i i i n = k = , , n = k = , , 2k 2k 2k 2k ( ) ( ) i - 1 2i - 1 2i - 1 i - i- + i+ n = (k ) = , k+1 , n = (k ) = , . 2k 2 2k+1 2k Заметим, что 1 = 1 = (0, 1), 1 = [0, 1]. Совокупность интервалов {i }2=1 будем 0 ki называть k -й пачкой интервалов. Отметим следующие свойства двоичных интервалов:
k

ћ i j = при i = j , т. е. интервалы одной пачки не пересекаются; k k ћ если двоичные интервалы n и m пересекаются, то либо n m , либо m n .
Системой Хаара на отрезке [0, 1] называется система функций {n } , в которой n=1 1 (x) = 1 для всех x [0, 1], а функции n с 2k < n 2k+1 , k = 0, 1, 2, . . . определяются так: k/2 + 2 , при x n , n (x) = -2k/2 , при x - , n 0, при x (0, 1) \ n .
Значения n в точках разрыва и в концах отрезка [0, 1] выбираются так, чтобы выполнялись равенства ( ) n (x) = lim n (x - ) + n (x + ) , x (0, 1),
0

n (0) = lim n ( ),
0+
k+1

n (1) = lim n (1 - ).
0+

2 Совокупность функций {n (x)}n=2k +1 будем называть k -й пачкой функций Хаара. Часто удобнее использовать нумерацию с двумя индексами, прямо указывающую на то, в (0) (i) какой пачке лежит данная функция: полагают 0 = 1 и k = n при n = 2k + i, i . 2k , { = 1i, . . k , } k = 0, 1, 2, . . .. Таким образом, система Хаара состоит из объединения пачек () 2 (0) {k }i=1 k=0 и функции 0 . Из отмеченных свойств двоичных интервалов и определения функций Хаара следует, что система Хаара ортогональна и n L2 = 1 при всех n N. Поэтому для любой функции f L1 [0, 1] можно обычным образом определить е? коэффициенты Фурье 1 H Хаара cH (f ) = f (x)n (x) dx, n N, и частные суммы ряда Фурье Хаара SN (f ) = n N n=1 0

cn (f )n , N N.

Отметим несколько важных свойств системы Хаара, доказательства которых можно видеть в [1, гл. 3, 1, 2].

Лемма 1. Пусть N = 2k , k = 0, 1, . . ., DN множество функций, кусочно-постоянных
на двоичных интервалах 1 , . . . , N . Тогда линейная оболочка функций {n } ет с DN .
38
N n=1

совпада-


Плужникова А. А., Родионов Т. В.

Об одном аналоге системы Хаара

Лемма 2. Система Хаара полна в пространствах Lp [0, 1], 1

p < .

Напомним, что модулем непрерывности функции f C [0, 1] называется величина { } (f , ) = sup |f (x + h) - f (x)| x, x + h [0, 1], |h| < . Ясно, что lim (f , ) = 0.
0+

Сформулированные в тр?х следующих теоремах свойства системы Хаара будут перенесены на обобщ?нные T -системы Хаара в разделах 3, 4 (см. в них теоремы 4 6).

Теорема 1 (см. [4] и теорему 1 гл. 3 в [1]). Пусть функция f C [0, 1]. Тогда для е?
коэффициентов Фурье Хаара справедливо неравенство |cH (f )| n

(2n)-

1/2

(f , 1/n).

H функции f сходится к f равномерно на [0, 1] и при этом f - SN (f )C

Теорема 2 (см. [5], [7] и теорему 2 гл. 3 в [1]). Пусть f C [0, 1]. Тогда ряд Фурье Хаара
3 (f , 1/N ).

является базисом в пространстве Lp [0, 1].

Теорема 3 (см. [6] и и теорему 3 гл. 3 в [1]). Для любого p [1, ) система Хаара

2 Обобщ?нная T -система Хаара
Построение классической системы Хаара начинается с выделения на отрезке [0, 1] последовательности всех двоично-рациональных точек Q2 = {qn } с q0 = 0, q1 = 1 и n=0 qn = (2j - 1)2-k для n = 2k-1 + j , j = 1, . . . , 2k-1 , k N, и определения с их помощью двоичных интервалов. Функции Хаара каждой пачки задаются своими значениями на соответствующих двоичных интервалах. При этом каждая функция Хаара кусочнопостоянна и принимает на [0, 1] \ Q2 лишь три значения. В работе [2] для построения ортогональной системы кусочно-постоянных функций используется произвольная последовательность T = {tn } попарно различных точек n=0 отрезка [0, 1] с t0 = 0, t1 = 1. Положим

n = max{tm | tm < tn , m < n},

n = min{tm | tm > tn , m < n}

и определим обобщ?нную систему Хаара, порожд?нную последовательностью T , или обобщ?нную T -систему Хаара T = {n } следующим образом: 1 (x) = 1 при x [0, 1], n=1 при n = 2, 3, . . . n - t n , при x (n , tn ), (tn - n )(n - n ) tn - n n (x) = (1) , при x (tn , n ), - (n - tn )(n - n ) 0, при x (0, 1) \ [n , n ]. Значения функций n в концах отрезка определяются по непрерывности, а в точках разрыва внутри интервала (0, 1) выбираются равными полусумме пределов слева и справа. Взяв T = Q2 мы получим классическую систему Хаара. В дальнейшем будем предполагать, что последовательность T обладает ещ? одним свойством последовательности Q2 плотностью в [0, 1], или, что равносильно, для любых точек tn , tm с tn < tm существует точка tk (tn , tm ). } { k По аналогии с системой двоичных интервалов {i }2=1 k=0 , соответствующей послеki { k } довательности Q2 , определим систему интервалов {i }2=1 k=0 , соответствующую поki следовательности T , введя попутно двухиндексную нумерацию точек {tn } и функn=2 ций {n } . n=2 39


Соврем. проблемы математики и механики. Том IX, вып. 2. Исследования по математическому анализу

Положим 1 = (t0 , t1 ), t0,1 = t2 , 1 = (t0 , t2 ), 2 = (t2 , t1 ). Заметим, что 1 = (2 , 2 ). 0 1 1 0 Далее выберем в качестве t1,1 и t1,2 такие точки tm1,1 и tm1,2 из последовательности T , что tm1,1 1 , tm1,2 2 , 1 = (m1,1 , m1,1 ) и 2 = (m1,2 , m1,2 ). Точки t1,1 , t0,1 и t1,2 1 1 1 1 разбивают интервал (0, 1) уже на четыре интервала, которые мы обозначим через 1 , 2 , 2 2 3 , 4 , нумеруя их слева направо. 2 2 { k }K Пусть интервалы {i }2=1 k=0 , K N, уже определены. Тогда для всех j = 1, . . . , 2K ki выберем tK,j = tmK,j , так что tmK,j j и j = (mK,j , mK,j ). В силу плотности последоK K вательности T такой выбор всегда возможен: можно взять mK,j = min{n N | tn j }. K { }K 2k K +1 Теперь точки {tk,i }i=1 k=0 разбивают интервал (0, 1) на 2 интервалов, которые будем 1 2 2K +1 обозначать через K +1 , K +1 , . . . , K +1 , нумеруя их слева направо. Таким образом, мы построили искомую систему интервалов и задали двухиндексную нумерацию точек последовательности T . Функцию mk,i обобщ?нной T -системы Хаара, соответствующую по формуле (1) точке tmk,i = tk,i будем обозначать также и через k,i . Точки mk,i и mk,i , являющиеся концами интервала i будем обозначать также и чеk рез k,i и k,i . Построенные интервалы, подобно двоичным интервалам, обладают следующими свойствами:

ћ i j = при i = j ; k k ћ если два интервала пересекаются, то один из них вложен в другой.
Кроме того, непосредственно из (1) следует, что носителем функции [k,i , k,i ], т. е. supp k,i = [k,i , k,i ] = i , и что k
k,i

является отрезок

k,i (x) dx =
i k

t k

,i




k,i

k,i -t
k,i

k
k,i k,i

,i

(t

-

)(k,i -

)

dx -
tk
,i





t

k,i k,i

-

k,i k,i

(k,i -t

)(k,i -

)

dx = 0.

(2)



k,i

Лемма 3. Система T является ортонормированной системой в L2 [0, 1].
Доказательство. Пусть k , l N, i = 1, . . . , 2k , j = 1, . . . , 2l . Возьм?м функции k,i и l,j . 1 Если l = k , то носители этих функций не пересекаются и k,i (x)l,j (x) dx = 0.
Далее пусть l < k . Если i j = , то опять же k l
1 0 0

k,i (x)l,j (x) dx = 0. Если же

i j = , то i j и k k l l 1 k,i (x)l,j (x) dx =
0 i k

k,i (x)l,j (x) dx.

Тогда, если

l,j

> 0 на i , то используя (2) получаем, что k

i k

k,i (x)l,j (x) dx =


l,j

l,j -t
l,j


l,j l,j

(t

-

)(l,j -

)
i k

k,i (x) dx = 0.

40


Плужникова А. А., Родионов Т. В.

Об одном аналоге системы Хаара

А если

l,j

< 0 на i , то аналогично получаем, что k tl,j -l,j k,i (x)l,j (x) dx = -

i k


l,j

(l,j -tl,j )(l,j -

) i k

k,i (x) dx = 0.

Осталось показать ортогональность функции 1 остальным функциям системы:

1 k,i (x)1 (x) dx =
0

k,i (x) dx = 0.
i k

Определим для произвольной функции f L1 [0, 1] е? коэффициенты Фурье и частные суммы ряда Фурье по системе T :

1 ck,j (f ) =
0

f (x)k,j (x) dx, k = 0, 1, 2 . . . , j = 1, . . . , 2k , 1 c1 (f ) =
0

1 f (x)1 (x) dx = f (x) dx,

0 k 2 K -1 S2K (f ) = c1 (f )1 + ck,j (f )k,j , K N, k=0 J j =1 j =1

SN (f ) = S2K (f ) +

c

K,j

(f )

K,j

, N = 2K + J, K N, J = 1, . . . , 2K - 1.

валах { с Y2 k .

Лемма 4. Пусть k N, Y { }
k j 2l l }j =1 l=0

множество функций, кусочно-постоянных на интер{ l }k -1 . Тогда линейная оболочка функций {1 } {l,j }2=1 l=0 совпадает j
2
k

Доказательство. Множество Y2k является 2k -мерным линейным пространством. Указанные функции лежат в Y2k , поэтому их линейная оболочка является линейным подпространством в Y2k . Кроме того, они линейно независимы, так как ортогональны друг другу. Поэтому их линейная оболочка 2k -мерна и, следовательно, совпадает с Y2k .

Лемма 5. Система T полна в пространствах Lp [0, 1], 1

Доказательство. Поскольку последовательность T плотна в [0, 1], то множество (Y2k | k N) всех функций, кусочно-постоянных на интервалах j , плотно в пространстве всех k простых функций на [0, 1], а значит и в пространствах Lp [0, 1], 1 p < . Отсюда, учитывая лемму 4, получаем утверждение.

p < .

3 Свойства системы T в пространстве непрерывных функций

} { Пусть далее rk = max |j | | j = 1, . . . , 2k максимальная длина интервала k -й пачки, k k N. Из плотности T следует, что rk 0 при k . В случае классической системы Хаара rk = 2-k .
41


Соврем. проблемы математики и механики. Том IX, вып. 2. Исследования по математическому анализу

Теорема 4. Пусть f C [0, 1]. Тогда для коэффициентов Фурье функции f по системе T справедливо неравенство |ck,j (f )|
k,j



rk (f , rk ) при k N, j = 1, . . . , 2k .

Доказательство. Поскольку supp
k
,j

= [k,j , k,j ], имеем

ck,j (f ) =

k,j

f (x)k,j (x) dx =
t k
k,j ,j

=

k,j -t
k,j

(tk,j -

)(k,j -k,j )
k,j

f (x) dx -
t



t

k,j k,j

-

k
k,j k,j

,j

(k,j -t

)(k,j -

) t
k,j

f (x) dx = )
k,j

k,j

=

(k,j -tk,j )

(k,j -t

k,j

1 )(tk,j -

(
k
,j

k,j

)(k,j -

k,j

)
k,j

f
(k,j -t
k,j

t -t

dt-

) )

-

k,j (t,j - k (k,j -tk
,j

k,j

1 )(tk,j -

(
t
k,j

k,j

)(k,j -k,j ) t t
k,j k,j

f
(t
k,j

u -

)
k,j

du = ( ))
,j

- )

k,j

)

=

(k,j -t

k,j

(k,j -t

k,j

1 )(tk,j -

k,j

)(k,j -

k,j

)
k,j

(( f

k

,j

t -t

)
k,j

-f

t-k,j k,j +t2 k tk,j -k,j

dt.

(

k,j

-t

k,j

)

Отсюда следует оценка

|ck,j (f )|



(

k,j

ћ sup

{ f

(

-tk,j )(tk,j - k,j -k,j k
,j

k,j

)

t -t

)

k,j

-f

ћ (

t-k,j k,j +t2 k tk,j -k,j

)
,j

[ | t k,j (
k,j

k,j

- tk,j ), tk,j (

k,j

]} - tk,j ) . (3)

Рассмотрим линейные по t функции x(t) =

t k,j -t

и

h(t) =

t-k,j k,j +t tk,j -k,j

2 k,j

-

k

,j

t -t

k,j

=

k,j -2tk,j +k,j (k,j -tk,j )(tk,j -k,j )

t-

t

2 k,j

t

k,j

-k,j k -k,j

,j

.

[ ] На отрезке k,j (k,j - tk,j ), tk,j (k,j - tk,j ) имеем 0 k,j x(t) k,j 1и |h(t)| max{k,j - tk,j , tk,j - k,j } < rk . Для линейной функции g (t) = h(t) + x(t) имеем |g (t)| max{k,j , tk,j } 1. Таким образом, аргументы функции f в супремуме из формулы (3) принадлежат отрезку [0, 1], а разность между ними меньше rk . Следовательно, этот супремум не превосходит величины (f , rk ). Поэтому |ck,j (f )|
В итоге, |ck,j (f )|



(k,j -tk,j )(tk,j - k,j -k,j

k,j

)

(f , rk ).

(4)

rk (f , rk ). 2 (f , rK ), N = 2K + J , K N,

Теорема 5. Пусть f C [0, 1]. Тогда ряд Фурье функции f по системе T сходится
к f равномерно на [0, 1] и при этом f - SN (f )C J = 0, 1, . . . , 2K - 1.
42


Плужникова А. А., Родионов Т. В.

Об одном аналоге системы Хаара

Доказательство. Для каждого k N определим функцию mk (f ) Y2k , полагая
k
,j

mk ( f , x ) =

1 k,j -

k,j

f (t) dt для всех x j , j = 1, . . . , 2k . k

k,j

{ k } K -1 Учитывая, что функции {k,j }2=1 k=0 , K N, и функция mK (f ) постоянны на каждом j K из интервалов 1 , . . . , 2 , будем иметь K K ck,j (mK (f )) =
2
K

K 2K i=1 K K
,i

,i

mk (f , x)k,j (x) dx =
2
K

K 2K i=1

,i

K 1 K,i -
K,i

,i

f (t) dt k,j (x) dx =

K,i

,i

K,i

K

,i

=

k,j (t

K,i

)

K,i

f (t) dt =

f (t)k,j (t) dt = ck,j (f ), k = 0, . . . , K - 1, j = 1, . . . , 2k .
K,i

i=1

i=1

Аналогично и c1 (mK (f )) = c1 (f ). Следовательно, 2k K -1 ck,j (mK (f ))k,j = S S2K (mK (f )) = c1 (mK (f ))1 +
k=0 j =1

2

K

(f ).

Согласно лемме 4 функция mK (f ), как и всякая функция из Y2K , имеет вид mK (f ) = ) ( K -1 2l al,i l,i . Тогда из ортонормированности системы T вытекают равенства a1 1 +
l=0 i=1

c1 (mK (f )) = a1 , ck,j (mK (f )) = ak,j для всех k = 0, . . . , K - 1 и j = 1, . . . , 2k . Следовательно, S2K (f ) = S2K (mK (f )) = mK (f ).
Отметим также, что при x j , j = 1, . . . , 2K , K
K
,j

(5)

|mK (f , x) - f (x)|

K

,j

1 -

K,j

|f (t) - f (x)| dt

K,j

(f , rK ),

откуда следует неравенство mK (f ) - f C (f , rK ). Учитывая (5) заключаем отсюда, что f - S2K (f )C (f , rK ). Установим похожую оценку для частных сумм общего вида SN (f ) и, тем самым, их равномерную сходимость к функции f . Поскольку в любой точке x [0, K,J ), J = 1, . . . , 2K - 1, функции K,J +1 , . . . , K,2K обращаются в нуль, SN (f , x) = S2K +1 (f , x). Аналогично, поскольку в любой точке x (K,J , 1], функции K,1 , . . . , K,J обращаются в нуль, SN (f , x) = S2K (f , x). Наконец, SN (f , K,J ) = S2K (f , K,J ) + cK,J (f )K,J (K,J ). Теперь, приняв во внимание оценку для f - S2K (f )C , формулу (1), определяющую функции системы T , и оценку (4) можно заключить, что } { f - SN (f )C max f - S2K (f )C , f - S2K +1 (f )C , f - S2K (f ) - cK,J (f )K,J (K,J )C } { tK,J -K,J max (f , rK ), (f , rK +1 ), (f , rK ) + |cK,J (f )| (K,J -tK,J )(K,J -K,J ) { } tK,J -K,J max (f , rK ), (f , rK ) + K,J -K,J (f , rK ) 2 (f , rK ).

43


Соврем. проблемы математики и механики. Том IX, вып. 2. Исследования по математическому анализу

Замечание 1. Здесь нам пришлось использовать более точную оценку (4) из доказатель ства теоремы 4, а не оценку |ck,j (f )| rk (f , rk ) из утверждения теоремы, поскольку t -k,j точка tk,j может быть сколь угодно близка к k,j а отношение kk,j -tk,j , соответственно, ,j сколь угодно велико. В случае классической системы Хаара точка лежит посредине, а это отношение равно 1.

Замечание 2. На первый взгляд кажется, что общая теорема 5 да?т для классической

системы Хаара лучшую постоянную в оценке скорости сходимости, чем теорема 2. Однако, в действительности дело обстоит противоположным образом. Для системы Хаара в [1, H гл. 3, теорема 2] фактически получена оценка f - SN (f )C 3 (f , 2-k-1 ) = 3 (f , rK +1 ), K K H N = 2 + J , J = 0, 1, . . . , 2 - 1. А из теоремы 5 вытекает лишь оценка f - SN (f )C 2 (f , rK ) = 2 (f , 2-K ) 4 (f , 2-K -1 ) = 4 (f , rK +1 ). И в общем случае из оценки через (f , rK ) нельзя получить оценку через (f , rK +1 ), так как последовательность {rK } может стремиться к нулю сколь угодно медленно.

4 Базисность системы T в пространствах Lp , 1

p<

Теорема 6. Для любого p [1, ) система T является базисом в пространстве Lp [0, 1].
Доказательство. Для того чтобы система {bn } элементов банахова пространства B n=1 являлась базисом в н?м необходимо и достаточно [1, гл. 1, теорема 6], чтобы эта система была полна, минимальна и для не? существовала такая постоянная M > 0, что
N n=1

b (f )bn n

B

M f

B

для всех N N и f B , где {b } система, сопряж?нная к {bn } . n n=1 n=1 Система T полна в силу леммы 5. Далее, по лемме 3 она ортогональна, а, следовательно, минимальна и при этом (f ) = cn (f ). Таким образом, оста?тся показать, что n SN (f )Lp M f Lp , N = 2K + J , K N, J = 0, 1, . . . , 2K - 1. Опираясь на равенство (5) и определение функции mK (f ), получаем

S2K (f )
Далее, если p = 1, то

p L

p

= mK (f )

p L

p

=

K 2K j =1

,j

K
,j

,j

(K
K,j

1 -

p

K,j

)p
K,j

f (t) dt dx.

S2K (f )

p Lp

=

K 2K j =1

,j

f (t) dt

K 2K j =1

,j


0

1

|f (t)| dt =

|f (t)| dt = f p p . L

K,j

K,j

При p > 1 воспользуемся неравенством Г?льдера:
2K j =1 K
,j

S2K (f )p p = L

(
K,j

K,j

1 -

K,j

)p

( K,j ) |f (t)|p dt

K,j

1/p

( K

,j

) dt

p
1-
1 p

dx =



K,j

44


Плужникова А. А., Родионов Т. В.

Об одном аналоге системы Хаара

=

2K j =1

K

,j

(K,j - K,j )p- (K,j - K,j )p

1

( K,j ) p |f (t)| dt
K
,j

p
1/p

K 2K dx = j =1

,j

K
,j

,j

K

1 -

K,j

|f (t)|p dt dx =

K,j

K,j

K,j

=
0

1

|f (t)|p dt = f p p . L

Применяя найденное в конце доказательства теоремы 5 представление

SN (f , x) =
получаем оценку

S
K,J

S K (f , x ) + c 2

(f , x), x [0, K,J ), S2K (f , x), x (K,J , 1], (f )K,J (x), x = K,J ,
2K
+1

SN

Lp

{ max S2K (f )Lp , S

2K

+1

(f )Lp , S2K (f )

L

p

+ |c

K,J

} (f )|K,J Lp f Lp + |cK,J (f )|K,J Lp . (6)

Вычислив нормы


и

K,J L

p

= (
K,J

(

K,J

-t

K,J

)1

-

1 p

+ (t

K,J
1 2

-
1 p

K,J

)

1-

1 p

- K,J )

1/2

(t

K,J

- K,J )

-

(K,J - t

K,J

)

1 2

-

1 p



K,J C

= sup |K,J (x)| =
x[0,1]



K,J

1 max - K,J

{

K,J - tK,J , tK,J - K,J



tK,J - K,J K,J - tK,J

} ,

оценим величину |c

K,J

|

K,J L

p

. При p = 1 имеем

|c

K,J

|

K,J L

1

f L1
1 K,J -
K,J

K,J C

f

K,J L {

1

L

1

max

K,J -tK,J tK,J -K,J

,

tK,J -K,J K,J -tK,J

}

ћ2



(t

K,J

-K,J )(K,J -t K,J -K,J K,J

K,J

)

= f L1 ,

=

max{K,J - tK,J , tK,J - K,J - K,J

}

f L

1

а при p > 1, вновь применяя неравенство Г?льдера, имеем

|c

K,J

|
L

K,J L

p

f Lp
(K,J -t
K,J

K,J



L

p p-1



K,J L

p

f

)

1 1- p

p

(K,J -
p

K,J

)1

/2

(t

K,J

-

1 1- p K,J -K,J ) 1-1 1-1 2 p ( 2p K,J ) K,J -tK,J )

+(t

ћ

(K,J -t (K,J -
K,J

K,J

)

1/p

)1

/2

(t

K,J

-

1/p K,J -K,J ) 1-1 11 p 2 ( p-2 K,J ) K,J -tK,J )

+(t

=

= f L

K,J -t

K,J

+t

K,J

-

K,J

+(K,J -t

K,J

)1/p (tK,J -K,J ) K,J -K,J
K,J

1 1- p

+(K,J -t
K,J K,J

K,J

)

1 1- p

(t

K,J

-

K,J

)1

/p

(K,J -

)+(K,J - K,J -
p

)+(K,J -

K,J

)

f L

p

3f Lp .

В итоге, из (6) получаем желаемую оценку SN L 45

4f Lp .


Соврем. проблемы математики и механики. Том IX, вып. 2. Исследования по математическому анализу

Список литературы
[1] Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. М.: АФЦ, 1999. [2] Лукашенко Т. П. Рекурсивные ряды Фурье Стилтьеса. В кн.: Соврем. проблемы теории функций и их прилож.: Матер. 16-й Саратов. зимней школы. Саратов, ?Научная книга?, 2012. С. 108109. [3] Плужникова А. А., Родионов Т. В. Об одном аналоге системы Хаара. В кн.: Соврем. проблемы теории функций и их прилож.: Матер. 17-й междунар. Саратов. зимней школы. Саратов: ?Научная книга?, 2014. С. 212214. [4] Ciesielski Z. On Haar functions and on the Schauder basis of the space C (0, 1) // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astron. Phys., 1959, v. 7, p. 227232. [5] Haar A. Zur Theorie de orthogonalen Funktionensysteme // Math. Ann., 1910, v. 69, p. 331371. [6] Schauder J. Einigу Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems // Math. Zeit., 1928, v. 28, p. 317320. [7] Szokefalvi-Nagy B. Approximation properties of orthogonal expansions // Acta Sci. Math., 1953, v. 15, p. 3137.

46


Смолянов О. Г., Шамаров Н. Н.

Спиновая динамика как результат супераналога

qp

-квантования

Спиновая динамика как результат супераналога q p-квантования
Смолянов О. Г.1 , Шамаров Н. Н.
2

Получен оператор Паули для электрона в слабом постоянном магнитном поле с помощью супераналога q p-квантования подходящей функции Гамильтона, определ?нной на части суперпространства, порожд?нного классическим фазовым пространством.

Получен оператор Паули для электрона в слабом постоянном магнитном поле с помощью супераналога q p-квантования подходящей функции Гамильтона, определ?нной на части суперпространства (см. [1] [5]), порожд?нного классическим фазовым пространством. Под спиновой динамикой понимается квантовая динамика частицы в электромагнитном поле с уч?том наличия у не? спина; как и всякая динамика квантовой системы, спиновая динамика описывается однопараметрической группой {U (t)}tR операторов в некотором гильбертовом пространстве H. Следуя физической традиции, генератором такой группы будем называть е? сильную производную в нуле, умноженную на мнимую единицу, и обозначать H = iU (0) (как правило, H определен лишь на плотном подмножестве d гильбертова пространства: D(H ) = {h H : H h = dt t=0 U (t)q H}); этот генератор называется также оператором Шредингера (в широком смысле) описываемой системы. Оператор Шредингера для нерелятивистской спиновой динамики в приближении слабого постоянного магнитного поля, который сейчас будет описан и использован далее, называется также оператором Паули [6]. Действует этот оператор Паули, обозначаемый далее H P , в гильбертовом пространстве L2 (R3 , C2 ) регулярных обобщ?нных функций с квадратично интегрируемыми плотностями : R3 C2 , (q ) = (1 (q ), 2 (q )), q R3 , 1 , 2 L2 (R3 , C) по формуле
3 -(q ) e H (q ) = - eA0 (q )(q ) + Bk ћ (Mk + k )(q ), (1) 2m 2mc k=1 P

где оператор Лапласа, M1 = q2 p3 - q3 p2 , M2 = q3 p1 - q1 p3 и M3 = q1 p2 - q2 p1 операторы компонент орбитального момента электрона, e абсолютная величина его заряда и m его масса, постоянная Планка, c скорость света (физические единицы берутся в системе СГС), A0 потенциал электрического поля, в котором находится электрон, Bk
Смолянов Олег Георгиевич, smolyanov@yandex.ru, профессор, кафедра теории функций и функционального анализа, механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. Шамаров Николай Николаевич, nshamarov@yandex.ru, доцент, кафедра математического анализа, механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова.

47


Соврем. проблемы математики и механики. Том IX, вып. 2. Исследования по математическому анализу

вещественные компоненты вектора напряженности постоянного магнитного поля, и (k {1, 2, 3}) классические матрицы Паули:

k

( 1 =

01 10

) , 2 =

(

0 -i i0

) , 3 =

(

10 0 -1

) ,

задающие единственное до изоморфизма унитарное представление антикоммутационных соотношений [k , ]+ = 2k, . (2) Операторы Шредингера в широком смысле, включая H P , называют также гамильтонианами квантовой системы, что и отражается традиционной буквой Н в обозначении H , тогда как крышка над этой буквой означает, что, как правило, оператор Шредингера получают из некоторой функции Гамильтона H классической механической системы в виде псевдодифференциального оператора (ПДО) с символом H . Переход от функции Гамильтона к соответствующему гамильтониану называют также квантованием, а в случае, когда H является ПДО с q p-символом H соответственно, q p-квантованием. В случае же оператора Паули до сих пор не был известен способ получения этого оператора с помощью q p-квантования классической функции Гамильтона, аргументы которой называют каноническими фазовыми переменными. В статье Березина и Маринова [7] высказана идея о том, что при описании динамики спина как результата квантования классической гамильтоновой системы нужно использовать антикоммутирующие аналоги канонических переменных! . " Удобство вида оператора H P для наших целей состоит в том, что 1) все слагаемые, кроме содержащих матрицы Паули, получаются с помощью q p-квантования известных функций, 2) операторы, которые умножаются на матрицы Паули, также получаются с помощью q p-квантования известных функций, и 3) в том, что действие каждой матрицы Паули на функции коммутирует с действием того оператора, на который она умножается. Основная идея статьи состоит в подборе трех таких линейных функций s1 , s2 , s3 фазовых антикоммутирующих переменных, что соответствующие операторы s1 , s2 , s3 удовлетворяют соотношениям, получающимся из (2) заменой всех k на sk соответственно. Оказывается, что для этого, используя стандартные формулы для ПДО с q p-символами, можно использовать всего шесть фазовых антикоммутирующих переменных (три координатных и три импульсных), и каждую sk задать как сумму двух соответствующих переменных одной координатной и одной импульсной с тем же индексом k . Реализации этой схемы и посвящен дальнейший текст, состоящий из следующих частей. Сначала мы придаем смысл понятиям вещественных антикоммутирующих переменных, и вещественного суперпространства с тремя обычными и тремя антикоммутирующими переменными. Последнее суперпространство, обозначаемое Q, используем в роли конфигурационного пространства при определении подходящих ПДО с pq -символами, для чего, в свою очередь, строим подходящий аналог преобразования Фурье в состоящем из функций на Q аналоге пространства L2 . Наконец, строим некоторый ПДО, содержащий упомянутые выше операторы sk , из которого получаем оператор Паули простой заменой этих sk на соответствующие матрицы Паули k , обосновывая законность такой замены единственностью неприводимого представления соотношений (2).
" Следует отметить, однако, что в статье [7] оператор Паули не получен описанным способом. ! Теория функций обычных и антикоммутирующих переменных называется суперанализом [3].

48


Смолянов О. Г., Шамаров Н. Н.

Спиновая динамика как результат супераналога

qp

-квантования

1 Конфигурационное и фазовое суперпространства
Векторное пространство E называется Z2 -градуированным (для краткости далее пишем: 2-градуированным), если задана упорядоченная пара (E0 , E1 ) взаимно дополнительных его подпространств, E = E0 E1 ; при этом подпространство E0 называют ч?тным, а E1 неч?тным. Для задания этих подпространств удобно использовать линейный проектор PE (оператор ч?тности), ядро которого совпадает с ч?тным, а образ с неч?тным подпространством (тогда Ej = Ker(PE - j ), j {0, 1}). Ч?тное и неч?тное подпространства и их элементы называются также однородными. Переменные, принимающие значения в ч?тных (неч?тных, однородных) подпространствах 2-градуированных пространств, называются также неч?тными (соответственно, неч?тными, однородными). Линейный оператор L : E F между 2-градуированными пространствами называется согласованным с градуировкой, или сохраняющим ч?тность, если L(Ej ) Fj . В случае, когда 2-градуированное пространство E локально выпукло (соответственно, гильбертово), предполагается, что соответствующий проектор PE непрерывен (соответственно, симметричен)# . Линейный функционал на 2-градуированном пространстве E называется ч?тным, если его сужение на неч?тное подпространство равно нулю, и неч?тным, если (E0 ) = 0; так вводится 2-градуировка на пространстве E # всех линейных функционалов на E (со значениями в основном поле). Далее 2-градуированным подпространством 2-градуированного пространства E называется называется всякое такое линейное подпространство S E , что S = S0 + S1 , где S0 = S E0 и S1 = S E1 , и соответственно PS есть сужение оператора PE на S . Под 2-градуированным декартовым (тензорным) произведением двух 2-градуированных пространств E = E0 E1 и F = F0 E1 понимается прямая двух сумма декартовых (соответственно, тензорных) произведений однородных подпространств одинаковой ч?тности (E0 на F0 и F1 на F1 ) и соответственно сумма E0 F0 E1 F1 , обозначается далее E 2 F = (E 2 F )0 + (E 2 F )1 , где (E 2 F )0 = E0 F0 и (E 2 F )1 = E1 F1 ; аналогично используется знак Ч2 для суммы декартовых произведений: E Ч2 F = E0 Ч F0 E1 Ч F1 . В полном декартовом произведении E Ч F также можно ввести 2-градуировку, используемую далее в определении супералгебры. Именно, полагаем (E Ч F )0 = E Ч2 F и (E Ч F )1 = E1 Ч F0 E0 Ч F1 . Точно так же (с заменой Ч на ) распространяем 2-градуировку на полное тензорное произведение E F . Под супералгеброй над полем K далее понимается произвольное 2-градуированное пространство A = A0 A? над K , снабженное таким K -билинейным отображением (на? 1 зываемым умножением в A), что A? A? + A? A? A? и A? A? + A? A? A? $ . Далее рассмат00 11 0 01 10 1 риваем только (супер-) коммутативные (ассоциативные) супералгебры, то есть такие, в которых ч?тные элементы коммутируют со всеми, а неч?тные антикоммутируют между собой (ab = (-1)j k ba, если a A? и b Ak ). ? j Пусть A = A? A? ассоциативная суперкоммутативная супералгебра над полем R 0 1 вещественных чисел с единицей 1A ; полагаем A0 = R ћ 1A . Далее предполагаем, что A? 1 имеет нулевой аннулятор A {a A : aA1 = {0} }; это свойство A = {0} гарантирует ? ? 1 1 бесконечномерность A? над R и тот факт, что всякий элемент алгебры однозначно восста1
# Дальнейшие определения с префиксом 2- согласуются со структурой категории 2-градуированных
пространств (соответственно, локально выпуклых или гильбертовых), в которой морфизмами считаются линейные (соответственно, непрерывные) отображения

L:EF

, сохраняющие ч?тность (или, что то

же, диаграммно коммутирующие с соответствующими операторами ч?тности в смысле суперанализе, в отличие от этой категории, рассматриваются также отображения

$ То есть, если соответствующее

K

-линейное отображение

AAA

LPE = PF L). E0 F1 и др. [3].

В

сохраняет 2-градуировку.

49


Соврем. проблемы математики и механики. Том IX, вып. 2. Исследования по математическому анализу

навливается по результатам его умножения на всевозможные элементы из A? . Предпола1 гаем в A наличие локально выпуклой топологии, относительно которой алгебраические операции непрерывны. Предполагаем, что в множестве A? имеется такая упорядоченная линейно независи1 мая тройка неч?тных элементов (1 , 2 , 3 ) (A? )3 , что порожденная единицей и ими 1 подалгебра в A восьмимерна (то есть, изоморфна грассмановой алгебре с тремя образующими 1 , 2 , 3 , и, в частности, имеет в качестве линейного базиса векторы 1A , 1 , 2 , 3 , 1 2 , 3 1 , 2 3 и 1 2 3 ); такие алгебры используются, например, в [4]. Под A-суперпространством над 2-градуированным пространством E = E0 E1 далее понимаем всякое 2-градуированное подпространство S в 2-градуированном тензорном произведении A 2 E . Для случая основного поля C все определения аналогичны. Как правило, поле вещественных чисел используется для областей определения классических наблюдаемых, а поле комплексных чисел для пространств, связанных с квантовыми наблюдаемыми. Перейдем к построению конфигурационного A-суперпространства Q = Q0 Q1 над некоторым шестимерным пространством E = E0 E1 , где E0 E1 R3 со стандартными = = базисами, элементы которых обозначим e1 , e2 , e3 для E0 E и 1 , 2 , 3 для E1 E . В качестве Q0 A 2 E используем копию тр?хмерного евклидова пространства

A0 E0 LinR (1A e1 , 1A e2 , 1A e3 )
(LinR означает вещественную линейную оболочку), а в качестве Q1 сумму A? 1 + 1 A? 2 + A? 3 . 1 1 Таким образом, в терминах свободного A-модуля A E , частью которого является суперпространство Q = Q0 + Q1 , в неч?тной части Q1 пространства Q каждая точка q1 имеет вид q1 = 1 ћ 1A 1 + 2 ћ 1A 2 + 3 ћ 1A 3 , где три независимые A? -значные координаты j при базисных векторах 1A j в мо1 дуле A Q антикоммутируют друг с другом (j = 1, 2, 3); при этом в ч?тной части Q0 пространства Q каждая точка имеет вид

q0 = (x1 ћ 1A ) ћ 1A e1 + (x2 ћ 1A ) ћ 1A e2 + (x3 ћ 1A ) ћ 1A e3 ,
где коэффициенты xj обычные вещественные, и три A-значные координаты qj = xj ћ 1A при базисных векторах 1A ej коммутируют со всеми элементами координатной супералгебры A . Под соответствующим конфигурационному суперпространству Q фазовым суперпространством понимаем декартов квадрат этого вещественного пространства, в котором второй сомножитель интерпретируется как пространство импульсов. Далее систематически Q0 отождествляем с R3 и т. п., где это не приводит к искажению смысла; также вместо q0 и q1 пишем q и соответственно.

2 Пространства типа Шварца и типа L2 функций на Q и преобразование Фурье
Пространство типа Шварца S (Q), состоящее из функций, зависящих от тр?х ч?тных координатных переменных qj = xj ћ 1A (xj R) и тр?х неч?тных j A1 , определяем как 50


Смолянов О. Г., Шамаров Н. Н.

Спиновая динамика как результат супераналога

qp

-квантования

изоморфное пространству (AC -значных, где AC C R A комплексификация вещественной алгебры A) полиномов от неч?тных переменных k с коэффициентами, принадлежащими пространству Шварца S (R3 , C) комплекснозначных функций вещественных переменных xj . Поэтому элементы из S (Q) отождествляем с некоторыми AC -значными функциями на пространстве Q. Равенство A = {0} гарантирует также совпадение анали? 1 тического и алгебраического определений частного дифференцирования [5] по неч?тным переменным (в смысле сокращения слева) элементов из пространства S (Q), и замкнутость этого пространства относительно поточечного умножения. Это пространство S (Q) мы и называем далее суперпространством типа Шварца. Считая восемь канонических одночленов (мономов)

Md

1

,d2 ,d

3

( ) = (1 )d1 (2 )d2 (3 )d

3

(dj {0, 1})

от тр?х неч?тных переменных нормированными, и подпространства в S (Q), получаемые умножением этих мономов на S (R3 , C), ортогональными, а так же используя обычное эрмитово скалярное L2 -произведение на S (R3 , C), наделяем комплексное суперпространство S (Q) комплексным (эрмитовым) скалярным произведением, пополнение по которому обозначаем L2 (Q) и называем суперпространством типа L2 ; оно изоморфно пространству многочленов от тр?х неч?тных переменных с коэффициентами из L2 (R3 , C). Как известно, определ?нным интегралом по пространству изменения каждой неч?тной переменной можно считать (снова левую) производную, и в повторных интегралах при этом достаточно указывать порядок действий (как и при дифференцировании по неч?тным переменным). Аналогично дифференцирование и интегрирование производятся в пространстве S (Q) AC S (Q) S (Q2 ), три дополнительные вещественные переменные в котором называем ч?тными импульсными и иногда обозначаем pj , а три дополнительные неч?тные 0 называем неч?тными импульсными и иногда обозначаем pj соответственно (j = 1, 2, 3). 1 Далее для q = (q1 , q2 , q3 ) R3 и q = (q1 , q2 , q3 ) R3 полагаем q ћ q = 3=1 qj qj и т.п., тогда ~ ~~~ ~ ~ j 3 ~ ~~~ как для наборов неч?тными компонентами = (1 , 2 , 3 ) A? и = (1 , 2 , 3 ) A? 3 с 1 1 ~ = 3 (-1)j -1 j j . При интегрировании по всей области определения ин~ полагаем ћ j =1 тегрируемых функций эту область интегрирования опускаем. Прямое преобразование Фурье F - в пространстве S (Q) f определяем повторным интегралом вида - (F f )(p0 , p1 ) = dq1 dq2 dq3 d3 d2 d1 exp{-i(2 q ћ p0 ) + p1 ћ }f (q , ), при этом новые аргументы pj A0 и pj A? называются сопряж?нными к исходным qj 1 0 1 и j соответственно) а обратное к F - преобразование, обозначаемое F + , отличается от прямого лишь отсутствием знака минус перед скалярным произведением вещественных векторов q ћ p. Коэффициент 2i обеспечивает унитарность замыкания этих операторов в L2 (Q)-норме.

Теорема 1. Преобразование Фурье канонического монома
M
d1 ,d2 ,d3 ,g dd (q , ) = 1 1 2 2 d 3
3

ћ g (q )
-d

(g S (R3 , C), dj {0, 1}) есть взаимный к нему канонический моном

где g (p) = ^



M1 dq1 dq2 dq3 e

-d1 ,1-d2 ,1-d3 ,a,g ^

(p, ) =

1-d 1

1

1 1 2 -d2 3

3

ћ g (p), ^

-2 i pћq

g (q ).
51


Соврем. проблемы математики и механики. Том IX, вып. 2. Исследования по математическому анализу

Следствие. Преобразованием Фурье канонического монома, умноженного слева на

неч?тный аргумент, является продифференцированный (слева) по соответствующему сопряж?нному аргументу результат преобразования Фурье исходного монома с точностью до знака.

3 Псевдодифференциальные операторы и оператор Паули
Пусть функция H : Q2 A содержится в алгебре, порожд?нной константами, проекциями на (как вещественные, так и неч?тные) координатные оси и функциями из S (Q). Под псевдодифференциальным оператором (ПДО) H (для которого функция H играет роль, аналогичную роли pq -символа ПДО в обычном анализе) понимаем линейный оператор, определ?нный на пространстве S (Q) и переводящий произвольную функцию f в функцию H f : Q A, значение которой в произвольно заданной точке (q , ) Q равно значению в этой точке обратного преобразования Фурье F + , примен?нного к функции Q (p, ) H (q , p; , ) ћ (F - f )(p, ). Для получения оператора Паули для динамики электрона в постоянном магнитном поле обозначим, следуя Фоку [6], через H0 вещественную часть функции Гамильтона, p2 e зависящую только от координат и импульсов: H0 (q , p) = 2m + U (q ) + 2mc B ћ (q Ч p), где U (q ) -eA0 (q ) потенциальная энергия электрона в электрическом потенциале A0 (предполагаем, что A0 S (R3 , R)), B R3 постоянный вектор напряж?нности магнитного поля, q Ч p векторное произведение элементов p, q R3 . Полную же функцию Гамильтона H (q , p, , ) = H0 (q , p) + H1 ( , ) получим, определив функцию H1 (зависящую только от неч?тных фазовых переменных) формулой
3 e H1 ( , ) = (k + k )Bk ). 2mc j =1

Теорема 2. Операторы sk , где sk ( , ) = k + k (k = 1, 2, 3), удовлетворяют антикоммутационным соотношениям [sk , s ]+ = 2k, . ^^
Для доказательства достаточно применить антикоммутаторы к мономам. Поскольку неприводимое представление соотношений (1), связывающих операторы sk , реализуется матрицами Паули, естественно заменить эти операторы в выражении 3 H1 = 2e Bk sk матрицами Паули. mc
j =1

Теорема 3. Если заменить операторы sk в выражении для оператора
H1 =
3 e Bk s 2mc j =1 k

матрицами Паули k , то псевдодифференциальный оператор H = H0 + H1 станет оператором Паули H для электрона в постоянном магнитном поле [6, формула (4) 7 части III, с.263]: 3 e - - eA0 + H = Bk ћ (Mk + k ), 2m 2mc k=1 где M1 = q2 p3 - q3 p2 , M2 = q3 p1 - q1 p3 и M3 = q1 p2 - q2 p1 операторы компонент орбитального момента электрона.
52


Смолянов О. Г., Шамаров Н. Н.

Спиновая динамика как результат супераналога

qp

-квантования

Список литературы
[1] Rogers A. A global theory of supermanifolds // J. Math. Phys., 1980, v. 21, p. 13521365. [2] DeWitt B. Supermanifolds. 2nd edition. (Cambridge Monographs on Mathematical Physics). CUP, Cambridge, 1992. [3] Владимиров В. С., Волович И. В. Суперанализ. I. Дифференциальное исчисление // ТМФ, 1984, т. 59, 1, с. 327. [4] Kupsch J., Smolyanov O. G. Functional representations for Fock superalgebras // Innite Dimensional Analysis, Quantum Probability, and Related Topics, 1998, v. 1, 2, 285324. [5] Хренников А. Ю. Суперанализ. М., Физматлит, 2005. [6] Фок В. А. Начала квантовой механики // М., Наука, 1976. [7] Березин Ф. А., Маринов М. С. Классический спин и алгебра Грассмана // Письма в ЖЭТФ, 1975, т. 21, 11, c. 678680.

53


Соврем. проблемы математики и механики. Том IX, вып. 2. Исследования по математическому анализу

Множества, обладающие непрерывной выборкой из оператора почти наилучшего проектирования
Царьков И. Г.
2

В работе изучаются множества, обладающие непрерывной -выборкой из оператора почти наилучшего проектирования. В частности, показано, что, если множество обладает непрерывной -выборкой для любого > 0, то оно бесконечно связно.

Цель данной работы охарактеризовать все замкнутые множества в банаховых пространствах, для которых для любого > 0 найдется непрерывная -выборка. Ознакомится с другими свойствами таких множеств можно в работах автора [1] и [2]. Обозначим через (B ) класс всех действительных банаховых пространств. Для проњ извольных X (B ), точки x X и числа r > 0 через S (x, r), B (x, r) и B (x, r) обозначим соответственно сферу, замкнутый и открытый шар радиуса r с центром в x, т.е. соответственно множества {y X | y - x = r}, {y X | y - x r} и {y X | y - x < r}. Для произвольных X (B ), x X и непустых множеств A, B X положим (x, A) = inf x - y . Для каждого непустого подмножества M X и любой точки x X через PM x мы обозначим метрическую проекцию x на M , т.е. PM x = {y M | x - y = (x, M )} представляет собой множество всех ближайших для x точек во множестве M . И для произвольного числа > 0 мы определим множества PM x = {y M | x - y (x, M ) + } = M B (x, (x, M ) + ) и њ x = {y M | x - y < (x, M ) + } = M B (x, (x, M ) + ). њ PM
множества M ), если (x) PM x для всех точек x X. y A

Определение 1. Мы будем говорить, что C (X, M ) непрерывная -выборка (для

њ Определение 2. Пусть X (B ), непустое множество M X называется V бесконечно
связным, если любое его непустое пересечение с открытым шаром бесконечно связно.

называется полунепрерывным снизу, если для любых точки x X и последовательности {xn }, сходящейся к x, верно неравенство lim (xn ) (x).
n
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (13-01-00022-a).
Царьков Игорь Германович, igtsarkov@yandex.ru, профессор, кафедра математического анализа, механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова.

Определение 3. Пусть (X, ) метрическое пространство, отображение : X R

54


Царьков И. Г.

Множества, обладающие непрерывной выборкой

такое полунепрерывное снизу отображение, что (x) = (x, M ) < (x) для всех x X ; пусть S X невырожденный симплекс размерности n, а множество Q представляет собой объединение некоторых его собственных граней и на этом множестве задано такое непрерывное отображение : Q M , что (x) - x < (x) для всех x Q. Тогда существует такое непрерывное продолжение : S M , что (x) - x < (x) для всех x S. Доказательство. Пусть

њ Лемма 1. Пусть X (B ), M X V бесконечно связное множество, : X R+

= min

{

x Q

} inf ( (x) - (x) - x), inf ( (x) - (x)) .
xS

Разобьем симплекс S на конечное число невырожденных симплексов {Si } размерности n так, чтобы их диаметр был меньше = 8n и различные симплексы этого разбиения пересекались по не более, чем одной собственной грани размерности < n. 1 . Для каждой 0-мерной грани s симплексов из набора {Si } (т.е. вершины), не входящей в множество Q, зададим значение (s) некоторым элементом y M : y -s < (x)+. 2 . Предположим, что отображение непрерывно продолжено на множество Tm , являющееся объединением всех граней {ij } размерности m симплексов набора {Si }. И при этом gm = inf ( (x) - (x) - x) 8n - 2m. Возьмем произвольную (m + 1)-мерную грань Q какого-либо симплекса набора {Si }. На его относительной границе определена функция : Tm M , для которой њ gm 8n - 2m. Пусть a центр тяжести грани , тогда ( ) PM a, где = gm + . њ Поскольку множество PM a бесконечно связно, то существует такое непрерывное продолњ њ жение на , что (x) PM a PM+ x для всех x (последнее включение выполняется в силу неравенства (x) < (a) + ). Тогда inf ( (x) - (x) - x) gm - 2 8n - 2(m + 1). Поскольку все различные грани размерности m + 1 пересекаются только по собственным граням, то отображение корректно определено на множестве Tm+1 , представляющем собой объединение всех граней размерности m + 1 симплексов набора {Si }. При этом C (Tm+1 ) и gm+1 = inf ( (x) - (x) - x) 8n - 2(m + 1).
x xTm

3 . Из принципа математической индукции вытекает, что на множестве Tn = S построено непрерывное отображение : Tn M такое, что gn 8n - 2n = 6n = 34 > 0. 3 Тем самым (x) - (x) - x для всех x S и отображение искомое. Лемма 4 доказана.

xTm+1

Лемма 2. Пусть X (B ), {x } такой набор векторов из X, что любой конечный

њ поднабор линейно независим, M X V бесконечно связное множество, T объединение некоторых симплексов набора = {S } , вершины которых составляют конечный поднабор из {x } , функция : T R+ полунепрерывна снизу и (x) = (x, M ) < (x) для всех x T . Тогда существует такое отображение : T M , что (x) - x < (x) для всех x T , и непрерывно на каждом из симплексов, составляющих T .

Доказательство. Прежде всего отметим, что в силу линейной независимости конечных поднаборов из {x } все различные симплексы S либо не пересекаются, либо пересекаются по своим собственным граням, либо один из них является собственной гранью другого. Будем считать, что все грани симплексов S также принадлежат набору . Для каждого 0-мерного симплекса s из набора , т.е. какой-то точки из набора {x } , определим (s) как некоторый элемент y M : y - s < (s).
55


Соврем. проблемы математики и механики. Том IX, вып. 2. Исследования по математическому анализу

1 . Согласно леммы 1 существует такое непрерывное продолжение на каждый одномерный симплекс S , что (y ) - y < (y ) для всех y S. 2 . Пусть функция : Tm M построена на объединении Tm всех m-мерных симплексов из набора и непрерывна на каждом таком симплексе. Для любого (m + 1)-мерного симплекса S на его относительной границе S определена такая непрерывная функция , что (y ) - y < (y ) для всех y S. В силу леммы 1 существует такое непрерывное отображение : S M , что (y ) - y < (y ) для всех y S. Построенное отображение будет корректно определено на объединении всех (m + 1)-мерных симплексов набора , т.к. различные (m + 1)-мерные симплексы пересекаются только по собственным граням (если вообще пересекаются). При этом на каждом таком симплексе это отображение непрерывно. 3 . Таким образом, мы построим такое отображение : T M , что (y ) - y < (y ) для всех y T , и непрерывно на каждом симплексе, входящем в объединение T . Лемма доказана. њ Лемма 3. Пусть X (B ), M X V бесконечно связное множество, : X R+
такое полунепрерывное снизу отображение, что (x) = (x, M ) < (x) для всех x X. Тогда существует такое отображение C (X, M ), что (x) - x < (x) для всех x X. В частности для любого > 0 существует непрерывная -выборка для M . Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда dim X = . Для каждой точки x X найдется максимальное число = (x) (0, 1] такое, что на O2 (x) верно неравенство inf ( - ) 4. Положим (x) = (x) - 3 (x) (> (x)). Впишем в открытое покрытие {O(x) (x)} открытое локально конечное покрытие {U } . И пусть { } разбиение единицы, связанное с этим покрытием, т.е. 0 вне U ; 1 на
O2 (x)

X ; 0. Выберем такой набор векторов {x }, что x U для всех и любой конечный днабор векторов линейно независим. Рассмотрим непрерывное отображение по q (t) = x (t). Для каждой точки y X найдется такая е? окрестность O(y ), что
множество индексов A = { | U O(y ) = } = {1 , . . . , N } конечно. Пусть индекс def i таков, что max (xj ) = (xi ) = y = . Тогда Uj O2 (xi ) для всех j = 1, N . Следовательно, симплекс Sy с вершинами в точках {x1 , . . . , x (u) Sy O2 (xi ) для всех u Поэтому q (u) = A (x - u) ( q (u) - u = x (u) - u (u) = A 2y (u) = 2y . Все различные симплексы вида Sy (y
A j =1,N



xN } содержится в O2 (xi ). O(y ) и верны соотношения: u) x - u (u) X ) либо не пересекаютA

ся, либо пересекаются по граням меньшей размерности. В силу леммы 2 на множестве T = Sy существует отображение : T M , непрерывное на каждом Sy и такое, что
y

(u) - u < (u) для всех u T . Положим (y ) = (q (y )). Тогда C (X, M ) и (y ) - y (q (y )) - q (y ) + q (y ) - y < (q (y )) + 2y (y ) - 3y + 2y < (y ). Теорема доказана.

Замечание. Если, дополнительно, множество M замкнуто, и : X \ M M положительная полунепрерывная снизу функция, то мы можем построить соответствующее открытое покрытие {O(x) (x)} открытого множества X \ M , где = (x) (0, 1] выбирается максимальным из условий O2(x) (x) X \ M и inf ( ) 4. Затем мы можем
O2
(x)

(x)

56


Царьков И. Г.

Множества, обладающие непрерывной выборкой

построить открытое локально конечное покрытие {U } , вписанное в покрытие {O(x) (x)}. И после аналогичных рассуждений из доказательства предыдущей теоремы, мы построим непрерывное отображение : X \ M M , для которого (y ) - y < (1 + (y ))(y , M ) для всех y X \ M .

ной снизу функции : X R : > 1 существует такое непрерывное отображение : X M , что (x) - x < (x)(x, M ) для всех x X. Доказательство. Положим (x) = 1 + (x). В силу предыдущего замечания непрерывное отображение : X \M M , для которого (y )-y < (1+ (y ))(y , M ) для всех y X \M . Продолжив отображение на M как тождественное, получим искомое отображение.

њ Следствие 1. Если M замкнуто и V бесконечно связно, то для любой полунепрерыв-

Лемма 4. Пусть X (B ) и для любого > 0 существует непрерывная -выборка для
њ замкнутого множества M X. Тогда, если множество M B (x0 , R) = , то оно њ является ретрактом шара B (x0 , R).

Доказательство. Из условий вытекает, что (x0 , M ) < R - для некоторого > 0. Построим непрерывную 2n -выборку n для множества M . Рассмотрим непрерывное отобрањ жение на шаре B (x0 , R) { x0 , если (x) r(x), n (x) = (x) x + r(x) (x0 - x), если (x) < r(x),
где (x) = (x, M ) и r(x) = rn (x) = R - (x) < r(x) верно неравенство
2n

- x - x0 . Для всех точек x B (x0 , R -

2n

):

(n (x)) +

(x) + x - n (x) < r(x) + n + x0 - x n 2 2 r(x) (x) r(x) - (x) R - x0 - x + x0 - x = R - x0 - x = R - n (x) - x0 r(x) r(x) 2n (x) +

R,

њ поэтому n (n (x)) B (x0 , R). Если x B (x0 , R - 2n ) : (x) r(x), то n (n (x)) = n (x0 ) њ њ B (x0 , R). Таким образом, n (n (x)) B (x0 , R) M для всех точек x B (x0 , R - 2n ). Пусть ( ) Qn = B (x0 , R - 2n ) M } (x0 , R - 2n ). Положим n (x) = x + n (x)(n (n (x)) - x), S { 2n где n (x) = min 1, (x, Qn ) . Тогда n непрерывное отображение шара B (x0 , R - 2n ) њ в шар B (x0 , R), тождественное на множестве Qn и совпадающее с n (n (x)) на дополнении 2n -окрестности Qn . Продолжим n на внешность шара B (x0 , R - 2n ) тожњ дественным отображением. Построим отображение шара B (x0 , R) в себя, положив (x) = lim n n-1 . . . 1 (x). Тогда, во-первых, тождественно на M . Во-вторых, њ для любой точки x B (x0 , R) \ M найдется номер N , для которого (x, QN ) > 2 и N њ x B (x0 , R - 2N ). Тогда N (x) = N (N (x)) M и, следовательно, N на некоторой њ њ њ окрестности O(x). Поэтому C (B (x0 , R)) и (B (x0 , R)) = M B (x0 , R)) ретракт њ(x0 , R)). Лемма доказана. шара B
n

Теорема 1. Пусть X (B ), M X непусто и замкнуто. Тогда следующие условия
равносильны:

њ a) Для любых x X и > 0 множество PM x является ретрактом шара;
57


Соврем. проблемы математики и механики. Том IX, вып. 2. Исследования по математическому анализу

њ б) Для любых x X и > 0 множество PM x стягиваемо по себе в точку; њ в) M V бесконечно связно;
г) Для любого > 0 существует непрерывная -выборка для M ; д) Для любой положительной полунепрерывной снизу функции : X (0, +) : (x) > (x, M ) (x X ) существует такое отображение C (X, M ), что (x) - x < (x) для всех x X ; е) Для любой полунепрерывной снизу функции : X (1, +) существует такое отображение C (X, M ), что (x) - x < (x)(x, M ) для всех x X.

Доказательство. Импликации а) б) в) и е)д) г) очевидны. В силу леммы 3 и следствия 1 из в) следуют г), е) и д). В силу леммы 4 г) а). Теорема доказана.

Список литературы
[1] Царьков И.Г. Свойства множеств, обладающих непрерывной выборкой из оператора P // Математические заметки, 1990, т. 48, 4, с. 122131. [2] Царьков И.Г. Свойства множеств, обладающих устойчивой -выборкой // Математические заметки, 2011, т. 89, 4. с. 608613.

58


Abstracts

Abstracts
A supplement to the multidimensional Khintchine Ostrowski theorem and its applications
Gavrilov V. I., professor, Mechanics and Mathematics Department of MSU, Subbotin A. V., senior researcher, Korolev Rocket and Space Corporation Energia, e-mail: awsubbotin@mail.ru
Earlier the authors and G. Pavicevic obtained the multidimensional variant of well-known in the one-dimensional boundary properties theory of analytic functions Khintchine Ostrowski theorem in strengthened form proposed by G. C. Tumarkin. Another strengthening of the one-dimensional Khintchine Ostrowski theorem also belongs to G. C. Tumarkin and its multidimensional analogue constitutes the main result of the present paper. This theorem is used to rene some our previous results and it is also applied to a proof of the complete characterization of compact subsets in one space of holomorphic functions of several complex variables.

Orthorecursive expansions
Galatenko V. V., associate professor, Mechanics and Mathematics Department of MSU, e-mail: vgalat@msu.ru Lukashenko T. P., professor, Mechanics and Mathematics Department of MSU, e-mail: lukashenko@mail.ru Sadovnichii V. A., academician of RAS, professor, Mechanics and Mathematics Department of MSU
Orthorecursive expansions are a natural generalization of classic Fourier expansions in orthogonal systems. Orthorecursive expansions inherit such properties as the Bessel identity, the Bessel inequality, the equivalence of the convergence to an expanded element and the Parseval identity, but impose essentially weaker conditions on systems used for the expansion. In case of strongly redundant systems orthorecursive expansions additionally provide an absolute stability to a wide class of computational errors. In the review we remind the elements of Hilbert space and a system of subspaces. We also and properties of orthorecursive denition of orthorecursive expansions in a system of more general denition of orthorecursive expansions in consider general properties of orthorecursive expansions, expansions in certain functional systems.

59


Abstracts

The singular Sturm Liouville operators with potential distribution
Mirzoev K. A., professor, Mechanics and Mathematics Department of MSU, e-mail: mirzoev.karahan@mail.ru Konechnaya N. N., associate professor, Pomor State University, e-mail: mermaid5979@yandex.ru
This paper is devoted to determination of deciency indices of minimal operator L0 generated by dierential expression l[y ] := -y + y in the Hilbert space L2 (0; +), where 2 L1oc (0; +) and derivatives are taken in the sense of distribution theory. We l obtain sucient conditions in terms of for realization of a limit point case at innity for operator L0 (defect index of L0 (1,1)). Examples are given, when is a step function on (0; +) and the case of a limit circle takes place for operator L0 (defect index of L0 (2,2)). Some of the paper's results are new for classical case too, when is a local absolutely continuous function on (0, +).

On an analogue of the Haar system
Pluzhnikova A. A., Mechanics and Mathematics Department of MSU, Rodionov T. V., associate professor, Mechanics and Mathematics Department of MSU, e-mail: ttvvrr@yandex.ru
We consider a generalization of the classical Haar orthogonal system which construction based not on the sequence of dyadic-rational numbers but on an arbitrary number sequence. Some analogs of properties of the Haar systems are proved for this generalization: uniform convergence of Fourier series of continuous functions and the property to be a basis in the spaces Lp .

Spin dynamics as a result of a super-analogue of q p-quantization
Smolyanov O. G., professor, Mechanics and Mathematics Department of MSU, e-mail: smolyanov@yandex.ru Shamarov N. N., associate professor, Mechanics and Mathematics Department of MSU, e-mail: nshamarov@yandex.ru
The Pauli operator for the electron in weak constant magnetic eld is obtained using a superanalogue of q p-quantization of a suitable Hamilton function dened on a part of a superspace generated by the classical phase space.

Sets admitting continuous selections from operator of the best pro jection
Tsarkov I. G., professor, Mechanics and Mathematics Department of MSU, e-mail: igtsarkov@yandex.ru
Sets admitting continuous -selections are studied. In particular, it is shown that if, for any number > 0, some set admits continuous -selections, then it's innitely connected.

60


Содержание
Гаврилов В. И., Субботин А. В. Дополнение к многомерной теореме Хинчина Островского и приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Галатенко В. В., Лукашенко Т. П., Садовничий В. А. Орторекурсивные разложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Мирзоев К. А., Конечная Н. Н. Сингулярные операторы Штурма Лиувилля с потенциалом распределением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Плужникова А. А., Родионов Т. В. Об одном аналоге системы Хаара . . . . . . Смолянов О. Г., Шамаров Н. Н. Спиновая динамика как результат супераналога q p-квантования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Царьков И. Г. Множества, обладающие непрерывной выборкой из оператора почти наилучшего проектирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 13 26 37 47 54

61


Предыдущие выпуски серии ?Современные проблемы математики и механики?
Том I. Прикладные исследования
Выпуск 1. Под редакцией В. В. Александрова, В. Б. Кудрявцева. Выпуск 2. Под редакцией В. В. Александрова, В. Б. Кудрявцева.

Том II. Механика
Выпуск 1. Под редакцией Г. Г. Черного, В. П. Карликова. Выпуск 2. Под редакцией Б. Е. Победри, Е. В. Ломакина.

Том III. Математика
Выпуск 1. Под редакцией Т. П. Лукашенко, В. Н. Чубарикова. Выпуск 2. Геометрия и топология. Под редакцией А. Т. Фоменко. Выпуск 3. Дискретная математика. Под редакцией О. М. Касим-Заде.

Том IV. Математика
Выпуск 1. Теория вероятностей и математическая статистика. Под редакцией А. Н. Ширяева. Выпуск 2. Динамические системы. Под редакцией А. Т. Фоменко, В. Н. Чубарикова. Выпуск 3. Алгебра и теория чисел. Под редакцией В. А. Артамонова, В. Н. Латышева, Ю. В. Нестеренко.

Том V. Математика
Выпуск 1. Дифференциальные уравнения. Под редакцией И. Н. Сергеева, А. С. Шамаева. Выпуск 2. Прикладная математика. Под редакцией В. Б. Кудрявцева, Г. М. Кобелькова. Выпуск 3. Математическая кибернетика. Под редакцией В. Б. Кудрявцева.

Том VI. Математика
Выпуск геева, В. Н. Выпуск кова. Выпуск кова. 1. К 105-летию С. М. Никольского. Под редакцией М. К. Потапова, И. Н. СерЧубарикова. 2. К 100-летию Н. В. Ефимова. Под редакцией И. Х. Сабитова, В. Н. Чубари3. К 100-летию Н. В. Ефимова. Под редакцией И. Х. Сабитова, В. Н. Чубари-


Содержание

Том VII. Математика. Механика
Выпуск 1. К 190-летию со дня рождения П. Л. Чебышева. Под редакцией А. Н. Ширяева, А. В. Лебедева, В. М. Федорова, А. С. Кулешова. Выпуск 2. К 80-летию механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Под редакцией Е. И. Кугушева, Т. В. Поповой.

Том VIII. Математика
Выпуск 1. К 80-летию А. Г. Костюченко. Функционально-дифференциальные уравнения в пространствах Соболева и их спектральный анализ. В. В. Власов, Д. А. Медведев, Н. А. Раутиан. Выпуск 2. К 80-летию механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова, 130-летию Н. Н. Лузина и 85-летию П. Л. Ульянова. Под редакцией А. Н. Бахвалова. Выпуск 3. К 80-летию механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова и 110-летию со дня рождения А. Н. Колмогорова. Теория вероятностей и математическая статистика. Под редакцией А. Н. Ширяева, А. В. Лебедева.

Том IX. Математика
Выпуск 1. К 80-летию механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Маломерная топология и комбинаторика в оригинальных задачах. Д. П. Ильютко, В. О. Мантуров, И. М. Никонов.

63


Научное издание

СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ Том IX. Математика Выпуск 2. К 80-летию механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова. Исследования по математическому анализу. Под редакцией Т. П. Лукашенко, Т. В. Родионова

Подготовка оригинал-макета: Т. В. Родионов

Подписано в печать 31.03.2014 Формат 60 х 90 /8 Бумага офс. 1. Усл. печ. л. 4,0. Заказ 2 Тираж 100 экз. Издательство Попечительского совета при Механико-математическом факультете Московского университета 119991, Москва, Воробьевы Горы, д. 1. Отпечатано на типографском оборудовании механико-математического факультета 119991, Москва, Воробьевы Горы.