МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

В коробке лежат 10 красных и 10 синих воздушных шариков. Продавец, не глядя, достает по одному шарику. Сколько шариков надо вытащить, чтобы среди вынутых из коробки шариков обязательно нашлись два шарика одного цвета?

Ответ

Ответ. 3.

Сколько карандашей надо взять в темноте из коробки с семью красными и пятью синими карандашами, чтобы было взято не меньше двух красных и не меньше трех синих?

Ответ

Ответ. 10.

В пакете перемешали конфеты трех сортов, неразличимых на ощупь. Какое наименьшее число конфет надо взять наугад из пакета, чтобы среди взятых конфет обязательно были хотя бы а) две; б) три одного сорта?

Ответ

Ответ. а) 4; б) 7.

Сколько карандашей можно взять в темноте из коробки, в которой 10 красных, 8 синих, 8 зеленых и 4 желтых карандашей, чтобы в коробке заведомо осталось а) не меньше 6 синих карандашей; б) хотя бы по одному карандашу каждого цвета; в) не больше 6 синих карандашей?

Ответ

Ответ. а) 2; б) 3; в) 24.

В ящике 28 красных, 20 зеленых, 12 желтых, 20 синих, 10 белых и 10 черных шариков. Сколько шариков надо вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди вытащенных шариков обязательно оказалось не менее 15 шариков одного цвета?

Наводящий вопрос   Ответ

Наводящий вопрос. Сколько шариков может выбросить из ящика забравшийся в него недоброжелатель, чтобы среди выброшенных не было 15 одноцветных шариков?

Ответ. (14 + 14 + 12 + 14 + 10 + 10) + 1 = 75 шариков.

В темной кладовой в беспорядке лежат ботинки: 10 пар черных и 10 пар коричневых. Сколько ботинок надо взять, чтобы среди них оказалась хотя бы одна пара (левый и правый ботинок) одного цвета? (В темноте нельзя отличить не только цвет ботинка, но и левый от правого.)

Начало решения   Конец решения

Начало решения. Если возьмем 20 ботинок, то может оказаться, что все они на левую ногу: 10 левых коричневых и 10 левых черных. Значит, надо взять 21 ботинок. Осталось понять, почему при любом способе выбора 21 ботинка из 40 имеющихся найдется хотя бы одна пара. Это кажется очевидным. Но как убедительно и немногословно обосновать это утверждение?

Конец решения. Выстроим ботинки парами. Тогда всего будет 20 пар. Взяв 21 ботинок, мы обязательно возьмем два ботинка из какой-то пары, то есть всю ее целиком!

В гости пришло 6 человек в галошах разного размера. Расходились по одному, и некоторые надевали галоши большего размера. Сколько могло остаться гостей, не сумевших надеть галоши?

Ответ   Указание I   Указание II

Ответ. 3.

Указание I. Трое самых маленьких могут надеть большие галоши.

Указание II. Если четверо не могут надеть галоши, то их галоши кто-то надел. Но не могли же двое ушедших гостей надеть четыре пары галош!

А если гостей не 6, а 17?

Ответ

Ответ. 8.

Винни-Пух, Пятачок, Кролик и ослик Иа-Иа вместе съели 70 бананов, причем каждому сколько-то досталось. Винни-Пух съел больше каждого из остальных, а Кролик и Пятачок вместе съели 45 бананов. Сколько бананов досталось ослику?

В погребе 8 банок клубничного варенья, 7 малинового и 5 вишневого. Сколько банок можно в темноте вынести из погреба с уверенностью, что там останутся еще хотя бы 4 банки одного сорта варенья и 3 банки другого?

Указание   Ответ

Указание. Если вытащим 8 банок, то это могут оказаться 3 банки малинового и 5 банок вишневого варенья.

Ответ. 7.

Какое минимальное число фишек надо взять, чтобы при любой их расстановке на клетках шахматной доски обязательно встретились 4 фишки, стоящие друг за другом по горизонтали?

Ответ   Указание

Ответ. 8 · 6 + 1 = 49.

Указание. Чтобы на горизонтали не было 4 фишек подряд, на ней должно быть не более 6 фишек.

Несколько ящиков вместе весят 10 тонн, причем каждый весит не больше 1 тонны. Какого наименьшего числа трехтонок заведомо достаточно, чтобы увезти весь груз?

Ответ   Указание I   Указание II

Ответ. 5.

Указание I. Начнем загружать одну из трехтонок, положив сначала на нее один ящик, затем добавив к нему еще второй, третий и так далее до тех пор, пока масса очередного ящика вместе с массами уже погруженных камней не превысит 3 тонны. Перегружать трехтонку мы не будем, а вызовем следующую машину и начнем (не торопясь, по одному ящику) загружать и ее. Так же будем действовать и дальше, следя за тем, чтобы ни в какую машину не было загружено более чем 3 тонны. Очевидно, весь груз таким способом удастся увезти на 5 трехтонках. (Ведь на каждой машине, кроме может быть последней, будет увезено не менее чем 2 тонны груза.)

Указание II. Рассмотрите 9 ящиков, масса каждого из которых равна 10/9. Ни в какую машину нельзя погрузить 3 таких ящика, поэтому 4 машин для перевозки не хватит.