Коллективные колебания ядер

    Полный гамильтониан ядерных возбуждений приближенным образом может быть представлен в виде суммы членов, отражающих разные степени свободы ядер: одночастичные, коллективные и ротационные, а также связь между ними:

= sp + col.vib + rot + 12 + 13 + 23.

(7.1)

    Одночастичная модель оболочек и модель Ферми-газа представляют собой два подхода к исследованию первого члена формулы (7.1). Теоретическое описание коллективных колебаний ядра может быть предпринято с помощью многочастичной оболочечной модели, цель которой - получить волновую функцию коллективных ядерных возбуждений на основе нуклонных (или, точнее, квазичастичных) волновых функций. Примером такого подхода к коллективным возбуждениям является описание гигантского дипольного резонанса в сечениях ядерных реакций фотопоглощения. Но коллективные возбуждения ядер могут быть рассмотрены и с другой точки зрения - как результат поглощения ядром одного или нескольких квантов коллективных колебаний - фононов. (В первом приближении эти кванты рассматриваются как невзаимодействующие объекты.) Квантовая теория таких колебаний может быть сформулирована на языке вторичного квантования (см. О. Бор, Б. Моттельсон, т.2, гл.6).
    Введем операторы рождения и поглощения кванта коллективных колебаний и учтем, что действие оператора рождения переводит систему из состояния с n квантами в состояние с n+1 квантом :

+|n> = Cn+1|n+1>. <n|m> = nm.

(7.2)

    Второе равенство в (7.2) означает ортонормированность ядерных состояний с данным числом квантов возбуждения. Учтем, что состояние с n+1 квантом может превратиться в состояние с n квантами n+1 способом, т.е.

<n + 1|+| n> = Cn+1<n + 1| n + 1> = Cn+1; ; +| n> = (n + 1)1/2| n + 1>.

(7.3)

    Аналогичным образом получим

| n> = n1/2 | n - 1>.

(7.4)

Из (7.3) и (7.4) следует, что оператор числа квантов в системе имеет вид:

| n> = +| n> = n |n>.

(7.5)

    Операторы поглощения и рождения фононов (квантов коллективных колебаний) коммутируют:

+ - + = 1.

(7.6)

    Докажем это соотношение:

⁺| n> - ⁺| n> =  (n + 1)^1/2 | n + 1> - n^1/2+ | n - 1> = (n + 1)|n> - n|n> = |n>.

Действие оператора поглощения фонона на вакуумное состояние дает 0:

| 0 > = 0.

(7.7)

По индукции нетрудно получить явный вид состояния с n фононами:

+| 0> = |1>; +| 1> = 21/2 | 2>; ... | n> = (n!)-1/2(+)n | 0>.

(7.8)

    Построенная выше простейшая модель рождения и поглощения квантов (бозонного типа) может быть удобным образом применена к теории коллективных колебаний ядерной материи.
    Коллективное возбуждение возникает как результат ядерных реакций; причем операторы, воздействующие на волновую функцию начального состояния, могут преобразовывать как пространственные характеристики системы, так и ее спиновые и изоспиновые переменные. Далее перечислены четыре типа операторов возбуждения и в качестве примера указаны типы и мультипольности соответствующих этим операторам ядерных возбуждений.

(7.9)

Рис. 7.1. Моды колебаний ядра.

    Рассмотрим далее одну из важнейших мод (типов) этих колебаний: колебания поверхности ядра без изменения ядерной плотности. ( Отметим, что в более точных описаниях коллективных колебаний учитываются и колебания плотности ядра, т.н.'breathing mode'-дыхание ядра; на схеме рис.7.1 этой моде соответствует Е0)
    Колебания ядерной поверхности можно описать функцией

(7.10)

    Здесь a - амплитуда коллективных колебаний с мультипольностью L. Для упрощения формул в дальнейшем будет рассматриваться только квадрупольная мода колебаний с L = 2, поэтому индекс мультипольности будет опущен и суммирование будет проводиться лишь по возможным проекциям L. На рис.7.1 схематически изображены квадрупольные колебания ядра Е2₀.
    Гамильтониан коллективных гармонических колебаний состоит из двух операторов в пространстве волновых функций ядра - операторов кинетической и потенциальной энергии колебаний:

.

(7.11)

    В (7.11) приведен вид гамильтониана квадрупольных гармонических колебаний с мультипольностью = 2, суммирование проводится только по проекциям момента, т.е. от -2 до +2 через 1. В общем случае в гамильтониан входят члены всех возможных мультипольностей.
    Операторы _m, _m являются операторами обобщенной координаты квадрупольных колебаний и сопряженного этой координате обобщенного импульса. Они связаны известными из квантовой механики соотношениями:

m = Dam/t;  [m, k] = imk.

(7.12)

Операторы обобщенной координаты и импульса можно представить в виде линейной комбинации операторов рождения и поглощения:

,

(7.13)

C - жесткость (rigidity).
    Подстановка (7.13) в гамильтониан коллективных квадрупольных колебаний ( = 2) приводит к следующему выражению:

(7.14)

    Таким образом, решение у.Ш. с потенциалом (7.11) приводит к эквидистантному спектру энергий квадрупольных коллективных колебаний. Низший по энергии уровень, соответствующий фононному вакууму, имеет энергию, равную

    Расстояние между уровнями спектра коллективных колебаний равно , где - мультипольность фононного возбуждения. Полученный в (7.14) спектр коллективных квадрупольных колебаний характерен для низших уровней многих ядер, например ⁶⁰Ni,¹⁰⁶Pd,¹¹⁴Cd. (Cм. рис. 7.2)

Рис. 7.2. Схемы низших уровней ядер 60Ni,106Pd,114Cd.

   Состояние с одним квадрупольным фононом для четно-четного ядра имеет спин и четность 2⁺. Энергия состояния с двумя квадрупольными фононами должна быть ровно вдвое выше, чем энергия состояния с одним фононом. Приведенные на схеме спектры указывают на степень приближенности этого результата теории. Спины и четности двухфононных состояний могут принимать значения 0⁺ , 2⁺ , 4⁺. Значения 1 и 3 исключены. Этот экспериментальный факт является следствием свойств двухфононных волновых функций:
    Состояние с одним квадрупольным фононом N = 1 имеет волновую функцию

2N=1 = 2J(J+1)N=1 = 22.3.N=1; .

(7.15)

Двухфононное состояние N = 2 имеет волновую функцию

_2,N=2 = |N=2, J, M>, = + = ?

    Волновая функция двухфононного состояния с полным моментом количества движения J строится из волновых функций однофононных состояний с помощью коэффициентов векторного сложения (коэффициентов Клебша-Гордона):

(7.16)

    Используем нормировку волновых функций и их представление в виде операторов рождения фонона, действующих на вакуумное состояние:

(7.17)

    Операторы рождения и поглощения подчиняются соотношению коммутации (7.6). Для разных по квантовым числам операторов соотношение (7.6) имеет вид:

    Используем коммутационное соотношение для преобразования операторной части нормировки (это т.н. процедура Вика):

(7.18)

    При подстановке первого члена формулы (7.17) в нормировку двухфононного состояния используем свойства коэфициентов векторного сложения (К.К-Г):

(7.19)

а также то, что сумма квадратов ККГ по всем возможным проекциям равна 1.
    Итогом расчета нормировки оказывается соотношение:

1 = |AJ|2.[1 + (-1)J];

(7.20)

    Вывод из (7.20) состоит в том, что нормированные на 1 волновые функции двухфононного состояния могут существовать лишь для четных значений спина двухфононного состояния. Значения J = 1 и J = 3 не имеют физического смысла. Этот теоретический вывод подтверждается экспериментальными данными (см. схемы уровней четно-четных ядер).