Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://nuclphys.sinp.msu.ru/mf/index.html
Дата изменения: Tue Jun 5 15:57:43 2012 Дата индексирования: Mon Oct 1 22:01:37 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: ориентация спинов |
Н.Н. Колесников
1. Потенциал нуклон-нуклонного взаимодействия и энергии связи ядерМасса является одной из важнейших характеристик ядра наряду с величиной заряда и размером ядра. В ядерной физике вместо массы ядра чаще используется энергия связи B, которая определяется как разность между суммой масс покоящихся протонов и нейтронов и массой ядра М: B(Z,N) = (mpZ + mnN - M)c2 , где mp - масса протона, mn - масса
нейтрона, с-скорость света Z - число протонов, N -
число нейтронов, обычно энергия В (а нередко и
масса М) выражается в энергетических единицах (Мега-электрон Вольтах, МэВ). При этом
ядро неявно предполагается (следуя гипотезе,
высказанной в 1932 году Гейзенбергом и Иваненко)
состоящим из нейтронов и протонов, удерживаемых
в ядре благодаря действию ядерных сил
притяжения. Между тем в настоящее время
утверждение о том, что протоны и нейтроны
являются составными частицами ядра выглядит
достаточно спорным, поскольку сами нуклоны, как в
этом уверены, состоят из кварков, и вопрос лишь в
том в какой мере нуклоны сохраняют свою
индивидуальность внутри ядра (а не диссоциируют
на кварки). Недавно путем уникальных численных
расчетов системы шести кварков,
взаимодействующих с глюонным полем, удалось даже
найти ( в рамках квантовой хромодинамики, КХД на
решетке) потенциал рр-взаимодействия в
синглетном и триплетном состояниях [1], который
передает наиболее характерные свойства ядерных
сил. И тем не менее нейтронно0протонная модель
остается хорошим прибоижением. 2. Ядерные модели В связи с остающейся
неопределенностью в выборе потенциала
взаимодействия нуклонов и трудностями в расчете
энергий связи ядерных систем многих частиц,
особенно тяжелых и сверхтяжелых ядер, широкое
распространение получили ядерные модели,
которые отражают важнейшие особенности ядерных
сил и связанные с ними свойства ядер.
где C1 = v/2(Rо/rо)3.
Отметим, что квантовомеханический расчет при использовании статистической модели (используются плоские волны для одночастичных волновых функций) приводит к аналогичному результату [11]. Однако при расчете кинетической энергии в рамках квантовой механики необходимо учитывать, что нуклоны являются фермионами и на них распространяется принцип Паули, в соответствии с которым нуклоны не могут находиться все на одном и том же низшем энергетическом уровне, а поэтому будут заполняться уровни с все более высокой энергией, на каждом уровне по два протона ( с противоположной ориентацией спина) и по два нейтрона. При этом в основном состоянии ядра будут заполняться все нижние уровни. Кинетическая энергия ядра представляет собой сумму:
где Рk- импульс нуклона k.
При суммировании по nx , ny и nz пробегаются все точки решетки (с параметром 1) в пространстве переменных nx , ny и nz, так что можно записать
Переходя вместо суммирования к интегрированию, получим при выборе сферических координат n, θ, φ вместо nx, ny и nz
Или, если пренебречь различием масс нейтрона и протона, то: . При этом
Отсюда n(Z) = (3/8π)1/3Z1/3
и n(N) = (3/8)1/3N1/3 .
T = 4π32 /5ma2(3/8)5/3 (Z5/3 + N5/3), Или, поскольку a = r0(4πA/3)1/3 , то T = 9/80(3/2π)1/3π2/mr02/3 (Z5/3 + N5/3 )/A2/3 Вместо Z и N удобно вести A = Z + N и I = N - Z. Учитывая далее, что для реальных ядер I/A<< 1, можно записать: (Z5/3 + N5/3 )/A2/3 A/22/3( 1 + 5/9.(A - 2Z)2/A2). А следовательно
где Сk константа.
При учете объемной энергии (1), поверхностной энергии (2), а также кулоновской энергии (4) и энергии симметрии, пропорциональной в (3) (A-2Z)2/A ( в нее дает вклад также энергия, связанная с пионным обменом [16]), выражение для полной энергии связи ядра В можно записать в виде суммы :
Эту формулу получили Бете и Вейцзекер еще в 1932 году и теперь она носит их имя, см.[11]. Как показывает анализ экспериментальных данных, при прочих равных условиях энергии связи четно-четных ядер (Z - четное, N - четное) больше, чем нечетных ядер( А - нечетное), а последних больше, чем нечетно-нечетных ядер ( Z - нечетное, N - нечетное).Чтобы учесть этот эффект спаривания в формулу Бете-Вейцзекера добавляют еще поправку на четность Р(А). При оптимальном выборе поправки на четность в виде
где δ = 5.55 МэВ и параметров
формула (5) описывает энергии всех известных
ядер (за исключением самых легких) со
среднеквадратичным отклонением 2,7 МэВ при
максимальном отклонении около 10 МэВ.
При А = cоnst энергия Е достигает минимума при Z = Z*, которое определяется из условия E/Z = 0. Отсюда
где Δм = (mn - mp)c2. E(A,Z) можно представить в виде:
где откуда видно, что изобарное сечение ядерной энергетической поверхности представляет собой квадратичную параболу.
Как следует из (9) и (10), в случае
нечетных ядер (А - нечетное) , наиболее
стабильным является изобар с Z наиболее близким к
Z*. В случае четных А изобарная парабола
ядер с четными Z лежит ниже, чем для нечетных Z
(согласно (6) на величину 2/А1/2).
Реально превращение одного изобара в другой
возможно путем
β-распада
(β-,
β+ или же
электронного захвата).Условием энергетической
возможности β--распада
ядра (А, Z) является 3. Глобальные массовые формулы с оболочечными поправками В связи с тем, что расхождения
формулы Бете-Вейцзекера с экспериментом
довольно значительны, делались многочисленные
попытки подправить формулу, основываясь на общих
представлениях о структуре ядра и свойствах
ядерных сил, учитывая, например, отсутствие у
ядра строго очерченной границы. Однако такого
рода попытки не привели к существенному
улучшению результатов (по поводу массовых формул
опубликованных до 1970 года см. например, обзоры [16,
84]). Как выяснилось в дальнейшем, главная причина
состояла в том, что не учитывалось заполнение в
ядре оболочек протонов и нейтронов, что
проявляется в значительном повышении энергии
связи тех ядер, которые содержат число нейтронов
и протонов равное 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126. Эти числа
получили название магических.
В качестве примера на рис.2
показывается как скачкообразно меняется
разность В между
экспериментальными и вычисленными (по гладкой
формуле Бете-Вейцзекера) энергиями связи В в
зависимости от числа нейтронов. Аналогичные
скачки В наблюдаются
при пересечении магических чисел протонов. Кроме
того, как видно на рис.3, кривая Z*,
построенная на основе экспериментальных энергий
-распада, не
является (как это следует из формулы
Бете-Вейцзекера) гладкой функцией А, а
представляет собой отрезки прямых, испытывающих
разрывы при пересечении магических чисел
протонов, а также и нейтронов. а разность кинетической энергии нуклонов в оболочечной модели и в жидкокапельной (однородной) модели , что можно рассматривать как оболочечную поправку, равна [20]:
где С - подгоночная константа. q(n)dn можно записать в виде суммы по оболочкам qi и, если в качестве qi выбрать среднее значение энергии нуклона в промежутке между магическими числами Mi и Mi-1, то [19] :
В качестве жидкокапельной части формулы
для масс Майерс [23] предлагает так называемую
капельковую (droplet) модель, которая улучшает
формулу Бете-Вейцзекера тем, что во-первых
учитывает отсутствие у ядра строго ограниченной
поверхности, а именно постепенное спадание
плотности нуклонов в поверхностном слое.
Во-вторых учитывается сжимаемость ядра. В связи с
этим в формуле для масс Майерса появляются
поправочные члены пропорциональные А1/3, U(r) = (x x2 + y y2 + zz2 )/2 + C (LS) + D L2 , где x2 = y2 = z2(1 + 2/32), L и S -операторы орбитального и спинового моментов, соответственно, С и D -константы.
Схема низших уровней для случая
нильсоновского потенциала в зависимости от
параметра деформации показана на рис.4. Как видно из рис.4, при
увеличении деформации обычные магические числа
становятся все менее четко выраженными, а пучки
уровней между магическими числами оказываются
все более размытыми.
где γ -
интервал усреднения, Eν(β) -
энергия нуклонного уровня ν
при деформации .
Как показывается в работе [21],при усреднении по
достаточно широкому интервалу энергий γ1( в единицах )
плотность gγ(E)
соответствует равномерному (однородному)
распределению уровней , что можно сопоставить с
плотностью уровней жидкокапельной модели. При
малых же для протонов и аналогичного интеграла для
нейтронов. При этом g(,E) вычисляется по формуле (11) при γ = 0,2, а G(,E) - при γ = 0,7 [21] . Как
показывают расчеты, оболочечная поправка
достигает наибольших значений при магических
числах нуклонов и она минимальна в промежутке
между этими числами, а это означает, что вблизи
магических чисел ядра должны быть
сферически-симметричными, а в областях между
ними - быть деформированными. E0{2/5(1-x)2 - 0,0038(1+2x)3 + ::}, где -
параметр деформации и х = (Z2/A) /( Z2/A)кр
- критическая энергия деления. Зная как
меняется энергия при деформации, можно
рассчитать порог деления и вероятность
спонтанного деления тяжелых ядер. При
использовании в качестве макроскопической (
жидкокапельной) части энергии ядра- капельковой
модели Майерса [23] , а в качестве оболочечной
поправки ( микроскопической энергии) - варианта
Майерса-Святецкого [20] или же Струтинского [21]
оказывается кроме того возможным улучшить
описание масс ядер. M(Z,N,def) = ZMp + NMn - C1Z 2,39
- bv (1 - kvI2)A + |
с параметрами bv, bs bk, kv ,ks
,kk ,Bs Bk C1. который необычен тем,
что содержит член с Z в положительной дробной
степени.
где S(Z,N)- простейшая (двухпараметрическая) оболочечная поправка, а Р(А) поправка на четность (см.( 6)) Оптимальная формула (12) при 9 свободных параметрах обеспечивает среднеквадратичное отклонение от экспериментальных значений = 1,07 МэВ при максимальном отклонении ~2,5 МэВ (согласно таблицам [66]). При этом она дает лучшее (по сравнению с другими формулами глобального типа ) описание изобаров, удаленных от линии бета-стабильности и хода линии Z*(A), а член кулоновской энергии согласован с размерами ядер из экспериментов по рассеянию электронов. Вместо обычного члена пропорционального А2/3 (отождествляемого обычно с 'поверхностной' энергией) формула содержит член пропорциональный А1/3 (присутствующий, кстати, под названием члена 'кривизны ' во многих массовых формулах , например в [23- 25] ,[27] ). Точность расчетов B(A,Z) может быть увеличена при введении большего числа параметров, однако качество формулы ухудшается (возрастает Q). Это может означать, что класс функций использовавшихся в [45] не был достаточно полным, либо что следует использовать другой (не глобальный) подход для описания масс ядер. 4. Локальное описание энергий связи ядер Другой путь построения массовых
формул основывается на локальном описании
ядерной энергетической поверхности. Отметим
прежде всего разностные соотношения, которые
связывают массы нескольких (обычно шести)
соседних ядер с числами нейтронов и протонов Z, Z+1,
N, N+1. Они были первоначально предложены
Гарвеем и Келсоном [46] и в дальнейшем уточнялись в
работах других авторов ( например в [47] ).
Использование разностных соотношений позволяет
рассчитывать массы неизвестных, но близких к
известным, ядер с высокой точностью порядка 0,1 -
0,3 МэВ. Однако приходится вводить большое число
параметров. Например в работе [31] для вычисления
масс 1241 ядер с точностью 0,2 МэВ потребовалось
ввести 535 параметров. Недостатком является также
то, что при пересечении магических чисел
точность существенно снижается, а это означает,
что предсказательная сила таких формул для
сколько-нибудь далеких экстраполяций невелика.
где индекс i определяет четность ядра по числу
протонов: i = 2 означает Z - четное, а i =1 - Z - нечетное,
ai и bi - константы общие для ядер с
различными индексами j, определяющими четность
по числу нейтронов. При этом , где pp -
энергия спаривания протонов, а , где pn -
энергия pn -взаимодействия.
где ci и di-константы, , где nn- энергия
спаривания нейтронов, а
, Zk и Nl -наименьшие из
(суб)магических чисел протонов и соответственно
нейтронов, ограничивающих область {k,l}. 5. Линия бета - стабильности и энергии связи ядер Еще одна возможность описания
энергий связи ядер в областях между главными
магическими числами, основывается на
зависимости энергий бета-распада ядер от их
удаленности от линии бета-стабильности. Из
формулы Бете-Вейцзекера следует, что изобарные
сечения энергетической поверхности
представляют собой параболы (см (9),(10)), а линия
бета-стабильности, выходя из начала координат
при больших А все более отклоняется в сторону
нейтронно-избыточных ядер. Однако реальная
кривая бета-стабильности представляет собой
отрезки прямых (см.рис.3) с разрывами в местах
пересечения магических чисел нейтронов и
протонов. Линейная зависимость Z* от A вытекает
также из многочастичной модели ядерных оболочек
де Шалита и др. [48,49]. Экспериментально наиболее
значительные разрывы линии бета-стабильности
Как было показано в [51-53], в каждой из
междумагических областей (т.е между главными
магическими числами) энергии бета-плюс и
бета-минус распада с
хорошей точностью оказываются линейной функцией
Z - Z*(A) . Это демонстрируется на рис.5 для
области Z>82, N>126, где построена зависимость
величины + D от Z - Z*(A), в
целях удобства выбраны ядра с четными Z; D -
поправка на четность, равная 1,9 МэВ для ядер с
четными N (и Z) и 0,75 MэB для ядер с нечетными N (и
четными Z). Учитывая, что для изобара с нечетным Z
энергия бета-минус распада - равняется со знаком минус энергии
бета-плюс распада
изобара с четным зарядом Z+1, а
где k и D - константы для области, заключенной
между главными магическими числами. Кроме
области Z>82, N>126, как показывается в [53],
аналогичные линейные зависимости (15) и (16)
справедливы и для других областей, выделяемых
главными магическими числами. Для завершения общей картины изменения энергий альфа-распада ядер в области тяжелых элементов на основе экспериментальных данных по энергиям альфа распада было рассчитано значение энергии альфа-распада для фиктивных ядер, лежащих на линии бета-стабильности, Q*a. Результаты представлены на рис.6. Как видно из рис. 6, общая стабильность ядер по отношению к альфа-распаду после свинца быстро возрастает (Q*a падает) до А235 (область урана), после чего Q*a постепенно начинает расти. При этом можно выделить 5 областей примерно линейного изменения Q*a:
Расчет Qa по формуле
позволяет оследовательно находить энергии альфа-распада при известном Q*a с точностью = 0,2 МэВ для всех ядер с Z>82, N>126. Вместо (22) можно также записать:
6. Тяжелые ядра, сверхтяжелые элементы В последние годы был достигнут
значительный прогресс в изучении сверхтяжелых
ядер; были синтезированы изотопы элементов с
порядковыми номерами от Z = 110 до Z = 118 [56 -65]. При
этом особую роль сыграли эксперименты
проведенные в ОИЯИ в Дубне, где в качестве
бомбардирующей частицы использовался изотоп 48Са,
содержащий большой избыток нейтронов [56-62], Это
позволило синтезировать нуклиды более близкие к
линии бета-стабильности и поэтому более
долгоживущие и распадающиеся с меньшей энергией.
Трудности, однако в том, что цепочка альфа
распада образующихся в результате облучения
ядер не заканчивается на известных ядрах и
поэтому идентификация образующихся продуктов
реакции, особенно их массового числа не
однозначна. В связи с этим, а также для понимания
свойств сверхтяжелых ядер, находящихся на
границе существования элементов необходимо
сопоставление результатов экспериментальных
измерений с теоретическими моделями.
Так Меллер [72] и некоторые другие
теоретики [73,74] пришли к заключению, что кроме
общеизвестных магических чисел ( Z, N = 2, 8, 20,
28, 50, 82 и N = 126) должно проявляться как
магическое еще число Z = 114 в области
трансфермиевых элементов, а вблизи Z = 114 и N = 184
должен существовать остров относительно
стабильных ядер ( некоторые экзальтированные
популяризаторы поспешили пофантазировать по
поводу новых якобы стабильных сверхтяжелых ядер
и о связанных с ними новых источниках энергии).
Однако на деле в работах других авторов [75-79]
магичность Z = 114 отвергается и вместо этого
магическими числами протонов объявляются Z = 126
или 124.
Сказанное иллюстрируется на 7, 8 и 9. На
рис 7, 8 и 9 кроме экспериментальных значений
энергий альфа-распада Qa трансфермиевых
ядер, нанесенных точками, показаны в виде кривых
линий результаты теоретических расчетов. На рис.7
приводятся результаты расчетов по макро-микро
модели работы [29], для элементов с четными Z,
найденные с учетом мультипольности деформаций
до восьмого порядка.
Как видно из формул (11) и (12), Bn и Bp
являются функциями Z и N. Чтобы получить
представление о том, как меняется Bn в
зависимости от числа нейтронов и каков эффект
заполнения различных нейтронных (под)оболочек
оказывается удобным произвести приведение
энергий связи нейтронов на линию
бета-стабильности. Для этого при каждом
фиксированном значении N находилось
Аналогичным образом были найдены
энергии протонов, приведенных на линию
бета-стабильности
Как следует из рис.10 и 11, в области
самых тяжелых элементов помимо общего
уменьшения энергий связи происходит ослабление
связи внешних нуклонов между собой, что
проявляется в уменьшении энергии спаривания
нейтронов и энергии спаривания протонов, а также
нейтрон-протонного взаимодействия. Это
демонстрируется в явном виде на рис.12. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
|