Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://matan.math.msu.su/files/zorich/2%20Uchebnye%20materialy/9%20Stieltjes.pdf
Дата изменения: Sat May 1 17:40:00 2010
Дата индексирования: Sun Apr 10 21:23:48 2016
Кодировка: Windows-1251

Поисковые слова: вторая космическая скорость
Некоторые материалы из лекций по анализу

ИНТЕГРАЛ РИМАНА-СТИЛТЬЕСА

дельта-функция и идея обобщенных функций
(начальные представления)

Содержание Интеграл Римана-Стилтьеса

Конкретная задача и наводящие соображения. Определение интеграла Римана-Стилтьеса. Случай сведения интеграла Римана-Стилтьеса к стандартному интегралу Римана. Функция Хевисайда и пример вычисления интеграла РиманаСтилтьеса.
Обобщенные функции

Дельта-функция Дирака эвристическое описание. Соответствие функция функционал. Функционал как обобщенная функция. Дифференцирование обобщенных функций. Производные функции Хевисайда и дельта-функции.

1


2

Интеграл Римана-Стилтьеса

Мы рассмотрели целый ряд примеров эффективного использования интеграла при вычислении площадей, объемов тел вращения, длин путей, работы сил, энергии... Обнаружили потенциальность гравитационного поля и подсчитали вторую космическую скорость для Земли. Располагая аппаратом интегрального исчисления, убедились, например, в том, что длина пути не зависит от его параметризации. Заодно отметили, что некоторые вычисления (длины эллипса) связаны с неэлементарными функциями (в данном случае с эллиптическими). Все перечисленные выше величины (длины, площади, объемы, работа, ...), как и сам интеграл Римана, аддитивны. Мы знаем, что любая аддитивная функция I [, ] ориентированного промежутка [, ] [a, b] имеет вид I [, ] = F ( ) - F (), если положить F (x) = I [a, x] + C . В частности, можно взять произвольную функцию F и по ней построить аддитивную функцию I [, ] = F ( ) - F (), считая I [a, x] = F (x). Если функция F разрывна на отрезке [a, b], то там разрывна и функция I [a, x]. Но тогда она не может быть x представлена в виде интеграла Римана a p(t)dt ни от какой интегрируемой по Риману функции (плотности p), т.к. такой интеграл, как мы знаем, непрерывен по x. Пусть, например, отрезок [-1, 1] нить, в середине которой закреплена бусинка массы 1. Если I [, ] масса, попавшая в промежуток [, ] [-1, 1], то функция I [-1, x] равна нулю, пока -1 x < 0, и равна единице, когда 0 x 1. Если попытаться описать такое распределение массы на отрезке в терминах плотности распределения (т.е. предела отношения массы, попавшей в окрестность точки, к величине окрестности, когда последняя стягивается к точке), то мы должны были бы считать, что p(x) = 0 при x = 0 и p(x) = + при x = 0. Физики, а теперь и все, вслед за Дираком называют эту "функцию" (такую плотность распределения) дельта-функцией, обозначают ее через и пишут, что (x)dx = 1, если < 0 < и (x)dx = 0, если < < 0 или если 0 < < , каковы бы ни были числа и . Разумеется, интеграл, понимаемый традиционно, например, по Риману, здесь не имеет смысла (уже по одному тому, что под интегралом стоит неограниченная "функция"). Вольное употребление символа интеграла здесь всего-навсего замена аддитивной функции I [, ], рассмотренной выше, когда мы говорили о бусинке на нитке.

Конкретная задача и наводящие соображения.


3

Центр масс. Вспомним, фундаментальное уравнение mr = F движения точЕ ки массы m под действием силы F , где r радиус-вектор точки. Если имеется система из n материальных точек, то для каждой из них имеется свое равенство mi ri = Fi . Суммируя эти равенЕ ства, получаем соотношение n=1 mi ri = n=1 Fi , которое можно пеЕ i i n n mi Е Е реписать в виде M i=1 M ri = i=1 Fi или в форме M rM = F , где M = n=1 mi , F = n=1 Fi и rM = n=1 mi ri . То есть, если совокупную i i i M массу системы поместить в точку пространства, радиус-вектор которой rM = n=1 mi ri , то под воздействием силы F = n=1 Fi она i i M будет двигаться согласно закону Ньютона, какими бы сложными ни были взаимные движения отдельных частей системы. Точка пространства, радиус-вектор которой n=1 mi ri мы нашли, i M называется центром масс системы материальных точек.
Пусть теперь перед нами стоит задача найти центр масс материального тела, т.е. области D пространства, в которой как-то распределена масса. Пусть в элементе объема dv сосредоточена масса dm и пусть M общая масса тела D. Тогда, надо полагать, 1 M = D dm, а центр масс надо бы находить по формуле M D rdm, где r радиус-вектор элемента массы dm. По объемам мы пока интегрировать не умеем, поэтому рассмотрим одномерный случай, который тоже вполне содержателен. Итак вместо области D рассмотрим отрезок [a, b] координатной оси R. b Тогда M = a dm, а центр масс надо бы находить по формуле b 1 xdm, где x координата элемента массы dm, который поэтоMa му можно написать и поточнее, как dm(x). Смысл написанного, по-видимому, должен быть следующим. Берем разбиение P отрезка [a, b] с какими-то отмеченными точками i [xi-1 , xi ]. Отрезку [xi-1 , xi ] отвечает масса mi . Составляем суммы i mi , i i mi , и, переходя к пределу, когда параметр (P ) разбиения стремится к нулю, находим соответственно то, что b b обозначено как a dm и a xdm. Мы приходим к следующему обобщению интеграла Римана.


4

Определение интеграла Римана-Стилтьеса.
Пусть f и g функции, вещественно, комплексно или векторнозначные на отрезке [a, b] R. Пусть (P, ) = (a = x0 1 x1 ... xn-1 n xn = b) разбиение этого отрезка с отмеченными точками и параметром (P ). Составим сумму n=1 f (i )gi , где i gi = g (xi ) - g (xi-1 ). Интегралом Римана-Стилтьеса функции f по функции g на отрезке [a, b] называется величина
b n

(1)

f (x)dg (x) := lim
a

(P )0

f (i )gi ,
i=1

если указанный предел существует. В частности, когда g (x) = x, мы возвращаемся к стандартному интегралу Римана.

Случай сведения интеграла Римана-Стилтьеса к интегралу Римана.
Отметим также, что если функция g гладкая, а f функция, интегрируемая по Риману на отрезке [a, b], то
b b

(2)

f (x)dg (x) =
a a

f (x)g (x)dx ,

т.е. в этом случае вычисление интеграла Римана-Стилтьеся сводится к вычислению интеграла Римана от функции f g на рассматриваемом отрезке. В самом деле, пользуясь гладкостью функции g и теоремой о среднем, перепишем сумму, стоящую в равенстве (1) справа, в следующем виде
n n n

f (i )gi =
i=1 n i=1

f (i )(g (xi ) - g (x
n

i-1

)) =
i=1

~ f (i )g (i )(xi - x

i-1

)=

=
i=1

f (i )g (i )xi +
i=1

~ f (i )(g (i ) - g (i ))xi .

В силу равномерной непрерывности функции g на отрезке [a, b] и ограниченности функции f , последняя сумма стремится к нулю при (P ) 0. Предпоследняя сумма есть обычная интегральная сумма для интеграла, стоящего в (2) справа. В силу сделанных предположений о функциях f и g , функция f g интегрируема по Риману


5

на отрезке [a, b]. Поэтому указанная сумма при (P ) 0 стремится к значению этого интеграла, что и завершает доказательство равенства (2). Задача. Мы провели доказательство, используя теорему о среднем, справедливую для вещественнозначных функций. Используя теорему о конечном приращении, проведите доказательство для векторнозначных (например, комплекснозначных) функций.

Функция Хевисайда и пример вычисления интеграла Римана-Стилтьеса.
Функция Хевисайда H : R R определяется соотношениями H (x) = 0 при x < 0 и H (x) = 1 при 0 x.
Подсчитаем интеграл a f (x)dH (x). По определению (1) состаn n вим сумму i=1 f (i )Hi = i=1 f (i )(H (xi ) - H (xi-1 )). В силу определения функции Хевисайда эта сумма, очевидно, равна нулю, если отрезок [a, b] не содержит точки 0, и равна f (i ), если точка 0 попала на некоторый отрезок [xi-1 , xi ] (точнее, внутрь него или в его конец xi ). В первом случае интеграл, конечно, равен нулю. Во втором случае при (P ) 0 точка i [xi-1 , xi ] стремится к 0, поэтому, если функция f непрерывна в 0, то пределом рассматриваемых сумм будет величина f (0). Если же функция f разрывна в 0, то малым изменением значения i можно заметно менять значение f (i ) и, значит, интегральные суммы не будут иметь предела при (P ) 0. Ясно, что последнее наблюдение имеет общий характер: совпадение точек разрыва функций f и g , участвующих в интеграле Римана-Стилтьеса (1), неизбежно ведет к отсутствию предела, если такая точка оказалась внутри отрезка интегрирования. Итак, проведенный подсчет показывает, что если, например, функция класса C0 (R, R), т.е. заданная на всей прямой непрерывная вещественнозначная функция, тождественно равная нулю вне некоторого ограниченного множества, то (3)
b

(x)dH (x) = (0).
R


6

Обобщенные функции

Дельта-функция Дирака эвристическое описание.
Как уже было отмечено выше, физики, и не только они, вслед за Дираком используют дельта-функцию . Эта "функция" равна нулю всюду, кроме начала координат, где она бесконечна. Но вместе с тем (и это главное) (x)dx = 1, если < 0 < и (x)dx = 0, если < < 0 или если 0 < < , каковы бы ни были числа и . Естественно считать, что умножение подынтегральной функции на число приводит к умножению интеграла на это же число. Но тогда, если некоторая функция непрерывна в начале координат, то, учитывая, что она почти постоянна в малой окрестности U (0) начала координат, а интеграл U (0) (x)dx = 1, заключаем, что должно быть (4)

(x) (x)dx = (0).
R

Сравнивая соотношения 2, 3 и 4 и продолжая эту смелую цепочку заключений, приходим к выводу, что (5)

H (x) = (x).

Разумеется, ни в какую классику это не укладывается. Но изложенные соображения вполне конструктивны и если бы непременно надо было написать значение H (x), то мы написали бы именно то, что и сейчас: 0, если x = 0, и +, если x = 0.

Соответствие функция функционал.
Один из способов выхода из сложившихся затруднений состоит в следующей идее расширения (обобщения) самого понятия ?функция?. Будем смотреть на функцию через ее взаимодействие с другими функциями. (Ведь нас обычно не интересует внутреннее устройство аппарата, например человека, и мы считаем, что знаем объект, если знаем, как объект отвечает на входные воздействия, на те или иные входящие вопросы.) Возьмем интегрируемую на отрезке [a, b] функцию f и рассмотрим порождаемый ею функционал Af (функцию на функциях)
b

(6)

Af () =
a

f (x)(x)dx.


7

Чтобы миновать технические затруднения, будем считать пробные () функции гладкими и даже из класса C0 [a, b] бесконечно дифференцируемых функций, обращающихся в нуль в окрестности концов отрезка. Можно даже продолжить обе функции f , нулем вне отрезка [a, b] и вместо интеграла по отрезку писать интеграл (7)

Af () =
R

f (x)(x)dx.

Зная значения функционала Af на пробных функциях, мы, если надо, легко найдем значение f (x) функции f в любой точке, где эта функция непрерывна.

f (t)dt (интегральное среднее) при +0 стремится к f (x) в любой точке x непрерывности интегрируемой функции f . ? b) Покажите, что ступенчатую функцию , равную нулю вне 1 ? отрезка [-, ] и равную 2 на самом этом отрезке (функция имитирует -функцию Дирака), можно аппроксимировать гладкой функцией с теми же свойствами: (х) 0 на R, (х) = 0 при |x| и R (х)dx = 1, т.е. - (х)dx = 1. x+ c) Покажите теперь, что если 0, то x- f (t) (x - t)dt f (x) в любой точке x непрерывности интегрируемой функции f .

Задача. a) Проверьте, что величина

1 2

x+ x-

Функционал как обобщенная функция.
Итак, интегрируемая функция порождает линейный функционал Af (линейную функцию на векторном пространстве функций () () C0 [a, b] или на C0 (R)), определенный формулами (6) или (7), причем по функционалу Af сама интегрируемая функция восстанавливается во всех точках непрерывности (т.е. почти всюду). Таким образом, функционал Af можно рассматривать как иную кодировку или интерпретацию функции f , рассматриваемой в зеркале функционалов. Но в этом зеркале можно увидеть и иные линейные функционалы, которые не порождаются указанным способом никакой интегрируемой функцией. Примером может служить уже встретившийся нам функционал R (x)dH (x) = (0), который мы обозначим как A (учитывая желание написать (x)dx вместо dH (x)). Функционалы первого типа называют регулярными, а второго сингулярными. На функционалы и будем смотреть как на обобщенные функции. Множество рассмотренных функционалов содержит наши обычные


8

функции в виде подмножества, состоящего из регулярных функционалов. Итак, в связи с рассмотрением интеграла Римана и его обобщения в виде интеграла Стилтьеса мы дали представление об идее построения обобщенных функций. Не станем погружаться в детали теории обобщенных функций, связанные, например, с рассмотрением различных пространств пробных функций и построением линейных функционалов (обобщенных функций) на них. Лучше продемонстрируем правило дифференцирования обобщенных функций. А здесь, в качестве заключительного замечания, указывающего на полезную роль интеграла Стилтьеса, добавим, что на пространстве C [a, b] функций , непрерывных на отрезке [a, b], любой (как регулярный, так и сингулярный) линейный непрерывный функционал b представляется в виде интеграла Стилтьеса a (x)dg (x) с некоторой, должным образом подобранной, функцией g . (Подобно тому, как сингулярный функционал A , представляющий обобщенную функцию , имеет вид R (x)dH (x), указанный в формуле (3).) Мы начали с примера, где при отыскании центра масс нам встреb b тился интеграл Стилтьеса a xdm(x). Интеграл Mn = a xn dm(x) называется моментом порядка n соответственно меры (например, вероятностной) или массы, или заряда, распределенных на отрезке [a, b]. Особенно часто встречаются моменты M0 , M1 , M2 : M0 совокупная масса (мера, заряд); M1 /M0 дает центр масс в механике, а M1 математическое ожидание случайной величины в теории вероятностей; M2 момент инерции в механике и дисперсия случайной величины с математическим ожиданием M1 = 0 в теории вероятностей. Одна из задач теории моментов восстановление распределения по его моментам.


9

Дифференцирование обобщенных функций.
Пусть A обобщенная функция. Какую обобщенную функцию A следовало бы считать производной от A? Рассмотрим вопрос сначала для регулярной обобщенной функции, т.е. для функционала Af , порожденного некоторой классической функцией f , например, гладкой финитной функцией класса (1) C0 . Тогда производной Af от Af естественно считать функционал Af , порожденный функцией f производной исходной функции. Используя интегрирование по частям, находим, что

Af () := Af () =

f (x)(x)dx = f (x)(x)|
R

+ -

-
R

f (x) (x)dx =

-
R

f (x) (x)dx =: Af ( ).

Итак, мы нашли, что в рассмотренном случае (8)

Af () = -Af ( )

Это дает основание принять следующее определение (9)

A () := -A( ).

Здесь указано, как функционал A действует на любую функцию () C0 , и тем самым функционал A полностью определен. Действие линейного функционала A на функцию вместо A() часто записывают в следующем удобном во многих отношениях виде < A, >, напоминающим скалярное произведение и указывающим явно, что спаривание линейно по каждой из пары его переменных. В этих обозначениях, если теперь f любая обобщенная функция, то в соответствии с определением (9) (10)

< f , >:= - < f , > .

Производные функции Хевисайда и дельта-функции.
Подсчитаем, например, производную функции Хевисайда, рассматриваемой как обобщенную функцию, действующую по стандартному закону регулярной обобщенной функции

< H , >=
R

H (x)(x)dx.


10

В соответствии с определением (9) или (10)
+

< H , >:= - < H, >:= -

H (x) (x)dx = -
R )|+ 0 0

(x)dx =

= -(x = (0). Мы показали, что < H , >= (0). Но ведь по определению обобщенной функции имеем < , >= (0). Значит, мы показали, что в смысле обобщенных функций имеет место равенство H = .
Подсчитаем, например, еще и ционалов: < , >:= - < < , >:= - < Ясно теперь, что вообще < (n) , т.е. укажем действие этих функ-

, >:= - (0); , >:= (0). , >= (-1)n (n) (0).

Мы видим, что обобщенные функции бесконечно дифференцируемы. Это их замечательное свойство имеет много разнообразных проявлений, разрешая операции, которые с обычными функциями возможны только при очень специальных ограничениях. В заключение сделаем еще следующее замечание общего характера. Пусть X - векторное пространство, X двойственное к X векторное пространство, состоящее из линейных функций на X , и пусть X пространство, двойственное к пространству X . Значение x (x) функции x X на векторе x X будем записывать, как и выше, в виде спаривания < x , x >. Фиксируя здесь x, мы получаем линейную функцию относительно x . Таким образом, каждый элемент x X можно трактовать как элемент пространства X , т.е. мы имеем вложение I : X X . В конечномерном случае все пространства X, X , X изоморфны и I (X ) = X . В общем же случае I (X ) X , т.е. I (X ) составляет только часть всего пространства X . Именно это и наблюдалось при переходе от функций (им отвечали регулярные функционалы) к обобщенным функциям, которых оказалось больше.