На кафедре работают научно-исследовательские семинары, на которых рассматриваются актуальные задачи математики и физики. Целью семинаров является повышение научной квалификации сотрудников, аспирантов и студентов кафедры, а также активизация научного общения с учеными из других высших учебных заведений и научных учреждений.

Обратные задачи математической физики

Руководители научного семинара: проф. А.Б.Бакушинский, проф. А.В.Тихонравов, проф. А.Г.Ягола.

Ультразвуковая эластография - инновационная методика визуализации биомедицинских тканей, основанная на детектировании различий в упругих свойствах здоровой и пораженных тканей в процессе ультразвукового сканирования. Поясняются физические принципы ультразвуковой эластографии, процесс регистрации и обработки данных, а также методика визуализации. Решение задачи количественной эластографии рассматривается как совокупность механического моделирования, акустического моделирования и собственно реконструкция. Обсуждаются результаты сравнения решения прямой задачи эластографии в полубесконечном пространстве и моделирования с использованием МКЭ. Представлены данные экспериментальных исследований качественной (не количественной!) эластографии с использованием Sonoline Omnia (Siemens AG).

В работе исследуются априорные и апостериорные характеристики степени практической устойчивости (однозначности) решений 2D и 3D нелинейных обратных задач электроразведки (методом МТЗ) в конечно-параметрических классах сред. В качестве критериев степени практической устойчивости используются численные значения модулей непрерывности прямого и обратного операторов задачи и их модификаций. Предлагается алгоритм расчета модулей непрерывности прямого и обратного операторов, основанный на методе Монте-Карло. Приводятся примеры расчета априорных и апостериорных оценок практической устойчивости обратных задач для типовых моделей сред, используемых в электроразведке. Исследуется зависимость характеристик практической устойчивости задачи от детальности описания среды, а также от структуры, объема и уровня погрешности входных данных.

Мы рассматриваем обратные задачи для линейных операторных уравнений Az = u в банаховых пространствах, наделенных структурой частичного упорядочения (банаховых решетках), при наличии априорной информации о принадлежности точного решения некоторому компакту. Строится множество приближенных решений, производится оценка погрешности. Рассматривается также вопрос о существовании супремума и инфимума множества приближенных решений и их сходимости к точному решению.

В работе рассматриваются вопросы определения и оценки решений уравнений с вполне непрерывным операторами и их приложения в условиях, когда априорная информация о решении минимальна, и когда погрешность исходных данных имеет конечную величину.
У первой части работы рассмотрена обратная задача синтеза внешних воздействия на динамическую систему методом идентификации, которая сведена к задаче идентификации решений уравнений с вполне непрерывным неточным оператором. Для получения устойчивых решений таких задач используется метод регуляризации. Предложен метод специальных операторов, который позволяет повысить точность регуляризованного решения. Рассмотрено несколько новых постановок задач идентификации с полным численным расчетом на реальных измерениях.
Во второй части работы исследованы вопросы решения операторных уравнений как задачи измерения. Рассмотрено несколько новых постановок задач идентификации и выполнены численные расчеты. Решена обратная задача А.Н.Крылова в минимаксной постановке. Выполнена оценка ошибки приближенного решения операторных уравнений и сделаны методические рекомендации. Решена также обратная задача для дифференциального уравнения эллиптического типа с неопределенностью в коэффициентах.
Предложенная методика идентификации решений операторных уравнений дает возможность получить как адекватные математические описания реальных процессов, так и полезную информацию относительно реальных внешних воздействий.

Задача идентификации структуры органических соединений по их инфракрасным спектрам является некорректно поставленной.
Полная структура соединения не может быть найдена из ИК-спектра. В данной работе предложен и реализован метод распознавания отдельных элементов структуры органических соединений с помощью искусственных нейронных сетей.

В работе разработаны математические методы решения ряд задач, возникающих при анализе и интерпретации экспериментальных данных.
В этих задачах из результатов измерений, полученных в натурном или в вычислительном эксперименте с некоторой погрешностью, требуется с максимальной точностью извлечь информацию об объекте изучения. Модель, связывающая результаты измерений с параметрами объекта, известна недостаточно точно и уточняется на основании измерений с конечной погрешностью известных тестовых объектов (сигналов). Задачи решены в рамках подхода теории измерительно-вычислительных систем, созданной в школе проф. Ю.П.Пытьева.
Предлагается метод аппроксимации неизвестной нелинейной модели измерения кусочно-линейной моделью, согласующейся с результатом измерений, метод вычисления оценки исследуемых параметров и ее точности, решается задача проверки адекватности используемых математических моделей.
Решается также задача интерпретации данных, в которой в качестве модели погрешности рассматривается нечеткое множество ее возможных значений. Используется вариант теории возможностей Ю.П. Пытьева. Задача интерпретации данных решается в оптимизационной задаче на максимум апостериорной возможности.
Приводятся примеры использования разработанных методов в задачах изучения компьютерной модели фотосинтетической системы.

In this talk we will summarize results of our research group during 2007- 2010 on the approximate globally convergent numerical method and adaptivity technique for solution of inverse problems which we call two-stage numerical procedure . We will also briefly discuss the framework of the functional analysis for the adaptivity technique. At the end of the talk we will present verification of the two-stage numerical procedure on the experimental data.

So, facts, additional to ones of the talk of Dr. L. Beilina, will be presented. Specifically, we will focus on the application of the quasi-reversibility method for the case when only the backscattering data ara available. In particular, we will present results for some blind experimental data.

Многомерные массивы (тензоры) играют важную роль при решении многомерных задач. В качестве приложений можно привести вычислительную химию, решение многопараметрических и стохастических уравнений, многомерные уравнения математической физики. Даже полное вычисление всех элементов массива невозможно, и необходимо использовать специальные малопараметрические представления (форматы) и строить вычислительные алгоритмы для работы с тензорами в таком формате. В диссертации введено и исследовано новое представление тензоров --- ТТ-формат, и созданы эффективные вычислительные алгоритмы для работы с тензорами в TT-формате, которые применены для решения практически важных многомерных задач (в том числе в пространствах размерности несколько сотен).

Задача PageRank возникла при ранжировании сайтов интернета в поисковой системе Google. У нее много и других приложений - к оценке импакт-фактора журналов и ученых, к проблеме консенсуса в многоагентных системах и т.д. С математической точки зрения она сводится к поиску главного собственного вектора стохастической матрицы, однако ее особенностью являются огромные размеры. Будет дан обзор численных методов решения этой задачи, описаны тестовые примеры и приведены нестандартные регуляризации исходной задачи, улучшающие ее свойства.

При решении многих современных прикладных задач часто необходимо восстанавливать характеристики исследуемых объектов в пространстве, при этом эти характеристики могут являться векторными функциями. Это приводит к необходимости решения трехмерных интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода, что зачастую невозможно сделать с использованием обычных компьютеров. В таких случаях обычно используются различные упрощения и допущения, которые понижают размерность решаемой задачи, но при этом приводят к существенным ошибкам в восстанавливаемых значениях либо дают ограниченную информацию об исследуемом объекте. Предлагается решать такие многомерные задачи в самой общей постановке, в которой необходимо решить трехмерное интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода для векторной функции, с использованием многопроцессорных систем. Эффективность данного подхода продемонстрирована на примере решения задачи восстановления параметров намагниченности корабля.

В докладе рассмотрен феномен АНЧАР, лежащий в основе бурно развивающегося сегодня направления прикладной геофизики - микросейсморазведки нефти и газа. Сделан обзор и анализ существующих сегодня теоретических моделей этого эффекта. Показана практика его использования.

Недавно Л.Бейлина и М.Клибанов впервые разработали глобально сходящийся алгоритм для одного класса многомерных коэффициентных обратных задач. Теория была разработана, и численные исследования подтвердили ее правоту. Однако наиболее интересный момент, конечно, посмотреть работу этого алгоритма на экспериментальных данных. Вот именно это исследование и будет освещено в докладе. Один из занимательных моментов состоит в том, что вычисления проводились вслепую с самого начала. Апостериорные измерения показали поразительную точность вычислений.

1. Проблема понижения размерности данных. Проклятие размерности.
2. Нейронные сети. Многослойные персептроны.
3. Решение обратной задачи из области магнитотеллурики по восстановлению распределения диэлектрической проницаемости в толще земной коры (до 30 км) по значениям электромагнитных полей с поверхности Земли. Решение проводится с привлечением нейронных сетей. Одна из основных проблем при решении данной обратной задачи - чрезвычайно большое число входных признаков (порядка 10^3).
4. Методы отбора наиболее существенных входных признаков. Объединение методов в методику.
5. Применение методики к обратной задаче электроразведки. Результаты: сильно сокращено число рассматриваемых входных признаков, улучшение качества получающейся нейросетевой модели.
6. Выводы.