Теория катастроф

Лектор: проф. Быков А.А.

Отчетность: При желании слушателя он может сдать экзамен по прослушанному разделу и получить запись в зачетной книжке.

Продолжительность цикла: 5 лекций

Цель курса. Ознакомить слушателей с элементами теории катастроф, которая является активно развивающимся разделом современной математики и имеет широкое поле практического применения.

Аннотация. Теория катастроф изучает теорию особенностей дифференцируемых отображений и эффекты, возникающие в особенных точках отображений (т.е. преобразований одной области многомерного пространства на другую область). Типичная катастрофа (в математическом смысле) возникает, например, при приложении некоторого силового воздействия в выпуклой оболочке, находящейся в равновесии. При постепенном увеличении нагрузки сверху на выпуклую крышу стадиона в некоторый момент возникает эффект потери устойчивости, при котором увеличение прогиба сопровождается уменьшением возвращающей силы, что ведет к практически мгновенному разрушению. После некоторых преобразований эта и многие другие практически важные задачи сводятся к исследованию видимой формы некоторой поверхности, причем критически важным является расположение множества лучей, касающихся данной поверхности. Приложения теории катастроф описывают образование галактик после Большого Взрыва, устойчивость плотин, погодные аномалии и т.п. Для данного курса отобраны задачи теории катастроф, которые сводятся к исследованию функций нескольких переменных в рамках программы второго семестра обучения на первом курсе физического факультета МГУ.

Данный факультативный курс знакомит слушателей с основами теории катастроф. Отличием данного курса является широкое использование компьютерного моделирования и визуализации. По каждой теме излагается физическая постановка задачи, математические модели, основные аналитические результаты, численные алгоритмы, методика кодирования для математического инструмента. Предлагается набор задач для самостоятельного решения.

Учебный план.

• Лекция 1. Теория Уитни.
  • Тема 1. Классификация Уитни. Складки и сборки.
  • Тема 2. Машина катастроф.
  • Тема 3. Моделирование задачи о равновесии с параметром.
• Лекция 2. Бифуркация положения равновесия.
  • Тема 4. Пересечение поверхностей. Бифуркации и устойчивость.
  • Тема 5. Катастрофа в Аквапарке.
  • Тема 6. Равновесные и автоколебательные режимы.
• Лекция 3. Каустики и волновые фронты.
  • Тема 7. Понятие каустики и понятие волнового фронта.
  • Тема 8. Распределение вещества во вселенной. Ударные волны.
  • Тема 9. Учения Дона Хуана.
• Лекция 4. Гладкие поверхности.
  • Тема 10. Бифуркация функции максимума.
  • Тема 11. Гиперболические, параболические, эллиптические точки. Перегибы.
• Лекция 5. Задачи об обходе препятствия.
  • Тема 12. Понятие достижимости. Особенности границы достижимости.
  • Тема 13. Задачи оптимального управления.
• Лекция 6. Экзамен.

Основная литература:

• В.И.Арнольд, Теория катастроф. Москва, Наука, 1990, 128с. илл.

Материалы:

• Программа факультативного курса "Методы компьютерной математики" [скачать .pdf]